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1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Introdução A Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um Corpo Deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. Se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as proporções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim de capacitá- las a cumprir suas finalidades, com segurança, durabilidade e em condições econômicas. Daí a grande importância do conhecimento desta disciplina na formação dos engenheiros. O principal objetivo do estudo da resistência dos materiais consiste na determinação das tensões e das deformações a que estão sujeitos os corpos sólidos devido à ação dos carregamentos atuantes. Em sua maioria, as construções e as máquinas são muito complicadas quanto às características dos materiais, à forma e geometria dos elementos estruturais, aos tipos de carregamento, seus vínculos etc. e, a menos que sejam estabelecidas hipóteses e esquemas de cálculo simplificadores, a análise dos problemas seria impraticável. A validade de tais hipóteses é constatada experimentalmente. Hipóteses Os materiais são considerados: Contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc), Homogêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e Isótropos (iguais propriedades em todas as direções). Essas hipóteses nos permitem aplicar as técnicas elementares do cálculo infinitesimal para a solução matemática dos problemas. Princípio de Saint-Venant: é possível substituirmos um sistema de forcas por outro, estaticamente equivalente, significando maior simplificação nos cálculos. Superposição de efeitos: os efeitos causados por um sistema de forças externas agindo sob um corpo é igual à soma dos efeitos produzidos por cada força considerada agindo isoladamente. A fim de compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação das propriedades dos materiais, nos pressupostos ou nas simplificações, é previsto nas Normas Técnicas a adoção de coeficientes de segurança. Consiste em se majorar as cargas e se reduzir a resistência dos materiais. Os diversos critérios adotados para escolha dos coeficientes de segurança adequados são estudados ao longo do curso de Engenharia Civil. 2 Sistema Internacional de Unidades (SI) No decorrer do curso são usadas várias unidades de medidas: de esforços, de tensões e de deformações. O sistema adotado é o SI, que no Brasil, está oficializado desde 1962. O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e unidades derivadas. As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). Como mostrado na tabela a seguir: Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Algumas unidades derivas são: Grandeza Unidade Símbolo Área metro quadrado m2 Volume metro cúbico m3 Força Newton N Momento Newton -metro N-m Tensão Pascal Pa= N/m2 A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2. Pascal (Pa) é unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento). Pascal é definido como a pressão exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1metro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N/m2. Prefixos de unidades Prefixo Símbolo Fator Giga G 109 Mega M 106 Quilo k 103 Micro μ 10-6 Nano n 10-9 3 Assim, na prática pode-se usar, por exemplo: 103 N ou kN 106 Pa ou MPa 109 Pa ou GPa ESTÁTICA Grandezas fundamentais Forças no plano A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura abaixo. O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). onde: Mi = momento escalar do vetor Fi em relação ao ponto 0 0 = pólo ou centro de momento di= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de alavanca 4 Decomposição de uma força em um plano Para a decomposição da força aplicamos a lei do paralelogramo. Lei do paralelogramo para a adição de forças: “Os efeitos de duas forças concorrentes são os mesmos que os da sua resultante” Esta lei é baseada na experiência, não tem prova matemática. Características de Módulo ou intensidade 22 yx FFF += Direção )( x y x y F F arctg F F tg =⇒= αα • No caso de um sistema de forças concorrentes determina-se a resultante R do sistema de forças. Na prática seguem-se três etapas: 1- Descompor cada força nos eixos “X” e “Y” 2- Determinamos ∑ ∑ = = yy xx FR FR 3- Determinamos o módulo, a sua intensidade 22 yx RRR += 4- Determinamos sua direção )( x y R R arctg=α Exemplos 1. Como se mostra na figura um homem puxa, com uma força de 300 N uma corda fixada a uma construção. Qual a componente horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A? 5 2. As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar sua resultante, sua direção e sentido. ESTRUTURA É o conjunto de peças ou elementos estruturais que constitui o esqueleto destinado a suportar as cargas de uma construção, equipamento ou máquinas. As peças estão ligadas entre si e com o meio exterior, como pode ser visto na figura 1, de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante. Por exemplo, um pilar de concreto de um edifício recebe em cada andar o peso de aquele piso e o transmite ao pilar do andar de baixo até o último lance do pilar, que transmite a carga total às fundações e estas ao solo. Figura 1 As estruturas podem ser estáticas(fig-2a) ou dinâmicas (fig.2b) 6 Figura 2- Estruturas estáticas e dinâmicas Elementos estruturais • Classificação Os elementos estruturais podem ser classificados em elementos lineares, de superfície e de volume. 