Retas e Planos

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DEFINIÇÃO
Aplicação dos conceitos de retas e planos na Geometria Analítica.
PROPÓSITO
Definir as equações de retas e planos na Geometria Analítica e aplicar os conceitos nas
posições relativas entre retas e planos, bem como na distância entre pontos e estas figuras
geométricas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora
científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a definição da reta na determinação da equação da reta no plano e no espaço
MÓDULO 2
Aplicar equações da reta na obtenção da interseção, do ângulo e das posições relativas entre
retas
MÓDULO 3
Aplicar a definição do plano na determinação da equação do plano e nas posições relativas
entre os planos
MÓDULO 4
Aplicar o conceito de ponto, reta e plano na determinação de distância entre pontos, retas e
planos
MÓDULO 1
 Aplicar a definição da reta na determinação da equação da reta no plano e no espaço
INTRODUÇÃO
A Geometria Analítica apresenta, através de equações analíticas, diversas figuras da
Geometria, que serão denominadas de Lugares Geométricos.
Neste módulo, estudaremos a reta e obteremos a equação que a representa analiticamente. A
reta é definida por dois pontos, mas existem outras formas de determinarmos a sua equação.
A equação de uma reta, no plano ou no espaço, pode ter vários tipos de apresentação:
simétrica, geral, reduzida, vetorial e paramétrica. Todos os tipos de equação serão
equivalentes, isto é, representam os mesmos pontos no plano ou no espaço.
 
Fonte: Sven Mieke/unsplash
EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO
A geometria nos ensina, através de um de seus axiomas, que uma reta é definida por dois
pontos. No plano estes dois pontos podem ser representados por sua abscissa e ordenada,
isso é, A(XA, YA) e B(XB,YB).
Deseja-se obter uma equação que representa todos os pontos dessa reta. Assim, define-se um
ponto genérico P (x, y), pertencente à reta formada pelos pontos A e B, e determina-se uma
equação que é satisfeita por ele.
Na Geometria Analítica são definidos vários tipos de apresentação para a equação da reta,
com formatos diferentes, porém, representando os mesmos pontos. Diz-se que essas
equações são equivalentes. Será definida a equação simétrica, geral, vetorial, reduzida e
paramétrica. Como será visto, de uma forma pode-se obter as demais. A figura abaixo
representa a reta r formada pelos pontos A e B:
 
Fonte: O autor
EQUAÇÃO SIMÉTRICA E GERAL
Os pontos A, B e P estão alinhados, assim, o vetor = B - A vetor = P - A são paralelos,
consequentemente, tem suas coordenadas proporcionais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os pontos A e B são dados, a parcela da direita se transforma em uma fração numérica.
Então, , d e f reais e diferentes de zero.
~
Obtém-se, assim, uma equação que representa todos os pontos (x,y) que pertencem à reta
analisada. Esta equação é denominada de EQUAÇÃO SIMÉTRICA da reta.
Os valores de d e f são números reais obtidos através dos dois pontos conhecidos da reta.
 EXEMPLO
Determine a equação simétrica da reta que passa pelos pontos A (1,2) e B ( 3, – 1).
SOLUÇÃO
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação:
. Logo, a equação simétrica da reta será: 
Partindo da equação simétrica da reta, através de uma manipulação matemática, obtém-se
uma equação da forma 
ax + by + c = 0, com a, b e c sendo números reais.
Assim,
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Chamando de f = a e d = -b, obtém-se uma equação do tipo ax + by + c = 0, denominada
de EQUAÇÃO GERAL da reta.
Cuidado: se multiplicarmos ambos os lados por um número real k, ainda temos a mesma
equação.
ax + by + c = d ⇔ akx + bky + ck = 0, com k real
Existe uma forma alternativa para se determinar a equação geral da reta diretamente através
dos dois pontos dados, A e B. Esta forma é através de um cálculo de um determinante.
Sejam A (XA,YA) e B (XB,YB) dois pontos distintos da reta r, então a equação geral da reta será
obtida por: 
 EXEMPLO
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (1, 2) e B (3, –1).
SOLUÇÃO
Aplicando diretamente o determinante 
Resolvendo o determinante: (2+1)x + (3-1)y + (-1-6) = 0 → 3x + 2y - 7 = 0
Importante – Condição de um Ponto Pertencer a Reta
Um ponto para pertencer a reta tem que satisfazer a equação da reta.
Dessa forma, seja a reta e um ponto . Se o ponto P
pertence à reta r, então . Se o ponto P não pertence à reta r, então 
Esta propriedade vale para qualquer tipo de equação da reta, não apenas para equação geral.
 EXEMPLO
Ache a equação geral da reta e verifique se os pontos Q (5, –4) e R (2, 3) pertencem à reta r
dada pela equação .
SOLUÇÃO
Substituindo o ponto Q (5, – 4) na reta se tem: e 
Portanto, as coordenadas do ponto satisfazem a equação da reta e o Ponto Q pertence à reta
r.
Substituindo o ponto R (2, 3) na reta se tem: 3.2 + 2.3 – 7 = 6 + 5 – 7 ≠ 0
Como as coordenadas do ponto não satisfazem a equação da reta, então R não pertence à
reta.
 
Fonte: geralt/pixabay
EQUAÇÃO REDUZIDA
Continuando na apresentação dos tipos das equações da reta. Partindo agora da equação
geral e isolando o valor de y se tem: ,com a,b e c reais.
Substituindo m = e q = → y = mx + q, que será a EQUAÇÃO REDUZIDA da reta.
 
Fonte: O autor
O parâmetro m é denominado de coeficiente angular da reta, ele é igual à tangente do
ângulo que a reta forma com o eixo x. O parâmetro q é denominado de coeficiente linear, que
representa o ponto onde a reta corta o eixo y.
Quando m > 0 → tg θ > 0 → 0 < θ < 90°, a reta será crescente.
Quando m < 0 → tg θ < 0 → 90° < θ < 180°, a reta será decrescente.
A reta horizontal do tipo y = constante, terá m = 0 e a reta vertical do tipo x = constante não
terá valor de m.
 
Fonte: O autor
 EXEMPLO
Determine a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2, 4) e B ( –3, 1). Obter o
coeficiente angular e linear da reta.
SOLUÇÃO
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação simétrica 
Deste modo, a equação reduzida será 
Portanto, o coeficiente angular vale m = e o coeficiente linear q = 
Então, o ângulo que a reta r faz com o eixo positivo x vale . O coeficiente linear
q = , Logo, o ponto em que a reta corta o eixo y é o ponto .
EQUAÇÃO VETORIAL E PARAMÉTRICA
Se retornarmos à figura inicial, além do paralelismo entre os vetores e , pode-se dizer
que o vetor será proporcional ao vetor , λ real.
A equação do tipo será denominada de EQUAÇÃO VETORIAL da reta.
Ao invés do vetor , poderia ter sido usado o vetor , pois a reta tem uma direção, mas
não tem sentido. O vetor ou vetor , que define a direção da reta, é denominado de
vetor diretor da reta. Na figura, o vetor diretor está representado pelo vetor .
Aqui, vemos mais uma alternativa para se obter a equação da reta, caso não se conheça os
dois pontos da reta. Se forem conhecidos um ponto e a direção definida pelo seu vetor diretor,
será possível obter a equação vetorial da reta. O ponto conhecido fará o papel do ponto A e o
vetor diretor da reta fará o papel do vetor .
 ATENÇÃO
Quaisquer dois pontos de uma reta podem ser usados para definir o vetor diretor da
reta. Não existe um vetor diretor, mas infinitas possibilidades, pois se é um vetor
diretor da reta, então todo os vetores , com k real diferente de zero, também serão.
Se substituirmos as coordenadas dos pontos A, B e P (genérico) na equação vetorial, obtém-se
duas equações, cada uma relacionada a uma das coordenadas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta equação é denominada de EQUAÇÃO PARAMÉTRICA da reta.
Ressalta-se que se pode obter a equação simétrica através da equação paramétrica. Basta
isolar o valor de λ nas duas equações.
Se for a equação simétrica da reta r, então o vetor (d,f) é o vetor diretor da
reta r.
 EXEMPLO
Determine a equação vetorial e paramétrica da retaque passa nos pontos A (1,2) e B (3, –1).
Determine qual ponto desta reta tem ordenada igual a 5.
SOLUÇÃO
Determinando o vetor diretor da reta = B - A = (3 - 1, -1 - 2) = (2,-3)
Assim, a equação vetorial será P = A + λ , λ real
ou, (x, y) = (1, 2) + λ(2,-3) = ( 1 + 2λ, 2 - 3λ) , λ real
Separando as duas equações, obtém-se a equação paramétrica: r:
Para determinar o ponto Q(x, 5) que pertence à reta, ele deve satisfazer a equação 
 e . 
Assim, 
Portanto, x = 1 + 2λ = 1 + 2.(–1) = 1 – 2 = – 1, o ponto será (–1, 5).
 
