Análise Comb 9

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 A teoria da Análise Combinatória, no Ensino Médio, está fortemente baseada em dois 
princípios: aditivo e multiplicativo. O principal objetivo deste trabalho é propor a resolução 
do maior número possível de problemas de Combinatória aplicando estes princípios e 
evitando o uso de fórmulas, mesmo que em alguns casos estas aparentemente reduzam o 
trabalho. Como os princípios não são demonstráveis, alguns exemplos introdutórios facilitam 
a sua compreensão de forma intuitiva e natural. 
1. Princípio de Contagem 
O princípio fundamental da contagem está diretamente ligado às situações que 
envolvem as possibilidades de um determinado evento ocorrer, por exemplo, os modos 
distintos que podemos organizar as pessoas em uma fila, o número de placas de automóveis 
que podemos formar com letras e algarismos, as possíveis combinações da Mega Sena, entre 
outras situações. O princípio fundamental da contagem é a estrutura básica da Análise 
Combinatória, através dele desenvolvemos técnicas e métodos de contagem na resolução 
direta de problemas. 
• Exemplo 1 
Uma fábrica, ao ser instalada em um certo país, começou suas atividades produzindo 
apenas três tipos de veículos: carros, camionetas e peruas. Esses veículos eram fabricados nas 
cores branca ou verde. 
Vamos estabelecer o número de configurações possíveis dos veículos produzidos por 
essa fábrica com o auxílio de um esquema chamado árvore das possibilidades. Veja: 
 
Observe que obtivemos seis configurações diferentes. 
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Se essa fábrica sofisticasse mais um pouco e, por exemplo, produzisse os veículos com 
rádio ou sem rádio, teríamos doze configurações diferentes: seis com rádio e seis sem rádio. 
As doze configurações seriam essas: 
 
Nesse exemplo foi possível descrever todas as possibilidades e, em seguida, contar o 
número delas. Acontece que, se esse número for muito grande, a tarefa de descrevê-la 
tornasse muito trabalhosa. Daí a necessidade de se encontrarem técnicas que permitam 
calcular o úmero de possibilidades sem que seja preciso descrevê-las uma a uma. 
Analisando melhor esse problema, podemos observar que na etapa da construção 
podem ser produzidos três tipos diferentes de veículos. Na segunda etapa, a da pintura, podem 
ocorrer duas alternativas para cada tipo de veículo. 
Então, o número de possibilidades diferentes é p = 2 x 3 = 6. Veja o esquema: 
 
 
Para o caso de a fábrica sofisticar mais a produção, colocando ou não rádio nos carros, 
teríamos, para cada veículo já pintado, duas outras alternativas. 
Assim, nessa nova linha de produção teríamos um total de p = 2 x 2 x 3 = 12 
alternativas. Veja o esquema: 
 
 
A situação analisada é um exemplo do princípio fundamental da contagem. 
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1.1 Princípio aditivo 
O Exemplo 1 obedece ao princípio aditivo, enunciado a seguir. 
“Se A e B são dois conjuntos disjuntos com, respectivamente p e q elementos, então A ∪ B 
possui p + q elementos”. 
• Exemplo 2 
 Numa sorveteria há 4 sabores de picolés e 6 sabores de sorvetes. Se Rafael tem 
dinheiro para comprar apenas um picolé e um sorvete, de quantas maneiras poderá fazer o seu 
pedido? 
Os sabores de picolé formam o conjunto A={ P1, P2, P3, P4} e os sabores de sorvetes, o 
conjunto B= {S1, S2, S3, S4, S5, S6}. Suponhamos que escolha inicialmente o sabor P1 de 
picolé: em seguida poderá escolher S1, S2, S3, S4, S5 ou S6 dentre os sabores de sorvete. Neste 
caso poderá fazer os seguintes pedidos: {( P1, S1), ( P1, S2), ( P1, S3), ( P1, S4), ( P1, S5), ( P1, S6)} 
6 possibilidades. 
De forma semelhante, se escolher inicialmente P2, P3 ou P4. Para cada uma das 
escolhas terá 6 possibilidades. Portanto, Rafael poderá fazer 24 pedidos diferentes. 
• Exemplo 3 
 Numa urna existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A). Uma bola é retirada, tem 
sua cor anotada e é devolvida à urna. Qual é o número de resultados possíveis em 3 extrações 
sucessivas? 
Este problema já é um pouco mais complexo se comparado com o do exemplo 2. Usa-
se o esquema das árvores das possibilidades, para ilustrar as possibilidades em cada extração 
e os resultados possíveis. Desta forma, o número de resultados possíveis em três extrações 
sucessivas, com reposição, é 27. 
 
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1.2 Princípio multiplicativo 
Os exemplos 2 e 3 obedecem ao mesmo princípio, chamado princípio multiplicativo. 
“Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m 
maneiras possíveis de A ocorrer, outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então 
o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m.n”. 
 A árvore das possibilidades a seguir, fornece uma boa ilustração. 
 
