Lista unid. 05

Prévia do material em texto

1
Universidade de Brasília
IE - Departamento de Estatística
Estatística Aplicada
Unidade V
LISTA DE EXERCÍCIOS N0 5
1. Seja X a variável tempo de serviço dos
funcionários de determinada localidade. Se X tem
distribuição normal com média 15 anos e desvio
padrão 10 anos:
(a) Qual a probabilidade de um funcionário,
aleatoriamente escolhido, ter pelo menos 10
anos de tempo de serviço?
(b) Tomando-se uma amostra de 16 funcionários,
qual a probabilidade do tempo médio de
serviço estar entre 13 e 16 anos?
2. Um procedimento de controle de qualidade foi
planejado para garantir um máximo de 10% de
itens defeituosos na produção. Supondo que a
produção esteja sob controle (isto é, p = 10%) e
que os itens sejam vendidos em caixas com 100
unidades:
(a) qual a probabilidade de que uma caixa
contenha mais do que 10% de defeituosos?
(b) Qual a probabilidade de que uma caixa
contenha no máximo 8% de defeituosos?
3. Estima-se que 10% dos livros de uma biblioteca
estejam inutilizados. Tomando-se uma amostra de
64 livros, qual a probabilidade de que encontremos
no máximo 6% de livros inutilizados?
4. Distribuição amostral de X : Considere uma
população fictícia formada pelas medidas
� �9,7,5,3,1 . O objetivo deste exercício é verificar
as fórmulas para o valor esperado e o desvio
padrão da média amostral X .
a) Verifique que a média e a variância da população
são respectivamente � = 5 e � 2= 8.
b) No caso de amostragem com reposição de
tamanho n = 2, faça uma lista de todas as
amostras possíveis. Obtenha então a distribuição
de probabilidade de X .
c) Verifique que o valor esperado e a variância de
X . são respectivamente E( X ) = 5 e Var( X ) =
4. Qual é a relação destes valores com os da parte
a?
d) Repita a parte b para o caso de amostragem sem
reposição e verifique os valores de E( X ) e Var
( X ).
e) Explique porque X é dito que um estimador
não-viesado para � .
5. Uma equipe de pesquisadores deseja estudar as
condições de vida dos habitantes dos 15000
domicílios de uma cidade-dormitório. Devido a
dificuldade de pesquisar todos os domicílios, a
equipe optou por selecionar aleatoriamente 36
domicílios. Uma das variáveis de interesse, no
estudo em questão, era o número de pessoas que
residem em cada domicílio. Para os domicílios
selecionados, obteve-se as seguintes informações
sobre o número de residentes em cada domicílio:
5 6 3 3 2 3 3 3 4
4 3 2 7 4 3 4 2 1
5 4 4 3 3 4 3 3 1
2 4 3 4 2 4 5 3 5
a) Os pesquisadores desejam saber o número médio
de pessoas que residem em cada domicílio. Como
eles podem utilizar as informações obtidas para
estimar este valor ? Determine a estimativa.
b) Qual o estimador utilizado e sua distribuição de
amostragem ? É necessário que a variável número
de residentes em cada domicílio tenha
distribuição normal? Justifique sua resposta.
c) Considerando que, pelo último censo, o número
médio de pessoas em cada domicílio é 5 com
variância 12,96 determine:
 i) P(X
_
 > 4) ii ) P ( X
_
 � 6,5)
 iii) P( X
_
 = 2) iv) P ( 3,5 < X
_
 � 5 )
d) Estime o número médio de residentes por
domicílio através de um intervalo de confiança
de:
 i ) 90% ii ) 95% iiii ) 99%
 Compare a amplitude dos intervalos e interprete o
resultado.
e) Construa o intervalo de 95% de confiança para o
parâmetro em questão considerando que a
variância do número de residentes por domicílio
permaneceu a mesma do último censo.
6. Calcule o intervalo de confiança para a média em
cada um dos casos abaixo:
Média
amostral
Tamanho da
amostra
Desvio
padrão da
população
Coeficiente
de confiança
170 cm 100 15 cm 95 %
165 cm 184 30 cm 85%
180 cm 225 30 cm 70%
7. Uma fábrica produz válvulas. Sabe-se que o
desvio padrão da duração é de 100 horas. Uma
amostra de 400 válvulas apresentou média de 400
horas:
2
(a) Qual a probabilidade da vida média estar entre
320 e 430 horas?