Fonte: geralt/pixabay
VETOR NORMAL DA RETA
Nós já vimos que o vetor diretor da reta pode ser obtido diretamente da equação paramétrica
ou da equação simétrica da reta. Outro vetor importante é o vetor perpendicular a ela,
denominado de vetor normal da reta, com notação de .
Para o caso do plano, comparando as equações da reta simétrica e geral, ax + by + c = 0 ,
tem-se a = f e b = -d, onde (d, f) é o vetor diretor da reta. Vide transformação feita no início
deste item.
Se definirmos um vetor ( a, b), pode ser verificado que: = a.d + b.f = f.d + (-d).f = 0,
portanto, o vetor é perpendicular ao vetor diretor da reta . As coordenadas de serão (a,
b), que pode ser obtida diretamente da equação geral da reta.
 ATENÇÃO
Se ax + by + c = 0 for a equação geral da reta r, então o vetor (a,b) é o vetor normal à reta r.
O vetor normal pode ser usado como uma terceira alternativa para se obter a equação geral da
reta.
Ao se conhecer um ponto da reta e o vetor normal, pode-se obter a equação geral através de
um produto escalar , pois serão vetores perpendiculares.
 
Fonte: O autor
 EXEMPLO
Determine a equação geral da reta que passa no ponto (2, 3) e tem vetor normal (1,4).
SOLUÇÃO
A equação geral é dada pela equação
 
Assim, a equação geral da reta é .
 SAIBA MAIS
SAIBA MAIS
Veja a demonstração da obtenção da equação geral da reta através do determinante.
javascript:void(0)
Na equação geral da reta obtida através da equação simétrica
O determinante proposto é
Resolvendo o determinante:
YA x + XB y + XA YB - XB YA - YB x - XA y = 0
(YA-YB )x - (XA-XB )y - [(YA - YB ) XA - (XA - XB ) YA ] = 0
Multiplicando ambos os lados por (-1)
(YB - YA)x - (XB - XA )y - [(YB - YA ) XA - (XB - XA ) YA ] = 0
Que é a mesma equação definida pela transformação da equação simétrica, provando,
assim, que o determinante proposto fornece a equação geral da reta.
 
Fonte: rawpixel.com/Freepik
EQUAÇÃO DA RETA NO ESPAÇO
Como no caso do plano, uma reta no espaço pode ser definida tendo-se dois pontos ou até
mesmo um ponto e o vetor diretor. A diferença é que tanto os pontos como o vetor diretor
possuem três dimensões e não mais duas.
No caso do espaço, não existem as equações geral e reduzida da reta. Como será visto em
módulo posterior, a equação do tipo 
ax + by + cz+ d = 0 representará um plano e não uma reta.
Assim, seguindo raciocínio análogo da equação da reta no plano, seja a reta r que passa pelos
pontos A(XA,YA,ZA) e B(XB,YB,ZB) e tem um vetor diretor 
 = (XA - XB, YA - YB, ZA - ZB) = (c ,d ,f), com c, d e f pertencente aos reais. Definimos
as seguintes equações da reta no espaço:
Simétrica: ;
Vetorial: 
Paramétrica: 
Da mesma forma que no plano, um ponto para pertencer a uma reta no espaço deve ter suas
coordenadas satisfazendo a equação da reta.
No caso do espaço, não temos nenhuma equação que nos apresenta diretamente o vetor
normal da reta, como no caso da equação geral da reta no plano.
 EXEMPLO
Determine a equação simétrica e paramétrica da reta que passa pelos pontos A (1, 2, – 1) e B
(0, 3, 1).
SOLUÇÃO
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação simétrica
A equação simétrica da reta será 
Analisando a equação, verifica-se que o vetor diretor da reta será o vetor 
Escolhendo o ponto A que pertence à reta, portanto, a equação paramétrica será
 EXEMPLO
Determine o valor de k e p para que o ponto pertença à reta que passa pelos
pontos e .
SOLUÇÃO
Obtendo o vetor diretor da reta: 
.
O ponto A (2,3,4) pertence à reta, então, a equação paramétrica será dada por
Para que P pertença à reta, ele deve satisfazer as três equações acima
x = 0 = 2 – λ → λ = 2, y = k = 3 – 3 λ → k = 3 – 3.2 = –3 e z = p = 4 – 2 → p = 4 – 2 = 2
TEORIA NA PRÁTICA
Um canhão se encontra em uma posição do solo e deve acertar um alvo que se encontra em
cima de uma elevação. Considera-se, por não ser uma distância muito longa, que o projetil ao
sair do canhão percorre a trajetória até o alvo em linha reta. Sabendo que o canhão se
encontra na posição (0, 5) e o alvo se encontra na posição (100, 400), qual deve ser o ângulo
de elevação do canhão em relação ao solo para que o projetil acerte o objetivo?
Solução em vídeo:
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão. Assista:
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A EQUAÇÃO GERAL DA RETA QUE PASSA PELOS
PONTOS A (3,5) E PONTO B (– 1, 3).
A) x -2y -13 = 0
B) x - 2y + 7 = 0
C) x + 2y - 3 = 0
D) x + 2y - 7 = 0
2. QUAL O PONTO QUE TEM ABSCISSA 3 E QUE PERTENCE À RETA 2X -
Y + 10 = 0.
A) (3, 10)
B) (3, 12)
C) (3, 16)
D) (3, 20)
3. UMA RETA FORMA UM ÂNGULO COM O EIXO POSITIVO DE X DE 45°.
ESTA RETA PASSA PELO PONTO (2,1). DETERMINE O VALOR DE P PARA
QUE O PONTO (1, P) PERTENÇA À RETA.
A) 3
B) 1
C) 2
D) 0
4. O PONTO R (K, 2) PERTENCE À RETA R:X=-5+4ΛY=-4+Λ, Λ REAL.
DETERMINE O VALOR DE K:
A) 19
B) 17
C) 15
D) 13
5. SEJA A RETA DE EQUAÇÃO X-2-4=Y+33. O VETOR NORMAL DESTA
RETA TEM COORDENADAS (A, B) E O COEFICIENTE LINEAR DELA VALE
Q. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE A + B + 4Q.
A) 0
B) -1
C) -2
D) 1
6. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA AS COORDENADAS DO
PONTO P (K, 4, P) QUE PERTENCE ÀS RETAS QUE PASSAM PELOS
PONTOS A (– 1 , 1 , 2) E B ( 3 , 2 , 3).
A) (12, 4, 3)
B) (10, 4, 1)
C) (11, 4, 5)
D) (2, 4, 3)
GABARITO
1. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (3,5) e ponto B (– 1, 3).
A alternativa "B " está correta.
 
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação
x-XAy-YA=XB-XAYB-YA→x-3y-5=-1-33-5=-4-2=42. Então, a equação simétrica da reta será: x-
34=y-52
Assim, 2(x – 3) = 4 (y – 5) → 2x - 6 = 4y - 20 →2 x- 4y + 14 = 0 → x - 2y + 7 = 0.
2. Qual o ponto que tem abscissa 3 e que pertence à reta 2x - y + 10 = 0.
A alternativa "C " está correta.
 