 
O princípio multiplicativo anunciado acima, pode ser estendido para um 
acontecimento composto por 3 etapas sucessivas, onde a 1ª etapa pode ocorrer de m modos, a 
2ª de n modos e a 3ª de p modos. Para tanto, considera-se as duas primeiras etapas como uma 
só, com m.n modos de ocorrência; aplicando o princípio novamente, obtém-se que o número 
de possibilidades de ocorrência do acontecimento é (n.m).p. 
 No exemplo acima, temos: 3.2 = 6 possibilidades de combinações de roupas diferentes 
para o menino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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� EXERCÍCIOS I: 
 
1) Um garoto vai de casa até a lanchonete, seguindo os caminhos apontados pela figura 
abaixo: 
 
Quais são os caminhos possíveis que o garoto pode utilizar no deslocamento? 
 
2) Em uma aula de Português, os alunos receberam um envelope com cinco sílabas, 
como na figura abaixo. Quantas palavras de duas sílabas podem ser formadas 
combinando as sílabas que estão no envelope? 
 
 
3) Veja a seguir uma lista de ofertas de uma loja. 
 
Supondo que você tenha R$ 100,00, escreva algumas das possibilidades de compra 
(lembre-se de que você poderá comprar mais de um produto por vez e deverá gastar 
exatamente R$ 100,00). 
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4) Em um jogo de tiro ao alvo, Joaquim jogou cinco dardos. 
 
a) Que letras ele deve acertar para fazer 60 pontos? 
b) E para fazer 70? 
c) E para fazer 50? 
 
5) Ajude o pizzaiolo a montar algumas pizzas: 
 
a) Com dois sabores. 
b) Com três sabores. 
 
6) Uma das atividades preferidas de Marcela é simular placas de carro. Supondo que as 
suas placas tenham apenas três algarismos (0,1,2) e duas letras (B, H), escreva as 
placas possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referência: 
GESTAR II. Atividade de Apoio à Aprendizagem 5 – Aluno. Disponível em: 
<http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=13053&Itemid=
652> Acesso 10 de ago. 2013. 
 
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� EXERCÍCIOS II: 
 
1) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo 
que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo do Recife e 4 roteiros 
diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras 
possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre? 
 
2) Um viajante, em uma viagem ao Uruguai, foi visitar um cassino. Uma das atrações era 
o jogo do dado e da moeda. Em uma das rodadas ficou estabelecido que seria 
vencedor quem conseguisse obter cara na moeda e um número múltiplo de três no 
dado. Quais são as possibilidades do viajante sair vitorioso? 
 
3) Para comprar um lanche na cantina da escola, Raul avalia as seguintes opções: são 
oferecidos 2 tipos de pão (francês e integral) e 3 tipos de recheio (calabresa, presunto e 
hambúrguer). Os sanduíches podem ser vendidos com ou sem queijo. Quantos tipos de 
sanduíche Raul pode montar? 
 
4) Ana, Paulo e José disputam um torneio de xadrez no qual são atribuídos prêmios ao 
campeão e ao vice-campeão. Quais são as premiações possíveis? 
 
5) Daniel foi até uma Sorveteriano centro de Santa Cruz do Sul para tomar sorvete. Ele 
quer tomar duas bolas de sorvete com sabores diferentes. A Sorveteria tem cinco 
sabores diferentes: chocolate, morango, creme, flocos e uva. Quantas são as opções 
que Daniel tem para escolher? 
 
6) Considere todos os números formados por 4 algarismos, em que não aparecem os 
algarismo 8, 9 e 0. Por exemplo: 2517, 5415 e 6666 são três números do tipo 
mencionado. No total, quantos são os números desse tipo? 
 
7) Dez cavalos disputam uma corrida. Sem considerar empates, quantos são os possíveis 
resultados das três primeiras colocações? 
 
 
 
 
 
 
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1.3 Continuando com o raciocínio multiplicativo – Permutação Simples 
 
 Você sabe o que é um anagrama? É uma senha ou código formado com as letras de 
uma palavra. 
� Exemplo I: 
Por exemplo, AMOR e MRAO são dois anagramas da palavra ROMA. A seguir, você 
encontra todos os anagramas da palavra ROMA: 
 São ........ anagramas, incluindo a própria palavra ROMA. Agora vamos procurar um 
modo de obter esse número de anagramas, mas sem ter de escrevê-los e contá-los um a um. 
 A palavra ROMA é formada por 4 letras. Vamos desenhar 4 casinhas em branco, onde 
serão escritas as letras que formarão o anagrama de ROMA. 
 
Pensando apenas na 1ª casinha, vemos que há quatro possibilidades diferentes para 
preenchê-la: 
 
 
Pensamos, agora, na 2ª casinha. Quando a letra R está na 1ª casinha, podemos 
preencher a 2ª casinha de três modos diferentes: com A, O ou M. 
 
