Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Probabilidade e Estatística Aplicada à Engenharia Prof. Me. Aragão Júnior Seção 4 Conteúdo da Seção • Introduzir o conceito de variável aleatória. • Definir e aplicar o conceito de função de probabilidade. • Definir e aplicar o conceito de função de distribuição de probabilidade. • Apresentar o valor esperado e a variância de uma variável aleatória. • Apresentar as funções de probabilidade mais importantes dos casos discreto e contínuo. 2 Variáveis Aleatórias • Definimos como variável aleatória qualquer regra que associa um número a cada resultado eventual de um experimento aleatório. • Uma variável é dita aleatória quando não pudermos antecipar, com certeza absoluta, o resultado que ocorrerá quando da realização de um experimento aleatório. 3 Variáveis Aleatórias • Exemplo 1: • Considere a experiência que consiste na seleção de um gerente de RH de uma empresa para verificar o sexo. Se associarmos o número 1 para o sexo feminino e 0 para o masculino, temos uma regra estabelecida de modo que X = 1 representa um gerente do sexo feminino e X = 0 um gerente do sexo masculino. De acordo com essa regra de associação de um número a cada resultado, X é definida como variável aleatória. Note que não podemos antecipar, com certeza absoluta, o sexo do gerente antes da seleção. 4 Variáveis Aleatórias • Exemplo 2: • Considere a experiência que consiste no lançamento de duas moedas para observarmos a face voltada para cima em cada uma delas. • O Espaço Amostra associado a essa experiência é o conjunto dos pares: S = {(coroa coroa), (cara coroa), (coroa cara), (cara cara)} • Chamando de X a variável aleatória associada ao objeto da observação (número de caras observadas), obtemos uma nova forma, mais simples, para o Espaço Amostra: S = {0, 1, 2}. 5 Variáveis Aleatórias • Esquematicamente a relação se faz por meio da figura: 6 (Co Co) (Co Ca) (Ca Co) (Ca Ca) . 0 . 1 . 2 S x (Co,Co) (Co,Ca) (Ca,Co) (Ca,Ca) . 0 . 1 . 2 . 1/4 . 2/4 S x P(X=x) Variáveis Aleatórias • Podemos associar a este quadro de valores uma nova função que levará cada valor x da variável aleatória X à sua respectiva probabilidade P(X = x). 7 Variáveis Aleatórias 8 Discretas Variáveis Aleatórias Contínuas Variável Aleatória Discreta • Dizemos que uma variável aleatória é DISCRETA quando ela assume um número finito, ou no máximo infinito enumerável, de valores em seu domínio, RX. • Toda variável aleatória discreta, de domínio RX, será associada a uma imagem P(X=x) por meio de uma função de probabilidade p(x). 9 Exemplos Variável Aleatória Discreta Experimento Variável Aleatória Possíveis Valores Realizar 100 ligações de telemarketing nº vendas 0, 1, 2, ..., 100 Inspecionar 20 lâmpadas nº defeituosas 0, 1, 2, ..., 20 Responder 10 Questões nº corretas 0, 1, 2, ..., 10 Carros que passam no Pedágio entre 11:00 e 21:00 h nº carros 0, 1, 2, ..., N 10 RX RA 1 .5 0 Tipos de Variáveis Aleatórias • Dizemos que uma variável aleatória é CONTÍNUA quando ela assume um número infinito de valores em seu domínio. • Toda variável aleatória contínua assume valores em intervalos, RA, e é associada a uma imagem P(X RA) por meio de uma função de densidade de probabilidade f(x). 