Se o ponto P ( xp , yp ) pertence à reta, ele satisfaz a equação da reta 2x - y + 10 = 0.
Como xp = 3 → 2.3 - y + 10 = 0 → y = 16.
3. Uma reta forma um ângulo com o eixo positivo de x de 45°. Esta reta passa pelo ponto
(2,1). Determine o valor de p para que o ponto (1, p) pertença à reta.
A alternativa "D " está correta.
 
Se o ângulo da reta com o eixo x vale 45°, então m = tg 45° = 1.
Logo, a equação da reta é y = mx + q = x + q
Como o ponto P (2,1) pertence à reta, então o ponto satisfaz a equação, assim 1 = 2 + q → q =
– 1
A reta terá equação y = x – 1. Como o ponto (1, p) pertence à reta → p = 1 – 1 = 0.
4. O ponto R (k, 2) pertence à reta r:x=-5+4λy=-4+λ, λ real. Determine o valor de k:
A alternativa "A " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
 
5. Seja a reta de equação x-2-4=y+33. O vetor normal desta reta tem coordenadas (a, b) e
o coeficiente linear dela vale q. Marque a alternativa que apresenta o valor de a + b + 4q.
A alternativa "D " está correta.
 
Transformando a equação simétrica para geral se obtém:
x-2-4=y+33→3x-6=-4y-12→3x+4y+6=0
 
Analisando a equação geral, verifica-se que o vetor normal vale (3,4).
Transformando a equação geral na equação reduzida y=-34x -32
Assim, o coeficiente linear q=-32. O valor de q poderia ser obtido também fazendo x = 0 na
equação geral. Assim, a + b + 4 q = 3 + 4 – 6 = 1.
6. Marque a alternativa que apresenta as coordenadas do ponto P (k, 4, p) que pertence
às retas que passam pelos pontos A (– 1 , 1 , 2) e B ( 3 , 2 , 3).
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguiro professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A EQUAÇÃO AX + BY + 16 = 0 DA RETA QUE PASSA PELOS
PONTOS A (3,2) E B (2,4). SEJA O PONTO C DE COORDENADAS (P, – 2)
QUE TAMBÉM PERTENCE A ESTA RETA. MARQUE A ALTERNATIVA QUE
APRESENTA O VALOR DE A + B + P.
A) 0
B) -1
C) -2
D) 1
2. SEJA A RETA R QUE PASSA NOS PONTOS (1,2,3) E (– 2, 4, 1). SABE-SE
QUE O PONTO P (4, T, P) PERTENCE A ESTA RETA QUE TEM VETOR
DIRETOR DADO POR (A, – 2, B). DETERMINE O VALOR DE A + B + T + P.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
GABARITO
1. Seja a equação ax + by + 16 = 0 da reta que passa pelos pontos A (3,2) e B (2,4). Seja o
ponto C de coordenadas (p, – 2) que também pertence a esta reta. Marque a alternativa
que apresenta o valor de a + b + p.
A alternativa "B " está correta.
 
Aplicando diretamente o determinante para encontrar a equação da reta:
xy1XAYA1XBYB1=xy1321241=0
Resolvendo o determinante: (2 - 4)x + (2 - 3)y + (12 - 4) = 0 → -2x - y + 8 = 0
Assim, a equação da reta vale -2x - y + 8 = 0, mas o enunciado diz que o termo independente
vale 16, logo, devemos multiplicar todos os termos por 2, ficando com uma equação -4x - 2y +
16 = 0. Portanto a = – 4 e b = – 2.
Se C pertence à reta, ele satisfaz a equação da reta, assim -2p + 2 + 8 = 0 → 2p = 10 → p = 5
Portanto, a + b + p = – 4 – 2 + 5 = – 1.
2. Seja a reta r que passa nos pontos (1,2,3) e (– 2, 4, 1). Sabe-se que o ponto P (4, t, p)
pertence a esta reta que tem vetor diretor dado por (a, – 2, b). Determine o valor de
a + b + t + p.
A alternativa "C " está correta.
 
Determinando-se a equação simétrica da reta no plano:
x-XAXB-XA=y-YAYB-YA=z-ZAZB-ZA→x-1-2-1=y-24-2=z-31-3→x-1-3=y-22=z-3-2
 
O vetor diretor será qualquer vetor proporcional a (– 3, 2, –2). No enunciado, a coordenada y
do vetor diretor tem valor de – 2, assim, o vetor diretor escolhido será (3, – 2, 2), que foi obtido
multiplicando o anterior por –1. Então, a = 3 e b = 2.
Se o ponto P pertence à reta, ele satisfaz as equações da reta:
 
x-1-3=y-22=z-3-2→4-1-3=t-22=p-3-2
Resolvendo as equações -1=t-22=p-3-2→t= 0 e p = 5. Portanto, a + b + t + p = 3 + 2 + 0 + 5 =
10.
MÓDULO 2
 Aplicar equações da reta na obtenção da interseção, do ângulo e das posições relativas
entre retas
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, aprendemos a equação analítica de uma reta no plano ou no espaço.
Ao compararmos as equações de duas retas, observa-se que duas retas no plano podem ter
três posições relativas entre si: concorrentes, paralelas ou coincidentes. No caso do espaço,
além dos três tipos anteriores, temos o caso de retas reversas, que são aquelas que pertencem
a dois planos paralelos distintos.
As equações analíticas das retas podem também ser usadas para se descobrir o ângulo
formado pelas retas e, se for o caso, o ponto de interseção que elas possuem.
 
Sergey Zolkin/unsplash
INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS
Como já visto no módulo anterior, um ponto P para pertencer a uma reta deve satisfazer a
equação da reta. Assim, se um ponto é interseção entre duas retas, ele deve, obrigatoriamente,
obedecer, simultaneamente, às equações das duas retas.
Desta forma, a coordenada do ponto de interseção, caso exista, será a solução do sistema
linear composto pelas duas retas analisadas. Se este sistema for possível e determinado, a
solução será o ponto de interseção entre as retas. Se a solução do sistema for possível e
indeterminada, será o caso de as duas retas serem a mesma reta, assim, todos os pontos da
reta são comuns entre as duas, tendo, portanto, infinitas soluções no sistema. E, por fim, se a
solução do sistema for impossível, é porque as retas não têm ponto comum.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
Quando se está trabalhando no plano, duas retas podem ter, entre si, três posições relativas,
são elas:
CONCORRENTES
Apresentam um ponto de interseção, isto é, um ponto comum.
COINCIDENTES
São na verdade a mesma reta, tendo, portanto, infinitos pontos comuns.
PARALELAS
Têm a mesma direção, porém são distintas, não tendo nenhum ponto em comum.
Um caso particular das retas concorrentes é o caso das retas perpendiculares ou ortogonais,
que fazem 90° entre si.
 
Fonte: O autor
Os três casos anteriores representam retas que pertencem ao mesmo plano, isto é,
coplanares. No caso de estar se trabalhando no espaço, temos uma quarta possibilidade. Esta
quarta possibilidade está associada com as retas que não são coplanares. Em outras palavras,
pertencem a dois planos paralelos distintos. Estas retas são denominadas de retas reversas e
não apresentam pontos de interseção. As retas reservas podem ser obliquas ou ortogonais,
veja.
 