 
Quando na 1ª casinha está a letra O, também temos 3 modos de preencher a 2ª casinha: 
com R, M ou A. 
 
 
O mesmo acontece quando na 1ª casinha está a letra M ou a letra R: há sempre 3 
modos de preencher a 2ª casinha. 
Portanto, há 4 modos de preencher a 1ª casinha e para cada um deles há 3 modos de 
preencher a 2ª casinha. Então existem 4 x 3 = 12 maneiras de preencher as duas primeiras. 
Neste sentido, segue para as demais posições, totalizando ....... anagramas da palavra ROMA. 
Todo raciocínio que acabamos de desenvolver pode ser resumido no seguinte 
esquema: 
 
R A M O 
R A M R O R 
O R O A O M 
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O raciocínio que desenvolvemos para resolver este problema baseia-se na 
multiplicação. Daí o seu nome, raciocínio multiplicativo. Esse tipo de raciocínio é muito 
utilizado na análise combinatória, sendo conhecido como permutação simples. 
Definição de permutação simples: Cada agrupamento de n objetos distintos é 
chamado uma permutação simples de n objetos e o número de permutações simples de n 
objetos distintos é representado por Pn. Desta forma: 
Pn = An,n = 
�!
�����!
 
Pn = = 
�!
�!
 
Pn = 
�!
�
 
Pn = n! 
Ou ainda . (n - 1) . (n - 2) . ... . 1 = n! 
Lê-se: Fatorial de n ou n fatorial. 
 
� Exemplo II: 
Calcule os números de anagramas da palavra CABIDE em que a letra A venha 
imediatamente depois da letra D, como em DAIBEC ou em BCEDAI. 
Inicialmente, vamos pensar nas possíveis posições das letras D e A. Elas podem ser a 
1ª e a 2ª letras do anagrama; a 2ª e a 3ª; a 3ª e a 4ª e a 5ª; ou a 5ª e a 6ª letras do anagrama. 
Existem 5 posicionamento diferentes para a letra D seguida da letra A. 
Agora, vamos imaginar um desses cinco posicionamentos, fixando D como a 1ª e A 
como a 2ª letra do anagrama. Com D e A nessas posições, vejamos quantos anagramas podem 
ser formados. Para isso, vamos usar o esquema das casinhas vazias. 
 
Na 3ª casinha, pode ser colocada qualquer letra da palavra CABIDE, exceto o D e o A; 
na 4ª casinha, teremos de excluir o D e o A, além da letra que estiver ocupando a 3ª casinha; e 
assim por diante. 
Pelo raciocínio multiplicativo, vemos que existem: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 anagramas de 
CABIDE iniciados com DA. 
No entanto, o D e o A não precisam ser as duas primeiras letras do anagrama. Agora, 
veremos quantos anagramas podem ser formados com D sendo a 2ª e A a 3ª letra do 
anagrama. Por isso, voltaremos a usar o esquema das casinhas vazias. 
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Teremos novamente 4 x 3 x 2 x 1 = 24 anagramas com D sendo a 2ª e A senso a 3ª 
letra do anagrama. 
Lembramos que existem 5 posicionamentos diferentes para as letras D e A e que há 24 
anagramas com D e A fixos em cada um desses posicionamentos, concluímos que a resposta 
do nosso problema é: 
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 x 24 = 120 
Existem 120 anagramas de CABIDE em que a letra A vem imediatamente depois da 
letra D. 
Outra maneira bastante criativa de resolver o problema anterior é a seguinte: 
Vamos usar o esquema das casinhas vazias, mas, apenas com 5 casinhas, preenchendo 
sempre cada uma delas com as duas letras DA, juntas. Em cada uma das outras 4 casinhas, 
será colocada uma das letras C, B, I e E. 
 
A primeira casinha pode ser preenchida de 5 modos diferentes: com DA, com C, com 
B, com I ou com E. Qualquer um desses 5 modos, exceto o que ocupa a 1ª casinha, pode ser 
colocado na segunda casinha. Temos, pois, 4 possibilidades na segunda casinha. Prosseguindo 
o raciocínio, você verá que existem três possibilidades para a 3ª casinha; duas para a 4ª; e 
apenas uma para a 5ª casinha. 
Pelo raciocínio multiplicativo, chegamos à resposta do problema: 
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. 
Como tínhamos concluído, existem 120 anagramas de CABIDE em que a letra A vem 
imediatamente depois da letra D. 
� Jogo Educativo Digital: Explorando Permutações Simples 
 
Disponível em: <http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/permutacao/permutacao.swf> 
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� EXERCÍCIOS III: 
 
 
1) Quantos anagramas tema a palavra DIA? 
 
2) Analise a palavra MITO e responda quantos anagramas: 
a) tem a palavra? 
b) começam com a letra I? 
c) começam por consoante? 
d) começam com a letra M e terminam com a letra O? 
 
3) Com os algarismos 1, 2 e 3 quantos números de três algarismos distintos pode-se 
formar?