Parte III

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
 Ciências Exatas e Tecnológicas 
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 Material de apoio – Controle Estatístico da Qualidade 
Parte III 
 
Profa. Karla Faccio 
 
6. ESTIMAÇÃO 
 
6.1 Distribuição probabilística t-Student 
Na maioria das situações reais,  (desvio padrão populacional) é desconhecido. Neste 
caso, podemos substituir  pelo desvio-padrão amostral s. Estaremos introduzindo mais 
um erro no processo de inferência, o erro de estimação de . Este novo intervalo será 
mais largo do que o considerado com a estatística z. Desta forma, a distribuição t-
Student deve ser utilizada para pequenas amostras (n < 30) e  desconhecido, ou seja, 
utiliza-se o s (desvio padrão amostral). 
 
O parâmetro usado para descrever a distribuição t-Student é o número de graus de 
liberdade (g.l.), do inglês d.f. (degrees of freedom). 
 
Graus de Liberdade: Para um conjunto de dados correspondente ao número de valores 
que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. 
 
A distribuição t-Student é: 
• Simétrica em relação à média; 
• Depende dos graus de liberdade (g.l.); 
• Quanto mais o g.l. aumenta, mais a distribuição t-Student tende à Normal 
Padrão, assim, no infinito a distribuição t-Student equivale à distribuição 
Normal Padrão (Vide tabela t-Student – ANEXO 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O Anexo 1 mostra a Tabela da distribuição t-Student. 
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00
Normal
T1gl
T5gl
T30gl
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6.2 Estimação 
 
A estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar 
parâmetros populacionais. Parâmetros são quantidades populacionais e estimadores são 
funções de dados amostrais que irão gerar as estimativas para os parâmetros 
populacionais. 
 
Tabela - Exemplos de parâmetros e seus respectivos estimadores. 
Parâmetros Estimadores 
Média populacional 
 
Média amostral 
X 
Desvio-padrão populacional 
 
Desvio-padrão amostral 
s 
Proporção populacional 
 
Proporção amostral 
p 
 
As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros populacionais. 
Assim, uma média amostral é usada como estimativa da média populacional, a 
proporção de defeituosos de uma caixa é utilizada para estimar a proporção de 
defeituosos na produção toda, etc. 
 
Tais estimativas chamam-se estimativas pontuais, porque originam apenas uma única 
estimativa do parâmetro. Em virtude da variabilidade amostral, é usual incluir uma 
“estimativa intervalar” para acompanhar a estimativa pontual. Esta nova estimativa 
proporciona um intervalo, ou âmbito, de possíveis valores do parâmetro populacional. 
 
Estimativa pontual: estimativa única de um parâmetro populacional 
Estimativa intervalar: intervalo de valores possíveis, o qual se admite que esteja 
contendo o parâmetro. 
 
Um intervalo de confiança dá um intervalo de valores, centrado na estatística amostral, 
no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população. 
 
Os intervalos de confiança podem ser unilaterais (por exemplo, a proporção de defeitos 
é maior de 3%) ou bilaterais (a proporção de defeitos está entre 2% e 4%). 
 
A capacidade de estimar parâmetros populacionais por meio de dados amostrais está 
ligada diretamente ao conhecimento da distribuição amostral da estatística que está 
sendo usada como estimador. 
 
Os intervalos de confiança para os parâmetros são construídos de forma que se 
considera uma variação em torno do valor amostral e, assim, pode-se escrever que o 
parâmetro situa-se entre dois limites: 
 
Valor do parâmetro = estimativa pontual ± erro de amostragem 
 
 
 
 
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Exemplo: Considerando a Distribuição Normal (poderia ser a Distribuição t-Student). 




 2
__;~
X
NX  , logo: 
)1;0(~ 2
__
__
NZX
X




 
Logo o Intervalo de confiança para a média X é calculado da forma: 
 


  1____
__
XX
zXzP 
 


  1____
____
XX
zXzXP 
 
 Erro Erro 
 
O erro de amostragem depende da distribuição amostral do parâmetro, do nível de 
confiança adotado e do tamanho da amostra. 
 
OBS: 
 
: nível de confiança 
: nível de significância 
 
Quando utilizar a Distribuição Normal ou a Distribuição t-Student? 
 
TAMANHO DA 
AMOSTRA 
SE O DESVIO PADRÃO 
POPULACIONAL () USO A DISTRIBUIÇÃO 
É GRANDE (n  30) 
É Conhecido NORMAL 
É Desconhecido NORMAL 
É PEQUENO (n < 30) 
É Conhecido NORMAL 
É Desconhecido t-STUDENT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A tabela a seguir apresentada resume as informações necessárias para intervalos de 
confiança. 
 
 
Estimativa de médias: 
Pontual: X 
Intervalarutilizando a Normal: 
n
zX   )2/( 
Intervalar utilizando a t-Student: 
n
stX n   )2/;1(  
 
Estimativas das proporções: 
Pontual 
n
xp  
 
Intervalar (n < 30): n
pptp n

 
1.(
)2/;1(  
 
Intervalar (n ≥ 30): n
ppzp  1.()2/( 
 

Onde: 
 
z: representa o valor crítico (tabelado) da distribuição Normal (ou no infinito o valor 
tabelado da distribuição t-Sudent), com nível de confiança 1- ou com nível de 
significância . 
: é o desvio padrão populacional. 
s: é o desvio padrão amostral. 
t : representa o valor crítico (tabelado) da distribuição t-Student, com nível de confiança 
1- e g.l. = n-1 graus de liberdade (O valor da distribuição t-Student depende do 
número de graus de liberdade) 
N: é o tamanho da população 
n: é o tamanho da amostra 
 
Exemplo 1: Uma pesquisa salarial feita com uma amostra de 25 casos encontrou uma 
média salarial de R$ 800,00 com desvio-padrão de R$ 100,00. Obtenha e interprete a 
estimativa por intervalo para a média com 95% de confiança. 
 
Tamanho da amostra: n = 25 
Média amostral: X = 800 
Desvio-padrão amostral: s = 100 
Nível de significância de 5% (0,05) 
g.l. = n – 1 = 25 – 1 = 24 
Valor crítico: t(n-1; /2) = t(25-1; /2) = t(24; ) = 2,064 (procuro na tabela t-Student na 
linha 24 e na coluna 0,025 – Anexo 1) 
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28,4120.064,2
5
100.064,2
25
100.. )025,0;24()2/;1(  tn
st n  
28,41800.)2/;1(   n
stX n  
800,00 + 41,28 = 841,28 
800,00 – 41,28 = 758,72 
 
Portanto, existe 95% de chance de que o salário médio na população esteja entre R$ 
758,72 e R$ 841,28. 
 
Exemplo 2: Uma recente pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma grande 
cidade, 40 se mostraram favoráveis a pena de morte. Construa um intervalo de 99% de 
confiança para a verdadeira proporção dos habitantes daquela cidade favoráveis a pena 
de morte. 
Tamanho da amostra: n = 200 
Proporção amostral p = 40/200 = 0,20 
Nível de significância de 1% =0,01 
Valor crítico: Z/2 = Z0,01/2= Z 0,005 = 2,576 (procuro na tabela t-Student na linha do 
infinito e na coluna 0,005 – Anexo 1) 
 
073,0
200
16,0.576,2
200
)2,01(20,0576,2)1.(.2/ 



n
ppZ 
 
073,02,0)1.(.2/ 


n
ppZp  
 
0,20 + 0,073 = 0,273 
0,20 – 0,073 = 0,127 
Logo, (0,127 ; 0,273) = (12,7% ; 27,3%) 
Portanto, existe 99% de chance de que a verdadeira proporção dos habitantes daquela 
cidade favoráveis a pena de morte esteja entre 12,7% e 27,3%. 
 
 
 
 
 
 
 
O va lo r da proporção 
deve es ta r sempre 
e nt re 0 e 1 . 
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Exemplo 3: Intervalo de confiança para a média μ quando se conhece a variância de 
população x. Seja uma amostra de tamanho 36 de uma população infinita, sabe-se que 
 =3 e x = 24,2. 
Confiança 
desejada 
2/Z 
(Tabelado) 
Fórmula Cálculo Erro Intervalo 
90% 1,645 
n
zX   )2/( 36
3645,12,24  0,825 23,375 a 25,025 
95% 1,96 
n
zX   )2/( 36
396,12,24  0,980 23,220 a 25,180 
99% 2,576 
n
zX   )2/( 36
3576,22,24  1,290 23,110 a 25,690 
 
