ANPEC AULA 11 FIRMA I - Tecnologias e Funçao de Produçao

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AULA 11 : FIRMA I : Tecnologias e 
 Produçao 
 
 
1. O que é a firma ?; 
2. Tecnologias e Conjuntos de Produçao; 
3. Funções de Produçao; 
 4. Substituiçao Técnica; 
 5. Retornos à Escala; 
 6. Bibliografia e Exercícios sugeridos. 
 
 
1. O que é a firma ? 
 
 
A maneira mais simples de definir a firma é de 
considerá-la com uma entidade criada por pessoas 
com propósito comum de adquirir fatores de 
produçao e insumos, combiná-los de uma certa 
maneira, para criar produtos vendáveis no mercado. 
 
Os insumos e fatores de produção são adquiridos em 
seus mercados próprios, e a despesa realizada pela 
firma nestes mercados constituem o seu custo de 
produção. 
 
A produção da firma é vendida no mercado do 
produto, e o valor destas vendas constituem a sua 
receita final. 
 
Uma pergunta relevante feita pelos primeiros 
economistas que pensaram a origem da firma é a 
seguinte: por que é necessário criar uma entidade, 
uma instituição como a firma, para comprar os 
fatores e insumos, combiná-los na fabricaçao de 
produtos para vender estes no mercado ? 
 
Não seria a atividade produtiva factível a agentes 
individuais que demandariam regularmente no 
mercado todos os insumos e fatores necessários à 
produção ? 
 
Sim, isto seria factível, os agentes demandantes e 
ofertantes de fatores e insumos se dirigiriam ao 
 2
mercado e, mediante contratos bilaterais, poderiam 
acertar as quantidades e preços convenientes para as 
partes. 
 
Todavia, deve-se convir que, neste caso, a atividade 
produtiva seria bem menos eficiente e, em alguns 
casos, inviável. 
 
Este é o principal argumento levantado por R.Coase, 
no seu importante artigo The Nature of Firm, de 
1937, para explicar a emergência das firmas. 
 
O fato da firma ser uma entidade social e jurídica, 
permite que suas atividades façam objeto de uma 
organização. 
 
As atividades desta organização, desde que bem 
planejadas e geridas, permitirão à firma reduzir 
sensívelmente os custos das suas transações, tanto de 
compra quanto de venda. 
 
Por exemplo, a organização permitirá à firma ganhos 
de escala na compra de insumos, como as matérias-
primas: a firma poderá obter reduções no preço pago 
por estes insumos se demandá-los em quantidades 
maiores, não apenas para atender à produção 
corrente, mas também a produção planejada no 
futuro. 
 
Outras economias internas relacionadas à 
racionalização de processos de produção e que 
requerem estabilidade e treinamento da mao de obra, 
por exemplo, sòmente podem ser alcançados por 
organizações. 
 
A organização também permite a internalizaçao dos 
ganhos de produtividade do trabalho tanto na 
produção quanto nas atividades de suporte. 
 
Enfim, as vendas e a garantia dos serviços pós-venda 
são implementadas mais facilmente quando o produto 
é identificado à uma organização antes que à uma 
pessoa. 
 
 3
Além da economia nos custos de transação e a 
internalizaçao dos ganhos de produtividade, a 
organização da firma permite também a redução da 
incerteza inerente aos repetidos contratos bilaterais 
que deveriam ser firmados entre agentes individuais. 
 
 
Como organização, entidade social e jurídica, a firma 
pode obter melhores contratos, tanto na compra de 
insumos ou fatores como na venda de produtos, e 
poderá também gerenciá-los de modo mais efetivo e 
eficiente do que o faria um agente individual. 
 
Em conseqüência, os riscos associados aos contratos 
da firma são sensivelmente menores que os riscos 
associados aos contratos bilaterais feitos por 
indivíduos, diretamente no mercado. 
 
 
O Objetivo da firma 
 
O principal objetivo das firmas é a maximizaçao do 
lucro. 
 
O lucro é a diferença entre a receita monetária 
auferida pela firma na venda do produto no mercado 
e as despesas incorridas na compra dos insumos e do 
serviço dos fatores utilizados na produção. 
 
O lucro é renda disponível aos proprietários da 
empresa e estes, como consumidores, também 
extraem satisfação dos bens e serviços que sua renda 
permite adquirir. 
 
Quanto maior o lucro, maior o poder de compra e de 
escolha dos proprietários da firma, sobre os bens e 
serviços disponíveis no mercado. 
 
Assim, é natural que os proprietários procurem 
orientar a produção da firma no sentido da 
maximizaçao do lucro, que é a renda que eles 
finalmente poderão dispor. 
 
 4
Obviamente, a maximizaçao do lucro pode não ser a 
única motivação a orientar o comportamento da 
firma: 
 
A maximizaçao da receita, a maximizaçao da parcela 
de mercado (“market share”) ou mesmo a 
maximizaçao do prestígio são também outras 
possibilidades que devem ser consideradas. 
 
Entretanto, a percepção majoritária dos economistas 
é de que estes outros motivos não tem o respaldo 
empírico e a consistência teórica da maximizaçao do 
lucro. 
 