(b) Qual o intervalo de confiança de 99% para a
vida média da população?
(c) Interprete o resultado obtido no item anterior.
(d) Tomando-se 20 amostras de tamanho 400 em
quantas amostras devemos esperar o resultado
obtido em (a)?
(e) Qual o erro cometido na sua estimativa?
(f) Que tamanho deve ter a amostra para que seja
95% a confiança na estimativa 400 � 7,84?
(g) Supondo-se que são produzidas 50.000
válvulas, qual o intervalo de confiança de
96% para a vida média da população?
8. Da experiência passada sabe-se que o desvio
padrão da altura de crianças de quinta série do
primeiro grau é 5 cm. Tomando-se uma amostra de
36 dessas crianças, observou-se média de 150 cm.
(a) Qual o percentual de crianças com altura
média acima de 148 cm?
(b) Qual o intervalo de confiança de 98% para a
média populacional? Interprete o resultado.
(c) Qual o erro cometido na sua estimativa?
(d) Que tamanho deve ter uma amostra para que o
erro seja de no máximo 3 cm?
(e) Que tamanho deve ter uma amostra para que o
intervalo 150 � 0,98 tenha 95% de confiança?
9. Com base em informações passadas, acredita-se
que o desvio padrão da renda das famílias de uma
certa região é de R$ 2000. Quantas famílias deve
ser incluídas em uma amostra para que o erro de
estimação da renda média seja no máximo de R$
100, com confiança de 95%?
10. a)Explique as semelhanças e diferenças entre a
distribuição normal e a distribuição t de Student
com gl graus de liberdade.
b) Em cada um dos casos, calcule a probabilidade
indicada:
 i) t � 1,4398, gl = 6;
 ii) t < -1,7823, gl = 12;
 iii) t < -2,0595, ou t > 2,0595, gl = 25,;
 iv) t > 1,96, gl = 150
11. Com o objetivo de estimar o tempo médio de
desemprego na periferia de Brasília, pesquisou-se
um grupo de 64 desempregados entre 1000
cadastrados no SINE, que apresentou tempo médio
igual a 3 meses e desvio padrão de 1 mês. (Dados
Fictícios.)
a) Construa o intervalo de 95% de confiança
para o tempo médio de desemprego.
b) Um intervalo de 99% de confiança construído
para a mesma situação, apresentaria menor
amplitude?
c) Qual o erro de amostragem associado ao
intervalo construído ?
d) Se o desvio padrão fosse 2, o erro de
amostragem seria maior que o do item c ?
e) Se a amostra fosse aumentada de 26
empregados, o que aconteceria com intervalo
de confiança ?
12. Numa tentativa de melhorar o esquema de
atendimento, um médico procurou estimar o tempo
médio que gastava com cada paciente. Uma
amostra aleatória de 49 pacientes, avaliados em
um período de 3 semanas, acusou uma média de
30 minutos, com desvio padrão de 7 minutos.
a) Fixe a confiança e construa um IC para o
verdadeiro tempo médio de consulta.
b) Qual o erro máximo associado à sua
estimativa ?
13. Uma amostra aleatória de 200 livros de uma
biblioteca revelou que 15% deles tinha pelo menos
uma página danificada. Obtenha um intervalo com
95% de confiança para a proporção de livros
danificados na biblioteca. Explique neste caso o
significado do termo "95% de confiança".
14. Para uma amostra aleatória de 100 trabalhadores,
em uma firma com 1200 empregados, 70 preferem
receber seus salários através de créditos em conta
corrente bancária. De posse dessa informação
construir o intervalo de 90% de confiança para a
proporção de trabalhadores da firma que têm
preferência pelo crédito em conta corrente para
seus trabalhos.
15. Antes de uma eleição, um partido está interessado
em estimar a proporção p de eleitores favoráveis
ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho
50 revelou que 70% dos eleitores eram favoráveis
ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra para que o
erro cometido na estimação seja de, no
máximo, 0,01 com probabilidade de 90%.
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao
obtido em a, observou-se que 50% dos
eleitoreseram favoráveis ao candidato em
questão, construa um intervalo com confiança
90% para p.
c) A semi-amplitude do intervalo anterior é
maior, menor ou igual a 0,01? Comente.