Exercício 1: O tempo de resolução de determinado tipo de teste é uma variável que 
segue uma distribuição normal, com desvio-padrão de 14 minutos. Uma amostra de 15 
alunos, aleatoriamente escolhidos, resolveram o teste no tempo médio de 148 minutos. 
Determine e interprete o intervalo de confiança a 99% para média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 2: Numa tentativa de melhorar o esquema de atendimento, um médico 
procurou estimar o tempo médio que gasta com cada paciente. Uma amostra aleatória de 
20 pacientes, colhida em um período de três semanas, acusou uma média de 30 minutos, 
com desvio-padrão de 6 minutos. A partir destas informações construa e interprete o 
intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro tempo médio de consulta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3: Uma amostra de 200 adultos de certa cidade encontrou 74 deles declarando 
o vício do cigarro. Estime a verdadeira proporção populacional de fumantes ao nível de 
90% de confiança e interprete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
1. Os salários dos funcionários de uma fábrica de tecidos têm uma distribuição 
aproximadamente Normal. Para estimar o salário médio desta população, foram 
observados os salários de 18 funcionários, obtendo-se um salário médio de 1000 reais e 
desvio padrão de 180 reais. Determine e interprete o intervalo de confiança de 95% para 
o verdadeiro salário médio dos funcionários desta fábrica. 
Utilizar a t-Student: (910,48 ; 1089,52) 
2. Certo equipamento de empacotamento automático encontra-se regulado para encher 
embalagens de um quilo de certo produto e o seu deficiente funcionamento origina 
prejuízo para a empresa. Aceita-se, da experiência passada, que o peso das embalagens 
se comporta normalmente com uma dispersão dada por um desvio-padrão de 12 gr. Para 
verificar a afinação do equipamento, selecionaram-se em certo período nove 
embalagens cujos pesos exatos foram anotados (em gramas): 
 983 992 1.011 976 997 1.000 1.004 983 998 
Construa e interprete os intervalos de confiança para a média, com os seguintes graus de 
confiança: 90%, 95% e 99%. 
R: Utilizar a Normal (Z): 
 90%: (987,20 ; 1.000,36) 
 95%: (985,94 ; 1.001,62) 
 99%: (983,48 ; 1.004,08) 
3. O tempo de resolução de determinado tipo de teste é uma variável que segue uma 
distribuição normal, com desvio-padrão de 14 minutos. Uma amostra de 12 alunos, 
aleatoriamente escolhidos, resolveram o teste no tempo médio de 148,3 minutos. 
Determine e interprete o intervalo de confiança a 99% para média. R: Utilizar a 
Normal (Z): (137,89 ; 158,71) 
4. Uma grande cidade dos E.U.A. pretende construir um complexo desportivo. Antes de 
tomar a decisão foi feito um estudo no âmbito do qual 400 pessoas foram entrevistadas. 
Destas, 310 indicaram poder vir a utilizar o complexo regularmente. Encontre um 
intervalo de confiança a 95% para a proporção de pessoas que poderá ser cliente 
habitual do complexo e interprete. R: Utilizar a Normal (Z): (0,734 ; 0816) 
5. Uma fábrica de sapatos pretende contratar um artesão para fabricar um modelo 
específico de sapatos. No entanto, com medo que a dimensão dos sapatos a produzir não 
esteja dentro dos níveis considerados aceitáveis pela empresa encomendou ao artesão 20 
sapatos do referido modelo com o comprimento de 30 cm. Os valores amostrais obtidos 
foram 29,95 cm para a média amostral e 0,107 cm para o desvio-padrão amostral. 
Defina e interprete o intervalo de confiança a 95% para o valor esperado do 
comprimento dos sapatos produzidos pelo artesão. R: Utilizar a t-Student: (29,90 ; 
30,00) 
6. Numa tentativa de melhorar o esquema de atendimento, um médico procurou estimar 
o tempo médio que gasta com cada paciente. Uma amostra aleatória de 49 pacientes, 
colhida em um período de três semanas, acusou uma média de 30 minutos, com desvio-
padrão de 7 minutos. A partir destas informações construa um intervalo de 95% de 
confiança para o verdadeiro tempo médio de consulta e interprete. R: Utilizar a 
Normal (Z): (28,04 ; 31,96) 
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7. Uma amostra aleatória de 40 contas não-comerciais na filial de um banco acusou 
saldo médio diário de R$ 140,00 com desvio-padrão de R$ 30,00. 
Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para a média. R: Utilizar a 
Normal (Z): (130,70 ; 149,30) 
Construa e interprete um intervalo de 99% de confiança para a média. R: Utilizar a 
Normal (Z): (127,78 ; 152,22) 
8. Uma amostra aleatória de 100 fregueses da parte da manhã de um supermercado 
revelou que apenas 10 não incluem leite em suas compras. Construa e interprete um 
intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção dos que compram leite. 
R: Utilizar a Normal (Z): (0,851 ; 0,949) 
9. Uma amostra de 200 adultos de certa cidade encontrou 62 deles declarando o vício do 
cigarro. Estime a verdadeira proporção populacional de fumantes ao nível de 95% de 
confiança. R: Utilizar a Normal (Z): (0,246 ; 0,374) 
 
10. Uma pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma grande cidade, 40 se 
mostraram favoráveis a pena de morte. Construa e interprete um intervalo de 99% de 
confiança para a verdadeira proporção dos habitantes daquela cidade favoráveis a pena 
de morte. R: Utilizar a Normal (Z): (0,127 ; 0,273) 
 
11. (2015/2) Em uma pesquisa com 1000 norte-americanos adultos, 660 declararam que 
seriam felizes caso passassem o resto da carreira em seu emprego atual. Construa e 
interprete um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção de norte-
americanos felizes caso passassem o resto da carreira em seu emprego atual. 
R: Utilizar a Normal (Z): (0,631 ; 0,689) 
 
12. (2015/1) Uma empresa de computadores quer estimar o tempo médio diário que os 
adultos de uma cidade usam o computador em casa. Em uma amostra de 21 adultos, a 
média de tempo que um computador é usado em casa é de 2 horas. Baseado em estudos 
anteriores, a empresa assume o desviopadrão como 1,5 horas. Construa e interprete o 
intervalo ao nível de 95% de confiança para o verdadeiro tempo médio que os adultos 
desta cidade usam o computador em casa. R: Utilizar a Normal (Z): (1,36 ; 2,64) 
 
13. (2015/2) Pneus de uma determinada marca foram colocados aleatoriamente nas 
rodas traseiras de 10 carros com os seguintes resultados: 
Percurso médio amostral até o desgaste total = 45300 Km 
Desvio padrão amostral até desgaste total = 6150 Km 
Obtenha e interprete um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira vida média 
dos pneus dessa marca. R: Utilizar a t-Student: (40901 ; 49699) 
 
14. (2015/2) Uma concessionária de automóveis gostaria de calcular a proporção de 
consumidores que ainda possuem o carro que compraram 5 anos atrás. Uma amostra 
aleatória de 200 consumidores, selecionados a partir do registro da concessionária de 
automóveis, indica que 82 consumidores ainda possuem os carros que compraram há 5 
anos. Obtenha e interprete a estimativa por intervalo de 95% de confiança para a 
proporção da população de consumidores que ainda possuem os carros que compraram 
há 5 anos. R: Utilizar a Normal (Z): (0,342 ; 0,478) 
 
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15. (2015/1) O diretor de admissão de uma faculdade deseja estimar a idade média de 
todos os estudantes matriculados. Em uma amostra aleatória de 20 estudantes, a idade 
média encontrada é de 22,9 anos. Baseado em estudos anteriores, o desvio padrão é de 
1,5 anos e a população é normalmente distribuída. Construa e interprete o intervalo de 
confiança de 99% para a média da idade da população. R: Utilizar a Normal (Z): 
(22,04 ; 23,76) 
 
16. (2015/2) Suponha que X represente a duração da vida de uma peça de um 
equipamento. Admita-se que 30 peças foram ensaiadas, fornecendo uma duração de 
vida média de 501,2 horas. Sabe-se que a variável X é normalmente distribuída com 
desvio padrão de 4 horas. Obtenha e interprete um intervalo de 99% de confiança para a 
verdadeira duração de vida média dessa peça. R: Utilizar a Normal (Z): (499,32 ; 
503,08) 
 
17. (2015/1) Uma filial de uma grande cadeia de lojas de artigos eletrônicos está 
fazendo um balanço das mercadorias em estoque. Conclui-se que existem 1546 itens em 
estoque. Uma amostra de 50 itens é selecionada aleatoriamente, e fez-se uma auditoria, 
com os seguintes resultados: 
Valor das mercadorias: média = $252,28 ; desvio padrão = $93,67. 
Desenvolva uma estimativa do intervalo de 99% de confiança para o verdadeiro valor 
médio das mercadorias existentes no estoque. (interprete o resultado) 
R: Utilizar a Normal (Z): (218,16 ; 286,40) 
 
18. (2015/1) O secretário de habitação de um governo estadual deseja estudar várias 
características correspondentes a domicílios de uma cidade. Uma amostra aleatória de 
70 casas revela o seguinte: 
- Área aquecida da casa (em metros quadrados): média = 1759 ; desvio padrão = 380. 
- 42 casas têm ar-condicionado. 
a) Desenvolva uma estimativa, com um intervalo de 99% de confiança, da população 
correspondente á área aquecida média da casa. R: Utilizar a Normal (Z): (1642,01 ; 
1875,9) 
b) Desenvolva uma estimativa, com um intervalo de 99% de confiança, da população da 
proporção de casas que têm ar-condicionado. R: Utilizar a Normal (Z): (0,449 ; 0,751) 
 
19. (2015/2) Examinadas 400 peças de uma produção, encontrou-se 120 defeituosas. 
Construa e interprete um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção de 
peças defeituosas. R: Utilizar a Normal (Z): (0,262 ; 0,338) 
 
20. (2015/1) Foi realizada uma pesquisa de mercado para verificar a preferência da 
população de uma cidade em relação ao consumo de determinado produto. Para isso, foi 
colhida uma amostra de 300 consumidores, dos quais 180 disseram consumir o produto. 
Construa e interprete o intervalo ao nível de 95% de confiança para a verdadeira 
proporção de consumidores deste produto. R: Utilizar a Normal (Z): (0,545 ; 0,655) 
 