Antes, estas motivações alternativas são percebidas 
pela maioria dos teóricos como estratégias de curto 
prazo inseridas em uma perspectiva de maximizaçao 
do lucro no longo prazo, antes que objetivos últimos 
em si mesmos. 
 
Na economia real, existem forças de mercado 
identificáveis que coagem a firma para a 
maximizaçao do lucro, ainda quando seus 
proprietários ou executivos não estejam naturalmente 
inclinados naquela direção. 
 
Com efeito, suponha que uma firma dada não gere 
lucros. 
 
Se a razão disso está na gerencia e a maioria dos 
proprietários da firma é composta por consumidores 
insaciados, estes pressionarão a diretoria para que o 
gerente seja demitido e substituído por outro que faça 
a firma gerar lucros. 
 
Por outro lado, se a causa da firma ser deficitária for 
atribuída aos proprietários, entao haverá espaço para 
que outros empresários externos adquiram o controle 
do capital da firma e mudem o seu curso, 
maximizando o lucro. 
 
Quais estratégias melhor servem ao objetivo maior da 
maximizaçao do lucro isto depende das 
circunstancias que a firma faz face: 
 
 5
a) primeiramente com relaçao à tecnologia de 
produção que lhe é disponível; 
b) segundo, com relaçao às condiçoes de compra 
no mercado de insumos e fatores de produção; 
c) terceiro, com relaçao às condiçoes 
concorrênciais de venda no mercado do 
produto. 
 
Ao considerarmos o comportamento da firma nesta e 
nas aulas posteriores, devemos distinguir claramente 
seu objetivo, que é a maximizaçao do lucro, das suas 
restrições, as quais são múltiplas e mutantes, 
evoluindo de acordo com uma realidade do mercado 
que está acima do seu controle. 
 
 
 
2. Tecnologias e Conjuntos de Produção 
 
 
Em uma economia com bens, um plano de 
produção é um vetor 
m
( ),...,, 21 myyyy = no qual, por 
convenção, os elementos positivos são 
considerados produtos, e os elementos negativos 
 são considerados insumos ou fatores de 
produçao, segundo os casos. 
)0( >iy
)0( <jy
 
Um plano de produção é um vetor de bens 
possível. 
y
 
Se o bem i do plano de produçao for tal que y 0=iy , 
então este bem não está presente neste plano. 
 
 
Por exemplo, se )5,1,0,2( −−=y , temos um plano de 
produção no qual 5 unidades do bem 4 podem ser 
produzidas com unidades do bem 1 e 1 unidade do 
bem 3, sem o uso do bem 2. 
2
 
 6
O conjunto dos planos de produção que são factíveis 
para a firma é notado Y e é chamado Conjunto de 
produção. 
 
Formalmente: { }factíveléyRyY m :∈= . 
 
Para delimitar este conjunto de planos de produção 
factíveis, devemos referir, em primeiro lugar, as 
restrições tecnológicas da firma. 
 
De fato, muitos planos de produção que utilizam 
insumos disponíveis em abundancia não são factíveis 
por razóes técnicas ou tecnológicas (vide o carro 
movido a hidrogênio). 
 
Por outro lado, outros planos são técnicamenteaccessíveis para a firma, mas não são factíveis 
porque, por exemplo, a tecnologia está protegida por 
uma patente de propriedade de outra firma. 
 
Podemos teóricamente caracterizar o conjunto Y por 
uma funçao cujos valores definirão os limites 
deste conjunto. 
(.)F
 
Esta função é dita funçao de 
transformação. 
)(:: yFyRRF m →→
 
Óbviamente, a funçao dependerá do conjunto dos 
fatores, insumos e das técnicas de produção 
disponíveis para a firma. 
F
 
Com a funçao de transformação, o conjunto de 
produção ganhará uma contorno mais preciso, uma 
vez que os planos factíveis à firma ficam assim 
definidos: 
 
 { }0)(: ≤∈= yFRyY m 
 
e se e sòmente se é um elemento da 
fronteira de Y . 
0)( =yF y
 
 
 
 7
Fronteira de Transformação 
 
O conjunto dos planos que estão sobre a fronteira de 
Y é chamado de fronteira da transformação: 
 
 { }0)(:)( =∈≡ yFRyYfront m 
 
Na Figura 1 abaixo representamos um conjunto de 
produção com a sua fronteira, no caso de uma 
tecnologia reversível e dois bens: pasta de papel e 
papelão . 
)( 1y
)( 2y
 
Fig.1: Conjunto e Fronteira de Transformação: 
 Tecnologia reversível. 
 
 
y1 (pasta de papel)
y2 (papeláo) 
{ }0)(: ≤∈= yFRyY m
-5
4
1
-2
F(y1,y2)=0
p
y0
 
 
Na figura acima, o conjunto de produção é a região 
abaixo da fronteira de transformação de equação 
. 0),( 21 =yyF
 
Conforme indicado na figura, pode-se transformar 
eficientemente 5 unidades de pasta de papel em 4 
unidades de papelão. 
 
O ponto “p” não é um ponto de produção eficiente 
pois com as 5 unidades de pasta de papel pode-se 
 8
obter um maior volume de papelão do que a ordenada 
do ponto “p” indica. 
 
Por outro lado, sendo a tecnologia reversível, pode-se 
tranformar 2 unidades de papelão em 1 unidade de 
pasta de papel reciclado. 
 
