ANPEC AULA 12 FIRMA II - Minimizaçao dos Custos

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AULA 12 : FIRMA II – Minimização dos 
 Custos 
 
 
 
1. Custos Economicos; 
2. Minimização dos Custos; 
3. Demandas Ótimas dos Fatores; 
 4. Funçao Custo de Longo Prazo; 
 5. Curto Prazo; 
 6. Bibliografia e Exercícios sugeridos. 
 
 
1. Custos Economicos 
 
 
A melhor maneira de entender o sentido econômico 
do custo de um fator de produçao é primeiramente 
distingui-lo do custo contábil deste fator. 
 
Do ponto de vista contábil, o custo de um fator, 
trabalho ou capital, é o montante financeiro pago 
pelos serviços deste fator de produçao, sendo este 
gasto registrado como despesa corrente, uma saída de 
caixa. 
 
Assim, o custo do trabalho é contabilizado pelo 
salário pago no mês ao trabalhador, mais o rateio das 
férias, 13º, mais os encargos sociais da firma. 
 
O custo do capital é contabilizado como o valor da 
depreciação do uso do equipamento no período, que 
é um percentual do preço histórico pago por este 
equipamento, o qual é imputado aos custos correntes. 
 
Já o custo econômico de um fator remete à noção 
fundamental do custo de oportunidade. 
 
O custo de oportunidade de um fator é o montante 
que seria pago pelo seu uso na melhor alocação 
alternativa deste fator. 
 
Com relaçao ao fator trabalho, o custo econômico 
não difere muito do custo contábil. 
 2
 
Mas, além dos salários e encargos própriamente 
ditos, o custo econômico do trabalho incorpora 
também outros benefícios indiretos que podem ser 
oferecidos ao trabalhador, como cesta básica, seguro 
saúde, uso de automóvel, bonificações, participação 
nos lucros etc, os quais não entram na folha salarial, 
do ponto de vista contábil. 
 
Com relaçao ao fator capital, o custo econômico 
difere frontalmente do custo contábil. 
 
Diferentemente do contador, o economista não olha o 
preço histórico pago pela máquina como um custo a 
ser amortizado com a imputação da depreciação do 
equipamento ao longo do seu tempo de vida, mas 
como um custo irrecuperável (“sunk cost”). 
 
Do ponto de vista econômico, o custo de um 
equipamento é um custo implícito, consistindo no 
valor que o mercado estaria disposto a pagar pelo 
uso deste equipamento. 
 
Em outras palavras, o custo da máquina/hora é o 
valor de aluguel desta máquina no seu melhor uso 
alternativo. 
 
Ao prosseguir usando o equipamento, a empresa 
implícitamente renuncia à renda que receberia caso 
alugasse este equipamento, e este será o custo da 
máquina para ela. 
 
Há um outro custo de produçao que os economistas 
costumam distinguir, que é o custo do fator 
empresarial. 
 
Trata-se da remuneração implícita pelo uso dos 
serviços empresariais do empreendedor. 
 
Para o contador, este custo empresarial é o lucro 
contábil, isto é, o que resta da receita uma vez 
abatido o custo dos insumos e da remuneração dos 
outros fatores de produçao. 
 
 3
No entanto, para o economista, o empreendedor 
também pode suportar custos de oportunidade no 
exercício da sua atividade empresarial. 
 
Por exemplo, ele poderia dedicar seus recursos e seu 
talento empresarial à uma outra firma ou outra 
atividade. 
 
Neste caso, seus serviços devem ser vistos como um 
fator de produçao aos quais um custo deverá ser 
imputado. 
 
Assim sendo, uma parte do lucro contábil deverá ser 
imputado ao fator empresarial. 
 
Isto faz com que o lucro econômico seja menor que o 
lucro contábil. 
 
Por isso, o lucro econômico pode ser até mesmo 
negativo, se o custo de oportunidade do 
empreendedor for maior que o lucro contábil da 
firma! 
 
 
 
2. Minimização dos Custos 
 
 
Suponha que a firma consiga produzir de modo 
eficiente unidades do produto com o uso de y s 
insumos ( si = ,...,1 ) nas quantidades , de modo que 
a funçao de produçao da firma é: 
sxx ,...,1
( 1xfy ),..., sx= 
 
 
Vamos supor que a funçao f seja estritamente 
crescente, contínua, duas vezes contínuamente 
diferenciável e quase côncava. 
 