21. (2016/1) Uma fábrica de tecidos almeja estimar o verdadeiro salário médio dos seus 
funcionários. Para tal, foram observados os salários de 20 funcionários, obtendo-se um 
salário médio de 1850 reais e um desvio padrão de 220 reais. Determine e interprete o 
intervalo de 99% de confiança para o verdadeiro salário médio dos funcionários dessa 
fábrica de tecidos. R: Utilizar a t-Student (t): (1709,26 ; 1990,74) 
 
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22. (2016/2) Um centro de estudos de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa para 
avaliar a opinião dos telespectadores de uma região sobre um certo comentarista 
esportivo. Para tal, entrevistou-se 380 telespectadores, selecionados ao acaso da região, 
e constatou-se que 160 deles desejavam que o comentarista fosse afastado da TV. 
Determine e interprete o intervalo de 99% de confiança para a verdadeira proporção de 
telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista. R: Utilizar a Normal (Z): 
(0,356 ; 0,486) 
 
23. (2016/2) Pretende-se estudar a média do peso de certos componentes mecânicos 
produzidos por uma determinada empresa. Para tal, selecionou-se uma amostra de 
tamanho 11, a qual indicou peso médio de 100 g e desvio padrão de 6,9 g. Construa e 
interprete o intervalo de 99% de confiança para o verdadeiro peso médio desses 
componentes produzidos por essa empresa. R: Utilizar a t-Student (t): (93,41 ; 
106,59) 
 
24. (2016/2) Uma máquina automática de suco industrial é regulada de modo que a 
quantidade suprida de cada vez, tenha distribuição aproximadamente normal com 
desvio padrão de 35 ml. Determine e interprete o intervalo de 95% de confiança para a 
quantidade média de toda a produção, sabendo que uma amostra de 30 embalagens teve 
conteúdo médio de 290 ml. R: Utilizar a Normal (Z): (277,50 ; 302,50) 
 
25. (2017/1) Numa fábrica de computadores pretende-se estimar o tempo médio de vida 
de um determinado tipo de disco rígido. Para tal, foi selecionada uma amostra 
constituída por 15 computadores. Com base nesta amostra obteve-se um tempo médio 
de vida igual a 27.350 horas e desvio padrão de 3.000 horas. Construa e interprete o 
intervalo de confiança a 99% para o verdadeiro tempo médio de vida dos discos rígidos 
daquele tipo. R: Utilizar a t-Student (t): (25.044 ; 29.656) 
 
26. Sabe-se que o tempo de vida útil de um componente eletrônico tem desvio-padrão 
de 500 horas, mas o tempo médio de vida útil é desconhecido. Supõe-se que o tempo de 
vida útil dos componentes eletrônicos tem uma distribuição aproximadamente normal. 
Numa amostra de n = 15, o tempo médio de vida útil é de 8.900 horas. Pretende-se que 
construa intervalos de confiança para a média da população com um grau de confiança 
de: 
a) 95% R: Utilizar a Normal (Z): (8646,97 , 9153,03) 
b) 90% R: Utilizar a Normal (Z): (8687,63 , 9112,37) 
 
27. Uma pesquisa envolveu uma amostra de 800 unidades produzidas em um local, 
indicando que 12 apresentavam não-conformidades. Encontre a estimativa com 99% de 
confiança para a proporção e interprete o resultado. R: Utilizar a Normal (Z): (0,39% , 
2,61%) 
 
28. (2017/2) As auditorias executadas por uma empresa geram uma nota de zero a 100 
pontos, decorrente da condição da empresa auditada. Uma amostra de 16 empresas 
auditadas de um estado da região sul teve nota média de 70 pontos e desvio padrão de 6 
pontos. Determine e interprete o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira nota 
média das auditorias. R: Utilizar a t-Student (t): (66,8 ; 73,2) 
 
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29. (2017/2) Em uma fábrica coletou-se uma amostra de 24 peças para avaliação, as 
seguintes informações foram obtidas sobre o diâmetro das peças avaliadas: diâmetro 
médio de 25,13 mm e variância 2,05 mm2. Construa e interprete o intervalo de 90% de 
confiança para o verdadeiro diâmetro médio dessas peças. R: Utilizar a t-Student (t): 
(24,63 ; 25,63) 
 
30. (2017/2) O exame de uma amostra de 50 peças oriundas de uma linha de produção 
mostrou que 8 delas eram defeituosas. Determine e interprete o intervalo de confiança, a 
95% de confiança, para a verdadeira proporção de peças não defeituosas. R: Utilizar a 
Normal (Z): (0,738 ; 0,942) = (73,8% ; 94,2%) 
 
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7.AMOSTRAGEM E DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA 
 
A Amostragem é um processo através do qual se seleciona uma ou mais amostras. O 
objetivo da amostragem é permitir fazer inferências sobre uma população após a 
inspeção de apenas parte dela. Na amostragem seleciona-se uma parte de uma 
população para observá-la com a finalidade de estimar “algo” da população. 
Fatores como custo, tempo, ensaios destrutivos e populações infinitas tornam a 
amostragem preferível a um estudo completo (censo). 
Os principais tipos de amostragem utilizados são: não probabilísticas e 
probabilísticas. 
 
Amostragem não probabilística: é utilizada quando a população em estudo é muito 
pequena ou de difícil obtenção. Neste caso a análise de uma amostra poderia causar 
distorções. Uma pessoa familiarizada com a população pode indicar melhor as unidades 
amostrais. Este tipo de amostragem não permite avaliar o erro amostral. Exemplo: uma 
doença rara. 
 
Amostragem probabilística: Exige que todos os elementos da população tenham a 
probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra, sendo que os 
elementos possuem a mesma chance de serem selecionados. Assim, se N for o número 
de elementos da população, a probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. 
Os planos de amostragem probabilística são delineados de tal modo que se conhecem 
todas as combinações amostrais possíveis e suas probabilidades, podendo-se determinar 
o erro amostral. 
 
Técnicas de Amostragem Probabilísticas: 
 
- Amostragem Aleatória (AA): Cada membro individual da população tem chance 
igual de ser escolhido. 
 
- Amostragem Aleatória Simples (AAS): Consiste na seleção de n unidades amostrais 
de tal forma que cada amostra tenha a mesma chance de ser escolhida, podendo ser com 
ou sem reposição. Pode-se utilizar uma tabela de números aleatórios ou um programa de 
geração de números aleatórios. 
 
- Amostragem Estratificada (AE): A população é dividida em estratos (subpopulações 
/subgrupos) que possuem a mesma característica e em seguida uma AAS é selecionada. 
Estes estratos devem ser internamente mais homogêneos do que a população toda, com 
respeito às variáveis em estudo. Exemplo: homens e mulheres, bairro, renda, regiões, 
etc. 
 
- Amostragem por Conglomerados (AC): A população é dividida em subpopulações 
distintas, chamadas de conglomerados (Exemplo: residências, quarteirões, bairros, 
famílias, etc), e alguns desses conglomerados são selecionados por AAS e todos os 
indivíduos são observados. 
 
- Amostragem Sistemática (AS): Quando existe disponível uma listagem de indivíduos 
da população pode-se sortear, por exemplo, um nome entre os primeiros 10 indivíduos e 
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então observar todo décimo indivíduo a partir do primeiro selecionado. A seleção do 
primeiro indivíduo pode ser feita usando AAS, os demais são selecionados 
sistematicamente. Exemplo: o 5°, 405°, 805°,1205°,... indivíduos. 
 
 
 Fonte: Triola, 2008. 
 
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Técnicas de Amostragem Não-Probabilísticas: 
 
- Amostragem por cotas: Nesta técnica a população é vista de forma segregada, 
dividida em diversos subgrupos. Numa pesquisa socioeconômica, por exemplo, a 
população pode ser dividida por faixas de renda, faixas de idade, nível de instrução, etc. 
 
- Amostragem por julgamento: Os elementos escolhidos são aqueles julgados como 
típicos da população que se deseja estudar. 
 
- Amostragem por fluxo: Os elementos são selecionados através do fluxo destes em 
determinado local. Por exemplo, considere uma pesquisa referente à opinião das pessoas 
sobre a administração da cidade. A amostra pode ser selecionada considerando o fluxo 
das pessoas no centro de Porto Alegre. 
 
- Amostragem de Conveniência: Usamos resultados de fácil obtenção. 
 