1. Lineares = Peças que têm uma das dimensões (denominada comprimento) muito maior que as outras duas (a~b<<<c). Exemplos Vigas → tração, compressão, cisalhamento, flexão, torção e combinação; Arcos →solicitações iguais as das vigas; 7 Treliças → tração e compressão Pilar ou coluna→ compressão; Escora; 2. Superfícies =Peças que têm uma das dimensões (denominada espessura) muito menor que as outras duas (a<<<b~c); Exemplos Disco ou viga parede→ cargas contidas nesse plano; Placa →carga normal ao plano; 8 Casca ou membrana →cargas radiais ou longitudinais. 3. Volume = Peças cujas três dimensões principais são da mesma ordem de grandeza (a~b~c); Exemplos Bloco de fundação→predominantemente compressão Cargas As cargas são a causa que provocam o aparecimento de esforços ou deformações nas estruturas. Cargas externas � Um corpo pode ser submetido a vários tiposde cargas externas; todavia, qualquer uma delas pode ser classificada como uma força de superfície ou uma força de corpo (Figura 3). Figura 3 9 Forças de superfície � Como o nome sugere, forças de superfície são causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície do outro. Em todos os casos, essas forças estão distribuídas pela área de contato entre os corpos. Se essa área for pequena em comparação com a área da superfície total do corpo, então a força de superfície pode ser idealizada como uma única força concentrada, aplicada a um ponto do corpo. Força de corpo � A força de corpo é desenvolvida quando um corpo exerce uma força sobre outro, sem contato físico direto entre eles. Citamos como exemplo os efeitos causados pela gravitação da Terra ou seu campo eletromagnético. Embora as forças de corpo afetem cada uma das partículas que compõem o corpo, elas normalmente são representadas por uma única força concentrada que age sobre ele. No caso da gravidade, essa força é denominada peso do corpo e age no centro de gravidade deste. • Tipos de cargas ou carregamentos Unidades: Newton (N) Exemplos: Unidades: Newton/metro ( N/m) 10 )(NqLP = (intensidade igual à área sob o diagrama de carga (retângulo), localizada no centroide do diagrama )( 2 NqLP = (intensidade igual à área sob o diagrama de carga (triângulo), localizada no centroide do diagrama) Exemplos: Unidades: Newton-metro(N-m) 12 A aplicação correta das equações de equilíbrio exige a especificação completa de todas as forças conhecidas ou desconhecidas que agem sobre o corpo. A melhor maneira de levar em conta essas forças é desenhando o diagrama de corpo livre do corpo (D.C.L).Certamente, se o diagrama de corpo livre for desenhado de maneira correta, os efeitos de todas as forças e momentos binários aplicados poderão ser levados em conta quando as equações de equilíbrio forem escritas. No exemplo abaixo para determinar as trações nos cabos AB e AC devemos fazer o D.C.L do ponto A. Assim sendo, temos: Graus de Liberdade São as possibilidades de translação e rotação que têm um corpo no espaço ou no plano. • No espaço tem 6 graus de liberdade. • No plano tem 3 graus de liberdade. Esses graus de liberdade são restringidos para possibilitar o equilíbrio da estrutura. Esta restrição é fornecida através dos vínculos ou apoios, os quais impedem os movimentos do corpo a través do aparecimento de reações destes apoios sobre o corpo, nas direções dos movimentos que eles impedem. Essas reações serão determinadas pelas condições de equilíbrio. Apoios ou Vínculos No caso de estruturas carregadas no próprio plano os apoios são: 1. Apoio de primeiro gênero - articulação móvel: Impedem translação normal ou perpendicular ao plano e apoio, permitem translação paralela à superfície e a rotação. • A reação aparece na direção do grau de liberdade impedido. 13 Este suporte para a viga mestra de ponte permite um movimento horizontal de modo que a ponte esteja livre para se expandir e contrair devido às mudanças de temperatura. 