 
A demanda pelos fatores de produçao da firma não 
afeta o preço deles no mercado dos fatores, de modo 
que, para ela, o preço unitário é dado. 
 
 4
Seja o preço unitário do fator 0>iw si ,...,1= de modo 
que se a firma emprega unidades do fator i ela 
incorrerá no custo econômico pelo uso deste 
fator. 
ix
ii xw
 
Sempre que for conveniente, notaremos as 
quantidades empregadas dos fatores pelo vetor 
 e o vetor dos preços unitários destes 
fatores pelo vetor 
),...,( 1 sxxx =
),...,( 1 swww = . 
 
Se a firma decide produzir unidades do produto 
usando o vetor de insumos 
y
(x ),...,1 sxx = , ela incorrerá no 
custo ou, em notação vetorial, 
ss xwxw ++ ...11 xw. . 
 
Entretanto, para produzir as unidades, inúmeras 
combinaçoes dos fatores, em várias quantidades, se 
oferecem à firma. 
y
 
Estas combinaçoes possíveis estarão todas sobre a 
superfície do isoquanta de nível da firma, ou seja: y
 
 { }yxfRxyI nf =∈= + )(:)( 
 
Assim, a firma deverá adotar algum critério para 
escolher um ponto x , entre uma infinidade de outros 
sobre a superfície do isoquanta )(yI , para com esta 
quantidade de fatores produzir as unidades do 
produto. 
y
 
Dado o vetor de preços dos fatores, a firma 
escolherá o vetor 
w
)(* yIx f∈ que minimiza o custo da 
produçao, isto é, o programa da firma será: 
 
 
 )(;.min yIxxw fx ∈ (P) 
 
 
 
 5
Ao resolver o programa (P), a firma obterá: 
 
1. As demandas ótimas de cada fator ),(* ywxx ii =
si ,...,1= como funçao de preço de todos os fatores e 
das quantidades produzidas; 
 
2. A funçao custo total da firma: ),(.),( ywxwywC = 
também como funçao do vetor de preço de todos os 
fatores e das quantidades produzidas. 
 
 
Obs.: O programa (P) acima pressupõe que uma 
solução *x interior seja obtida, isto é, uma soluçao 
tal que todos os fatores são efetivamente 
demandados, . 0* >ix
Tal será o caso quando os conjuntos contornos 
superiores de f , são convexos. )(yCS f
Este é o caso aqui, uma vez que supomos a 
quaseconcavidade da funçao de produçao. 
 
 
 
Curto e Longo Prazo na Produçao 
 
 
Curto e Longo prazo na produçao não são tempos 
cronológicos prédeterminados, 6 meses, um ano, 5 
anos, etc. 
 
Trata-se de períodos de duração variável dentro dos 
quais os condicionantes da minimização de custos da 
firma são distintos. 
 
No Curto Prazo, a firma enfrenta restrições ao 
minimizar custos, porque ela está incapacitada de 
alterar o nível de emprego de pelo menos um dos 
seus fatores de produçao. 
 
Estas restrições podem ter origem tanto no lado da 
oferta dos fatores (não existe mao de obra qualificada 
ou máquinas disponíveis no mercado) ou no lado da 
demanda, pela incapacidade da firma alavancar 
 6
financeiramente a compra de todas as máquinas 
suplementares que ela desejaria ótimamente. 
 
Neste caso, se um dos fatores é empregado em 
quantidades fixas, por exemplo o primeiro, 
11 xx = a 
firma incorrerá em um custo fixo 
11xw . 
 
Deste modo o custo total da firma terá uma parte fixa 
e outra variável: 
 
 444444 3444444 21
iávelcusto
ssS yxwxwyxwxwxwyxwC
var
1122111 ),,(....),,(),,( +++= 
 
No Longo Prazo, todos os fatores de produçao são 
variáveis, de modo que a firma poderá alterar o nível 
de emprego de todos eles. 
 
Neste caso, a firma não sofre restrições na demanda 
de fatores outras que aquelas advindas da fronteira 
tecnológica. 
 
Em conseqüência, ela não possui custos fixos. 
 