11 Exemplos Variável Aleatória Contínua Experimento Variável Aleatória Possíveis Valores Medir a altura de 100 pessoas Altura (cm) ]100 , 250[ Observar a carga de trabalho diário de 5 pessoas Horas (h) ]0 , 60[ Medir o salário por hora de 10 trabalhadores Salário (R$/h) ]3 , 100[ Medir o tempo de espera de 25 pessoas na fila da caixa de um banco Tempo (m) ]0 , 100[ 12 P X x x x ( | ! = l l le - Funções de Probabilidade 1. Modelo Teórico • Representação de algum fenômeno 2. Fórmula Matemática 3. Representa Variáveis Aleatórias 4. Usada para obter probabilidades 13 Função de Probabilidade Discreta 1. Listar todos os pares possíveis [xi ; P(xi)] X é a variável aleatória do tipo discreto xi é o i-ésimo valor da variável aleatória (resultado) P(xi) é a Probabilidade associada a esse valor 2. 0 P(xi) 1 3. S P(xi) = 1 14 Função de Probabilidade Discreta Distribuição de Probabilidade • 0 1/4 = 0,25 • 1 2/4 = 0,50 • 2 1/4 = 0,25 15 Exemplo: Lançamento de 2 moedas para verificar o número de caras. 1,00 Valores, xi Probabilidades, P(X = xi) Função de Probabilidade Discreta {(0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25)} 16 Listagem Gráfico 0 0.25 0.50 0 1 2 X P(x) Equação P x n x n x p px n x( ) ! ! ( ) ! ( )= - - -1 [xi ; P(xi)] Tabela 0,2512 0,5021 0,2510 P(x)f(x)Nº Caras RX (Área sob a curva definida por f(x) em todo o domínio de X) Função de Probabilidade Contínua • Listar todos os pares possíveis [Rx ; f(x)], domínio e imagem da variável aleatória. Rx é a região de definição da variável aleatória. f(x) é a função de densidade de probabilidade • Para que f(x) seja uma função de densidade é necessário que: 1. f(x) 0 2. f(x) dx =1 17 Função de Probabilidade Contínua • Graficamente 18 f(x) não é probabilidade!!! f(x) xxo f(xo) Função de Probabilidade Contínua • Graficamente 19 f(x) a b x = b a dxxfbXaP )()( Área sob a curva definida por f(x) entre os pontos a e b, em RX 0 … x 0 ou x 20 1/20 … 0 < x < 20 f(x) = Função de Probabilidade Contínua • Exemplo: Suponha que o tempo de espera por um ônibus seja uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade definida por: 20 Função de Probabilidade Contínua A probabilidade de uma pessoa esperar um ônibus de 5 a 10 minutos é expressa por: Logo a probabilidade de uma pessoa esperar um ônibus entre 5 e 10 minutos é de 25%. 21 25,0 20 510 20 1 )()105( 10 5 10 5 = - === dxdxxfXP Função de Distribuição • Para que serve uma função de distribuição? • Suponha que uma prova com 100 itens do tipo múltipla escolha com cinco alternativas e apenas uma correta seja administrada a uma amostra de alunos. • Para se calcular a probabilidade de que um aluno acerte ao acaso a no máximo 60 questões seria necessário fazer 61 cálculos e somar os resultados. • A tabela das probabilidades acumuladas (função de distribuição) permite se obter diretamente a probabilidade desejada. 22 Função de Distribuição • Definimos a função de distribuição de uma variável aleatória como: 23 == - o o x xx oo contínuaxpara,dx)x(f discretaxpara),x(P )xX(P)x(F Funções de Distribuição Exemplo 1 • Considere a função de probabilidade da variável aleatória discreta X definida por: 24 = = = 0 se,6/5 1 se,6/1 )( x x xp Funções de Distribuição Exemplo 1 • A função de distribuição acumulada desta variável aleatória será: • X assume apenas 2 valores 25 = 1x se1 1x0 se6/5 0x se0 )x(F Funções de Distribuição Exemplo 2 • Considere a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X definida por: 26 = 4x2 se 2/1 4xou2x se 0 )x(f Funções de