Fonte: O autor
O item anterior apresentou uma forma de se obter os pontos de interseção através da
resolução do sistema. Ao se determinar os pontos de interseção, pode-se avaliar as posições
relativas entre as retas. Se as retas tiverem apenas um ponto em comum, elas só podem ser
retas concorrentes. Se tiverem infinitos pontos em comum, as retas serão coincidentes. Se as
retas não tiverem pontos em comum, podem ser paralelas ou reversas.
Para o último caso, observa-se que apenas com a análise da interseção não se pode concluir
sobre a posição entre as retas, tornando-se necessária a análise complementar de se observar
a direção relativa das retas, através dos vetores diretores.
 RESUMINDO
Assim, resumidamente:
Retas concorrentes: apenas um ponto comum. Neste caso, apesar de não ser necessária a
análise, os vetores diretores não são paralelos;
Retas coincidentes: infinitos pontos em comum. Neste caso, apesar de não ser necessária a
análise, os vetores diretores são paralelos;
Retas paralelas: nenhum ponto em comum e os vetores diretores são paralelos;
Retas Reversas: nenhum ponto em comum e os vetores diretores não são paralelos.
A verificação se os vetores diretores são ou não paralelos é feita através da averiguação das
coordenadas dos mesmos serem ou não proporcionais, isto é: Se 
No caso do plano, a comparação das equações gerais é um método simples para se verificar a
posição relativa entre duas retas. Seja a reta r: a1 x + b1 y + c1 = 0 e a reta s: a2 x + b2 y + c2 =
0, assim:
Se , então, as retas r e s serão coincidentes;
Se , então, as retas r e s serão paralelas;
Se , então, as retas r e s serão concorrentes.
As condições acima estão relacionadas com as direções dos vetores normais das retas.
 
Fonte: Melinda Nagy/Shutterstock
ÂNGULO ENTRE RETAS
O ângulo entre as retas será o mesmo ângulo que existe entre seus vetores diretores. Assim,
sejam as retas r, com vetor diretor e a reta s, com vetor diretor . O ângulo θ formado entre
as duas retas será calculado por: 
Por definição, como as retas não têm sentido, o ângulo entre elas será sempre o ângulo agudo,
isto é, menor ou igual a 90°. Como o ângulo agudo tem cosseno positivo, foi colocado um
módulo na fórmula do cosseno do ângulo entre as retas.
O ângulo formado entre os vetores diretores também será o mesmo ângulo formado pelos
vetores normais. Isto parte de uma propriedade da Geometria. Assim, no cálculo do ângulo
através da fórmula anterior, ela pode ser usada com o vetor normal ao invés do vetor diretor.
Se as retas forem paralelas ou coincidentes, por definição se considera como 0° o ângulo entre
elas.
No caso das retas reversas, define-se ângulos entre elas como o ângulo formado pela primeira
reta e uma reta paralela à segunda reta, porém pertencente ao plano da primeira. A fórmula
apresentada já leva em conta esta definição.
No caso da análise no R2, o plano, ao invés de usar o vetor diretor para a análise das posições
relativas das retas, pode ser usado, alternativamente, o vetor normal da reta.
 EXEMPLO
Determine, caso exista, o ponto de interseção entres as retas e 
 e verifique as posições relativas entre as retas.
SOLUÇÃO
Resolvendo o sistema abaixo. Se o sistema for possível e determinado, existirá o ponto de
interseção.
Assim, o ponto (– 1,3) pertenceas duas retas sendo o ponto de interseção entre elas.
Portanto, neste caso, as duas retas são concorrentes.
Se for verificado os coeficientes das equações das retas:
 e . Como , então as retas r e s são concorrentes.
 EXEMPLO
Determine o ângulo existente entre as retas do exemplo anterior.
SOLUÇÃO
Os vetores normais das retas são (2,1) e (3,-1).
Assim, 
 EXEMPLO
Determine, caso exista, o ponto de interseção entre a retas e a reta 
 e verifique as posições relativas entre as retas.
SOLUÇÃO
Transformando a equação simétrica da reta s para equação paramétrica 
.
Igualando as coordenadas 
Assim, λ + α= -1 → λ = -1 - α que substituindo na terceira equação
3α + (-1 - α) = 1 → 2α = 2 → α = 1 → λ = – 2
Portanto, existe apenas uma solução α = 1 e λ = – 2. Para achar o valor do ponto de
interseção, substitui-se em qualquer uma das duas retas
Logo, o ponto P (6, 9, – 3) é o ponto de interseção e as retas são concorrentes.
Apenas como observação, se fossem verificados os vetores diretores das retas, eles seriam 
(-2,-3,2) e (2,3,-6) sendo, portanto, vetores que não são paralelos. A conclusão dessa
análise seria que as retas poderiam ser concorrentes ou reversas, mostrando que esta análise
isolada não permite, neste caso, concluir sobre as posições relativas, tornando-se necessário
verificar a interseção.
Se na solução do sistema anterior fossem encontrados infinitos valores de α e λ, então o
sistema seria possível e indeterminado, e as retas seriam a mesma reta. Se não fosse
determinado nenhum valor de α e λ para satisfazer o sistema, as retas não se cortariam, não
tendo ponto de interseção.
TEORIA NA PRÁTICA
Um determinado terreno tem dois de seus lados fazendo um ângulo de 60°. A primeira cerca
liga os pontos (4,1) e (1,1). A segunda cerca liga os pontos (1,1) ao ponto (4, 3 + 1). O
morador do terreno do lado diz que a segunda cerca está entrando em seu terreno, isto é, está
fazendo um ângulo maior do que 600 com o primeiro lado do terreno. Como você pode ajudar
ao dono do terreno a mostrar que o ângulo está correto?
Solução em vídeo:
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão. Assista:
MÃO NA MASSA
1. O PONTO P (A, B) É PONTO COMUM ENTRE AS RETAS X + 2Y - 2 = 0 E
X - Y + 4 = 0. DETERMINE O VALOR DE A + B.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
2. DETERMINE A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE AS RETAS R, DEFINIDA
PELA EQUAÇÃO 2X + 3Y + 5 = 0, E A RETA S, DEFINIDA PELA EQUAÇÃO
4X + 6Y – 9 = 0.
A) Paralelas
B) Concorrentes
C) Reservas
D) Coincidentes
3. DETERMINE A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE AS RETAS DEFINIDA PELA
EQUAÇÃO X-14=Y-25, E A RETA S: 10X - 8Y + 6 = 0.
A) Paralelas
B) Concorrentes
C) Reservas
D) Coincidentes
4. DETERMINE O PONTO DE INTERSEÇÃO ENTRE A RETAS R:X=2-
2ΛY=4+10ΛZ=2-3Λ, Λ REAL E A RETA S:X+42=Y-64=Z-3-2
A) ( 14 , – 1 , 0)
B) ( 1 , 14 , 2 )
C) ( 0 , 14 , – 1)
D) ( 3 , 11 , 14)
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O COSSENO DO ÂNGULO
FORMADO PELAS RETAS 
 
R:X=1-ΛY=-3+3Λ, Λ REALZ=2+2Λ E A RETA S:X-73=Y-22=Z-41.
A) 514
B) 814
C) 314
D) 1
6. DETERMINE O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO ENTRE AS RETAS 
 
R:X=-3-4AY=-5-4A, A REALZ=-4-4A E S:X=-2-3ΛY=1+6Λ, Λ REALZ=2+9Λ.
A) 307
B) 375
C) 427
235
GABARITO
1. O ponto P (a, b) é ponto comum entre as retas x + 2y - 2 = 0 e x - y + 4 = 0. Determine o
valor de a + b.
A alternativa "A " está correta.
 
Resolvendo o sistema abaixo. Se o sistema for possível e determinado, existirá o ponto de
interseção.
 
x+2y-2=0x-y+4=0=0.
 
Subtraindo uma equação da outra: 2y + y - 2 - 4 = 0 → 3y = 6 → y = 2 = a
Então, x = y - 4 = 2 - 4 = -2 = b. Portanto, a + b = 2 – 2 = 0.
2. Determine a posição relativa entre as retas r, definida pela equação 2x + 3y + 5 = 0, e a
reta s, definida pela equação 4x + 6y – 9 = 0.
A alternativa "A " está correta.
 
Verificando-se os coeficientes das equações das duas retas, observa-se que:
a1a2=24=12, b1b2=36 =12 e c1c2=5-9=59
 
Como a1a2= b1b2≠ c1c2, as retas r e s são paralelas.
 