Dada a tecnologia existente e para cada vetor de 
preços , a firma poderá operar em uma escala ótima 
e da maneira mais eficiente, para cada nível de 
produçao préviamente escolhido, isto é, 
minimizando completamente seu custo de produçao.w
y
 
 
 
Condiçoes de Primeira Ordem 
 
Vamos supor inicialmente uma situação de Longo 
Prazo, em que a firma pode produzir a quantidade 
planejada de maneira ótima, fazendo variar todos 
os seus fatores de produçao. 
y
 
O Lagrangeano do problema (P) é: 
 
 
 ))((. xfyxwL −+= λ 
 
 7
Valendo as hipóteses feitas sobre a funçao de 
produçao f (continuidade, diferenciabilidade e 
quaseconcavidade), sabemos que as duas condiçoes 
de primeira ordem abaixo são também suficientes 
para garantir à funçao custo um ponto de mínimo: 
 
 si
x
xfw
i
i ,...,1;
)( =∂
∂= λ 
 
 )(xfy = 
 
Da primeira equação, obtemos uma relaçao análoga 
aquela encontrada na teoria do consumidor: no 
equilíbrio, a Taxa Marginal de Substituiçao Técnica 
entre dois fatores quaisquer deve ser igual ao preço 
relativo destes fatores: 
 
 )(
/)(
/)( xTMS
xxf
xxf
w
w
ij
j
i
j
i =∂∂
∂∂= ; sji ,...,1, = 
 
A Figura 1 abaixo ilustra esta condiçao no caso de 
dois fatores trabalho )(L e capital )(K . 
 
Fig.1: Demanda Ótima dos Fatores L e K: nível de 
 produçao y. 
 
L (Trabalho)
K (Capital)
I(y)
L*
K*
0
kwC /*
LwC /*
θ
(L*,K*)
 
 8
O custo de produçao mínimo é *** KwLwC KL += , e a 
reta tangente ao isoquanta (em vermelho) tem 
equação: L
w
wwCK
K
L
K −= /* com inclinação θtan=−
K
L
w
w 
sobre a Figura 1. 
 
No equilíbrio, esta inclinação é também igual ao 
negativo da TMSTLK. 
 
Obs.: 
 
(i) A solução das duas equações de primeira ordem 
conduz às demandas ótimas dos fatores: 
 
 siywxx ii ,...,1;),(
* == 
 
e à funçao custo: 
 
 ),(...),(),( 11 ywxwywxwywC ss++= 
 
(ii) Assim como no problema de minimização da 
despesa do consumidor, o teorema do envelope 
garante que, no equilíbrio, o multiplicador de 
Lagrange iguala o custo marginal de se produzir uma 
unidade adicional do produto, acima das unidades 
planejadas: 
y
 
 
y
ywC
∂
∂= ),(*λ 
 
(iii) A primeira condiçao de primeira ordem também 
pode ser escrita como: 
 
 si
xxf
w
i
i ,...,1;
/*)(
* =∂∂=λ 
 
Deste modo, a minimização do custo requer que, no 
equilíbrio, todos os fatores apresentem o mesmo 
custo/benefício marginal para o produtor, sendo esta 
razão igual, de acordo com (ii), ao custo marginal de 
produzir uma unidade adicional. 
 9
Custos Médio e Marginal 
 
 
O Custo Médio é o custo unitário médio do produto 
para a firma: 
 
 
y
ywCywCM ),(),( = 
 
O Custo Marginal é o custo de produzir uma unidade 
adicional (quando já se produz unidades): y
 
 
y
ywCywCmg ∂
∂= ),(),( 
 
 
Obs.:Dados os preços dos fatores fixos, se existe 
um nível de produçao que minimiza o custo 
médio, entao a curva de custo marginal intersecta a 
curva de custo médio neste ponto, por baixo. 
w
*y
 
Com efeito, suponha 0),( =∂
∂
y
ywCM . Entao, 
0),(),(),(),(
2
=−=−
y
ywCMywCmg
y
ywCywyCmg expressão esta 
que se anula em *y se e sòmente se 
*).,(*),( ywCMywmC g = 
 
Como *y é u o custo médio, 
temos que se ,(),(* ywCMywCm
m ponto de mínimo d
)gyy <→< , pois neste caso 
 derivada acima deve ser negativa. a
 
Se ,(* wCm );() ywCMygyy →> > , pois a derivada deve ser 
gora positiva. 
orre em custos fixos, é ilustrada na Figura 2 
a
 
 
Esta situação, mais comum no curto prazo quando a 
firma inc
abaixo: 
 10
Fig.2: Custos Médio e Marginal quando o primeiro 
 pode ser minimizado. 
 