16. Uma empresa emprega 200 pessoas. Numa
amostra aleatória de 25 notas de despesas numa
semana de dezembro, um auditor constatou uma
despesa média de 220 u.m. com desvio padrão de
20 u.m.
a) Qual é a estimativa intervalar com 99% de
confiança para a despesa média da empresa
com seus empregados ?
b) Qual é a estimativa intervalar com a mesma
confiança para a despesa total da empresa com
seus 200 empregados ?
17. Um fabricante de flashes deseja estimar a
proporção de flashes perfeitos produzidos. Como
se trata de teste destrutivo, ele deseja manter o
3
tamanho da amostra o menor possível. Determine
o número de flashes que devem ser testados para
estimar esta proporção com um erro máximo de
amostragem de 0,04, considerando que o grau de
confiança é de 95%, se:
a) O fabricante não tem idéia da proporção de
defeituosos.
b) O fabricante crê que a proporção de
defeituosos é de 6%.
18. Em recente pesquisa levada a efeito junto a 200
habitantes de uma cidade, 40 se mostraram
favoráveis ao restabelecimento da pena de morte.
a) Qual o IC(0,99) para a verdadeira proporção
de habitantes favoráveis à pena de morte?
b) Qual o grau de confiança na afirmação de que
tal proporção está entre 15% e 25% ?
19. Uma pesquisa realizada numa universidade
mostrou que 30 dos 120 alunos entrevistados eram
chefes de família.
a) Calcule um intervalo com 99% de confiança para a
proporção de estudantes chefes de família.
b) Se na universidade existem 15000 alunos
matriculados, calcule um intervalo com 99% de
confiança para o número de estudantes chefes de
família.
c) Considerando que a amostra foi escolhida ao
acaso, os resultados anteriores são válidos no caso
de amostragem com reposição? E no caso de
amostragem sem reposição?
20. A polícia rodoviária fez recentemente uma
pesquisa sobre as velocidades desenvolvidas numa
rodovia no período de 2 às 4 horas da madrugada.
Nesse período foram observados 100 carros com
velocidade média de 90 km/h e desvio padrão de
15 km/h. Descreva a população de interesse e
construa um intervalo com confiança 95% para a
média populacional.
21. Num estudo visando analisar o estado nutricional
de crianças numa certa região foram estudadas 100
crianças de 7 anos matriculadas em escolas
públicas. Observou-se um peso médio de 30 kg e
um desvio padrão de 3 kg.
a) Construa um intervalo com 95% de confiança
para a média populacional.
b) Quais suposições são necessárias com respeito
ao método de amostragem e a população para
a validade do intervalo anterior?
c) Suponha que uma nova criança será observada
futuramente. Discuta a diferença entre as
seguintes afirmações: (i) "estima-se que o
peso da criança será, em média, de 30 kg" e
(ii) "estima-se que o peso da criança será 30
kg". Forneça estimativas de erro associadas a
cada uma das afirmações.
22. Estudos anteriores mostram que o desvio padrão
da altura de crianças de quinta série é igual a 5 cm.
Uma amostra aleatória destas crianças forneceu o
intervalo 150 � 0,98 com 95% de confiança.
Qual o tamanho da amostra utilizada?
23. Discuta a veracidade das seguintes afirmações.
Considere, em todos os casos, amostragem
aleatória simples.
a) Uma característica populacional, embora
desconhecida, é uma quantidade fixa. Seu
intervalo de confiança, entretanto, varia de
amostra para amostra.
b) Quanto maior o coeficiente de confiança,
maior é o comprimento do correspondente
intervalo.
c) Com um nível de confiança fixo, para
diminuir o comprimento do intervalo pela
metade é usualmente suficiente duplicar o
tamanho da amostra.
24. No problema de teste de hipóteses, descreva os
conceitos de (i) hipóteses nula e alternativa, (ii)
erros de tipo I e II e (iii) região crítica.
25. Indique as hipóteses nula e alternativa para cada
uma das seguintes situações.
a) Uma organização para teste de produtos duvida da
afirmação de um fabricante de que suas pilhas
tenham vida média de 25 horas sob operação
contínua.
b) Novas técnicas de aprendizagem não serão
implementadas a menos que se prove que a taxa
média de aprendizagem melhorará em comparação
com a técnica atualmente em uso.
c) Uma torrefação de café deseja evitar excesso no
enchimento de pacotes de 500g.
d) A mesma torrefação do item c deseja evitar
excesso e deficiência no enchimento dos pacotes.