Distribuição Exemplo 2 - = 4x se , 1 4x2 se , 2 2x 2x se , 0 )x(F • A função de distribuição acumulada desta variável aleatória será: Logo, F(3) = P(X 3) = (3 – 2)/2 = ½. 27Valor Esperado e Variância 1. Valor Esperado • Média da Distribuição de Probabilidade • Média ponderada de todos os possíveis valores 28 == XR ii x contínuaXpara,dx)x(fx discretaXpara,)x(px )X(Eμ 2. Variância - Variância de uma distribuição de probabilidade. - Mede a variação dos resultados em torno da média. Valor Esperado e Variância - - =-= XR 2 x 2 2 xi 2 i 2 xi 2 x contínuaXpara,dx)x(fx discretaXpara,)x(px ])X[(Eσ 29 Valor Esperado e Variância Caso Discreto Tabela de Cálculo Soma 30 Xi P(Xi) XiP(Xi) Sx 2 i P(X )i Sx iP(Xi) Sx2 P(X )i i -x[Sx2 P(X )]i i VARIÂNCIA MÉDIA x sx 2 2 Valor Esperado e Variância Exemplo • Você lança 2 moedas e está interessado no número de Caras. Qual é o valor esperado e a variância da variável aleatória “número de Caras”? 31 Valor Esperado e Variância Solução 0 0,25 0,00 0,00 1 0,50 0,50 0,50 2 0,25 0,50 1,00 1,00 1,50 Média 32 Soma x Xi 5,0)1(5,1 22 =-=sx )x(P i )X(Px ii )X(Px i 2 i Distribuições Discretas de Probabilidade Bernoulli Binomial Poisson Outras Distribuições Discretas de Probabilidade 33 Distribuição de Bernoulli (p) • Resultados possíveis: • Sucesso ou fracasso • X = 1, se ocorrer sucesso • X = 0, se ocorrer fracasso • Se ocorrer sucesso, X = 1 a probabilidade é P(X=1) = p. • Se ocorrer fracasso, X = 0, com P(X=0) = 1 – p = q. • A probabilidade de sucesso (p) é a mesma toda a vez que se realizar o experimento. 34 Distribuição de Bernoulli (p) Exemplo • Você está fazendo uma prova com questões de múltipla escolha. • Cada questão possui 4 alternativas. • Com dúvida em uma questão, você decide ‘chutar’. • Qual é a probabilidade de você acertar? P(X=1) = P(sucesso) = P(acertar a questão) P(X=1) = ¼ = 0,25 35 Distribuição de Bernoulli (p) 36 Listagem Gráfico 0 0.25 0.75 0 1 X P(x) [xi ; P(xi)] Tabela Acertar Questão P(x i) 0 0,75 1 0,25 Equação 1,0R p1p)xX(P x x1x = -== - {(0; 1-p), (1; p)} Média Variância Distribuição Bernoulli (p) Parâmetros p1p2x -=s p)X(Ex == 37 Distribuições Discretas de Probabilidade Bernoulli Binomial Poisson Outras Distribuições Discretas de Probabilidade 38 Distribuição Binomial (n , p) • P(X = x | n,p) é a probabilidade de ocorrer x sucessos em n provas independentes de Bernoulli • n é o número de provas independentes de Bernoulli • p é a probabilidade de ‘sucesso’ • x é o número de ‘sucessos’ em n provas (x = 0, 1, 2,…, n) 39 xnx pp xnx n pnxXP -- - == )1( )!(! ! ),|( Distribuição Binomial (n , p) X é o número de ‘sucessos’ em n provas independentes de Bernoulli. • Exemplos: • Número de peças defeituosas em uma amostra de 5 peças; • Número de questões corretas em uma prova com 30 questões. 40 Distribuição Binomial (n , p) X é o número de ‘sucessos’ em n provas independentes de Bernoulli. Exemplo 1. Qual é a probabilidade de se observar 3 peças defeituosas em um lote de 5 peças oriundo de uma produção que trabalha com 10% de peças defeituosas? • Nesse caso, x = 3, n = 5 e p = 0,10. Logo 41 0162,0)90,0()10,0( )!35(!3 !5 )10,0,5|3X(P 353 = - == - Distribuição Binomial (n , p) X é o número de ‘sucessos’ em n provas independentes de Bernoulli. Exemplo 2. Acertar a 20 questões de múltipla escolha com 5 alternativas, mas apenas uma correta, todas respondidas ao acaso, em uma