 
CM(y)
Cmg(y)
y* y0
$
 
lo do cálculo das demandas 
os fatores e dos custos. 
xemplo 1
 
Abaixo damos um exemp
d
 
 
 
E : 0,;),( >= βαβα KLKLf 
 
Esta funçao é homogenea de grau βα + , de modo que, 
de acordo com a Aula 11, os retornos à escala globais 
serão decrescent re ou constan e 
acordo com 
es, c scentes tes d
1<+ βα , 1>+ βα ou 1=+ βα , 
espectivamente. 
É fácil verificar que 
r
 
K
L
LK w
w
L
KTMST == β
α e usando , 
btemos as demandas pelos dois fatores: 
 
βα KLy =
 
o
 
 11
)/(1
)/(
.),( βα
βαβ
β
α ++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= y
w
wywL
L
K 
 
 )/(1
)/(
.),( βα
βαα
α
β ++⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎝
⎜⎛= y
w
wywK
K
L 
 custo: 
 
nde
 
 
E a funçao
 
 
 )/(1)/()/( ..),( βαβαβχαα +++= ywAwywC KL 
 
 )/()/( )()( βααβαβ αββα ++ +≡Ao . 
 
O custo médio é igual à 
 
)1
1
()/()/( ..),(
−+++= βαβαβχαα ywAwywCM KL e 
o custo marginal βα +=
1),( ywCmg
)1()/()/( ..
−+++ αβαβχαα ywAw KL . 
 
Ambos são crescentes no nível de produçao y se os 
retornos à escala são decrescentes ( 1
1
β
<+ βα ); ambos 
à escala 
rescentes 
s
c
ão decrescentes no caso de retornos 
)1( >+ βα ; e ambos s o se os ã
retornos à escala são constantes )1(
constantes 
=+ βα . 
 
Como vemos, com excessao do caso em que os 
retornos à escala são con testan s, quando ambos 
oincidem, nos outros casos, custo médio e custo 
arginal não se intersectam, porque o custo médio 
ão tem mínimo no domínio . 
c
m
n 0>y
 
 
 
 
 
 
 12
 
tores 
 
3. Demandas Ótimas dos Fa
 
 
As demandas ótimas dos fatores siywxx ii ,...,1;),(
* == 
sao também chamadas demandas condicionais dos 
atores, porque dependem do nível de produçao . f y
 
Elas exibem as seguintes propriedades: 
 
 
(i) Homogeneidade 0 com relaçao ao vetor de preços 
 w, isto é: .0,,...,1;),(),( >∀== λλ siywxywx ii 
 
 Esta propriedade é uma decorrencia da primeira 
ondiçao de primeira ordem: as demanda ótimas dos 
e o preços aumentam todos na mesma proporção, os 
reços relativos não se alterarão, de modo que a 
 O elemento 
c
fatores não dependem do nível absoluto dos preços, 
mas dos níveis relativos. 
 
S
p
demanda pelas fatores permanecerá inalterada. 
 
 
(ii) Matriz de Substituiçao semi-definida negativa: 
 
),( ji desta matriz é: 
j
i
w
ywx
∂
∂ ),( , e isto 
á dos fatores sejam não que as demandasrequerer
crescentes em seus preços: si
w
ywxi ),( ≤∂
i
,...,1;0 =∂
. 
 Se a funçao de produçao é homotética, entao as 
dos fatores são multiplicativamente 
eparáveis, de modo que poderáo ser escritas como: 
 
(iii) Separabilidade multiplicativa 
 
 
demandas 
s
 
 .,...,1;)1,(.)(),( siwxyhyw iix == 
 
 13
onde . 
para produzir uma unidade do produto. 
 
o caso particular em que 
 0)( >′ yh
Aqui, )1,(wxi é a demanda pelo fator i que é necessária 
 
é homogênea de grau N )(xf 
0>ν , pode-se mostrar que ν/1)( yyh = . 
 
 
sim por exemp no caso da funç obb-Dou s 
do exemplo 1, temos: 
As lo, ao C gla
 
 
)/(
)1,(
βαβ
β
α +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
L
K
w
wwL , 
)/(
),(
βαα
α
β +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= L
w
wywK e )/(1)( βα += yyh . 
K
 prova desta última propriedade é mais fácil 
sando-se o lema de Shephard, que será apresentado 
dos f
s fatores não se altera, isto é, 
 a 
labor saving , nas quais a razao 
 
A
u
na próxima seção. 
 
 
 
Caminho de Expansão do Produtor 
 
 
É relevante analizar como evolui o emprego ótimo 
atores à medida que o produtor expande o seu 
nível de produçao. 
 