 
Definição 1: (Plano eficiente) 
 
Um plano de produção Yy ∈ é eficiente se ele 
pertencer à fronteira de transformação, isto é, se 
0)( =yF . 
 
 
 
Taxa marginal de Transformação 
 
Considere um plano de produção eficiente, como 
na Figura 1 acima. 
0y
 
Diferenciando totalmente a equação no 
ponto teremos: 
0),( 21 =yyF
0yy =
 0))(())((0)0(),( 2
2
0
1
1
0
21 =∂∂+∂∂⇒== dyyyFdyyyFdyydF 
 
Ou: 
2
0
1
0
1
2
)(
)(
y
yF
y
yF
dy
dy
∂∂
∂∂=− 
 
Definição 2: (Taxa Marginal de Transformaçao) 
 
 No plano de produçao eficiente , a Taxa 0y
Marginal de Transformação do bem 1 no bem 2 
(TMT12) é definida por: 
 
2
0
1
0
0
12 )(
)(
)(
y
yF
y
yF
yTMT
∂∂
∂∂= 
 9
Por exemplo, se TMT12(y0)= 3, no plano de produção 
eficiente y0, posso sacrificar 1 unidade do bem 1 para 
obter eficientemente 3 unidades adicionais do bem 2. 
 
Geométricamente, a TMT é a inclinação da reta 
tangente à fronteira de transformação no ponto na 
Figura 1. 
0y
 
 
Produto, Fatores e Insumos 
 
Por razoes práticas, os bens que são insumos ou 
fatores de produção são notados distintamente dos 
produtos própriamente ditos. 
 
Por exemplo, o açúcar é um produto cuja fabricação 
depende de um insumo principal, a cana de açúcar, e 
de fatores como o trabalho, a maquinaria e a terra. 
 
Estes podem fazer objeto de um processo de 
produção em si mesmos, mas na fabricaçao do 
açúcar eles entram como insumo ou fatores. 
 
Os fatores de produção distinguem-se dos insumos 
porque são bens que não se exaurem no processo de 
fabricação, eles podem ser usados em outros 
processos. 
 
Uma conseqüência disso é que, no processo da 
fabricaçao, nenhuma técnica será capaz de reverter o 
produto nos fatores de produçao utilizados. 
 
Já os insumos são bens que se consomem no 
processo da fabricação, na medida que são 
transformados para que o produto possa ser criado. 
 
Os insumos sim, podem ser técnicamente reversíveis, 
no sentido que, uma vez transformados no produto, 
podem muitas vezes ser reconstituídos, mediante a 
transformação reversa do produto. 
 
Na sequencia distinguiremos produtos de insumos ou 
fatores notando as quantidades dos produtos 1, 2, ... 
 10
por e, as quantidades de insumos ou fatores 1, 
2, ... por , . 
,..., 21 yy
x ,..., 21 x 0, ≥ii xy
 
O processo de produção mais frequentemente 
analisado, pela sua simplicidade, é o de um único 
produto, produzido na quantidade com o uso de y s 
insumos ou fatores de produçao . 
sx ,...,1 x
 
Neste caso, podemos, podemos escrever a funçao de 
transformação em uma forma separável, distinguindo 
o produto dos fatores e insumos, da seguinte maneira: 
 
 ),...,(),...,,( 11 ss xxfyxxyF −= 
 
onde f é uma funçao não negativa só dos insumos e 
fatores de produçao. 
 
Neste caso, o conjunto de produção fica: 
 
 { }0)....,(:)....,,( 111 ≤−∈= ++ sss xxfyRxxyY 
 
e a fronteira da transformação: 
 
 { }0)....,(:)....,,()( 111 =−∈= ++ sss xxfyRxxyYfront 
 
 
Como vimos anteriormente, os pontos que se situam 
sobre a fronteira de transformação são pontos de 
eficiência produtiva, de modo que ),...,( 1 sxxfy = é a 
produção máxima que pode ser alcançada com os 
insumos e fatores nas quantidades . 
sxx ,...,1
 
Na próxima seção definiremos como a 
funçáo de produção. 
),...,( 1 sxxf
 
 
Por ora, vejamos algumas propriedades que um 
conjunto de produção pode usualmente exibir. 
 
 
 
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Propriedades dos conjuntos de produção 
 
 
(i) Y não é vazio: ∅≠Y 
 
 A firma deve ao menos planejar produzir algo, do 
contrário não há razão para estudá-la. 
 
 
(ii) Y é fechado. 
 
 Esta é uma condiçao técnica: todo limite de 
planos de produção factíveis deve ser um plano 
factível. 
 
 
(iii) Não há almoço grátis (no free lunch) 
 
 Com esta hipótese se estabelece que nenhuma 
produção é possível sem o uso de algum insumo ou 
fator. 
 
Geométricamente, esta condiçao requer: . { }0=∩ +mRY
 
(iv) Possibilidade de inação 
 
 A inatividade é possível, de modo que Y∈0 . 
 
Esta condiçao, bem plausível para uma firma ainda 
não operante, é relaxada para uma firma operante 
que, por exemplo, tem contrato em vigor com o 
fornecedor de um fator usado pela firma em 
quantidade fixa. 
 