26. Sabe-se que o consumo mensal "per capita" de um
determinado produto tem distribuição normal, com
desvio padrão 2 kg. A diretoria de uma firma que
fabrica esse produto resolveu que retiraria o
produto da linha de produção se a média de
consumo "per capita" fosse menor que 8 kg. Caso
contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada
uma pesquisa de mercado, tomando-se uma
amostra de 25 indivíduos e verificou-se que
� xi= 180 kg, onde xi representa o consumo
mensal do i-ésimo indivíduo da amostra.
a) Com base nos resultados da amostra e com um
risco de 5%, qual deveria ser a decisão da
diretoria?
b) Se a diretoria tivesse fixado � = 0,01, a decisão
seria a mesma? Justifique sua resposta.
27. Uma companhia de cigarros anuncia que o índice
médio de nicotina dos cigarros que fabrica
apresenta-se abaixo de 26 mg por cigarro. Um
laboratório realiza 6 análises, obtendo as seguintes
quantidades de nicotina: 27, 24, 21, 25, 26, 22.
Sabe-se que o índice de nicotina se distribui
normalmente. Pode-se aceitar, ao nível de 10% de
4
significância, a afirmação do fabricante? E ao
nível de 5%?
28. No exercício 21, teste a hipótese nula Ho :
� = 30 kg contra a alternativa Ha: � � 30 kg.
Use � = 0,05. Qual é a relação do resultado do
teste e o intervalo de confiança obtido na parte a?
Observe que as suposições necessárias para a
validade dos testes são os mesmas necessários para
a validade dos intervalos de confiança.
29. No exercício 13, existe evidência que permita
concluir que a proporção de livros danificados na
biblioteca é maior do que 0,10? Use nível de
significância � = 0,05.
30. Um jornal apresenta um artigo sobre uma provável
contaminação da safra de morangos por carbonato,
um defensivo agrícola tóxico. A Organização
Mundial de Saúde (OMS) é responsável pela
determinação dos limites de contaminação por
carbonato ou outros pesticidas, tendo estabelecido
que este limite deve ser de 10 unidades de
carbonato, em média. De posse dos resultados da
análise química de 31 morangos a seguir
transcritos: média de 11 unidades de carbonato e
desvio padrão de 3,5 unidades, o que você poderia
concluir sobre a contaminação da safra a nível de
significância de 1%? Interprete os resultados.
31. Uma agência de propaganda afirma que a
campanha promocional recente atingiu 45% das
famílias de uma comunidade. A empresa
interessada (que pagou a propaganda) duvida dessa
percentagem e resolve fazer um levantamento para
verificar a autenticidade da afirmativa. São
pesquisadas 100 famílias, das quais 30 tinham
conhecimento da propaganda. A um nível de 5%
de significância, você pode concluir que a empresa
tem razão em duvidar da afirmação da agência de
propaganda? Nesta pesquisa, o que representam
erro do tipo I e o erro do tipo II?
32. Uma empresa industrial C está estudando a
compra de um grande lote de componentes
produzidos pela companhia P. Segundo P, o seu
processo de produção garante que a proporção p de
componentes fora das especificações técnicas
requeridas por C não é superior a 0, 10 (ou 10%).
O Departamento de Compras especificou o
seguinte procedimento para decidir se a compra
será realizada: 20 componentes do lote serão
escolhidos ao acaso e testados, e a compra só será
realizada se no máximo existir um componente
fora das especificações. Na situação descrita, a
probabilidade do lote ser rejeitadopara valores de
p menores ou iguais a 0, 10 é chamada risco do
produtor, enquanto a probabilidade do lote ser
aceito para valores de p maiores que 0, 10 é
chamada risco do consumidor.
a) Calcule a probabilidade do lote ser rejeitado
para p = 0,01; 0,05; 0,10; 0,20; 0,30. Faça
um gráfico dos valores obtidos.
b) Identifique no gráfico os riscos do produtor
para p = 0,01, p = 0,05 e p = 0,10 e o risco do
consumidor para p = 0,20 e p = 0,30.
c) Qual é o máximo valor possível do risco do
produtor para 0 � p � 0,10? E o mínimo?
d) Qual é o máximo valor possível do risco do
consumidor para 0,10 < p � 1? E o mínimo?