prova com 30 questões. Nesse caso, x = 20, n = 30 e p = 0,20. Então: 42 123,0)80,0()20,0( )!2030(!20 !30 )20,0,30|20X(P 203020 = - == - Distribuição Binomial (n , p) 43 Listagem Gráfico 0 0.25 0.50 0 1 2 X P(x) Equação P x n x n x p px n x( ) ! ! ( ) ! ( )= - - -1 [xi ; P(xi)] Tabela # Caras freqüência 0 1 0,25 1 2 0,50 2 1 0,25 )( ixf )( ixP {(0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25)} Rx= {0, 1, 2, …, n} n = 5 e p = 0,1 Média Variância .0 .2 .4 .6 0 1 2 3 4 5 X P(X) .0 .2 .4 .6 0 1 2 3 4 5 X P(X) Distribuição Binomial (n , p) Características pnpx -=s 1 2 44 npXEx == )( n = 5 e p = 0,5 Distribuição Binomial (n , p) Exemplo • Em 4 lançamentos de uma moeda, qual é a probabilidade de se obter 3 coroas? • Note que x = 3 n = 4 e p = 0,5. Então 45 25,0)5,01(5,0 )!34(!3 !4 )5,0,4|3( )1( )!(! ! ),|( 343 =- - == - - == - - XP pp xnx n pnxXP xnx Distribuição Binomial Exercício 0687,0)2,01(2,0 )!012(!0 !12 )2,0,12|0( )1( )!(! ! ),|( 0120 =- - == - - == - - XP pp xnx n pnxXP xnx a) Nenhuma Venda b) Exatamente Duas Vendas 47 2835,0)2,01(2,0 )!212(!2 !12 )2,0,12|2( )1( )!(! ! ),|( 2122 =- - == - - == - - XP pp xnx n pnxXP xnx Distribuição Binomial Exercício 5584,02835,02062,00687,0)( 2835,0)2,01(2,0 )!212(!2 !12 )2,0,12|2( 2062,0)2,01(2,0 )!112(!1 !12 )2,0,12|1( 0687,0)2,01(2,0 )!012(!0 !12 )2,0,12|0( )2()1()0()2()( 2122 1121 0120 == =- - == =- - == =- - == == - - - duasmáximonoP XP XP XP PPPXPduasmáximonoP c) No Máximo Duas Vendas 48 Distribuição Binomial Exercício 7251,02062,00687,01)1(1)2()( 2062,0)2,01(2,0 )!112(!1 !12 )2,0,12|1( 0687,0)2,01(2,0 )!012(!0 !12 )2,0,12|0( )1()0(1)12(...)3()2()2()( 1121 0120 =--=-== =- - == =- - == --=== - - XPXPduasmínimonoP XP XP PPPPPXPduasmínimonoP d) No Mínimo Duas Vendas 49 Distribuições Discretas de Probabilidade Bernoulli Binomial Poisson Outras Distribuições Discretas de Probabilidade 50 Distribuição de Poisson X é o número de eventos que ocorrem em um certo intervalo de tempo ou espaço. • Exemplos: • Número de clientes que chegam a cada 10 minutos em um supermercado; • Número de defeitos de acabamento em uma prancha de surf de 1 m2. 51 Distribuição de Poisson • Probabilidade constante do evento; • Exemplo: Três vendas por hora; • Eventos independentes; • Exemplo: a chegada de 1 pessoa a um caixa não afeta a chegada da outra. 52 Função de Distribuição de Probabilidade Poisson P(X= x | l) é a probabilidade de X = x dado l l é o nº esperado de eventos (média). e = 2,71828... x é o número de eventos 53 ! )|( x e xXP xl =l= l- Gráfico l = 0,5 0 0.2 0.4 0.6 0 1 2 3 4 5 X P(X) Distribuição de Poisson 54 Média = = l== N i iix x XPX XE 1 )( )( Variância l=s2x Equação P X x x x ( | ) ! = =l lle - Rx = {0, 1, 2, …} Distribuição de Poisson Exemplo • Clientes chegam a um caixa de supermercado à taxa de 72 clientes por hora. A fim de determinar o número de atendentes que se deve contratar, deseja-se saber qual é a probabilidade de que 4 clientes cheguem nos próximos 3 minutos. 55 Logo, a probabilidade de chegarem 4 clientes nos próximos 3 minutos é 19,12%. P X x x P X x ( | ) ! ( | ) , ! = = = = l l le e = 0,1912 - -3,6 4 3,6 3 6 4 4 Distribuição de Poisson Exemplo • 72 clientes por hora = 1,2 por m = 3,6 clientes em 3 m, logo l = 3,6. 56 Distribuição de Poisson Tabela X l 3,1 ... 3,6... 4,0 0 0,0450 ... 0,0273 ... 0,0183 1 0,1397 ... 0,0984 ... 0,0733 2 0,2165 ... 