Assim, violações desta hipótese estão associadas à 
existência de custos irrecuperáveis (sunk costs), 
incorridos pela firma em operaçao. 
 
(v) Livre disponibilidade (free disposal) 
 
 Fatores, insumos e produtos podem ser 
incorporados ou eliminados do processo produtivo 
sem custos pela mudança. 
 
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(vi) Irreversibilidade 
 
 Se YyyYy ∉−⇒≠∈ 0, . 
 
 Não é possível fazer a reversao completa de uma 
tecnologia. 
 
Isto significa, por exemplo, que se k unidades de 
insumo produzem q unidades de produto, não será 
possível fazer a reversão destas q unidades de 
produto e produzir com elas as k unidades de insumo 
originais. 
 
(vii) Retornos à escala não crescentes 
 
 O conjunto de produção Y exibe retornos à 
escala não crescentes se qualquer vetor produto-fator 
factível pode sofrer contrações uniformes das suas 
dimensões. 
 
Formalmente, se Yy ∈ , então Yy ∈α para todo [ ]1,0∈α . 
 
(viii) Retornos à escala não decrescentes 
 
 O conjunto de produção Y exibe retornos à 
escala não decrescentes se qualquer vetor produto-
fator factível pode sofrer expansões uniformes das 
suas dimensões. 
 
Formalmente, se Yy ∈ , então Yy ∈α para todo 1≥α . 
 
(ix) Retornos à escala constantes 
 
 O conjunto de produção Y exibe retornos à 
escala constantes se qualquer vetor produto-fator 
factível pode sofrer tanto contrações como expansoes 
uniformes das suas dimensões.Formalmente, se Yy ∈ , então Yy ∈α para todo 0≥α . 
Este caso é a conjunção dos dois casos anteriores. 
 
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Nas Figuras 2a, 2c, 2d, ilustramos graficamente 
conjuntos de produção exibindo estas três últimas 
propriedades. 
 
Fig 2a: Tecnologia exibindo retornos à 
 escala não crescentes. 
 
 
y1
y2
{ }0)(: ≤∈= yFRyY m
y
.αy
 
 
Na figura abaixo, o conjunto de produção não exibe 
retornos à escala não decrescentes, pois uma 
contração uniforme do vetor de produção y não é 
factível. 
 
Fig.2b: Retornos à escala não decrescentes violados 
 
 
y1
y2
{ }0)(: ≤∈= yFRyY m
y
.αy
 
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Fig.2c: Tecnologia exibindo retornos à 
 escala não decrescentes 
 
y1
y2
{ }0)(: ≤∈= yFRyY m
y
.αy
Custos de instalaçao
 
Quando há custos de instalação recuperáveis, o fator 
1 é utilizado sem que haja produção. Esta só ocorre 
uma vez cobertos estes custos, com o emprego de 
fatores adicionais. 
 
 
Fig.2c: Tecnologia exibindo retornos à 
 escala constantes 
 
y1
y2
{ }0)(: ≤∈= yFRyY m
 
 
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(x) Aditividade (free entry) 
 
 Se temos dois planos de produção factíveis, Yy ∈ 
e e existe livre entrada de novos produtores, 
entao a aditividade requer 
Yy ∈′
Yyy ∈′+ , isto é, que o plano 
de produção agregado yy ′+ também seja factível. 
 
(xi) Convexidade 
 
 Esta é uma das mais importantes propriedades em 
microeconomia. 
 
A convexidade assegura que se Yyy ∈′, e [ 1,0∈ ]α então 
Yyy ∈′−+ )1( αα . 
 
Os conjuntos de produção representados nas figuras 
2a e 2d são convexos; os das figuras 2b e 2c não. 
 
A convexidade tem duas implicações para a 
tecnologia da produção: 
 
a) retornos à escala não crescentes; 
 
 Para ver isso, basta invocar a hipótese (iv) e 
colocar na definição acima. 0=′y
 
b) combinações não balanceadas de fatores 
( 10 == αα ou ) não são mais produtivas que 
combinações balanceadas ( 10 << α ). 
 
 
(xii) Y é um cone convexo 
 
 Por definição, Y é um cone convexo se 
, Yyy ∈′∀ , +∈ Rβα , , Yy y ∈′+ βα . 
 
Esta propriedade é a conjunção das propriedades (ix) 
retornos à escala constantes e (x) aditividade. 
 
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Pode-se mostrar que o conjunto de produção é 
aditivo e satisfaz a condiçao de retornos à escala não 
crescentes se e sòmente se 
Y
Y é um cone convexo. 
 
 
3. Funções de Produção 
 
 
Vimos anteriormente que se a funçao de 
transformação permite que se possa separar o 
produto dos insumos e fatores, como por exemplo 
, ),...,(),...,,( 11 ss xxfyxxyF −= f será uma funçao não 
negativa de insumos e fatores. 
 