Normalmente as perguntas mais frequentes em relação ao tamanho mínimo da amostra 
são: 
 
 
Neste contexto, definir o tamanho mínimo da amostra é indispensável para garantir a 
capacidade de o estudo responder aos objetivos propostos considerando o rigor 
científico indispensável em qualquer pesquisa. É importante observar que não existe um 
tamanho de amostra pré-determinado, ou seja, cada pesquisa deve ser considerando sua 
população e seus objetivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A determinação do tamanho amostral é realizada mediante fórmulas estatísticas, 
conhecidas como fórmulas para cálculo de tamanho de amostra que consideram alguns 
elementos importantes: 
 
A fórmula a ser utilizada para a determinação do tamanho mínimo 
da amostra depende se a variável a ser estimada é quantitativa ou 
qualitativa.Tipo de 
Variável
O universo (população) alvo do estudo deve ser claramente 
determinado pelo pesquisador, bem como, se possível, seu 
tamanho conhecido.Tamanho da 
População
É preciso ter uma ideia inicial do que se espera encontrar como 
resultado. Esse valor pode ser obtido através de um estudo piloto, 
ou ainda, através de estudos similares.
Estimativa 
inicial dos 
parâmetros
O erro de amostragem aceito significa determinar até quanto 
acima ou abaixo pode estar localizado o verdadeira valor: mais ou 
menos 5, 3% ou 1%. Quanto maior for o erro de amostragem 
aceito, menos precisa será a estimativa, por outro lado, menor 
também será o tamanho da amostra (n).Erro de 
Amostragem
 
 
7.1 Determinação do Tamanho da Amostra (n) para estimar uma Média 
 
O tamanho da amostra (n) dependerá do grau de confiança desejado (z), do desvio 
padrão (), e do erro máximo tolerável (e). 
 
O erro é igual a média amostral e a verdadeira média da população. Como o intervalo de 
confiança tem centro na média amostral, o erro máximo provável é igual à metade da 
amplitude do intervalo. Assim, para diminuir o erro máximo de estimativa, dando a esta 
maior precisão, a única alternativa de que dispomos é o aumento do tamanho da 
amostra. 
 
Tamanho da amostra a ser tomado para populações infinitas (N não definido): 
2
2/ . 





e
Z
n

 
 
OBS: No caso de desconhecido, deve-se substitui-lo pelo s (amostra). 
 
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Tamanho da amostra a ser tomado para população finita (N definido): 
0
0
nN
nNn


 , sendo 
2
2/
0
.






e
Zn  
 
7.2 Determinação do Tamanho da Amostra (n) para estimar uma Proporção 
 
O tamanho da amostra (n) dependerá do grau de confiança desejado (z) e do erro 
máximo tolerável (e). 
 
 
Tamanho da Amostra a ser tomado para população infinita (N não definido): 
2
2
2/ )1()(
e
ppZ
n

  
 
Tamanho da amostra a ser tomado para população finita (N definido): 
)1.(.)().1(
).1()(
2
2/
2
2
2/
ppZeN
NppZn





 
 
OBS: é necessário imaginar uma estimativa provisória da proporção p. quando não se 
tem a menor ideia desta proporção, utiliza-se p = 0,50, que é a pior situação. 
 
Onde: 
e: erro máximo de estimativa (5% normalmente ou 3% pesquisa eleitoral) 
n: tamanho da amostra 
: desvio padrão populacional 
Z/2: valor tabelado da distribuição Normal, com nível de confiança 1- 
p: proporção da característica a ser estudada 
N: tamanho da população 
 
Exemplo 1: Desejando estimar, ao nível de confiança de 95%, a média de uma 
população de modo que ela não exceda a 2 unidades, sendo  = 8, qual o tamanho da 
amostra a ser tomada? 
 
Nível de confiança de 95% ou 5% de significância  logo, z = 1,96 (olhei na tabela 
ANEXO 1 – t-Student no infinito). 
e = 2 unidades 
 = 8 
Então vamos substituir na fórmula do tamanho da amostra: 
47,61
2
896,1 222/ 




 




  n
e
z
n
 , logo n = 62. 
 
Exemplo 2: Idem ao exemplo anterior, mas sabendo que o erro máximo é de 1,5. 
 
Nível de confiança de 95% ou 5% de significância  logo, z = 1,96 (olhei na tabela 
ANEXO 1 – t-Student no infinito). 
e = 1,5 unidades 
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 = 8 
Então vamos substituir na fórmula do tamanho da amostra: 
27,109
5,1
896,1
22
2/ 




 





  n
e
zn  , logo n = 110. 
 
Exemplo 3: As companhias de seguro estão ficando preocupadas com o fato de que o 
número crescente de telefones celulares resulte em maior número de colisões de carros. 
Estão, por isso, pensando em cobrar prêmios mais elevados para os motoristas que 
utilizam celulares. Desejamos estimar, com uma margem de erro de três pontos 
percentuais, a percentagem de motoristas que falam ao celular enquanto dirigem. 
Supondo que se pretende um nível de confiança de 95% nos resultados, quantos 
motoristas devem ser investigados? Suponha que não tenhamos nenhuma informação 
sobre p. 
11,1067
03,0
)5,01(5,0)96,1()1()(
2
2
2
2
2/ 



 n
e
ppzn  , logo n = 1068. 
 
Exemplo 4: Vamos supor uma pesquisa com uma população de 1450 assinantes da 
NET, qual o tamanho mínimo que amostra deve ter considerando um erro máximo de 
estimação de 5%? 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1: Qual o tamanho de amostra necessário para estimar o tempo médio de que 
um vendedor de uma loja de móveis gasta com cada cliente, admitindo erro de 2 
minutos, para mais ou para menos, para obter um nível de confiança de 99%. Suponha 
desvio padrão de 12 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
86,303
5829,4
58,392.1
9604,06225,3
450.19604,0
25,084,30025,01449
450.125,084,3
)50,01(50,0.96,105,0).11450(
1450).50,01(50,0.96,1
)1()1(
)1(
22
2
22
2












n
ppzN
Nppzn

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Exercício 2: Uma pesquisa é planejada para determinar as despesas médias anuais das 
famílias dos 2000 empregados de uma empresa. A gerência deseja ter 95% de confiança 
de que a média da amostra está no máximo com uma margem de erro de $50 da média 
real das despesas médicas familiares. Um estudo-piloto indica que o desvio padrão pode 
ser utilizado como sendo igual a $450. 
a) Qual o tamanho de amostra necessário? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Repita a letra (a) utilizando um erro de $45. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3: Você está analisando uma campanha política e quer estimar, com 90% de 
confiança, a proporção dos eleitores que irão votar no seu candidato. Sua estimativa 
deve ter uma margem de erro de 3,5% da população real. 
a) Determine o tamanho de amostra necessário considerando que não há estimativa 
prévia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine o tamanho de amostra necessário considerando uma estimativa prévia de 
42%. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 4: Uma pequena indústria fabricante de gêneros alimentícios deseja realizar 
uma pesquisa em um supermercado de uma região de São Leopoldo com o objetivo de 
estimar a proporção de consumidores que preferem o leite embalado em embalagem 
Tetra Pak®. Sabe-se que supermercado atende aproximadamente 3000 clientes. Qual 
deve ser o tamanho mínimo da amostra considerando um nível de confiança de 95% e 
um erro máximo de estimação de 5%? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Sendo X normalmente distribuída, uma amostra de 50 elementos forneceu 4,78
__
X 
e s = 6,2. 
a) Estimar, ao nível de 99% de confiança, a média da população. R: (76,14 ; 80,66) 
b) Qual deveria ser o tamanho da amostra para o erro de estimativa ser 2? R: 64 
 
2. Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de 90% de 
confiança para a verdadeira média populacional, com erro de 1,0 em qualquer dos 
sentidos, se o desvio padrão da população é 10,0? R: 271 
 
3. Qual o tamanho de amostra necessário para estimar o tempo médio de que um 
vendedor de uma loja de móveis gasta com cada cliente, admitindo erro de 1 minuto, 
para mais ou para menos, para obter um nível de confiança de 99%. Suponha x=12 
minutos. R: 956 
 
4. Determine o número de observações necessário para estimar o tempo médio de 
serviço de atendimento as chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro máximo deve 
ser de 0,6 hora para um nível de confiança de 95%, sabendo que o tempo de 
atendimento tem um desvio padrão de 1 hora. Suponha normalidade na população. 
R: 11 
 
5. Uma amostra será pesquisada para estimar, com 95% de confiança, a média de 
velocidade dos automóveis que passam em um local. Qual o tamanho mínimo de 
amostra para que se tenha um erro máximo de 4 km/h, sabendo que o desvio-padrão é 
estimado em 16 km/h? R: 62 
 
6. Pretende-se estimar a proporção de um tipo de peça plástica que sai da produção com 
peso inadequado, ou seja, abaixo de 250g. É necessário que a estimativa de proporção 
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de peças com peso inadequado tenha 95% de confiança e erro máximo de 4%. 
Determine o tamanho mínimo da amostra. R: 601 
 
7. Um engenheiro civil quer avaliar a resistência à compressão de um tipo de concreto 
que apresenta desvio padrão populacional de 950 psi. Qual o tamanho mínimo da 
amostra para que a estimativa da resistência média a ser atribuída para este tipo de 
concreto tenha erro máximo de 300 psi, com 95% de confiança? R: 39 
 
8. Uma pesquisa é planejada para determinar as despesas médicas anuais das famílias 
dos empregados de uma grande empresa. A gerência da empresa deseja ter 95% de 
confiança de que a média da amostra estáno máximo com uma margem de erro de 50 
reais da média real das despesas médicas familiares. Um estudo-piloto indica que o 
desvio-padrão pode ser calculado como sendo igual a 400 reais. 
a) Qual o tamanho de amostra necessário? R: n = 245,8  246 
b) Se a gerência deseja estar certa em uma margem de erro de 25 reais, que tamanho de 
amostra será necessário? R: n = 983,4  984 
 
9. Um estudo deseja saber a proporção de eleitores que se declaram indecisos em 
relação a certo candidato. Qual o (real) tamanho mínimo de amostra para uma confiança 
de 95% e: 
a) um erro máximo de estimação de 5%. R: n = 384,16  385 
b) um erro máximo de estimação de 3%. R: n = 1067,11  1068 
c) um erro máximo de estimação de 1%. R: n = 9604 
Compare os resultados. 
 