Se fosse resolvido o sistema 2x+3y+5=04x+6y-9=0, verifica-se que ele é impossível. Não se
tem nenhum ponto que atende as duas equações.
3. Determine a posição relativa entre as retas definida pela equação x-14=y-25, e a reta
s: 10x - 8y + 6 = 0.
A alternativa "D " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
 
4. Determine o ponto de interseção entre a retas r:x=2-2λy=4+10λz=2-3λ, λ real e a reta
s:x+42=y-64=z-3-2
A alternativa "C " está correta.
 
Transformando a equação simétrica da reta s para equação paramétrica s:x=-4+2ay=6+4az=3-
2a, a real.
 
Igualando as coordenadas x=-4+2a=2-2λy=6+4a=4+10λz=3-2a =2-3λ→2a+2λ=64a-10λ=-22a-
3λ=1→a+λ=32a-5λ=-12a-3λ=1
Assim, λ + α = 3 → λ = 3 - α que substituindo na terceira equação
2 α - 3.(3 - α) = 1 → 2α + 3α = 1 + 9 = 10 → α = 10/5 → α = 2 e λ = 3 - α = 3 - 2 = 1
Portanto, existe apenas uma solução, α = 2 e λ = 1. Para achar o valor do ponto de interseção,
substitui-se em qualquer uma das duas retas
x=2-2λ = 2-
21=0y=4+10λ = 4 + 10.1 = 14z=2 - 3λ = 2 - 3.1 = -1 oux=-4+2a = -4+2.2=0y=6+4a =6+4.2=14z=3-
2a=3-2.2 = -1
 
Então, o ponto P ( 0, 14 , – 1) é o ponto de interseção entre as retas.
5. Marque a alternativa que apresenta o cosseno do ângulo formado pelas retas 
 
r:x=1-λy=-3+3λ, λ realz=2+2λ e a reta s:x-73=y-22=z-41.
A alternativa "A " está correta.
 
Verifica-se que os vetores diretores são (– 1, 3, 2) e (3, 2 ,1) que não são paralelos, assim, as
retas serão concorrentes ou reversas. Logo, o ângulo é obtido pela fórmula
cosθ=v1→.v2→v1→v2→
v1→=-12+32+22=14, v2→=32+22+12=14
 
v1→.v2→=-1.3+3.2+2.1=5 → Assim cosθ = v1→.v2→v1→v2→=51414=514
6. Determine o cosseno do ângulo formado entre as retas 
 
r:x=-3-4ay=-5-4a, a realz=-4-4a e s:x=-2-3λy=1+6λ, λ realz=2+9λ.
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJAM AS RETAS R, DE EQUAÇÃO 3X + 5Y – 8 = 0, E A RETA S, DE
EQUAÇÃO X+14=Y+26. O PONTO P (A, B) É O PONTO COMUM AS DUAS
RETAS. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE A + B.
A) 1
B) 2
C) Infinitos valores
D) Não existe a e b
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A POSIÇÃO RELATIVA
ENTRE AS RETAS. DETERMINE, CASO EXISTA, O PONTO DE
INTERSEÇÃO ENTRE A RETAS R:X =1-ΛY=-3+3Λ, Λ REALZ=2+2Λ E A
RETA S:X-73=Y-12=Z-41 E VERIFIQUE AS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE
AS RETAS.
A) Coincidentes
B) Paralelas
C) Concorrentes
D) Reversas
GABARITO
1. Sejam as retas r, de equação 3x + 5y – 8 = 0, e a reta s, de equação x+14=y+26. O
ponto P (a, b) é o ponto comum as duas retas. Marque a alternativa que apresenta o
valor de a + b.
A alternativa "B " está correta.
 
Transformando a equação da reta s, para equação geral, 6x + 6 = 4y + 8 → 6x - 4y – 2 = 0
→ 3x - 2y – 1 = 0
Repare que a1a2=33 e b1b2=5-2. Como a1a2≠b1b2, então as retas r e s são concorrentes.
Resolvendo o sistema 3x+5y-8=03x-2y-1=0, subtraindo as duas equações 7y – 7 = 0 → y = 1.
Assim, 3x + 5,1 – 8 = 0 → 3x = 3 → x = 1. Portanto, o ponto comum é P (1,1), assim a + b = 1 +
1 = 2.
2. Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre as retas. Determine, caso
exista, o ponto de interseção entre a retas r:x =1-λy=-3+3λ, λ realz=2+2λ e a reta s:x-
73=y-12=z-41 e verifique as posições relativas entre as retas.
A alternativa "C " está correta.
 
Verifica-se que os vetores diretores são (– 1, 3, 2) e (2, 3 ,1) que não são paralelos, assim, as
retas serão concorrentes ou reversas.
Transformando a equação da reta s para paramétrica s:x=7+3ay=1+2a, a realz=4+a
Igualando coordenada a coordenada: 1-λ=7+3a-3+3λ=1+2a2+2λ = 4+a→λ+3a=-63λ-2a=42λ -
a=2
Resolvendo o sistema, obtém-se o valor de λ = 0 e α = – 2 que atende as três equações.
Assim x=1-λ=1-0=1y=-3+3λ=-3+0=-3z=2+2λ = 2+0=2 é o ponto comum. As retas serão,
portanto, concorrentes
MÓDULO 3
 Aplicar a definição do plano na determinaçãoda equação do plano e nas posições relativas
entre os planos
INTRODUÇÃO
Abordamos, anteriormente, a figura geométrica da reta no plano e no espaço. Neste módulo,
estudaremos o lugar geométrico denominado de plano. Como visto na Geometria, um plano é
definido por três pontos não colineares. Apesar disso, existem diversas maneiras de se definir
a sua equação.
De forma similar à reta, o plano terá alguns tipos de equações equivalentes para representar os
seus pontos: geral, vetorial e paramétrica. Por fim, além de definirmos a equação que
representa um plano no espaço, serão analisadas também as posições relativas e o ângulo
entre os planos, de forma similar ao feito na reta.
 
agsandrew/Shutterstock
EQUAÇÃO DO PLANO NO ESPAÇO
Não há sentido em falar de equação do plano no R2, pois todo R2 é um plano particular, isto é,
o plano xy com equação z = 0. A equação do plano vai ser estudada no espaço, ou seja, no R3.
Para se definir um plano, necessita-se de três pontos que não pertençam à mesma reta (não
colineares), porém, para se definir uma equação de um plano, algumas alternativas são
possíveis.
É importante termos a seguinte noção:
Um ponto, para pertencer a um plano, deve satisfazer a equação do plano;
Um vetor, para pertencer ao plano, deve ser paralelo ao plano. Assim, vetor paralelo ao
plano ou pertencente ao plano serão sinônimos;
Uma reta, para pertencer ao plano, deve ter, no mínimo, dois pontos distintos da reta que
satisfaça a equação do plano.
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Assim, pode-se definir uma equação do plano, conhecendo-se no mínimo:
Um ponto e o vetor normal ao plano;
Dois pontos e um vetor do plano;
Três pontos não colineares;
Um ponto e dois vetores, não paralelos, que pertencem ao plano;
A primeira equação analisada é a EQUAÇÃO GERAL do plano, que tem forma similar à
equação geral da reta: ax + by + cz + d = 0, com a, b, c e d reais. Uma das formas para se
determinar esta equação parte do conhecimento de um ponto A (XA,YA,ZA), que pertence ao
plano, e um vetor normal (perpendicular) ao plano 
(a,b,c). A metodologia é similar à que fizemos na reta.
Define-se um ponto genérico do plano P (x, y, z) e calcula-se o vetor 
. O vetor normal , por ser perpendicular ao
plano π , será perpendicular a qualquer vetor deste plano, então, perpendicular a 
 
