Prova 3 GA Gabarito

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Universidade Federal do Maranha˜o
Coordenac¸a˜o de Cieˆncia & Tecnologia
Terceira Avaliac¸a˜o
20 ⋅ 01 ⋅ 2014
Disciplina1: CD e GA T4 Professor: KEˆNIO ALEXSOM DE ALMEIDA SILVA
Aluno(a): Matr´ıcula: −
Questa˜o 1 (20 pontos) Encontre o vetor #«u ortogonal a #«v = (1, 3, 5) e a #«w = (−1, 1,−1), e que satisfaz
#«u ⋅ (1, 1, 1) = 1.
Demonstrac¸a˜o. Seja #«u = (a,b,c). Enta˜o⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
#«u ⋅ #«v = 0
#«u ⋅ #«w = 0
#«u ⋅ (1, 1, 1) = 1 Ô⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
a + 3b + 5c = 0−a + b − c = 0
a + b + c = 1 Ô⇒ a = 1,b = 1/2,c = −1/2Ô⇒ #«u = (1, 1/2,−1/2)
1Ca´lculo Diferencial e Geometria Anal´ıtica
Questa˜o 2 Seja OABC um tetraedro, e M o ponto me´dio de BC.
(a) (10 pontos) explique por que (# «OA, # «OB, # «OC) e´ uma base.
Demonstrac¸a˜o. Como O,A,B e C sa˜o ve´rtices de um tetraedro, eles na˜o sa˜o coplanares
e portanto, os vetores # «OA, # «OB e # «OC tambe´m na˜o sa˜o coplanares; logo, sa˜o linearmente
independentes e consequentemente, uma base.
(b) (10 pontos) determine as coordenadas de # «AM nesta base.
Demonstrac¸a˜o. Considere a figura abaixo.
Veja que
# «
CM =
1
2
# «
CB =
1
2
(−
# «
OC +
# «
OB) e
# «
OM =
# «
OC +
# «
CM. Portanto,
# «
AM = −
# «
OA+
# «
OM = −
# «
OA+
# «
OC+
# «
CM = −
# «
OA+
# «
OC+
1
2
(−
# «
OC+
# «
OB) = −
# «
OA+
1
2
# «
OB+
1
2
# «
OC,
isto ´e,
# «
AM = (−1,
1
2
,
1
2
), na base do item (a).
2
Questa˜o 3 (20 pontos) O ponto A(1,−2, 3) e´ um dos ve´rtices de um paralelep´ıpedo e os treˆs ve´rtices adja-
centes sa˜o B(2,−1,−4),C(0, 2, 0) e D(−1,m, 1). Determinar o valor de m para que o volume
deste paralelep´ıpedo seja igual a 20 unidades de volume.
Demonstrac¸a˜o. Considere a figura abaixo.
Temos:
# «
AB = (1, 1,−7),
# «
AC = (−1, 4,−3),
# «
AD = (−2,m + 2,−2). Com isso
volume = [
# «
AB,
# «
AC,
# «
AD] =
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
1 1 −7
−1 4 −3
−2 m + 2 −2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
= 10m − 40
Como 10m − 40 = 20, devemos ter m = 6.
3
Questa˜o 4 (20 pontos) Encontre equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa porA(3, 6, 4), intercepta o eixo Oz
e e´ paralelo ao plano pi ∶ x − 3y + 5z − 6 = 0.
Demonstrac¸a˜o. Seja B(0, 0, z
0
) o ponto dessa reta que pertence ao eixo Oz. Enta˜o #«v = # «AB =(−3,−6, z
0
− 4). Como #«n = (1,−3, 5) e´ um vetor normal ao plano pi e #«v e´ paralelo a esse plano,
devemos ter #«v ⋅ #«n = 0, isto e´, −3 + 18 + 5(z
0
− 4) = 0,
e portanto, z
0
= 1. Note que #«u = −1
3
#«v tambe´m e´ uma vetor diretor dessa reta. Logo,⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 3 + t
y = 6 + 2t
z = 4 + t (t ∈ R)
sa˜o equac¸o˜es parame´tricas da reta procurada.
4
Questa˜o 5 (20 pontos) Identifique e represente graficamente a superf´ıcie expressa pela equac¸a˜o
x − y2
2
− z2 + 4 = 0.
Demonstrac¸a˜o. No plano y = k (constante) temos x = z2 + k2/2 − 4, que e´ a equac¸a˜o de uma
para´bola com concavidade voltada para o sentido positivo do eixo Ox, para todo k real. Pela
simetria da equac¸a˜o, o mesmo ocorre com os planos z = k. Ja´ no plano x = k (constante) temos
y2
2
+z2 = k+4, que representa a elipse y2
2(k + 4) + z2k + 4 = 1 se k > −4, o ponto (4, 0, 0) se k = −4,
e o vazio se k < −4. Isto nos permite concluir que a equac¸a˜o dada representa um parabolo´ide
el´ıptico (figura abaixo).
-5
0
5
-5
0
5
-4
-2
0
2
4
5