10. Uma grande loja de departamentos deseja realizar uma pesquisa com seus clientes 
que possuem cartão da loja. Ao todo são 4500 clientes, qual o tamanho da amostra que 
deve ser adotado com um erro máximo de estimação de 5% e um nível de confiança de 
95%? R: n = 354,01  355 
 
11. Um gerente de restaurante deseja estimar o tempo médio que os clientes levam para 
realizar uma refeição. Com base em estudos anteriores sabe-se que o desvio-padrão é de 
15 minutos. Utilizando uma confiança de 95% e um erro máximo de 5 minutos, qual 
deve ser o tamanho mínimo da amostra para este estudo? R: n = 34,57  35 
 
12. Uma amostra preliminar de pessoas de uma determinada comunidade apresentou 
18% de analfabetos. Com este resultado quer-se estimar a proporção de analfabetos da 
população com uma confiabilidade de 95% e com um erro de estimação máximo de 
2,5%. Qual o tamanho da amostra a ser utilizada? R: n = 907,23  908. 
 
13. Você quer estimar, com 90% de confiança, a proporção de câmeras de vídeo que 
precisam de conserto ou que tem problemas ao completarem cinco anos. Sua estimativa 
deve ter uma margem de erro de 2,5%. 
a) Determine o tamanho de amostra necessário considerando que não há estimativas 
anteriores. R: n = 1082,41  1083. 
b) Repita a letra (a) utilizando uma margem de erro de 2%. R: n = 1691,26  1692. 
c) Que margem de erro requer maior tamanho de amostra? Explique. R: A margem de 
erro que requer maior tamanho de amostra é 2%, pois quanto menor o erro 
desejado, maior será o tamanho da amostra (são inversamente proporcionais). 
 
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14. Suponha que uma campanha eleitoral com vários candidatos. Qual deve ser o 
tamanho da amostra para que se possa obter, com 90% de confiança e 3% de margem de 
erro para mais ou para menos, as intenções de votos em um dos candidatos. R: n = 
751,67  752. 
 
15. Você quer estimar, com 90% de confiança e com margem de erro de 3%, a 
proporção de computadores que precisam de conserto ou tem problemas ao 
completarem 3 anos de uso. 
a) Encontre o tamanho da amostra necessária considerando que não há estimativas 
anteriores. R: n = 751,67  752. 
b) Encontre o tamanho da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou 
que 19% dos computadores precisaram de conserto ou tiveram problemas ao 
completarem 3 anos de uso. R: n = 462,73  463. 
 
16. (2015/2) Um assistente social deseja saber o tamanho da amostra necessário para 
determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde, que pertence 
ao município de São Pedro. Não foi feito um levantamento prévio da proporção 
amostral. A pesquisa almeja ter 90% de confiança para que o erro máximo de estimativa 
seja 4,5% para mais ou para menos. Quantas pessoas necessitam ser entrevistadas? R: n 
= 334, 077  335. 
 
17. (2015/1) Um estudo será realizado para verificar a quantidade de lixo não reciclável 
produzido diariamente em um bairro de classe média alta de São Paulo. Sendo assim, 
quantas residências devemos investigar do bairro, para termos 99% de confiança de que 
a média amostral esteja a menos de 0,250 Kg da verdadeira média populacional. OBS: 
Estudos semelhantes foram realizados em outras grandes capitais brasileiras e obteve-se 
um desvio padrão de 0,700 Kg para bairros de moradias de classe média alta. Considere 
que o número de residências deste bairro seja 5000. R: n = 51,48  52. 
 
18. (2015/1) Uma agência de propaganda, que atende uma das principais estações de 
rádio, gostaria de calcular a quantidade média de tempo que a audiência gasta 
diariamente ouvindo rádio. A partir de estudos do passado, o desvio padrão é calculado 
em 45 minutos e o erro máximo tolerável é de ± 5 minutos. 
a) Que tamanho de amostra é necessário se a agência quiser ter 90% de confiança? 
R: n = 219,188  220. 
b) Se for desejado um nível de 95% de confiança, que tamanho de amostra é necessário? 
R: n = 311,17  312. 
c) Qual o erro máximo de estimativa se a amostra fosse 340 e 90% de confiança? e = 4 
minutos. 
 
19. (2015/1) Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de 
consumidores de certo produto. Se a amostra de tamanho 300 forneceu 90 indivíduos 
que consomem o dado produto, determine: 
a) O intervalo de confiança para a verdadeira proporção de pessoas que consomem o 
produto, com 95% de confiança (interprete o resultado). 
R: Utilizar a Normal (Z): (0,248 ; 0,352) 
b) O tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 2% e com 90% de 
confiança. R: n = 1429,66  1421. 
 
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20. (2016/1) Suponha que uma empresa esteja interessada em monitorar a vida (em 
horas) de lâmpadas de 75 Watts que fabrica. Desta forma, uma amostra aleatória de 20 
lâmpadas apresentou média de vida de 1014 horas e desvio padrão de 15 horas. 
a) Construa e interprete o intervalo de 99% de confiança para a verdadeira média de 
vida dessas lâmpadas de 75 Watts. R: Utilizar a t-Student (t): (1004,40 ; 1023,60) 
b) Suponha que deseja-se ter 95% de confiança e considere que o erro máximo tolerável 
na estimação seja de 4 horas. Qual o tamanho da amostra deveria ser usado? R: n = 
54,0225  55. 
 
 
21. (2016/1) O prefeito de certo município deseja estimar a média de gastos realizados 
pelos turistas que visitam a cidade. Com este propósito e sem embasamento estatístico 
nenhum, uma amostra aleatória de 121 turistas foi selecionada para a investigação da 
média dos gastos realizados pelos turistas na cidade e constatou-se que a média foi igual 
a R$ 500,00 e o desvio padrão R$ 250,00. 
a) Construa e interprete o intervalo de 99% de confiança para a verdadeira média dos 
gastos realizados pelos turistas na tal cidade. R: Utilizar a Normal (Z): (441,45 ; 
558,55) 
b) Qual deveria ser o tamanho da amostra fixando uma margem de erro de R$30,00 e 
um nível de confiança de 90%? R: n = 187,92  188. 
 
22. (2016/2) A biblioteca de uma Universidade deseja estimar a proporção de livros de 
seu acervo que foram publicados até o ano de 1995. Qual deve ser o tamanho mínimo 
da amostra para se ter 90% de confiança de ficar menos de 5% da verdadeira proporção 
de livros que foram publicados até o ano de 1995? R: n = 270,6  271. 
 
23. (2016/2) Antes de uma eleição municipal em uma determinada cidade do interior de 
Santa Catarina, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de 
eleitores favoráveis a seu candidato. 
a) Determine o tamanho de amostra necessário para que o erro cometido na estimação 
seja de no máximo 4,4% e com confiança de 90%. R: n = 349,44  350. 
b) Se na amostra com tamanho igual ao obtido em (a) observou-se que 64% dos 
eleitores eram favoráveis ao candidato. Construa e interprete o intervalo de 99% de 
confiança para a verdadeira proporção de eleitores favoráveis ao candidato. R:Utilizar 
a Normal (Z): (57,4% ; 70,6%) 
 
24. (2016/2) Uma operadora de TV a cabo está disposta a realizar uma pesquisa junto 
aos seus assinantes visando, entre outras coisas, estimar a proporção dos assinantes que 
estaria dispostos a contratar um upgrade no serviço que lhes é atualmente oferecido, em 
troca de um certo desconto. Desta forma, qual o tamanho da amostra para garantir que a 
proporção de assinantes dispostos a contratar o upgrade possa ser estimada com um erro 
de estimação de 5,3% e com confiança de 95%? R: n = 341,9  342. 
 
25. (2017/1) Admita que a direção de determinada Universidade se dispõe a oferecer 
aos seus 3800 alunos a possibilidade de estes frequentarem aulas ao sábado de manhã se 
a procura para este horário for suficientemente alta. Determine o tamanho da amostra 
apropriada de alunos a inquirir para que a amplitude do intervalo de confiança a 95% 
para a proporção de alunos com interesse por aquele horário não exceda 6,5%? R: n = 
214,54  215 
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26. Uma amostra de 36 crianças de uma escola forneceu peso médio de 28,5 Kg e 
desvio padrão de 5,2 Kg. Determinar, ao nível de 99% de confiança: 
a) O intervalo de confiança para a média. R: Utilizar a Normal (Z): (26,27 ; 30,73) 
b) O tamanho da amostra para que o erro máximo seja igual a 1,2 Kg. R: n = 125 
c) O erro máximo de estimativa se a amostra fosse de 200 crianças. R: e = 0,95 Kg 
 
27. (2017/2) Um cientista resolve estimar a proporção de indivíduos com certa moléstia 
numa região. Ele deseja que a confiança de que a sua estimativa não se desvie do 
verdadeiro valor da proporção (de indivíduos com certa moléstia numa região) por mais 
de 3,5% seja de 90%. Qual deve ser o tamanho da amostra para que essas condições 
sejam satisfeitas? R: n = 552,25  553. 
 