Fonte: O autor
Se multiplicarmos ambos os lados por um número real k, ainda temos a mesma equação.
a x +b y + c z + d = 0 ⇔ ak x + bk y + ck z + dk = 0 , k ∈ R
 EXEMPLO
Determine a equação geral e paramétrica do plano que passa pelos pontos A (1, 4, 2) e é
perpendicular ao vetor (2, – 1, 2).
SOLUÇÃO
Resolvendo a equação = 0 será obtida a equação geral do plano. P (x, y, z) é um ponto
genérico. 
2x - y + 2z - 2 = 0
Para obter a equação paramétrica, façamos x = α e y = λ, com α e λ reais.
Assim, 2α - λ + 2z - 2 = 0 → 2z = 2 - 2α + λ
Desta forma 
A segunda possibilidade, caso se conheça dois pontos (A e B) e um vetor do plano, transforma-
se no caso anterior, pois pode-se obter o vetor normal através de um produto vetorial com dois
vetores que pertencem ao plano. Um já é conhecido e o outro é obtido através dos dois pontos
dados, isto é, ou . Dessa forma, teremos novamente um ponto e o vetor normal ao
plano.
Na terceira possibilidade, são dadas as coordenadas de 3 pontos do plano (A, B e C). Neste
caso, podemos ter duas alternativas. Através dos três pontos, define-se dois vetores que
pertenceram ao plano, por exemplo, e . Com estes dois vetores, obtém-se o vetor
normal pelo produto vetorial entre eles e se repete o primeiro caso analisado neste tópico.
A segunda alternativa é lembrar a condição de coplanaridade entre três vetores, que é o
produto misto igual a zero. Assim, através dos 3 pontos, acrescentamos um ponto genérico
P(x,y,z) e fazemos que: [ , , ]=0. Ressalta-se que pode ser escolhido qualquer vetor
que liga os pontos, apenas se escolhendo um vetor com o ponto P genérico.
O último caso, no qual se é conhecido um ponto e dois vetores do plano, também recai no
primeiro, pois o vetor normal pode ser obtido pelo produto vetorial destes dois vetores dados.
Existe, porém, uma segunda alternativa para este caso, definindo-se o outro tipo de equação
do plano.
 EXEMPLO
Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A (1, 1, – 1), B (2, 0, 3) e
C (0, 4, 2).
SOLUÇÃO
A primeira forma é fazer o produto misto [ , , ]=0
=( x-1,y-1,z-(-1))=(x-1,y-1,z+1)
=( 2-1,0-1,3-(-1))=(1,-1,4)
=( 0-1,4-1,2-(-1))=(-1,3 ,3)
Outra opção é achar o vetor normal e usar a mesma solução do exemplo
anterior.
EQUAÇÃO VETORIAL E PARAMÉTRICA DO
PLANO
Além da equação geral, pode ser definida a equação paramétrica do plano. Para isso, torna-se
necessário conhecer um ponto do plano e dois vetores pertencentes ou paralelos a ele. O
conceito é que qualquer ponto P (x, y, z) que pertença ao plano π, obrigatoriamente é obtido,
partindo do ponto dado A, por uma combinação linear dos dois vetores do plano.
Em outras palavras, seja o ponto A (XA, YA, ZA) e dois vetores não paralelos (c,d,f) e 
(p,q,r) que pertencem ao plano π. E seja o ponto genérico P(x,y,z) do plano, assim:
, com α e β reais
 
Fonte: O autor
A equação , com α e β reais, é denominada de EQUAÇÃO VETORIAL
da reta.
Separando a mesma para cada uma das coordenadas, define-se a EQUAÇÃO
PARAMÉTRICA do plano como: 
Pode-se obter a equação paramétrica através da equação geral do plano, basta fazer x = α, y =
β na equação geral e obter o valor de z. Assim, se produz uma equação paramétrica
Para se obter a equação geral através da equação paramétrica do plano: pegue duas das três
equações e ache o valor de α e β em relação as duas coordenadas escolhidas, por exemplo, x
e y. Depois, substitua o valor de α e β na terceira equação, então, obtém-se a equação geral.
 
Fonte: Rawpixel.com/Shutterstock
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS
Você sabia que dois planos no espaço apresentam entre si posições relativas que podem ser
classificadas como concorrentes, paralelos ou coincidentes? A seguir, veja detalhadamente
cada um:
CONCORRENTES
Apresentam uma reta de interseção.
COINCIDENTES
São, na verdade, o mesmo plano, tendo, portanto, infinitos pontos comuns.
PARALELOS
Não têm nenhum ponto em comum.
Um caso particular dos planos concorrentes, são os planos ortogonais, isto é, fazem 90° entre
si.
 
Fonte: O autor
A posição relativa entre os planos é dada pela análise do vetor normal aos mesmos. Como
visto no item anterior, um plano de equação geral tem um vetor
normal dado por . Sejam dados dois planos ,
com vetor normal , e , com vetor normal 
.
Se , as duas equações representam o mesmo plano, assim, os
planos π e μ serão planos coincidentes.
 representam que os dois vetores normais são paralelos, mas não
são equações do mesmo plano, assim, os planos π e μ serão planos paralelos.
Os demais casos vão denotar que os planos π e μ serão planos concorrentes.
No caso dos planos concorrentes, pode-se obter a equação da reta que há a interseção dos
planos. Os pontos da reta de interseção devem satisfazer as duas equações do plano
Uma solução é resolver o sistema para duas variáveis em relação a terceira. Dessa forma,
teremos, por exemplo, y e z em função de x. Logo, define-se x como um parâmetro λ e
teremos as equações paramétricas.
 EXEMPLO
Determine a posição relativa, interseção e ângulo entre os planos e 
.
SOLUÇÃO
Comparando os coeficientes das equações gerais dos planos:
Como , assim, os planos π e μ serão planos paralelos.
Desta forma, não existe interseção entre os planos e o ângulo formado entre eles é zero.
ÂNGULOS ENTRE PLANOS
De forma similar às retas, o ângulo entre os planos será o mesmo ângulo entre seus vetores
normais. Assim, sejam os planos π e μ, com vetores normais e . O ângulo θ formado
entre os planos será calculado por: 
π
π
Por definição, o ângulo entre os planos será sempre o ângulo agudo, isto é, menor ou igual a
90°.
Se o produto escalar , entãoos dois planos serão ortogonais. Se os planos forem
paralelos ou coincidentes, o ângulo é dito como 0°
 EXEMPLO
Determine a posição relativa, interseção e ângulo entre o plano 2y – 4x – 4z – 2 = 0 e o plano 
.
SOLUÇÃO
Convertendo a equação do segundo plano para equação geral. Separando duas das três
equações e achando o valor de β e α em relação às coordenadas:
 na primeira equação .
Substituindo na segunda: 
Assim, .
Substituindo na equação do 
Comparando agora os coeficientes das equações gerais dos planos:
Como as duas equações representaram o mesmo plano, portanto os
planos π e μ serão coincidentes. A interseção entre eles é o próprio plano e o ângulo formado
entre eles é zero.
 EXEMPLO
Determine a posição relativa, interseção e ângulo entre o plano e o plano 
.
SOLUÇÃO
Comparando os coeficientes das equações gerais dos planos 
Como , os dois planos são concorrentes.
Para se obter o ângulo entre os planos: 
 e 
.
Assim, , portanto, 
 e 
Fazendo x = λ , então y = 3 – λ e z = 4 – 3λ , λ real.
A reta de interseção dos planos será 
TEORIA NA PRÁTICA
Na interseção entre duas elevações, existe um rio que segue uma trajetória retilínea. A primeira
elevação é modelada como plano e a segunda elevação é modelada pela
equação do plano . Qual a equação que modela a trajetória do rio?
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE OS PLANOS 2X + 3Y – Z + 4
= 0 E 7X – Y + 3Z – 2 = 0.
A) Coincidentes
B) Paralelos
C) Concorrentes
D) Reversos
2. DETERMINE A EQUAÇÃO DO PLANO QUE PASSA PELOS PONTOS
A (2, 3, – 1) E É PERPENDICULAR AO VETOR (1, 1, – 2).
A) x + 2y + z - 1 = 0
B) x + y - 2z - 7 = 0
C) x - y - 3z - 9 = 0
D) 2x + y - z + 1 = 0
3. DETERMINE O VALOR DA EQUAÇÃO GERAL DO PLANO QUE PASSA
PELOS PONTOS A ( 0, 1, 3), B ( 1, 1, 2) E 
C (1, – 2 , 1).
A) 3x - y + 3z - 5 = 0
B) 3x - y + 2z - 8 = 0
C) 3x - y + 3z - 8 = 0
D) 2x - y + 3z - 8 = 0
4. DETERMINE O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO PELOS PLANOS X +
Y – 2 = 0 E 2Y – Z + 3 = 0.
A) 1
B) 23
C) 102
D) 105
5. SEJAM OS PLANOS 2X + KY = 0 E X + PZ + 3 = 0, COM K E P REAIS.
SABE-SE QUE O ÂNGULO ENTRE OS PLANOS VALE 60° E QUE O PONTO
P (0, 1, 1) PERTENCE AO PRIMEIRO PLANO. DETERMINE O VALOR DE K
+ P2.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
6. DETERMINE A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE OS PLANOS
X=1+Α+ΒY=7+6Α+4ΒZ=2+2Α+Β E X=3+Α+3ΒY=1+4Α+2ΒZ=4+Α-2Β
A) Coincidentes
B) Paralelos
C) Concorrentes
D) Reversos
GABARITO
1. Determine a posição relativa entre os planos 2x + 3y – z + 4 = 0 e 7x – y + 3z – 2 = 0.
A alternativa "C " está correta.
 