2. Apoio do segundo gênero – articulação fixa ou rótula: Impede a translação em duas direções, na direção normal e na paralela ao plano de apoio e permite a rotação em torno dele. Exemplo 3. Apoio do terceiro gênero - engaste: Impede translação e rotação. Imobilizam o corpo completamente. Exemplo: 14 � NOTA: Quando o sentido das reações ou do momento desconhecidos não é previsível, se deve colocar arbitrariamente. Se quando calculado a resposta for positiva o sentido colocado é o correto. Classificação das Estruturas • Segundo a Estaticidade e Estabilidade Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendo uma situação indesejável de equilíbrio estável. 15 Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações. • Segundo a Forma 16 Exemplos de cálculo de reações de apoios 1. Calcular as reações de apoios nos exercícios a seguir. Na Resistência dos Materiais as peças são estudadas de maneira a atender os seguintes aspectos: • Dimensionamento: Determinar os esforços que agem em uma peça a ser fabricada e fixar as dimensões de sua seção transversal, a fim de que o material da qual seja feita resista com segurança os esforços. • Verificação: Dada uma peça já existente feita de um dado material, verificar se ela é capaz de resistir com segurança os esforços aos quais ela está submetida. No dimensionamento das estruturas é necessário levar em conta três itens importantes: • Segurança à ruptura. • Deformabilidade • Economia Classificação dos Esforços Tipos de esforços a)Exteriores: • Ativos →dados (na figura abaixo, P) (ação do vento, peso próprio, etc.) • Reativos→nos apoios (da mecânica, na figura abaixo, P/2) b)Interiores: • Solicitantes → dependem do carregamento. Aparecem no interior da peca devido aos esforços exteriores (na figura abaixo, Fac, Fab, Fbc,) • Resistentes → dependem do material (tabelas, gráficos, etc.) 17 A condição de estabilidade: Esforços Solicitantes Os esforços encontrados no interior de qualquer seção transversal de uma barra, chamados de esforços solicitantes, são produzidos pelos esforços externos que se propagam ao longo da barra. Os tipos de esforços solicitantes podem ser: • Força Normal: Que age no sentido de comprimir ou tracionar a seção transversal. Age paralelo ao eixo da peça. • Força Cortante ou de cisalhamento: Que atua no plano da área secionada. Como exemplo de uma situação prática, considere-se a conexão da figura 4. Figura 4 (fig.4b)=Sob a força P as placas atuam sobre o rebite, exercendo pressões de contato. (fig.4c)=Tendência do rebite ao corte ou cisalhamento na seção ab devido à força cortante V=P na seção transversal do rebite. Esforços solicitantes ≤ Esforços resistentes para todos os pontos 18 Outro exemplo pode ser observado quando duas cargas com igual direção e sentido contrário agem sobre um elemento, como se mostra na figura abaixo. O elemento AB tende a ser cisalhado ou cortado na seção C. • Momento Fletor: Que age no sentido de flexionar o eixo da barra. Atua no plano perpendicular à seção transversal. • Momento Torsor ou Torque: Que age no sentido de torcer a seção transversal em relação ao eixo. Atua no plano da seção transversal Uma das mais importantes aplicações da estática na análise de problemas de resistência dos materiais é poder determinar a força e o momento resultantes que agem no interior de um corpo e que são necessários para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas externas. Como exemplo, considere o corpo mostrado Figura 5, mantido em equilíbrio pelas quatro forças externas. Corpo em equilíbrio: ΣFi=0 ΣMi=0 19 Figura 5-Corpo em equilíbrio Para obtenção das cargas internas que agem sobre uma região especifica no interior de um corpo, é necessário usar o método das seções. O método exige que seja feita uma seção ou “corte” imaginário passando pela região onde as cargas internas deverão ser determinadas. Então as duas partes do corpo são separadas e o diagrama de corpo livre de uma das partes e desenhado (Figura 6). Podemos ver que há, na verdade uma distribuição de força interna agindo sobre a área “exposta”da seção. Essas forças representam os efeitos do material que esta na parte direita do corpo agindo no material adjacente na parte esquerda. Tais forças geram dois sistemas de vetores que se distribuem com mesmo módulo e direções opostas em ambas às partes cortadas, graças à lei de Newton de ação e reação. Seccionando e separando o corpo segundo a seção “S” como mostrado na figura 6, obtemos as resultantes internas que equilibram, na seção “S” as ações atuantes externas. Figura 6 Assim obtemos como resultantes internas: Ficando com a parte esquerda do corpo, como se mostra na figura 7 e descompondo a força resultante “R” na seção transversal obtemos: 20 Figura 7 Descompondo o momento resultante “M” na seção transversal obtemos: A representação gráfica de um momento ou torque é apresentada em três dimensões, como um vetor acompanhado pelo símbolo gráfico de uma seta curvada. Pela regra da mão direta, o polegar dá à seta o sentido do vetor e