28. (2017/2) Uma grande loja de materiais de construção e decoração deseja estimar o 
gasto médio em artigos de decoração de seus clientes em suas compras. Com base em 
um pré-teste realizado com um pequeno grupo de clientes verificou-se que o desvio 
padrão deste gasto é de 100 reais. Utilizando uma confiança de 99% e um erro máximo 
de 30 reais, qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para este estudo? R: n = 73,73 
 74. 
 
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8.TESTES DE HIPÓTESES 
 
Os Testes de Hipóteses fornecem subsídios para se rejeitar ou não uma hipótese 
estatística. Os testes de hipóteses são também conhecidos como testes de significância. 
A finalidade dos testes de hipóteses é avaliar afirmações sobre os valores de parâmetros 
populacionais. 
Os testes de hipóteses e a estimação são dois ramos principais da inferência estatística. 
Enquanto o objetivo da estimação é estimar algum parâmetro populacional, o objetivo 
dos testes de hipóteses é decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro 
populacional é verdadeira. 
Por exemplo, podemos querer determinar se são verdadeiras as afirmações: 
- o tempo médio de realização do teste é 80 minutos; 
- três por cento da população (de determinado item) é defeituosa; 
- os percentuais de não conformes dos dois processos são iguais. 
Utilizam-se duas hipóteses, sendo chamadas de hipótese nula (H0) e hipótese alternativa 
(H1) 
Hipótese: Suposição a respeito de algum parâmetro ou de relacionamento entre 
parâmetros. 
Hipótese nula (H0): Hipótese “estática”. É o contrário de H1. É a hipótese de igualdade. 
Hipótese alternativa (H1): Hipótese que descreve aquilo que o pesquisador 
tenta/deseja provar. É a hipótese de desigualdade. 
 
 
Os testes de hipótese utilizam a significância adotada pelo pesquisador. A significância 
é a probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada, quando verdadeira. Que coincide 
com o erro tipo I. 
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OBS: 
Convém lembrar que o fato de não rejeitar a hipótese nula não autoriza a fazer 
afirmações a respeito da veracidade dela. Ou seja, não se provou H0, pois no momento 
que se aceita a hipótese nula, o risco envolvido é o erro do Tipo II, o qual não está 
fixado (controlado). 
O teste de hipóteses é feito para rejeitar H0 e sua força está na rejeição (erro Tipo I 
– controlável). 
Assim, quando se rejeita se prova algo, mas quando se aceita, nada se pode afirmar. 
 
Basicamente os testes de hipótese envolvem as seguintes etapas: 
1. Estabelecer as hipóteses nula (H0) e alternativa (H1); 
2. Distribuição probabilística: Identificar a distribuição probabilística adequada; 
3. Valor Crítico: Escolher o nível de significância () e assim os valores críticos; 
4. Estatística Teste: Calcular a Estatística Teste e compará-la com o Valor Crítico; 
5. Decisão: Rejeitar a hipótese nula (H0) se o valor da Estatística Teste exceder o(s) 
Valor (es) Crítico(s); caso contrário, não rejeitar H0; ou Rejeitar a hipótese nula (H0) 
se o p-valor < (nível de significância); 
6. Conclusão. 
 
Quando utilizar a Distribuição Normal ou a Distribuição t-Student? 
TAMANHO DA 
AMOSTRA 
SE O DESVIO PADRÃO 
POPULACIONAL () USO A DISTRIBUIÇÃO 
É GRANDE (n  30) 
É Conhecido NORMAL 
É Desconhecido NORMAL 
É PEQUENO (n < 30) 
É Conhecido NORMAL 
É Desconhecido t-STUDENT 
 
A estatística do teste de hipótese depende da distribuição da variável na população e das 
informações disponíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sim
Dist. Normal
(População)
Não
“Amostra 
Grande”
Sim Não
Teste z Teste t
Sim Não
Testes não-
paramétricos

conhecido?
SimSim
Dist. Normal
(População)
NãoNão
“Amostra 
Grande”
SimSim NãoNão
Teste z Teste t
SimSim NãoNão
Testes não-
paramétricos

conhecido?
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Os testes de hipótese podem ser unilaterais ou bilaterais. 
Nos testes unilaterais a hipótese alternativa H1 é do tipo μ > a ou μ < a, por exemplo. 
Nos testes bilaterais a hipótese alternativa é do tipo μ a. 
A hipótese nula é o contrário da hipótese alternativa em todos os casos. A área de 
rejeição é dividida quando o teste é bilateral. 
 
Teste unilateral à esquerda Teste Bilateral Teste unilateral à direita 
 H1: μ < a H1: μ a H1: μ > a 
 
 
 
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA (): É o padrão definido para rejeição da hipótese nula. 
Ele define a partir de que momento a diferença entre o valor suposto e o encontrado na 
amostra é muito grande para ser devida ao acaso, ou seja, é significativa. 
 
REGIÃO CRÍTICA: Região que conduz à rejeição da hipótese nula, onde a diferença 
entre o valor encontrado e o suposto é considerada significativa. Ela tem o mesmo 
sentido da hipótese alternativa e a sua área corresponde ao nível de significância 
adotado. 
 
ESTATÍSTICA TESTE: Valor calculado a partir da amostra que será usado no processo 
decisório. 
 
DECISÃO: Se a estatística de teste cair dentro da região crítica, rejeita-se a hipótese 
nula; caso contrário, não se rejeita aceita a hipótese nula. 
 
Existem duas opções para tomar a decisão de um teste de hipóteses: 
- Via Estatística Teste: Comparar o valor da Estatística Teste com o Valor Crítico 
(valor obtido a partir da distribuiçãoteórica, específica para o teste) para um valor pré-
fixado do nível de significância (); 
 
- Via p-valor: Essa opção baseia-se na probabilidade de ocorrência de valores iguais ou 
superiores ao assumido pela Estatística Teste, sob a hipótese de que H0 é verdadeira. 
 
OBS: Observe que se o p-valor é menor que o nível de significância proposto (), 
então o valor da Estatística Teste está na região crítica e, portanto, rejeita-se a hipótese 
nula H0. Por outro lado, se o p-valor é maior que o nível de significância (), não se 
rejeita a hipótese nula H0. 
Além disso, quanto menor for o p-valor, mais "distante" estamos da hipótese nula H0. 
Desta forma, se o p-valor for menor do que o nível de significância () do teste rejeita-
se a hipótese nula H0. 
 
CONCLUSÃO: O que significa, na linguagem do problema, não ter rejeitado ou 
rejeitado a hipótese nula. 
 
1- 1- 1- 
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8.1 Teste de Hipótese para uma Média 
 
Utilizando a Normal (Z) 
 
Quando se conhece o desvio padrão da população, a distribuição amostral adequada é a 
distribuição normal. Se a população é normal, a distribuição amostral será normal para 
todos os tamanhos de amostra. Se a população é não normal, ou se sua forma é 
desconhecida, pode-se usar um teste de uma amostra só para tamanhos de amostras 
superiores a 30 observações. Assim, pequenas amostras de população não normais não 
podem ser tratadas por este processo. 
 
Suponha que X é uma variável aleatória com média μ desconhecida e desvio padrão  
conhecido. Para testar as hipóteses de que a média seja igual, menor e maior a um valor 
especificado μ0. Os testes de hipóteses podem ser formulados como: 
 
Teste Bilateral Teste Unilateral à esquerda Teste Unilateral à direita
H0: = 0 
H1: 0 
 
H0:  0 
H1: 0 
 
H0:  0 
H1: 0 
 
 
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n observações e calcula-se a 
estatística 
n
X
ZTeste 
0
__


 
 
E H0 (Hipótese nula) será rejeitada se 2/ZZTeste  (para Teste de Hipótese Bilateral) 
ou ZZTeste  (para Teste de Hipótese Unilateral) – valor crítico obtido na Tabela t 
Student na coluna /2 ou  e na linha do infinito (ANEXO 1). 
 
Exemplo 1: 
Uma máquina de usinagem deveria produzir entalhes com 0,85 mm de profundidade. O 
engenheiro desconfia que os entalhes que estão sendo produzidos são diferentes que o 
especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou 
__
X = 0,847 . Sabendo 
que o desvio padrão é  = 0,010, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de 
significância  = 0,05. 
 
Resolução: 
1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa: 
H0 : =  
H1 : (Teste Bilateral) 
 
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2. Distribuição probabilística: 
n = 8 (n < 30) e  = 0,010 ( conhecido) => Distribuição Z (Normal) 
 
3. Valor Crítico: 
Z tabelado (Teste Bilateral): 96,1025,02/05,02/  ZZZ 
 
4. Estatística Teste: 
Z calculado: 85,0
8
010,0
850,0847,00 


n
X
ZTeste 

 
 
5. Decisão: 
Como o valor da Estatística Teste é inferior ao Valor Crítico 
)96,185,0( 025,0  ZZTeste a H0 não pode ser rejeitada. 
 
6. Conclusão: 
Não podemos afirmar que os entalhes sejam diferentes que o especificado, ao nível de 
significância de 5%. 
 
Exemplo 2: 
Suponha que o conteúdo líquido de certo remédio nas embalagens vendidas por certo 
laboratório seja normalmente distribuído com desvio padrão de 5 ml. Uma amostra 
aleatória de 14 vidros encontrou 197
__
X ml. A fiscalização deveria multar o 
laboratório se o rótulo informa líquido médio de 200 ml? (Considere  = 0,05). 
 