Se o preço relativo do
KL ww / permanece constante, é possível que o emprego 
relativo dos fatores se altere à medida que
produçao aumenta ? 
 
Em outras palavras, é possível trajetórias de 
roduçao do tipo p LK / 
aumenta com o aumento da escala de produçao; u 
entao trajetórias capital saving, nasquais esta razão 
diminui ? 
 
o
Sabemos que quando a funçao de produçao é 
homotética, a TMST não depende do nível absoluto 
 14
de emprego dos fatores, mas sò e do seu nível 
relativo. 
Supondo entao que a TMST possa ser escrita como 
uma funçao invers
ment
ível e crescente do emprego 
elativo dos fatoresr LK / , ou seja )/( LKφ , a condiçao de 
de
primeira ordem da minimização dos custos levará à 
igualda
Kw LwLK )/( = /φ de modo que Lww KL )/(1−K = φ . 
 
or exemplo, no caso Cobb-Douglas do exemplo 1, P
temos 
K
L
w
w
αkL ww
βφ−1 . 
 
ssim, enquanto o preço relativo dos fatores
=)/(
 não se A
alterar, )/(1 KL ww
−φ será constante, de modo que os 
atores serão empregados em proporções fixas ao 
. 
Esta situação é representada na Figura 3a abaixo. 
 
Fig.3a: Caminho de Expansão: Produçao 
 Homotética 
f
longo do caminho de expansão da produçao
 
L
K
. x0 I(y1)
. x1
φ I(y0)
.x2 I(y2)
0
 
o 
 
Com produçao homotética, o caminho de expansã
o produto d é linear. ...210 <<< yyy
 15
 
 
Exemplo 2: Constant Elasticity Substitution (CES) 
 
 ,;10;)( /1 ><≠+= βαρβα ρρρ KLy 0. 
 
Vimos na aula anterior que esta funçao tem 
elasticidade de substituiçao igual à ρ−1LKσ =
1 , e 
( )α −1 ρβ= / LKMST . 
minho de ex
onstante, pois a funçao é homotética. 
T LK
Evidentemente, o ca pansao da produçao é 
c
 
Com efeito, igualando a TMST ao preço relativo do 
trabalho, obtemos: LwwK KL
σαβ )/(= . 
 
Na Figura 3b, a produçao não é homotética e a 
 tecnologia é labour saving: à medida que a produçao
expande, o emprego relativo de trabalho diminui, de 
modo que aumenta: LK /
 
Fig.3b: Caminho de Expansão: Tecnologia Labour 
 Saving 
L
K
. x0
0
I(y1)
. x1 I(y2)
I(y0)
.x2
 
 16
 
Em face da Figura 3b, vemos que, no caso da 
tecnologia Capital Saving, o caminho de expansão do 
roduto será côncavo com relaçao à abcissa p L . 
. Custos no Longo Prazo 
 Matemáticamente, a funçao custo, no longo prazo, 
 
 
 
 
4
 
 
 
 
 ),(...),(),( 11 ywxwywxwywC ss++= 
 
é idêntica à funçao despesa da teoria do consumidor 
Vide Aula 3). 
alentes 
quelas demonstradas para a funçao despesa: 
i)
(
 
Assim as propriedades desta funçao são equiv
à
 
( 0)0,( =wC 
 
 Se nada é produzido, nada é gasto (lembre que no 
ongo prazo não existe custo irrecuperável); 
ii)
l
 
( ),( ywC é contínua em seus argumentos; 
iii)
 
( ),( ywC é estritamente crescente e ilimitada em ; 
iv)
y
 
( ),( ywC é crescente e homogênea linear em ; 
v)
w
 
( ),( ywC é côncava em ; w
 
Além disso, se f é estritamente quasecöncava, 
emos o lema de Shephard: 
vi) Se 
t
 
( ),( ywC é diferenciável em vale: w
 
 
 17
 siywx
w ii
,...,1;),( ==∂
 
 
ywC ),(∂
este modo, pode-se recuperar as demandas ótimas 
elos fatores derivando-se as funções custos com 
O uso do lema de Shephard no caso do 
exemplo 1, permite a obtenção imediata de um 
esultado útil para o significado dos parâmetros 
D
p
relaçao ao preço destes fatores. 
 