0,1771 ... 0,1465 3 0,2237 ... 0,2125 ... 0,1954 4 0,1734 ... 0,1912 ... 0,1954 57 Distribuições Contínuas de Probabilidade 58 Distribuições Contínuas de Probabilidade • Variáveis aleatórias contínuas assumem valores em intervalos • As funções de densidade de probabilidades são definidas por: a) f(x) 0 b) P(a X b) = c) b a dx)x(f 1dx)x(f xR = 59 Distribuições Contínuas de Probabilidade Uniforme Normal Outras Distribuições Contínuas de Probabilidade 60 Distribuição Uniforme U(a,b) 61 Função de Densidade e Domínio de X 1 / (b - a), se a < x < b 0, se x a ou x b f(x) = Função de Distribuição da Variável X 0, se x < a (x–a) / (b–a), se a x < b 1, se x b F(x)= Valor Esperado e Variância = (a + b) / 2 s2 = (b – a)² / 12 Gráfico 1/(b-a) 0 a b X f(x) Distribuição Uniforme Exemplo • Se o volume de cerveja em uma lata de alumínio variar uniformemente entre 340 ml e 370 ml, qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 360 ml? 62 %33,33 30 10 340370 360370 x 340370 1 dx 340370 1 )360X(P 370 360 370 360 = - - = - = - = a = 340 b = 370 Resolução pela função de densidade de probabilidade Distribuição Uniforme Exemplo • Se o volume de cerveja em uma lata de alumínio variar uniformemente entre 340 ml e 370 ml, qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 360 ml? a = 340 b = 370 63 Resolução pela função de distribuição %33,33 30 10 340370 340360 1)360(F1 )360X(P1)360X(P = - - -=-= -= Distribuição Uniforme Exercício • Admite-se que o atraso (em minutos) nas chegadas dos trens à estação de uma cidade segue uma distribuição U(0,12). • Qual é a probabilidade de ocorrer um atraso entre 5 e 10 minutos? 64 417,0 12 5 012 510 )10x5(P == - - = Distribuições Contínuas de Probabilidade Uniforme Normal Outras Distribuições Contínuas de Probabilidade 65 Distribuição Normal Caso Motivacional • Os valores retirados diariamente de um caixa eletrônico têm distribuição Normal com média de R$50.000 e desvio padrão de R$10.000. Quanto o caixa deverá ter, em espécie por dia (R$), para que a probabilidade de faltar dinheiro seja menor do que 5%? 66 Importância da Distribuição Normal 1. Descrição de vários processos e fenômenos 2. Pode ser usada para aproximar algumas distribuições discretas. Ex: Binomial 3. É a base da Inferência Estatística 67 Média Moda Mediana X f(x) Distribuição Normal • Forma de ‘Sino’ - Simétrica • Média = Moda = Mediana 68 Distribuição Normal Uma distribuição Normal fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos a Média () e o Desvio Padrão (s) (ou a variância) Notações: N(,s) ou N[, s2] 69 +s-s X ss Parêntesis: desvio padrão Colchete: variância Distribuição Normal Função de Densidade f (x) é a função de densidade da distribuição Normal = 3,14159... e = 2,71828... sx é o desvio padrão de X na população; x é o valor da variável aleatória (- < x < ); e x é a média de X na população. 70 2 x xx 2 1 x e 2. 1 )x(f s - - s = Efeito da Variação dos Parâmetros Média e Desvio Padrão (x e sx) 71 x=100 sx=20 x=100 sx=40 Efeito da Variação dos Parâmetros Média e Desvio Padrão (x e sx) 72 x=100 sx=40 x=160 sx=40 x=140 sx=20 Efeito da Variação dos Parâmetros Média e Desvio Padrão (x e sx) 73 x=100 sx=40 Distribuição Normal • A probabilidade é a área sob a curva da função de densidade da Normal entre os dois pontos no eixo das abscissas. 