Resolução: 
1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa: 
H0 :   (não multa) 
H1 :  Teste Unilateral à esquerda 
 
2. Distribuição probabilística: 
n = 14 (n < 30) e  = 5 ( conhecido) => Distribuição Z (Normal) 
 
3. Valor Crítico: 
Z tabelado (Teste Unilateral): 645,105,0  ZZ 
 
4. Estatística Teste: 
Z calculado: 24,2
14
5
2001970
__





n
X
ZTeste 

 
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5. Decisão: 
Como o valor da Estatística Teste é superior ao Valor Crítico 
)645,124,2( 05,0  ZZTeste a H0 pode ser rejeitada. 
 
6. Conclusão: 
Com 5% de significância ( = 0,05), evidencia amostral permite multar o laboratório. 
 
Utilizando a t-Student: 
 
Quando não se conhece o desvio padrão da população, deve-se estimá-lo a partir dos 
dados amostrais usando o desvio padrão amostral. Quando isso ocorre (na maioria das 
situações reais  é desconhecido), a distribuição t-Student é a distribuição amostral 
adequada. 
 
Suponha que X é uma variável aleatória com média μ desconhecida e desvio padrão  
desconhecido. Para testar as hipóteses de que a média seja igual, menor e maior a um 
valor especificado μ0. Os testes de hipóteses podem ser formulados como: 
 
Teste Bilateral Teste Unilateral à esquerda Teste Unilateral à direita
H0: = 0 
H1: 0 
 
H0:  0 
H1: 0 
 
H0:  0 
H1: 0 
 
 
 
Esse problema é idêntico àquele da seção anterior, exceto que agora o desvio padrão 
populacional é desconhecido. 
 
Como  não é conhecido, usa-se a distribuição de t-Student para construir a Estatística 
Teste: 
n
S
X
tTeste
0
__

 
 
 
E H0 (Hipótese nula) será rejeitada se |tteste| > t(n-1;/2) (para Teste de Hipótese Bilateral) 
ou se |tteste| > t(n-1;) (para Teste de Hipótese Unilateral) – valor crítico obtido na Tabela t 
Student na coluna /2 ou  e na linha dos graus de liberdade (n-1) (ANEXO 1). 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Uma amostra de n = 10 espigas de milho apresentou peso 230, 215, 208, 241, 270, 207, 
220, 246, 213, 150. Pode-se afirmar ao nível de  = 0,05 (5%) que o peso médio () 
excede 215 gramas? 
 
Resolução: 
Inicialmente vamos calcular a média e o desvio padrão amostral: 
220
10
150...2301__ 


n
X
X
n
i
i
 
 
63,31
110
)220150(...)220230(
1
22
1
2__










 



n
XX
S
n
i
i
X 
 
1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa: 
H0 :   
H1 :  Teste Unilateral à direita – adubo eficaz 
 
2. Distribuição probabilística: 
n = 14 (n < 30) e s = 31,63 ( desconhecido) => Distribuição t-Student 
 
3. Valor Crítico: 
t tabelado (Teste Unilateral): t(n-1;) = t(10-1;) = 1,833 
 
4. Estatística Teste: 
t calculado: 4998,0
10
63,31
2152200
__





n
S
X
tTeste

 
 
5. Decisão: 
Como o valor da Estatística Teste é inferior ao Valor Crítico (tteste= 0,4998 < t/2 =1,833) 
a H0 não pode ser rejeitada. 
 
 
6. Conclusão: 
Com 5% de significância não podemos afirmar que o peso médio das espigas de milho 
excede 215 gramas. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 1: O peso médio do saco de cimento produzido por uma empresa é 
padronizado em 1.800 gramas. Um comprador desconfiou desta informação e testou um 
lote de 25 sacos encontrando peso médio de 1.750 gramas com desvio-padrão de 100 
gramas. Teste a possibilidade de a empresa estar logrando seus clientes, ao nível de 
significância de 5%. 
 
1. Hipóteses: 
 
 
 
 
 
 
2. Distribuição probabilística: 
 
 
 
 
 
3. Valor crítico: 
 
 
 
 
 
 
4. Estatística teste: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Decisão: 
 
 
 
 
 
6. Conclusão: 
 
 
 
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Exercício 2: Uma rede de postos de gasolina afirma que, em seus estabelecimentos não 
se vende gasolina adulterada. Sabe-se que, de acordo com os padrões de qualidade, a 
gasolina não pode conter mais de 240 ml de álcool por litro. O órgão de fiscalização 
colheu 25 medições do produto nos postos dessa rede, obtendo a partir delas uma média 
de 240,75 ml de álcool/litro. Admitindo-se que a quantidade de álcool presente na 
gasolina tem uma distribuição normal com desvio-padrão de 2,5 ml/litro. Ao nível de 
significância 1%, pode-se afirmar que a gasolina é adulterada? 
 
1. Hipóteses: 
 
 
 
 
 
 
2. Distribuição probabilística: 
 
 
 
 
 
3. Valor crítico: 
 
 
 
 
 
 
4. Estatística teste: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Decisão: 
 
 
 
 
 
6. Conclusão: 
 
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8.2 Teste de Hipótese para duas Médias 
 
Os testes de duas amostras são usados para decidir se as médias de duas populações são 
iguais. Exigem-se amostras independentes, ou seja, uma de cada população. Eles são 
freqüentemente utilizados para comparar dois métodos de ensino, duas cidades, duas 
marcas, duas fábricas, etc. 
 
OBS: dados provenientes de antes-depois são dependentes, não podendo, portanto, 
serem tratados por este método. 
 
8.2.1 Utilizando a Normal (Z): 
Quando há duas populações com médias desconhecidas, digamos μ1 e μ2 e desvios 
padrões conhecidos, 1 e 2, os testes para verificar a hipótese que as médias sejam 
iguais, uma menor do que a outra ou uma maior do que a outra são os seguintes: 
 
Teste Bilateral Teste Unilateral à esquerda Teste Unilateral à direita
H0: = 2 
H1: 2 
 
H0:  2 
H1: 2 
 
H0:  2 
H1: 2 
 
 
Estatística teste: 
2
2
2
1
2
1
__
21
__
nn
XXZTeste



 
 
E H0 (Hipótese nula) será rejeitada se 2/ZZTeste  (para Teste de Hipótese Bilateral) 
ou ZZTeste  (para Teste de Hipótese Unilateral) – valor crítico obtido na Tabela t 
Student na coluna /2 ou  e na linha do infinito (ANEXO 1). 
 
Exemplo: 
Suponha que o tempo de vida em horas de motores das marcas A e B sejam 
razoavelmente normais, com desvios padrões já conhecidos com A = 28 E B = 31. 
Uma amostra aleatória de 40 motores da fábrica A apresentou tempo médio de 580 
horas de vida útil, enquanto que 45 motores da fábrica B apresentaram 514
__
BX horas. 
Pode-se afirmar ao nível de 1% (=0,01) de significância que a marca A é de melhor 
qualidade do que a marca B? 
 
Resolução: 
 
1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa: 
H0: A B 
H1: AB (Estamos testando a hipótese que a marca A é melhor do que a Marca B) – Teste 
Unilateral 
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2. Distribuição probabilística: 
nA = 40 e nA = 45 (nA e nB > 30), A = 28 e B = 31 (A e B conhecidos) => 
Distribuição Z (Normal) 
 
3. Valor Crítico: 
Z tabelado (Teste Unilateral): 326,201,0  ZZ 
 
4. Estatística Teste: 
Z calculado: 31,10
45
)31(
40
)28(
514580
22
2
2
2
1
2
1
__
21
__







nn
XX
ZTeste

 
 
5. Decisão: 
Como o valor da Estatística Teste é superior ao Valor Crítico 
)326,231,10( 01,0  ZZTeste a H0 pode ser rejeitada. 
 
6. Conclusão: 
 Com 1% de significância rejeita-se H0, assim, A tem maior durabilidade do que B. 
 
 
8.2.2 Utilizando a t-Student: 
Similarmente, quando, 1 e 2, não são conhecidos, os testes para verificar a hipótese 
que as médias sejam iguais, uma menor do que a outra ou uma maior do que a outra são 
os seguintes: 
 
Teste Bilateral Teste Unilateral à esquerda Teste Unilateral à direita
H0: = 2 
H1: 2 
 
H0:  2 
H1: 2 
 
H0:  2 
H1: 2 
 
 
 
Estatística teste: 
2
2
2
1
2
1
__
21
__
n
S
n
S
XXtTeste


 
H0 é rejeitada se )2/;2( 21  nnTeste tt (para Teste de Hipótese Bilateral) ou 
);2( 21 
 nnTeste tt (para Teste de Hipótese Unilateral) - obtidos na Tabela t-Student 
(ANEXO 1). 
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E H0 (Hipótese nula) será rejeitada se )2/;2( 21  nnTeste tt (para Teste de Hipótese 
Bilateral) ou se );2( 21  nnTeste tt (para Teste de Hipótese Unilateral) – valor crítico 
obtido na Tabela t Student na coluna /2 ou  e na linha dos graus de liberdade 
((n1+n2)-2) (ANEXO 1). 
 