Comparando os coeficientes entre os planos:
 
a1a2= 27 e b1b2= 3-1≠a1a2
Assim, os planos são concorrentes.
2. Determine a equação do plano que passa pelos pontos A (2, 3, – 1) e é perpendicular
ao vetor (1, 1, – 2).
A alternativa "B " está correta.
 
Resolvendo a equação n→.AP→=0 será obtida a equação geral do plano. P (x, y, z) é um
ponto genérico. n→.AP→=0 → (1,1,- 2).(x- 2,y-3,z-(-1))=0
→ (x - 2) + (y - 3) - 2(z + 1) = 0 → x + y - 2z - 7 = 0.
3. Determine o valor da equação geral do plano que passa pelos pontos A ( 0, 1, 3), B ( 1,
1, 2) e 
C (1, – 2 , 1).
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
 
4. Determine o cosseno do ângulo formado pelos planos x + y – 2 = 0 e 2y – z + 3 = 0.
A alternativa "D " está correta.
 
Comparando os coeficientes das equações gerais dos planos:
a1a2= 10 , b1b2= 12, c1c2= 01 e d1d2=-23→a1a2≠b1b2≠ c1c2, os dois planos são
concorrentes.
Para se obter o ângulo entre os planos: cosθ=n1→.n2→n1→n2→
n1→=1,10 e n2→=0,2,-1, n1→=12+12=2, n2→=02+22+-12=5 e n1→. n2→=1.0+1.2+0.-1=2.
Assim ccosθ=n1→.n2→n1→n2→=225=105
5. Sejam os planos 2x + ky = 0 e x + pz + 3 = 0, com k e p reais. Sabe-se que o ângulo
entre os planos vale 60° e que o ponto P (0, 1, 1) pertence ao primeiro plano. Determine o
valor de k + p2.
A alternativa "D " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
 
6. Determine a posição relativa entre os planos x=1+α+βy=7+6α+4βz=2+2α+β e 
x=3+α+3βy=1+4α+2βz=4+α-2β
A alternativa "B " está correta.
 
Pela equação paramétrica do primeiro plano, pode-se obter dois vetores paralelos a este plano
(1, 6, 2) e (1, 4, 1).
Assim, seu vetor normal será n→=v1→ x v2→ = x^y^z^162141=6x^+4z^+2y^-6z^-y^-8x=
=-2x^+y^-2z^=-2,1,-2 e um ponto deste plano será o ponto (1, 7, 2).
portanto, a equação geral será dada por n→.AP→=0
n→.AP→=0 → (- 2,1,- 2).(x- 1,y-7,z-2) = 0
→ (-2)(x - 2) + (y - 7)-2(z - 2) = 0 → 2x - y + 2z + 1 = 0
Pela equação paramétrica do segundo plano, pode-se obter dois vetores paralelos a este plano
(1, 4, 1) e (3, 2, – 2).
Dessa forma, seu vetor normal será n→=v1→ x v2→ = x^y^z^14132-
2=-8x^ + 2z^ +3y^ -12z^ + 2y^ - 2x^
=-10 x^ + 5y^ -10z^ = (– 10, 5, –10) e um ponto deste plano será o ponto (3, 1, 4).
Assim, a equação geral será dada por n→.AP→=0
n→.AP→=0 → (-10, 5, -10).(x - 3, y - 1, z - 4) = 0
(-10)(x - 3) + 5(y - 1) - 10(z - 4) = 0 → 10x - 5y + 10z - 65 = 0
→ 2x - y + 2z - 13 = 0
Comparando-se as duas equações gerais dos planos, verifica-se que a1a2=b1b2= c1c2≠d1d2
Assim sendo, os planos são paralelos.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O PLANO AX + BY + CZ + D = 0 PASSA NO PONTO A (2 , 3, – 2) E É
PARALELO AOS VETORES V1→ (1,0,-1) E VETORES V2→ (-1,1,2).
DETERMINE O VALOR DE A + B + C + D.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A POSIÇÃO RELATIVA
ENTRE O PLANO 2X – Y + 4Y – 8 = 0 E O PLANO X=2+2Α+ΒY=1+3Α-
Β, Α E Β REAIS.Z=2+Α+2Β Α E Β REAIS.
A) Coincidentes
B) Paralelas
C) Concorrentes
D) Reversas
GABARITO
1. O plano ax + by + cz + d = 0 passa no ponto A (2 , 3, – 2) e é paralelo aos vetores
v1→ (1,0,-1) e vetores v2→ (-1,1,2). Determine o valor de a + b + c + d.
A alternativa "B " está correta.
 
Obtendo o vetor normal n→=v1→ x v2→ = x^y^z^10-1-112=x^-y^+z^=1,-1,1
Resolvendo a equação n→.AP→=0 será obtida a equação geral do plano.
n→.AP→=0 → (1,-1 ,1).(x - 2, y - 3, z + 2)= 0 → x - y + z + 3 = 0 → a + b + c + d = 4
2. Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre o plano 2x – y + 4y – 8 = 0
e o plano x=2+2α+βy=1+3α-β, α e β reais.z=2+α+2β α e β reais.
A alternativa "C " está correta.
 
Convertendo a equação do segundo plano para equação geral.
x=2+2α+βz=2+α+2β→x=2+2α+β2z=4+2α+4β → Subtraindo: 2z – x = 4 – 2 + 4β – β = 2 + 3 β
Então, β=23z-13x-23 e, substituindo na equação x=2+2α+β=2+2α+23z-13x-23
Dessa forma, 2α=43x-23z-13→7x-3y-5z-1=0
Substituindo na equação do y→y=1+3α-β=1+323x-13z-23-23z-13x-23
y=73x-53z-13→7x-3y-5z-1=0
Comparando agora os coeficientes das equações gerais dos planos:
a1a2=27, b1b2=-1-3=13, c1c2=4-5=-45 e d1d2=-8-1=8 → dois planos são concorrentes.
MÓDULO 4
 Aplicar o conceito de ponto, reta e plano na determinação de distância entre pontos, retas e
planos
INTRODUÇÃO
Nos módulos anteriores, introduzimos os conceitos de ponto, reta e plano.
Neste módulo, aplicaremos estes conceitos na determinação da distância entre pontos, entre
ponto e reta e entre reta e plano.
 
