Prova1A Unificada 2014 01 GABARITO (1)

Prévia do material em texto

Ca´lculo Diferencial e Geometria Anal´ıtica
Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia - 2014.1
Gabarito da Primeira Avaliac¸a˜o Unificada
[1]
Na figura ao lado, ABCDEFGH ´e um
cubo e M ´e o ponto m´edio da aresta
HG. Encontre a soma dos vetores indi-
cados. [1 ponto]
Solu¸c˜ao. Como
# «
BM+
# «
MF =
# «
BF e
# «
BF =
# «
DH, j´a que ABCDEFGH ´e um cubo, temos:
# «
HA+
# «
ED+
# «
BM+
# «
MF =
# «
HA+
# «
ED+
# «
DH =
# «
HA+
# «
EH =
# «
HD,
porque
# «
EH =
# «
AD.
1
[2] Considere os pontos A = (m, 0, 1), B = (m− 1, 2, 0) e C = (1, 0,−1).
(a) Determine m de modo que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo em A. [1 ponto]
Soluc¸a˜o. Temos
# «
AB = (−1, 2,−1) e
# «
AC = (1−m, 0,−2).
Com isso
# «
AB ⊥ # «AC⇔ # «AB · # «AC = 0⇔ −(1−m) + 2 = 0⇔ m = −1.
(b) Calcule a a´rea desse triaˆngulo. [1 ponto]
Soluc¸a˜o. Do item (a),
# «
AB = (−1, 2,−1) e
# «
AC = (−2, 0,−2) e portanto, ‖ # «AB‖ = √6
e ‖ # «AC‖ = 2√2. Logo, a´rea(4ABC) = ‖
# «
AB‖ · ‖ # «AC‖
2
= 2
√
3 (unidades de a´rea).
2
[3]
Calcule o volume do tetraedro definido pelos vetores
#«
u = (2,−2, 0),
#«
v = (1, 0, 1) e
#«
w = (−2,−1,−1), re-
lativamente a uma base ortonormal positiva.
[2 pontos]
Solu¸c˜ao. Se V ´e o volume desse tetraedro ent˜ao V =
1
6
|[
#«
u,
#«
v ,
#«
w]|. Como
[
#«
u,
#«
v ,
#«
w] =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 −2 0
1 0 1
−2 −1 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 4
temos V =
2
3
(unidades de volume).
3
[4] Dados os pontos P = (1, 0,−1) e a reta r :

x = 1− t
y = 2+ t
z = 1+ 2t
(t ∈ R),
(a) determine equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por P e e´ perpendicular a r.
[1 ponto]
Soluc¸a˜o. Note que P /∈ r, e portanto, existe uma u´nica reta s que passa por P e e´
perpendicular a reta r. Seja Q ∈ r ∩ s e suponha que Q := (a, b, c). Em particular,
# «
PQ = (a− 1, b, c+ 1) e´ um vetor diretor da reta s. Como #«v := (−1, 1, 2) e´ um vetor
diretor da reta r e s ⊥ r temos # «PQ · #«v = 0 e portanto, −(a− 1) + b+ 2(c+ 1) = 0,
isto e´, a = b+ 2c+ 3. Por outro lado, como Q ∈ r temos
a = 1− t, b = 2+ t, c = 1+ 2t
para algum t ∈ R, de onde segue-se que
1− a = b− 2 =
c− 1
2
,
e portanto, b = 3− a e c = 3− 2a. Logo,
a = b+ 2c+ 3⇒ a = (3−a)+ 2(3− 2a)+ 3 = −5a+ 12⇒ a = 2⇒ b = 1 e c = −1
Com isso, Q = (2, 1,−1) e
# «
PQ = (1, 1, 0). Por fim, temos as seguintes equac¸o˜es
parame´tricas para a reta s:
s :

x = 1 +t
y = t
z = −1
(t ∈ R)
(b) calcule a distaˆncia de P a r. [1 ponto]
Soluc¸a˜o. Como o segmento PQ e´ perpendicular a reta r segue-se que
d(P, r) = ‖ # «PQ‖ =
√
2
(c) determine o ponto sime´trico1 de P em relac¸a˜o a r. [1 ponto]
Soluc¸a˜o. Seja P ′ o ponto sime´trico de P em relac¸a˜o a reta r. Enta˜o
# «
QP = −
# «
QP ′, e
portanto,
P ′ = Q+
# «
QP ′ = Q−
# «
QP = Q+
# «
PQ = (2, 1,−1) + (1, 1, 0) = (3, 2,−1)
1Dizemos que o ponto P ′ e´ o sime´trico de P em relac¸a˜o a reta r se o ponto me´dio do segmento PP ′ pertence
a reta r.
4
[5] Determine uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m os pontos A = (1,−1, 0) e B =
(−3, 1,−2) e e´ perpendicular ao plano xOy. [2 pontos]
Soluc¸a˜o. Seja pi o plano que conte´m os pontos A e B, e e´ perpendicular ao plano xOy.
Em particular,
#«
k = (0, 0, 1) e´ um vetor paralelo ao plano pi assim como o vetor
# «
AB =
(−4, 2,−2). Assim, o vetor
#«n :=
#«
k ∧
# «
AB =
∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
0 0 1
−4 2 −2
∣∣∣∣∣∣ = (−2,−4, 0)
e´ normal ao plano pi, de modo que uma equac¸a˜o desse plano e´ dada por −2x− 4y+d = 0,
para algum d ∈ R. Como A ∈ pi, temos −2(1) − 4(−1) + d = 0 de onde segue-se que
d = −2. Logo, uma equac¸a˜o geral de pi e´ x+ 2y+ 1 = 0.
5