 
Cobb-Douglas 
r α e 
β da funçao de produçao: 
 
),(
),(),(),(
ywC
Lw
w
ywCywL
w
ywC L
LL
=⇒==∂
∂ αα e 
 
 
),(
),(
ywCw
ywK
w
K
KK
⇒==∂ β
),(),( KwywCywC =∂ β 
 
Vemos que os parâmetros α e β representam as 
arcelas respectivas do gast com os fatores p o L e K 
no custo total. 
 
 
(vii) Separabilidade multiplicativa 
 
 Se a funçao de produçao é homotética, entao a 
çao custo é multiplicativamente separável: 
 
fun
 
 ( )1,(.)(), wCyhywC = 
 
onde . 
ote que 
 0)( >′ yh
 
 
N )1,(wC é o custo total de se produzir a 
reç
 
que
primeira unidade quando o p o dos fatores é w . 
No caso particular em ) (xf é homogênea de grau 
ν , vale o resultado apresentado antes para a 
ν/1ydemanda dos fatores: )(yh = . 
 18
 
Na Aula 3 (Seção 3) provamos esta última 
propriedade para a funçao despesa. Por isso não 
reproduziremos esta prova aqui para a funçao custo, 
ois ela é em tudo análoga. p
 
 
Exercício 1: Prove o re tasul do ν/1)( yyh = no caso de f 
ser homogênea de grau 0>ν . 
No caso 
, e o custo de produzir a primeira unidade é: 
 
xemplo 3
 
da Cobb-Douglas do exemplo 1, temos 
)/(1)( βα += yyh
 
 
 )/()/( .)1,( βαβχαα ++= KL wAwwC 
 
 
E : { } 0;,min),( >= aKaLKLf 
 
Esta funçao é homogenea linear, os fatores são 
usados na produçao em proporções fixas, a unidades 
e capital para cada unidade de trabalho. 
substituiçao é nula 
d
 
A elasticidade de 0=LKσ , como 
imos na Aula 11. 
 fatores são 
v
 
 
As demandas pelos ayywL /)( , = ; yywK =),( , 
 a funçao custo: e ya)/wwywC LK(),( += 
 
 
Neste caso, custo méd toio e cus marginal são ambos 
onstantes e iguais àc )/( aww LK + . 
ustos e Retornos à Escala 
 
 
 
 C
 
 
 Vimos anteriormente que se a funçao de produçao f 
é homogênea de grau 0>ν , os retornos à escala serao 
 19
crescentes se 1>ν , constantes se 1=ν e decrescentes 
se .1<ν 
 
 Vimos também acima que, neste caso, a funçao 
custo poderá ser escrita como )1,(.,( / wCwC ν . ) 1yy =
 
Logo, o custo médio será: )1,(.( /)1( wCywCM νν−), y = , de 
modo que o custo médio é decrescente no caso de 
retornos à escala crescentes, constante no caso de 
retornos constantes e crescente no caso de retornos à 
escala decrescentes. 
 
 
A Figura 4 abaixo oferece uma representaçao 
estilizada desta relaçao: 
 
 
 
Fig.4: Retornos à Escala e Custo Médio. 
 
CM(y)
Rertornos Crescentes
Retornos Constantes
Re
tor
no
s
s
y0
$
 De
cre
sc
en
te
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
 5. Curto Prazo 
 
 
 Mencionamos antes que o curto prazo na 
produçao é o período no qual o produtor não pode 
alterar o nível de emprego de pelo menos um fator de 
produçao. 
 
Considere a situação em que dos s fatores de 
produçao utilizados, a firma não possa alterar o nível 
de uso do primeiro, isto é, 
11 xx = constante. 
 
Agora 
11xw será um custo fixo, e a firma escolherá o 
nível ótimo dos 
sxx ,...,2 1−s outros fatores, de modo a 
minimizar o custo 
ss xwxw2xw ..,211 + para a produçao de 
),...,,( 21 sxxxfy = unidades do produto. 
 
Formalmente, a funçao custo de curto prazo, notada 
);,( 1xywCS é definida por: 
 
 );(),...,(;}...min{);,( 1222111 xyIxxxwxwxwxwyC fsssS ∈+++= . 
 
onde }),...,,(:),¡,...{();( 21
1
21 yxxxfRxxxxyI s
s
sf =∈= −+ . 
 