Fonte: ImageFlow/Shutterstock
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Sejam dois pontos no espaço e . A distância entre A e B
será dada pelo módulo do vetor . Assim, 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso particular do R2, os pontos só terão abscissa e ordenada, assim:
 EXEMPLO
Determine a distância entre os pontos e .
SOLUÇÃO
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E PLANO
Sejam o ponto P (XP, YP, ZP) e o plano π com vetor normal (a,b,c) e equação ax + by + cz +
d = 0. A distância do Ponto P ao plano será dada pela projeção vertical do vetor na direção
do vetor normal , sendo, portanto, o módulo do vetor 
 
Fonte: O autor
 EXEMPLO
Determine a distância entre os pontos e o plano .
SOLUÇÃO
A equação do plano já está na formageral. Se estivesse em outro formato, teríamos que
converter para geral para obtermos o vetor normal. O vetor normal é (2,1,-1), assim:
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Seja um ponto P (XP, YP, ZP) e a reta r. A distância entre o ponto P e a reta r é dada pelo
módulo do vetor , no qual o ponto Q pertence à reta r e o segmento PQ é perpendicular à
reta. A distância entre o ponto e a reta, no espaço, será: ou ,
em que T e R são dois pontos quaisquer da reta e é o vetor diretor desta reta.
No caso do R2, o raciocínio pode ser análogo ao feito para determinar a distância do ponto ao
plano.
Seja o ponto P (XP,YP) e a reta r, de equação ax + by + c = 0, com vetor normal (a,b), a
distância entre o ponto P e a reta r vai ser dada pela projeção vertical do vetor na direção
do vetor normal . Que será o módulo do vetor .
 EXEMPLO
Determine a distância entre os pontos e a reta 
SOLUÇÃO
Da equação da reta, obtém-se o vetor diretor (2 ,1 ,-1) e 
Escolhe-se um ponto arbitrário que pertence à reta r: R (3, – 2,1), assim = R - P = (2,-5,2)
A fórmula será dada por: 
TEORIA NA PRÁTICA
Duas estações de telecomunicações se encontram em uma posição do planeta. Através de
uma medição em coordenadas cartesianas, obteve-se sua localização como sendo E1 ( - 200,
100 , 1000) e E2 ( 500, 800, 2200). As coordenadas estão medidas em metros. Para realizar o
projeto de propagação entre elas, necessita-se medir a distância entre as estações. Determine
esta distância para que seja possível a realização do projeto.
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS A (– 2, 1, 3) E B (0, 2, –
4).
A) 6
B) 26
C) 36
D) 46
2. DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS A (2, – 4) E A RETA 2X +
3Y +6 = 0.
A) 21313
B) 1313
C) 71313
D) 111313
3. A DISTÂNCIA ENTRE O PONTO (1, K) E (5, 5) VALE 5. DETERMINE O
VALOR DE K, SABENDO QUE É MAIOR DO QUE 6.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
4. A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS É DADA PELA
DISTÂNCIA DE UM PONTO DO PRIMEIRO PLANO E O SEGUNDO PLANO
OU VICE-VERSA. DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PLANOS
2X + 3Y - Z + 5 = 0 E 4X + 6Y - 2Z + 12 = 0
A) 71414
B) 51414
C) 31414
D) 1414
5. DETERMINE O TRIPLO DA DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS P (1, 1, 1) E
A RETA X1=Y-12=Z1
A) 5
B) 22
C) 3
D) 23
6. DETERMINE A EQUAÇÃO DA RETA QUE É EQUIDISTANTE DAS RETAS
X - 3Y + 4 = 0 E 2X - 6Y + 18 = 0.
A) 2x + 6y + 10 = 0
B) 2x + 6y + 15 = 0
C) 2x + 6y + 13 = 0
D) 2x + 6y + 17 = 0
GABARITO
1. Determine a distância entre os pontos A (– 2, 1, 3) e B (0, 2, – 4).
A alternativa "C " está correta.
 
dAB=AB→=0--22+2-12+-4-32=
=22+12+-72=54=36
2. Determine a distância entre os pontos A (2, – 4) e a reta 2x + 3y +6 = 0.
A alternativa "A " está correta.
 
A equação da reta na forma geral. Se estivesse em outro formato, teríamos que converter para
geral para obtermos o vetor normal. O vetor normal é n→(2,3), assim:
dAr=aXA+bYA+ca2+b2=2.2-4.3+622+32=213=21313
3. A distância entre o ponto (1, k) e (5, 5) vale 5. Determine o valor de k, sabendo que é
maior do que 6.
A alternativa "B " está correta.
 
dAB=AB→=5-12+5-k2=42+5-k2=5
16 + 5-k2=25→5-k2=25-16=9→5-k=±3→k=2 ou k=8
4. A distância entre dois planos paralelos é dada pela distância de um ponto do primeiro
plano e o segundo plano ou vice-versa. Determine a distância entre os planos
2x + 3y - z + 5 = 0 e 4x + 6y - 2z + 12 = 0
A alternativa "D " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
 
5. Determine o triplo da distância entre os pontos P (1, 1, 1) e a reta x1=y-12=z1
A alternativa "D " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
 
6. Determine a equação da reta que é equidistante das retas x - 3y + 4 = 0 e
2x - 6y + 18 = 0.
A alternativa "C " está correta.
 
Este problema só tem sentido porque as duas retas são paralelas. A reta que apresenta a
mesma distância para as outras duas retas (equidistante) é composta dos pontos (x, y) que têm
a mesma distância para as retas dadas, assim:
dPr=aXP+bYP+ca2+b2=1.x-3y+412+32=x-3y+410
dPs=aXP+bYP+ca2+b2=2.x-6y+1822+62=2x-6y+1840=2x-6y+18210=x-3y+910
dPr =dPs→x-3y+410=x-3y+910→x-3y+4=x-3y+9=
=x-3y+4 = x -3y+9x-3y+4 = -x-3y+9
A primeira equação é impossível, pois fica 4 = 9.
A segunda equação: 2x + 6y + 13 = 0 , que é a reta equidistante das duas retas originais.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS A (0, 3, 1) E B (– 1, 2, 1).
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
2. DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS A (1, 3, 0) E O PLANO
Y – X + 2Z + 4 = 0.
A) 6
B) 5
C) 3
D) 1
GABARITO
1. Determine a distância entre os pontos A (0, 3, 1) e B (– 1, 2, 1).
A alternativa "B " está correta.
 
dAB=AB→=-1-02+2-32+1-12=-12+-12+02=2
2. Determine a distância entre os pontos A (1, 3, 0) e o plano y – x + 2z + 4 = 0.
A alternativa "A " está correta.
 
A equação do plano já está na forma geral. O vetor normal é n→(-1,1,2), assim:
dAπ=aXA+bYA+cZA+4a2+b2+c2=1.-1+3.1+0.2+4-12+12+22=66=6
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo deste tema, foi possível determinar os diversos tipos da equação da reta no R2 e no
R3, bem como a equação do plano no R3.
Analisamos também as posições relativas entre as retas e entre os planos e os ângulos que
existem entre duas retas e dois planos. Por fim, examinamos a distância entre pontos, entre
ponto e reta e entre ponto e plano. Vimos os principais conceitos relacionados a reta e plano,
suas representações, e aplicamos os conceitos nas posições relativas, distâncias e ângulos.
REFERÊNCIAS
PEREIRA, P. Curso Geometria Analítica. YouTube. Consultado em meio eletrônico em: 02 jul.
2020.
SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. 1. ed. Belo Horizonte:
Imprensa Universitária da UFMJ, 2012. cap. 4, p. 209-278.
STEINBRUNCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill,
1987. cap. 4, p. 99- 132, cap. 5, p. 143-178, cap. 6, p.190-201.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
IEZZI, G. Fundamento de Matemática Elementar 7. 4. ed. São Paulo: Atual, 1978. cap. 2, p.
25-45, cap. 3, cap. 4, p. 77-82.
Para aprofundar os conhecimentos adquiridos neste tema, veja mais alguns conteúdos
complementares.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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