Os planos de produção sobre a fronteira da 
transformação { }0)....,(:)....,,( 111 =−∈ ++ sss xxfyRxxy são 
eficientes, no sentido que dão a produção máxima 
que é técnicamente possível obter com os insumos e 
fatores . 
sxx ,...,1
 
 
Definição 3: (Funçao de Produçao) 
 
Uma funçao de produção ),...,(),...,(:: 11 ss
s xxfxxRRf →→ ++
é a quantidade máxima de produto que pode ser 
obtida com os insumos e fatores . 
sxx ,...,1
 
 
 
OBS.: Doravante, designaremos os argumentos da 
funçao de produçao simplesmente como fatores 
de produçao, muito embora alguns deles possam ser 
insumos. 
sxx ,...,1
 
 
Propriedades gerais da funçao de produçao 
 
1) Continuidade 
 
 Assume-se que pequenas variações nas 
quantidades dos fatores utilizados geram variações 
sensíveis nas quantidades do bem produzido. 
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2) Crescimento estrito 
 
 Aumentos nas quantidades empregadas dos fatores 
geram aumentos nas quantidades produzidas. 
 
 
3) Quaseconcavidade 
 
 Formalmente, a quaseconcavidade de f implica 
que, para dois vetores 1x e 2x e 2)1( xttxxt −+= , , 
temos sempre: 
[ ]1,0∈t{ })( 2x,)( ffxf t ≥ )( 1xmin . 
 
Esta propriedade implica na presença de alguma 
complementaridade entre os fatores, pois ela nos 
garante que a produção obtida com o balanceamento 
dos fatores de produção será superior ou igual à 
produçao que se pode obter com o emprego não 
balanceado destes fatores. 
 
Se a funçao de produção é quase côncava, sempre 
pode-se produzir mais combinando adequadamente 
os fatores de produção. 
 
Como vimos no Teorema 5 da Aula 1, uma outra 
forma de identificar a quaseconcavidade de f é pelo 
formato convexo dos seus conjuntos contorno 
superior: 
 
 { }00 )(:)( yxfRxyCS s ≥∈= + ; 00 ≥y
 
 
 
4) Não há almoço grátis 
 
 
 Como supomos que não há produção sem o uso de 
algum fator, temos 0)0( =f 
 
 
 
 
 
 18
Produto Médio e Produto Marginal 
 
 
O produto médio, por unidade do fator i utilizado na 
produção, é definido por: 
 
 
i
s
x
xxf ),...,( 1 ; si ,...,1= 
 
 
Se f for diferenciável, temos um indicador local do 
rendimento físico do fator de produção. 
 
O produto marginal do fator i é dado por: 
 
 
i
s
x
xxf
∂
∂ ),...,( 1 
 
O produto marginal nos dá o acréscimo obtido na 
produção com o emprego adicional de uma unidade 
do fator. 
 
 
Trabalho e Capital 
 
Por razoes de conveniência didática, a análise da 
produção é usualmente feita considerando dois 
fatores de produção: o trabalho, notado e o 
capital, notado . 
Lx ≡1
Kx ≡2
 
Trata-se de dois fatores básicos que estão presentes 
em quase todos os processos produtivos reais. 
 
Se a produção é medida em unidades/mës, por 
exemplo, o fator trabalho será medido em horas 
totais de trabalho empregadas nesta produção ao 
longo do mës. 
 
O fator trabalho é normalmente heterogêneo: 
processos produtivos complexos requerem o exercício 
de várias funções, das mais simples como a mao-de-
 19
obra não qualificada, as mais complexas, que exigem 
maior habilidade e conhecimento. 
 
Dentro de uma mesma funçao, os trabalhadores 
também podem se diferenciar de acordo com suas 
formações, tempos de experiência, aptidões ou 
motivações pessoais. 
 
Assim, a agregação das horas de trabalhadores 
distintos é de fato uma simplificação, pois ela 
pressupõe que o trabalho seja um fator homogêneo 
longitudinalmente, entre os indivíduos. 
 
O fator capital também apresenta uma grande 
heterogeneidade, pois que pode incluir máquinas e 
equipamentos de gerações tecnológicas distintas e 
que são utilizados conjuntamente, como também os 
aportes monetários permanentes que dão suporte 
financeiro à produçao. 
 
Normalmente este fator é medido por um índice de 
capital, medindo o estoque dos recursos de capital 
empregados na produção. 
 
 
Exemplo 1: Cobb-Douglas 
 
Considere a funçao 0,;),( ≥== βαβα KLKLfy . 
 
Temos unidades do produto sendo fabricadas com o 
uso de 
y
L unidades de trabalho e K unidades de 
capital. 
 
Pode-se facilmente checar que esta funçao atende às 
4 propriedades listadas acima para as funções de 
produção. 
 
O produto médio do trabalho é: 
α
β
−= 1/ L
KLy e o produto 
marginal do trabalho: 
α
β
α −=∂∂ 1/ L
KLy . 
 
 
 20
Conjuntos e Funções de Produção 
 
 
Pode-se mostrar dois resultados relacionando 
diretamente a funçao de produção ao conjun 
to de produção Y da seção anterior. 
),...,( 1 sxxf
 
 
Proposição 1: 
 
(i) O conjunto de produção Y exibe retornos à 
escala constantes se e sòmente se a funçao de 
produção é homogênea de grau 1; ),...,( 1 sxxf
 
(ii) O conjunto de produção Y é convexo se e 
sòmente se a funçao de produção é ),...,( 1 sxxf
côncava. 
 
 
A demonstração desta proposição é deixada como 
exercício. 
 
Pelo item (i) da proposição, vemos do exemplo 
anterior, que a funçao de produçao Cobb-Douglas é 
homogênea de grau 1 se e somentese 1=+ βα . 
 