 
Exemplo: 
Um experimento foi realizado com certa população de pacientes que sofrem de insônia, 
medindo-se o tempo até a sonolência desde a ingestão de dois tipos de calmantes. Pode-
se afirmar que existe diferença na eficácia dos calmantes ao nível de 5% de 
significância a partir dos dados abaixo obtidos por amostras independentes? 
485
__
AX 503
__
BX 
70AS 78BS 
16An 14Bn 
 
Resolução: 
1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa: 
H0: A= B 
H1: AB (Testar a hipótese que existe diferença na eficácia dos calmantes) – Teste Bilateral 
 
2. Distribuição probabilística: 
nA = 16 e nA = 14 (nA e nB < 30), SA = 28 e SB = 31 (A e B desconhecidos) => 
Distribuição t-Student 
 
3. Valor Crítico: 
t tabelado (Teste Bilateral): 048,2)025,0;28()2/05,0;21416()2/;2(   ttt BA nn  
 
4. Estatística Teste: 
t calculado: 66,0
14
)78(
16
)70(
503485
22
2
2
2
1
2
1
__
21
__







n
S
n
S
XX
tTeste 
 
5. Decisão: 
Como o valor da Estatística Teste é inferior ao Valor Crítico Testet( =0,66 < 
)048,2)2/;2( 21  nnt a H0 não pode ser rejeitada. 
 
6. Conclusão: 
Com 5% de significância não se pode rejeitar H0, logo os dados amostrais não permitem 
afirmar que os calmantes tenham diferente efeito. 
 
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Exercício 1: Um exame foi aplicado a duas turmas constituídas de 20 e 22 alunos, 
respectivamente. Na primeira turma o grau médio foi 74 com desvio padrão de 8, e a 
segunda turma o grau médio foi de 78 com desvio padrão de 7. Há evidências para 
afirmarmos que exista diferença significativa entre o desempenho das duas turmas ao 
nível de significância de 10%? 
 
1. Hipóteses: 
 
 
 
 
 
2. Distribuição probabilística: 
 
 
 
 
 
3. Valor crítico: 
 
 
 
 
 
 
 
4. Estatística teste:5. Decisão: 
 
 
 
 
 
6.Conclusão:
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Exercício 2: O tempo de execução de uma certa atividade foi medida em 2 equipes. A 
equipe A obteve um tempo médio de 10 minutos, com um grupo de 50 funcionários. A 
equipe B obteve um tempo médio de 12 minutos, com um grupo de 70 funcionários. 
Admitindo-se que a variância seja igual a 100 minutos2 para as 2 equipes, há evidências 
de que o tempo médio de execução desta tarefa é menor na equipe A do que na B, com 
5% de significância? 
 
1. Hipóteses: 
 
 
 
 
 
 
2. Distribuição probabilística: 
 
 
 
 
 
3. Valor crítico: 
 
 
 
 
 
 
4. Estatística teste: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Decisão: 
 
 
 
 
 
6. Conclusão: 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
 
1. (2014/1) Uma agência de empregos alega que os candidatos à diretoria por ela 
colocados nos últimos seis meses têm salários de R$ 9000, em média. Uma agência 
governamental extraiu uma amostra aleatória daquele grupo, encontrando salários 
médios de R$ 8000, com desvio padrão de R$ 1000, com base em 24 empregados. Teste 
a afirmação da agência, contra a alternativa, de que o salário médio é inferior a R$ 
9000, ao nível de significância de 10%. 
R: 





9000:
9000:
1
0


H
H
 REJEITO H0 tteste = -4,899 tcrítico = 1,319 
 
2. Dados divulgados pelo governo do Estado afirmam que, em média, os jovens 
ingressam no mercado de trabalho com 17 anos. Mas um instituto de pesquisa 
desconfiou desta afirmação do governo e realizou uma pesquisa com uma amostra de 29 
indivíduos ingressantes no mercado de trabalho constatando que a idade média foi de 
17,6 anos com um desvio-padrão de 3 anos. Ao nível de significância de 5%, pode-se 
afirmar que os jovens ingressam no mercado de trabalho com uma idade média 
diferente de 17 anos? 
R: 





17:
17:
1
0


H
H
 NÃO REJEITO H0 tteste = 1,077 tcrítico = 2,048 
 
3. Uma cadeia de lanchonetes se propõe a instalar uma nova filial se, pelo local em 
estudo, passarem mais de 200 carros por hora, em determinado período do dia. Em uma 
amostra de 20 horas, passaram pelo local, no período de interesse, uma média de 208,5 
carros, com desvio-padrão de 30 carros. Usando 5% de significância, há evidências de 
que a nova filial deva ser instalada? 
R: 





200:
200:
1
0


H
H
 NÃO REJEITO H0 tteste = 1,267 tcrítico = 1,729 
 
4. Um instituto de pesquisa acredita que a média anual de uso de quilowatts por hora 
dos clientes residenciais nos Estados Unidos é menor do que 11500. Este instituto 
realizou uma pesquisa com uma amostra aleatória de 20 consumidores residenciais e 
descobriu que estes possuem uma média de uso de 11400 quilowatts por hora com 
desvio padrão de 320 quilowatts por hora. Ao nível de 1% de significância teste a 
afirmação do instituto de pesquisa. 
R: 





11500:
11500:
1
0


H
H
 NÃO REJEITO H0 tteste = -1,397 tcrítico = 2,539 
 
 
5. (2015/1) Um processo deveria produzir bancadas com 0,86 m de altura. O engenheiro 
desconfia que estejam sendo produzidas bancadas diferentes do especificado. Uma 
amostra de 19 medidas indicou uma altura média de 0,87 m e desvio padrão de 0,02 m. 
Teste a hipótese do engenheiro ao nível de significância de 5%. 
R: 





86,0:
86,0:
1
0


H
H
 REJEITO H0 tteste = 2,179 tcrítico = 2,101 
 
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6. O tempo médio de duração de um determinado produto é de 9,72 anos com desvio-
padrão de 1,40 anos. Recentemente uma amostra de 36 peças mostrou um tempo médio 
de 8,93 anos. Podemos concluir que o tempo médio de vida se reduziu, a um nível de 
significância de 5%? 
R: 





72,9:
72,9:
1
0


H
H
  REJEITO H0 Zteste = -3,39 Zcrítico = 1,645 
 
7. Um fabricante de conservas anuncia que o conteúdo líquido das latas de seu produto 
possui média de 2000 gramas. A fiscalização de pesos e medidas investigou uma 
amostra de 23 latas, encontrando média de 1985 gramas, com desvio-padrão de 35 
gramas. Usando 1% de significância, deverá o fabricante ser multado por efetuar a 
venda abaixo do especificado? 
R: 





2000:
2000:
1
0


H
H
 NÃO REJEITO H0 tteste = -2,055 tcrítico = 2,508 
 
8. Uma linha de montagem de automóveis opera a um tempo médio de conclusão de 2,2 
minutos com desvio-padrão de 0,20 minutos. Devido ao efeito do tempo de conclusão 
tanto na operação de montagem precedente como na subseqüente, é importante manter o 
tempo médio de conclusão assim. Uma amostra aleatória de 45 montagens mostra um 
tempo médio de conclusão de 2,39 minutos. Use um nível de significância de 5% e teste 
se a operação está com um tempo médio de conclusão diferente do necessário. 
R: 





2,2:
2,2:
1
0


H
H
 REJEITO H0 Zteste = 6,37 Zcrítico = 1,96 
 
 
9. O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. 
Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-
se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo 
médio da amostra foi de 85 minutos e o desvio padrão foi 12 minutos. Estes resultados 
trazem evidências estatísticas da melhora desejada, ao nível de significância 1%? 
 
R: 





100:
100:
1
0


H
H
 REJEITO H0 tteste = -5,00 tcrítico = 2,602 
 
10. A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preocupada 
com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempos, tem 
sido da ordem de 60 horas/homem por ano. Tentou-se um programa de prevenção de 
acidentes e, após o mesmo, tomou-se uma amostra de 9 indústrias e mediu-se o número 
médio de horas/homem por acidente, que foi de 50 horas e desvio padrão de 20 
horas/homem. Você diria, ao nível de 5% de significância, que há evidência de 
melhoria? 
R: 





60:
60:
1
0


H
H
 REJEITO H0 tteste = -1,500 tcrítico = 1,860 
 
 
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11. Um fabricante de um equipamento eletrônico procedeu a substituição de um 
componente importado pelo similar nacional. Um comprador acredita que tal 
substituição tenha diminuído a duração do produto, que antes era anunciada como 
sendo, em média, de 200 horas. Para julgar sua suposição, o comprador testou uma 
amostra de 10 unidades, verificando uma média de 197 horas, com desvio-padrão de 
6,32 horas. Fixado o nível de significância em 5%, qual a conclusão do comprador? 
R: 





200:
200:
1
0


H
H
 NÃO REJEITO H0 tteste = -1,501 tcrítico = 1,833 
 
12. (2015/2) Um fabricante de lâmpadas fluorescentes garante que a vida útil média de 
certo tipo de lâmpada é de pelo menos 10.000 horas. Um pesquisador desconfiou desta 
informação e registrou a vida útil de uma amostra aleatória de 32 lâmpadas 
fluorescentes. Os resultados mostraram que essas lâmpadas possuem uma vida útil 
média de 9572 horas. Suponha que a variável vida útil de lâmpadas seja normalmente 
distribuída com desvio padrão de 1715 horas.