 
 
Custo Fixo e Custo Variável 
 
 
Uma vez definidas as demandas ótimas dos fatores 
variáveis , como funçao dos preços e dos 
níveis de emprego do fator fixo e do nível da 
produçao , 
**
2 ,..., sxx
y
w
),;( 1
* xwyxx ii = , definiremos o Custo 
Variável como: 
 
 ),;(...),;(),;( 11221 xwyxwxwyxwxwyC ssV ++= 
 
Sendo entao o Custo Fixo: 
 
 21
 
11F
 
Vamos supor que o custo fixo é recuperável, 
xwC = 
no 
este caso, o Custo Total no curto prazo será: 
 
sentido de que só é incorrido, se a firma produzir. 
 
N
 
 
⎩⎨
⎧
=
>+=
0;0
0;),;(
),;( 11 y
yxwyCC
xwyC VFS 
 
Caso o custo fixo seja irrecuperável (“sunk cost”), no 
sentido que é incorrido quer a firma produza ou não, 
 total, no curto prazo será simplesmente: 
 
o Custo
 
 ),;(),;( 11 xwyCCxwyC VFS +=Observe que 0),;0( 1 =xwCV , se a firma nada produz, o 
usto variável é nulo. 
neficiência Produtiva no Curto Prazo 
azo não pode 
er menor que o custo no longo prazo. 
bserve que o custo no longo prazo define- como: 
 
c
 
 
 
I
 
 
Vamos mostrar que o custo de curto pr
s
 
 
O se
)(),...,,(;}...min{),( yIxxxxwxwxwyw 212211 fsss ∈+++= C
 
Ora, o isoquanta que define o conjunto de restrição 
do problem de curtoa prazo é um subconjunto do 
soquanta , isto é: i )(yI f )();( 1 yIxyI ff ⊂ . 
azo não será maior que o custo no longo 
 
Deste modo, temos necessáriamente que o custo no 
curto pr
prazo: 
 
 22
 ),();,( 1 ywCxywCS ≥ 
o 
do no se nível ótimo de longo prazo: 
 
 
 
com a igualdade sendo obtida quando o primeir
fator for fixa u 
 
 ),(11 ywxx = 
 efeito, se definirmos o isoquanta: 
 
 
 
Com
 
 }));,(),...,;,(,(:{)( 11211
* yxywxxywxxfRxyI sf =∈= + 
eremos a seguinte sequencia de igualdades: 
 
 
 
t
 
}...{min),( 2211)(),...,,( 21 ssyIxxx xwxwxwyw fs +++= ∈ C
 
 }...{minmin 2211);(),...,()( 12*2 ssxyIxxyIx xwxwxwfsf +++= ∈∈ 
 
 )},,(...);,({min 112211)(*2 xywxwxywxwxw ssyIx f +++= ∈ 
 
 
 );,(min 1
 
)(*2
xywCSyIx f∈= 
 )),(;,( 1 ywxywCS= 
 
 
Logo, se no curto prazo o primeiro fator for fixado no 
seu nível ótimo de longo prazo, as demandas de curto 
prazo dos outros fatores também igualam suas 
emandas de longo prazo, isto é: 
 
d
 
 
siywxywxywx ii ,...,2),()),(;,( 1 == 
 
 
A Figura 5 abaixo ilustra a superioridade do custo de 
curto prazo sobre o custo de long o prazo no caso de 
ois fatores, trabalhod L e capital K . 
 
 23
 
 
Fig.5: Sub-otimalidade da alocação dos fatores no 
 Curto Prazo 
 
 
L
K
. x0
L0
K0
C/wk
CS/wK
K x1
I(y0)
0 L1 
 custo de longo prazo (C) para a 
e curto prazo (C ). 
tores no longo prazo é 
epresentada no ponto x0. 
atores no curto prazo é 
epresentada no ponto x1. 
-L1), para que a produçao possa ser 
lcançada. 
produ ao, relativamente ao custo de longo prazo: 
. 
 
A impossibilidade da firma empregar no curto prazo 
o capital ótimo do longo prazo (K0), leva à um 
aumento do custo, representado pelo deslocamento 
para cima da reta de
d S
 
A alocaçao ótima dos fa
r
 
A alocação ótima dos f
r
 
O baixo emprego do capital empregado no curto 
prazo é compensado com o aumento do emprego de 
trabalho (L0 y
a
 
Mas a consequencia disso é o aumento do custo de 
ç
CS >C
 24
 
 
Exemplo 4: 0,;),( >= βαβα KLKLf (Cobb-Douglas) 
das dos fatores 
 o custo no longo prazo, neste caso. 
do o mprego do capital é fixado 
rbitrariamente em
 
Já obtivemos, no exemplo 1, as deman
e
 
Vamos agora obter as demanda de trabalho e o custo 
no curto prazo, quan e
a KK = . 
 