 
 4. Substituiçao Técnica 
 
 
 Análogamente às superfícies de indiferença da 
teoria da consumidor, definiremos na teoria da 
produçao as Isoquantas. 
 
 
Definição 4: (Isoquantas) 
 
O isoquanta de nível é o conjunto das técnicas de 
0y
produçao alternativas que sao necessárias e 
suficientes para produzir unidades do produto. 
0y
Formalmente: { }00 :)( yfRxyI s )(x =∈= + . 
 21
 
Obviamente, existe um isoquanta para cada nível de 
produçao . 
0y
 
O isoquanta de nível não é outro que o limite 
inferior do conjunto contorno superior de
0y
f , . )( 0yCS
 
No caso de dois fatores, o isoquanta é uma curva. 
 
Sendo o conjunto de produçao Y convexo, pelo item 
(ii) da Proposição 1 a funçao de produçao f será 
côncava, de modo que o isoquanta será um conjunto 
convexo. 
 
 
Substituiçao Técnica e Elasticidade 
 
 
Análogo à taxa marginal de substituiçao (TMS) da 
teoria do consumidor, definimos sobre o isoquanta a 
Taxa Marginal de Substituiçao Técnica (TMST). 
 
 
 
 
Definição 5: (TMST) 
 
A Taxa Marginal de Substituiçao Técnica do fator i 
pelo fator j mede a quantidade adicional do fator j 
que compensa o sacrifício de uma unidade adicional 
do fator i de modo a manter o nível da produçao 
constante. 
Matemáticamente, esta taxa é calculada pela razão 
entre os produtos marginais do fator i e do fator j, 
sobre um ponto x da isoquanta de nível )(xf : 
 
 
j
i
ij
x
xf
x
xf
xTMST
∂∂
∂∂= )(
)(
)( 
 
 
 22
No caso de dois fatores, trabalho L e capital K , por 
exemplo, em que a isoquanta é uma curva, a TMST 
mede o negativo da inclinação da tangente à 
isoquanta, como mostrado na Figura 3 abaixo: 
 
 
Fig.3: Taxa Marginal de Substituiçao Técnica do 
 Trabalho pelo Capital 
L
K
θ
. x0
L0
K0
0
I(y0)
 
 
 
Geométricamente, a TMSTLK é avaliada como a 
tangente do ângulo θ, que mede a inclinação da 
tangente à isoquanta de nível de produçao y0 
constante, no ponto (L0, K0): 
 
 )tan(|)(
0),(
0 θ=−= = yKLfLK dL
dKxTMST 
 
 
Assim por exemplo, se TMSTLK=1/2, com o sacrifício 
de uma unidade de trabalho pode-se manter a 
produçao constante adicionando ½ unidade de capital 
ao processo produtivo. 
 
No caso da Cobb-Douglas do exemplo 1 temos: 
 
 
 23
 
0
00 )(
L
KxTMSTLK β
α= 
 
 
A TMST é uma medida local da substituiçao possível 
entre os fatores, a qual depende das unidades de 
medida dos fatores. 
 
Para obter uma medida independente das unidades de 
medida os economistas definem a elasticidade de 
substituiçao. 
 
 
 
Definição 6: (Elasticidade de Substituiçao Técnica) 
 
A Elasticidade de Substituiçao Técnica do fator i 
pelo fator j é uma medida adimensional da facilidade 
com a qual o fator i pode ser substituído pelo fator j 
no processo da produçao. 
Matemáticamente, esta medida é calculada como: 
 
 
)ln(
)/ln(
)(
IJ
ij
ij TMSTd
xxd
x ≡σ 
 
 
 
Geométricamente, 
ijσ é a elasticidade da tangente do 
ângulo φ formado pela reta passando pela origem que 
mantém fixa a proporção dos fatores j e 
empregados na produçao ( ), com relaçao à 
tangente do ângulo 
i
ij xx /
θ da TMST. 
 
 
A Figura 4 ilustra este fato. 
 
 
 
 
 
 
 
 24
 
Fig.4: Elasticidade de Substituiçao Técnica do 
 Fator i com relaçao ao Fator j 
 
xi
xj
θ
. x0
0
I(y0)
. x1
φ
 
 
Temos os seguintes resultados com relaçao à 
elasticidade de substituiçao técnica 
ijσ : 
 
(i) Se f é quasecôncava, 0≥ijσ . 
 Neste caso, sendo os isoquantas convexos, os 
ângulos φ e θ são comonotonicos isto é, eles 
aumentam e diminuem conjuntamente; 
 
(ii) Quanto mais próxima de 0 for o valor de 
ijσ , 
mais difícil é a substituiçao do fator i pelo fator j. 
 
No caso extremo em que os fatores são 
complementares, p.ex. se { }jiji xaxxxf ,min),( = , temos 
0=ijσ , pois os fatores são empregados em proporções 
fixas e o numerador da fórmula da elasticidade se 
anula; 
 
(iii) Quanto mais próxima de ∞ for o valor de ijσ , 
mais fácil é a substituiçao do fator i pelo fator j. 
 25
 
No caso extremo em que os fatores são substitutos 
perfeitos, p.ex. se 
ijji axxxxf +=),( , temos ∞=ijσ , pois 
neste caso a TMST é constante e o denominador da 
fórmula da elasticidade se anula; 
 
(iv) O caso intermediário, em que ∞<< ijσ0 é o da 
substituiçao imperfeita, como ilustrado na Figura 4. 
 