os dedos, ou curvatura da seta indica a tendência da rotação (torção ou flexão)(ver figura abaixo) 21 Cargas Coplanares � Se o corpo for submetido a um sistema de forças coplanares (Figura 8a), então haverá na seção apenas componentes da força normal, força de cisalhamento e momento fletor (Figura 8b). Se usarmos os eixos coordenados x, y, z com origem no ponto O, como mostrado no segmento à esquerda, então a solução direta para N pode ser obtida aplicando-se ΣΣΣΣFX = 0, e V pode ser obtido diretamente de ΣΣΣΣFY = 0. Por fim, o momento fletor MO pode ser determinado diretamente pela soma dos momentos em torno do ponto O (o eixo z), ΣΣΣΣMO = 0 de modo a eliminar os momentos causados pelas forças desconhecidas N e V. Figura 8 Com o método da seções podem ser obtidos os diagramas dos esforços solicitantes ao longo do eixo do elemento o que é muito importante para o dimensionamento do mesmo, pois podem ser determinados os valores máximos dos esforços e onde se localizam. 22 Exercícios 1- Determinar os esforços solicitantes internos que atuam na seção C assinalada na viga mostrada. 2- Determinar a carga axial nas seções A, B e C da barra mostrada. 23 3- Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B e C do cano (figura abaixo). A massa do cano é de 2kg/m, e ele está sujeito a uma força vertical de 50N e um momento de 70N.m em sua extremidade A. O tubo está preso a uma parede em D. Estado Geral da Tensão A análise e o projeto de uma determinada estrutura implica a determinação das tensões e das deformações. Primeiramente estabeleceremos o conceito de TENSÃO. Consideremos um corpo que sobre ele está agindo o sistema de forças indicado. Para estudar o estado de tensões num ponto Q no interior do corpo passamos um plano paralelo ao plano “XZ”, pelo ponto Q (Fig.1). O corpo que fica à esquerda está sobre a ação das forças externas aplicadas inicialmente e das forças normais e cortantes distribuídas na seção(Fig.a). 24 Onde: ∆A- elemento de área que contém o ponto Q, ele é perpendicular a “Y”, ∆Fy- força normal que age na área ∆A com direção do eixo “Y”, ∆Vy- força cortante que age na área ∆A, sua direção pode ser qualquer no plano da seção. Descompondo ∆Vy nas suas componentes paralelas ao eixo “X” (∆Vyx) e ao eixo “Z” (∆Vyz)(Fig.b). Se dividirmos a intensidade de cada força por ∆A e determinamos o limite, fazendo ∆A tender a zero, definiremos as três componentes das tensões no ponto Q (Fig.c). σy- tensão normal a uma superfície perpendicular a “Y”, (atua no sentido perpendicular a ∆A) ττττyx – tensão de cisalhamento que age num plano perpendicular a “Y”, na direção de “X” (atua tangente a ∆A, no plano de ∆A) ττττyz- tensão de cisalhamento que age num plano perpendicular a “Y”, na direção de “Z” (atua tangente a ∆A, no plano de ∆A) A V A V A F yz A yz y x A yx y A y ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = →∆→∆→∆ limlimlim 000 ,, ττσ 25 Da mesma forma obteremos as componentes σx, ττττxy, ττττxz, se passarmos pelo ponto Q, um plano paralelo ao plano “YZ” e as componentes σz, ττττzx, ττττzy, se passarmos um plano paralelo a “XY” Daí obtém-se o Estado de Tensões no ponto Q, que para melhor visualização vamos considerar um cubo infinitesimal, com centro no ponto Q (Fig. 2). Nas três faces não visíveis do cubo ocorrem tensões iguais e de sentidos opostos. As tensões nas faces do cubo diferem muito pouco das tensões no ponto. O conceito de tensão é importante por nos permitir fazer comparativos do esforço interno solicitante desenvolvido em peças sob diferentes carregamentos com os esforços admissíveis para o material em estudo. Definição de Tensão: É a razão entre uma força e a área de uma superfície plana. Tensão Normal Média Na seção transversal de uma barra, se o único esforço solicitante é a força normal, diz-se que a barra está submetida à tração ou a compressão (conforme o sentido da força normal). Quando uma barra feita de material homogêneo e isotrópico está carregada nas suas extremidades por uma força axial de tração P aplicada no centroide da seção transversal, como se mostra na figura é seccionada perpendicularmente ao eixo através de uma seção A, verificaremos que a solicitação se distribui uniformemente ao longo desta seção. 26 Esta força por unidade de área é denominada Tensão Normal Média. Essa equação σσσσ =P/A, representa o valor médio das tensões na seção transversal. Unidades: [Força/Área (N/m2=Pa)] Quando a barra está tracionada a tensão resultante é uma Tensão Normal de tração e será usado o sinal positivo. Se a barra está comprimida a tensão resultante é uma Tensão Normal de compressão e será usado o sinal negativo. Exercícios 1- Determinar a tensão normal média na barra da figura quando submetida ao carregamento mostrado. Considerar a área da seção transversal do trecho AB igual a 3,5 cm2 e do trecho BD igual a 5 cm2 . Desenhar os diagramas de esforço normal e de tensão média da barra. 