74 = d c dxxfdXcP )()( c d X f(x) Tabela da Distribuição Normal •As distribuições diferem para diferentes valores da média e do desvio padrão. •Seria necessário uma tabela para cada distribuição. 75 Infinitas Tabelas! X f(x) Z = 0 sz = 1 Z Só uma Tabela ! Distribuição Normal Padrão Distribuição Normal (,s) X x sx Z x x x = - s Distribuição Normal Padrão 76 ZZ= 0 sZ = 1 0,12 Distribuição Normal Padrão N(0 , 1) Z x x x = - = - = s 6 2 5 10 12 , 0, Exemplo de Padronização 77 Distribuição Normal N(5 , 10) X X = 5 sx = 10 6,2 Z Z = 0 sZ = 1 0,12 Z .00 .01 0.0 .0000 .0040 .0080 .0398 .0438 0.2 .0793 .0832 .0871 0.3 .1179 .1217 .1255 0,0478 0.1 .0478 Tabela de Probabilidade Normal Padrão Probabilidades Usando a Tabela da Normal 78 .02 2ª. decimal de z s Distribuição Normal N(5 , 10) = 1 Z Z = 0 z -0,12 0,0478 Distribuição Normal Padronizada X X = 5 s x = 10 3,8 Z x x x = - = - = - s 3 8 5 10 12 , 0, Exemplo P(3,8 X 5) 79 s Z = 1 0-0,21 Z0,21 0,1664 0,08320,0832 Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal (5 , 10) 5 s X = 10 2,9 7,1 X Z x x x = - = - = s 71 5 10 0,21 , Z x x x = - = - = - s 2 9 5 10 0,21 , Exemplo P(2,9 X 7,1) 80 Z x x x = - = - = s 8 5 10 0,30 Exemplo: P(X 8) 81 s = 10 XX = 5 X 8 Distribuição Normal (5 , 10) Z Z = 0 s Z = 1 0,30 ? Distribuição Normal Padrão Z Z= 0 sZ = 1 0,30 Z ,00 ,01 0,0 ,0000 ,0040 ,0080 ,0398 ,0438 0,2 ,0793 ,0832 ,0871 0,3 ,1179 ,1217 ,1255 0,1 ,0478 Tabela de Probabilidade Normal Padrão Exemplo: P(X 8) 82 ,02 Exemplo: P(X 8) 83 Z0 0,5 Z0 0,30 0,1179 Z0 0,5 - = Z0 0,30 0,3821 sz = 1 z = 0 0,30 Z0,21 Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada Z x Z x x x x x = - = - = = - = - = s s 71 5 10 0,21 8 5 10 0,30 , s = 10 x = 5 x 87,1 X Exemplo: P(7,1 X 8) 84 Exemplo: P(7,1 X 8) 85 Z0 0,30 0,1179 0-0,21 Z0,21 0,0832 z = 0 0,30 Z0,21 0,0347 - = Distribuição Normal Exercício • Você é o responsável pelo setor de Controle de Qualidade de uma fabrica lâmpadas. A vida útil de uma lâmpada tem Distribuição Normal com x= 2.000 horas e sx=200 horas. Qual é a probabilidade de uma lâmpada durar: a) entre 2.000 e 2.400 horas? b) menos de 1.470 horas? 86 Z Z = 0 sZ = 1 0,31 0,1217 Qual é o valor de Z dado que P(Z) = 0,1217? Consultando a Tabela da Distribuição Normal 89 Z ,00 ,01 0,0 ,0000 ,0040 ,0080 ,0398 ,0438 0,2 ,0793 ,0832 ,0871 0,3 ,1179 ,1217 ,1255 0,1 ,0478 ,02 Tabela da distribuição Normal Padronizada Distribuição NormalDistribuição Normal Padronizada X X = 5 s X = 10 ? 0,1217 Z Z = 0 s Z = 1 0,31 0,1217 Obtendo ‘x’ para uma Probabilidade Conhecida 1,81031,05 == s= s - = X ZX X Z xx x x 90 0 0,1 0,2 0,3 2 4 6 8 10 X P(X) Probabilidade ‘adicionada’ pela curva Normal Probabilidade ‘perdida’ pela curva Normal Probabilidade Binomial: altura da Barra (frq relat) Probabilidade Normal: área sob a curva (entre 3,5 e 4,5) Aproximação Normal das Distribuições Discretas91 Aproximação Normal para a Distribuição Binomial 1. Pré-requisitos: n·p 5 n·(1 - p) 5 2. Equação: 92 n = 10 p = 0,50 onde Xajustado = X + 0,5 ou X - 0,5Z x n p n p p - - ajustado ( )1 0 0,1 0,2 0,3 0 2 4 6 8 10 X P(X) p 0,50 0 0,1 0,2 0,3 0 2 4 6 8 10 X P(x) Aproximação Normal Exemplo • Qual é a aproximação da Normal de P(X = 4; n = 10, p = 0,50)? 93 n·p 5 n·(1 - p) 5 Z x n p n p p - - = - - = - ajustado ( )1 3,5 10 0,5 10 0,5(1 0,5) 0,95 Z x n p n p p - - = = - ajustado ( )1 10 0,32 -4,5 10 0,5 -0,5(1 0,5) x x x x Encontrando os Valores Padronizados (Z) 94
Compartilhar