 
(v) Elasticidade de Substituiçao Constante 
 
 Alguns casos notáveis em que 
ijσ é constante ao 
longo do isoquanta são obtidos com funções de 
produçao homotéticas, muito embora esta última 
propriedade não garanta a constancia da elasticidade 
de substituiçao em todos os casos. 
 
O caso mais evidente é o da Cobb-Douglas, do 
exemplo 1: Neste caso, temos da TMST calculada à 
pg. 23: 
 )ln()/ln()/ln( LKTMSTLK += αβ 
 
de modo que 1=LKσ . 
 
 
Exemplo 2: Constant Elasticity Substitution (CES) 
 
Esta funçao, já conhecida da teoria do consumidor, é 
uma funçao homotética e, no caso de dois fatores, 
KL, tem a forma: 
 
 10;)( /1 <≠+= ρρρρ KLy . 
 
Neste caso, obtemos: 
 
 ( ) ρ
ρρρρ
ρρρρ
ρρ
ρρ −
−−
−−
=
+
+
= 1
11/1
11/1
/
)(1
)(1
LK
KKL
LKL
TMSTLK 
 
 26
Logo, )ln()
1
1()/ln( LKTMSTLK ρ−= , de modo que 
 ρσ −= 1
1
LK
 
 
é constante ao longo do isoquanta. 
 
Para diferentes valores do seu parämetro ρ , a CES 
apresenta-se como uma funçao bastante flexível, e 
isto pode ser constatado pelos valores extremos que 
podem ser gerados em sua elasticidade de 
substituiçao: 
 
Se 0→ρ obtemos 1=LKσ , que é o caso Cobb-Douglas; 
Se −∞→ρ vem 0=LKσ , os fatores são complementares; 
Se 1→ρ temos +∞=LKσ e a tecnologia é linear. 
 
 
 
Exercício 1: A funçao 2/1)(2),( LKKLKLf ++= expressa o 
compromisso entre um tecnologia linear e a 
tecnologia Cobb-Douglas. Mostre que 2=LKσ . 
 
 
 
5. Retornos à Escala 
 
 Introduzimos até aqui algumas medidas locais da 
produtividade dos fatores, tais como o produto 
marginal e o produto médio. 
 
As medidas acima são medidas unilaterais, pois 
envolvem a variação de um fator apenas, mantidos os 
outros constantes. 
 
Os retornos à escala são medidas de produtividade 
globais, no sentido que dizem respeito à resposta do 
produto face à uma variação uniforme em um grupo 
de fatores ou em todos os fatores, simultaneamente. 
 
 27
Para ilustrarmos melhor isto, consideramos o caso de 
2 fatores, L (trabalho) e K (capital). 
 
No curto prazo, quando um dos fatores é fixo, 
digamos o capital KK = , o produto varia de acordo 
com as variações do fator variável apenas, o trabalho 
L , pois )(),( LLKfy ϕ== . 
 
Neste caso, à medida que aumenta-se a quantidade de 
trabalho, a razão capital/trabalho LK / diminui, de 
modo que os aumentos eventuais da produçao 
LLy Δ′≈Δ )(ϕ são chamados retornos com proporções 
variáveis. 
 
No longo prazo, quando todos os fatores de produçao 
variam uniformemente, falamos de retornos à escala 
globais. 
 
Neste caso, se os fatores variam uniformemente, não 
há variação na proporção dos fatores empregados na 
produçao, de modo que os retornos à escala são 
retornos com proporções fixas. 
 
A idéia por trás desta designação é a da ampliaçao da 
escala de produçao: quando a quantidade de todos os 
fatores dobra por exemplo, emprega-se o dobro do 
pessoal e o dobro do capital, é o tamanho da firma 
que aumenta, é a escala de produçao que aumenta. 
 
É claro que, quando todos os fatores aumentam,espera-se aumentos no produto maiores do que 
quando apenas um grupo destes fatores aumenta. 
 
Em outras palavras, retornos com proporções 
variáveis sempre são menores que retornos com 
proporções fixas equivalentes. 
 
Para vermos isto algébricamente, suponha que a firma 
aumente as quantidades K e L empregados mantendo 
a proporção LK / fixa, isto é, tal que 
K
K
L
L Δ=Δ . 
 
 28
Temos entao: K
K
KLf
L
L
KLf
y Δ∂
∂+Δ∂
∂≈Δ ),(),( 
 
 L
L
K
K
KLfLL
L
K
K
KLf
L
KLf Δ∂
∂+′=Δ∂
∂+∂
∂≈ )),()(()),(),(( ϕ 
 
 
Como 0),( >∂
∂
K
KLf esta última expressão é maior que o 
aumento equivalente LL Δ′ )(ϕ obtido anteriormente, 
mantendo-se o capital fixo. 
 
Este fato é também ilustrado na Figura 5 abaixo: 
 
 
Fig.5 : Retornos com proporções fixas e variáveis 
 
L
K
. x0
L00
I(y0)
K
L0 +ΔL
K+ ΔΚ
I(y2)
I(y1)
x2
K/L=const.
 