A condiçao yKL =βα implica: ααβ /1/)();,( yKKywL −= , e o 
usto no curto prazo é: 
 
c
 
 ααβ /1/);,( yKwKwKywC LkS
−+= 
 
Vamos agora escolher o nível de capital fixo *K que 
minimiza o custo no curto prazo, e mostrar que este 
 onão é utro que o seu nível ótimo no longo prazo, 
),( ywK : 
 
 
0/1/)( =−=∂
∂ +− ααβα
α
β yKww
K
C
LK
S 
 
Resolvendo a equação no capital vem: 
 
 
 )/(1)/()/( )/()/(* βαβααβαααβ +++= ywwK kL ),( ywK= (*) 
 no longo prazo, 
onforme obtivemos no exemplo 1. 
ubstituindo
 
que é a demanda ótima de capital
c
 
S *K na funçao custo obtemos: 
 
ααβ /1/*)(**);,( KywCS yKwKw Lk
−+= e, após rearranjo dos 
ermos, 
 
t
 
 )/(1)/()/( ..*);,( βαβαβχαα +++= ywAwKywC KLS 
 
onde )/()/( )()( βααβαβ αββα ++ +≡A . 
 25
 
Vemos entao que a funçao custo encontrada não é 
outra que o custo de longo prazo obtido no exemplo 
 
1, isto é: 
 ),(*);,( ywCKywCS = 
 
Como para *KK ≠ temos ),();,( KywCS 
concluímos que, para w fixo, a curva 
ywC> ,
*);,( KywCS 
tangencia por cima, a curva de custo de longo prazo. 
 custo de longo prazo é uma envoltória inferior 
oltória inferior das 
urvas de custo de curto prazo. 
 
 
 
O
 
 
O exemplo acima ilustra um resultado geral: A funçao 
custo no longo prazo é uma env
c
 
 
Isto significa que todo nível arbitrário 01 >x de 
emprego do fator 1, no curto prazo, é o nível ótimo 
de emprego deste fa r to no longo prazo, para alguma 
scala de produçao . 
 em funçao de 
m estoque de capital fixo arbitrário
e *y
 
 
A primeira igualdade da equação (*) no exemplo 4 
ilustra este fato no caso de dois fatores, pois podemos 
à partir dela expressar univocamente y 
u K . 
 
 
 
Formalmente, dado 01 >x , existe tal que 0* >y
*),(11 xx = yw , com *),()*;,( 1 ywCxywCS = e ),();,( ywCS 1 ywCx > 
ara . 
s 
urvas de custo total e custo médio no longo prazo: 
p *yy ≠
 
 
 
As Figuras 6a e 6b abaixo ilustram a envoltória da
c
 26
 
Fig.6a: Custo Total de Longo Prazo 
 e Curvas de Custo Total de Curto Prazo 
 
y
$
w1k1
w2k2
w3k3
0 y***y**y*
C(y) : Longo Prazo
CS(y;k1)
CS(y;k2) 
CS(y;k3)
 
 
 
 
Fig.6b: Custo Médio de Longo Prazo 
 e Curvas de Custo Médio de Curto Prazo 
 
y
$
0 y***y**y*
CM(y) : Longo Prazo
CMS(y;k1)
CMS(y;k2) 
CMS(y;k3)
 
 27
xercício 2
 
 
E : Tecnologia com retornos variáveis 
ara a funçao de produçao do exemplo 3 da Aula 11, 
 , com 
 
P
 
 ( ) 11 −−−+= βα KLAy Ay ≤>+> ;1;0, βαβα 
 
Calcule as curvas de custo total de longo e de curto 
razo. 
. Bibliografia e Exercícios sugeridos 
ibliografia:
p
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
 
 
B 
 
 
JR] Sec.3.3. 
xercícios Sugeridos
 
[SN] Cap. 10 ;
[N] Cap. 8; 
[VO] Cap. 12;
[PR] Cap. 7; 
[
 
 
E (Específicos). 
006/ Q04; 
 2005/Q04; 2003/Q04. 
[SN]: 10.2 - 10.8 e 10.9-10.11 (Analytical) 
 
Anpec: 2011/ Q15; 2010/ Q06; 
 2009/Q04; 2008/ Q06; 2