2- A luminária de 50 lb é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel em A. Determine qual das hastes está sujeita a maior tensão normal média e calcule seu valor. O diâmetro de cada haste é dado na figura. 27 3- A coluna da figura está submetida a uma força axial de 8 kN no seu topo. Supondo que a seção transversal tenha as dimensões mostradas, determinar a tensão normal média que atua sobre a seção a-a. Mostrar essa distribuição de tensão atuando sobre a área da seção transversal. Tensão de Cisalhamento Média Tensão que age no plano da área secionada do elemento. Acontece, por exemplo, quando duas forças P e P, são aplicadas a uma barra AB na direção transversal à barra (como mostrado na figura). Este é um caso de cisalhamento simples ou direto, uma vez que o cisalhamento é provocado pela ação direta da carga. A distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal não é uniforme. Ela realmente vai variando da superfície para o interior, onde pode ter valores bem superiores a ττττmédia. 28 � Este tipo de cisalhamento ocorre frequentemente em vários tipos de acoplamentos que usam parafusos, rebites, pinos e soldas que ligam diversas partes de máquinas e estruturas. Nestes elementos, na prática acontecem dois tipos de cisalhamento: • Cisalhamento simples ou direto O cisalhamento no elemento conetor é provocado pela ação direta da carga aplicada P. Deve ser considerada apenas uma superfície de cisalhamento (superfície de união entre as duas chapas) • Cisalhamento duplo Quando a juntaé construída como mostrado na figura devem ser consideradas duas superfícies de corte ou cisalhamento (superfície de união entre as três chapas (m-n e p-q)) A tensão de cisalhamento média ττττmédia atua na mesma direção que a força de cisalhamento V 29 � Os parafusos, pinos e rebites provocam tensão de esmagamento ou tensão de contato ao longo da superfície de contato, nos membros que interligam. Equilíbrio: Se multiplicarmos cada uma das tensões de cisalhamento de cada uma das faces do cubo pela área podemos obter as forças de cisalhamento que agem em cada face. O sistema de forças aplicado sobre o corpo deve satisfazer as condições de equilíbrio. Momento sobre o eixo “X” 30 Por tanto; Se nas faces de um elemento atuam somente tensões tangenciais, este estado tensional se chama Cisalhamento Puro. Tensões em um plano oblíquo ao eixo do elemento Até aqui vimos que: 31 Vemos então que o mesmo carregamento pode produzir tensão normal sem nenhuma tensão de cisalhamento, ou tensões normal e de cisalhamento, dependendo da orientação da seção estudada. Exercício O bloco plástico está submetido a uma força de compressão axial de 600N. Supondo que as tampas superiores e inferiores distribuam a carga uniformemente por todo o bloco, determinar as tensões normais e tangencias médias ao longo da seção a-a e b-b. Mostrar a resultante destas tensões que atuam sobre um elemento infinitesimal do material. 32 � Ver os exemplos 1.10 a 1.12 da pág.26-28 do material didático. Tensões Admissíveis Um dos objetivos da Resistência dos Materiais é determinar as dimensões da seção transversal da peça para que de uma forma segura suporte os carregamentos, variações de temperatura, etc aos que estará submetida. Para garantir a segurança, é necessário escolher uma tensão admissível, designadas por σσσσadm. ττττadm, que restrinja a carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento possa suportar integralmente. Várias razões justificam esta prática. Por exemplo, a carga para a qual foi projetado o elemento pode ser diferente do carregamento aplicado. Vibrações desconhecidas, impactos e cargas acidentais podem acontecer sem elas ter sido consideradas no projeto etc. Então quando se aplica a tensão admissível, apenas uma parte da capacidade de resistência do material está sendo utilizada; outra parte é reservada para assegurar ao material condições de utilização segura. Então: σσσσu e ττττu são as tensões últimas do material usado(aço, alumínio, madeira, etc) determinado através de ensaios. De um modo geral: σσσσu no aço é a tensão de escoamento, σσσσesc. (material dúctil). σσσσu no concreto = σσσσrupt. (material frágil). Em qualquer dessas equações o fator ou coeficiente de segurança F.S. é maior do que um a fim de evitar maior possibilidade de falha. σσσσadm =σσσσu /F.S. e ττττadm=ττττu /F.S. 33 Exercícios: 34 3-Determine o diâmetro necessário dos rebites da conexão da figura. Do rebite considere-se uma tensão de cisalhamento admissível τadm.=105MPa e uma tensão normal admissível de contato σadm.= 200MPa. A espessura das chapas é de 8mm.
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