 
 
Quando todos os fatores são variáveis e o aumento no 
emprego dos fatores (ΔL,ΔK) mantém a proporção 
fixa, passa-se do isoquanta I(y0) ao isoquanta I(y2), 
ao longo do eixo radial passando por x0 e x2. 
 
Se o capital é mantido fixo no nível K , o nível 
máximo de produçao que poderá ser alcançado com o 
 do trabalho será dado por )( 21 yy < , nível de aumento LΔ
 29
produçao epresentado pelo isoquan is baixo 
I(y1). 
 
 
r ta ma
etornos à escala globais 
á caracterizamos os retornos à escala globais quando 
sual de se caracterizar 
nçao 
 
R
 
 
J
descrevemos as propriedades que os conjuntos de 
produçao podem apresentar. 
 
o entanto, a forma mais uN
estes retornos é através da funçao de produçao. 
 
onsidere uma tecnologia representada pela fuC
de produçao )(xfy = , onde ),...,( 1 sxxx = é o vetor dos 
fatores de prod
 
uçao utilizados. 
 
 
Definição 7: (Retornos à Escala Globais) 
 
Seja 0>λ um real positivo. Se s : Rx +∈
 
(i) )()( xfxf λλ < temos retornos decrescentes; 
 
(ii) )()( xfxf λλ > temos retornos crescentes; 
 
(iii) )()( xfxf λλ = temos retornos constantes; 
 
 
 
 
 
Observações: 
 exibe retornos à escala constantes se 
 
) A tecnologiaa
e sòmente se a funçao de produçao é homogênea 
linear (grau 1); 
 
 30
b) Se a funçao de produçao f for homogênea de grau 
0>α , isto é, se ))( xf α (xfλλ = entao, para 1>λ a 
tecnologia exibe retornos à escala decrescentes se 
1<α e crescentes se 1>α . 
 
 
c) Os retornos à escala globais não são fácilmente 
encontrados no mundo real, pois eles supõem que a 
produtividade dos fatores não depende da escala da 
produçao. 
 
Muitas tecnologias não se inserem de fato nesta 
categoria. 
 
Com freqüência, para baixos níveis de produçao, o 
rendimento dos fatores é inicialmente crescente; 
depois, para níveis de produçao intermediários o 
rendimento estaciona e, para níveis de produçao 
superiores, requerendo um emprego ainda maior dos 
fatores, o rendimento passa a ser decrescente. 
 
Esta é uma conseqüência da chamada lei dos 
rendimentos marginais decrescentes dos fatores de 
produçao, sobre a qual retornaremos nas próximas 
aulas. 
 
 
 
Retornos à escala locais 
 
 
Em razão das limitações ao uso prático dos retornos à 
escala globais, o que não lhes retira valor do ponto de 
vista conceitual, os economistas consideram os 
retornos à escala locais, sendo estes definidos para 
cada vetor de fatores de produçao. ),...,( 1 nxxx =
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
Definição 8: (Retornos à Escala Locais) 
 
Se defina por ),...,(;)( 1 nxxxxfy == )(xμ a soma das 
elasticidades do produto com relaçao aos fatores de 
produçao, no ponto x , isto é: 
 
 ∑ = ∂
∂= si i
i y
x
x
xfx 1
)()(μ 
Entao, no ponto : ),...,( 1 nxxx =
 
(i) Se 1)( <xμ temos retornos locais decrescentes; 
 
(ii) Se 1)( >xμ temos retornos locais crescentes; 
 
(iii) Se 1)( =xμ temos retornos locais constantes; 
 
 
 
 
Exemplo 3: Tecnologia com retornos variáveis 
 
Considere a funçao de produçao com dois fatores, 
trabalho L e capital K : 
 
 , com ( 11 −−−+= βα KLAy ) Ay ≤>+> ;1;0, βαβα 
 
 
Temos: =),( KLμ
y
K
K
KLf
y
L
L
KLf
∂
∂+∂
∂ ),(),( 
 
 ++= −−
−−
βα
βαα
KL
KL
1 βα
βαβ
−−
−−
+ KL
KL
1
 
 
 )1)((
A
y−+= βαμ 
 
 
 32
Logo, para níveis de produçao )11( βα +−< Ay , teremos 
1>μ , de modo que os retornos à escala serao 
crescentes; 
 
Para o nível de produçao )11( βα +−= Ay , temos 1=μ , de 
modo que o retorno à escala é constante; 
 
Finalmente, para níveis de produçao )11( βα +−> Ay , 
teremos 1<μ , de modo que os retornos à escala serao 
decrescentes. 
 
 
 
 
5. Bibliografia e Exercícios sugeridos 
 
 
Bibliografia: 
 
[SN] Cap. 9 ; 
[N] Cap. 7; 
[VO] Cap. 11; 
[PR] Cap. 6; 
[JR] Sec.3.1; Sec.3.2. 
 
 
Exercícios Sugeridos (Específicos). 
 
Anpec: 2012/ Q04,Q06 ; 2011/ Q03; 
 2008/Q05; 2007/ Q05; 2006/ Q03; 
 2005/Q05; 2003/Q03. 
 
[SN]: 9.2/9.3/9.5/9.6/9.8 e 9.9-9.11 (Analytical)