Apostila Mecânica

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FÍSICA FUNDAMENTAL PARA ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
ESTÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciano Galdino 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
Cálculo vetorial para aplicação em estática .................................................................. 02 
Decomposição de vetores ......................................................................................................... 03 
Soma vetorial ................................................................................................................................. 06 
Força ................................................................................................................................................. 10 
Força resultante ........................................................................................................................... 10 
Leis de Newton ............................................................................................................................. 12 
Tipos de Força .............................................................................................................................. 13 
Equilíbrio ........................................................................................................................................ 20 
Equilíbrio de um ponto material......................................................................................... 20 
Equilíbrio de um corpo extenso ........................................................................................... 27 
Momento de uma força ............................................................................................................ 28 
Condições de equilíbrio de um corpo extenso .............................................................. 30
 
 
2 
 
Cálculo Vetorial para aplicação em Estática 
Em Física, as grandezas podem ser classificadas de duas formas: grandezas 
vetoriais e grandezas escalares. As grandezas vetoriais requerem um valor 
numérico absoluto (módulo) acompanhado de sua orientação (direção e sentido) 
e obedecem as definições matemáticas dos vetores. A direção indica se o vetor 
está orientado horizontalmente, verticalmente ou inclinado com um ângulo a 
partir de uma referência. Já o sentido especifica um pouco mais, isto é, 
determina se o vetor está para a direita, para esquerda, para baixo ou para cima. 
Também são utilizados como referência os pontos cardeais (norte, sul, leste, 
oeste, nordeste, sudeste, noroeste e sudeste). 
Exemplos: 
1) Corpo em queda livre com velocidade de 10 m/s 
 
 
2) Carro se deslocando com velocidade de 20 m/s 
 
 
3) Força de 50 N sendo aplicada numa caixa. 
 
 
As grandezas que não tem necessidade de especificar sua orientação são 
chamadas de grandezas escalares. Por exemplo, quando aplicamos uma força 
Módulo: 10 m/s 
Direção: vertical 
Sentido: de cima para baixo ou de norte para sul. 
Módulo: 20 m/s 
Direção: horizontal 
Sentido: da esquerda para direita ou de oeste para leste 
 
Módulo: 50 N 
Direção: inclinada à 30º da horizontal. 
Sentido: para cima à 30º da horizontal ou de sudoeste 
para nordeste. 
 
 
3 
 
num corpo, essa força tem uma direção e um sentido, portanto força é uma 
grandeza vetorial, mas para grandeza tempo fica estranho especificarmos uma 
direção e um sentido, imagina falarmos 1h 30 min horizontalmente para a 
direita, fica muito esquisito, portanto, tempo é uma grandeza escalar, pois não é 
necessário indicar a direção e sentido. 
A representação de uma grandeza vetorial é realizada através de uma “flecha” 
em cima da letra que indica essa grandeza. Por exemplo: 
 ⃗ = vetor força. 
 ⃗ = vetor velocidade. 
O quadro 1 indica a classificação de algumas grandezas físicas, isto é, se as 
grandezas são vetoriais ou escalares. 
Grandeza vetorial Grandeza escalar 
Força ( ⃗) Tempo (t) 
Velocidade ( ⃗) Potência (P) 
Aceleração ( ⃗) Energia (E) 
Torque ( ⃗⃗⃗ ) Frequência (f) 
Pressão ( ⃗) Rotação (n) 
Quadro 1: classificação de algumas grandezas físicas. 
 
Decomposição de vetores 
Em Física, o movimento ou a tendência de um movimento de um corpo 
normalmente são representados com referência aos eixos x (horizontal) e y 
(vertical). Como as grandezas vetoriais em Física estão sempre relacionadas a 
um movimento ou a uma tendência de um movimento, quando um vetor 
encontra-se inclinado é muito importante calcularmos as suas componentes (os 
seus valores) nos eixos x e y. Esse cálculo é chamado de decomposição vetorial. 
Na figura a seguir, observa-se um vetor força e suas componentes x e y. 
 
 
4 
 
 
Existem algumas relações matemáticas entre esses vetores, sendo que essas 
relações são obtidas do triângulo retângulo formado no plano cartesiano: 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
 
 
 
Utilizando as relações trigonométricas seno e cosseno, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um corpo é pendurado pelos cabos representados na figura a seguir. 
Determine as componentes x e y da força no cabo 1, sabendo que o módulo 
da força que atua nele é de 30 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
Resolução: Fazendo um plano cartesiano para o vetor F1, que está na direção 
do cabo 1 da figura, temos: 
 
 
2) Uma caixa se desloca horizontalmente conforme figura a seguir. Sabendo 
que para vencer o atrito a componente x deve ser de 80 N no mínimo, 
determine a força (F) que deve ser aplicado na corda. 
 
Montando o plano cartesiano e destacando um triângulo retângulo, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹1𝑦 𝐹1𝑠𝑒𝑛𝛼 
𝐹1𝑦 3 𝑠𝑒𝑛2 
𝑜 
𝑭𝟏𝒚 𝟏𝟎 𝟐𝟔 𝑵 
𝐹1𝑥 𝐹1𝑐𝑜𝑠𝛼 
𝐹1𝑥 3 𝑐𝑜𝑠2 
𝑜 
𝑭𝟏𝒙 𝟐𝟖 𝟏𝟗 𝑵 
 
 
 
6 
 
Soma vetorial 
Soma de vetores é diferente da soma algébrica que estamos acostumados, pois 
os vetores, além do módulo, possuem direção e sentido e essas características 
devem ser levadas em consideração. A forma mais simples de se somar vetores é 
através da representação geométrica dessa soma. A regra é bastante simples, 
basta juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e não importando a 
ordem. Após esse procedimento, cria-se um vetor do ponto final do último vetor 
associado ao ponto inicial do primeiro vetor associado. Esse vetor é o vetor 
soma. Nota-se que sempre será formado um polígono e por esse motivo o 
método de resolução é chamado de regra do polígono. 
 
Exemplos: 
1) Determine geometricamente a soma dos vetores a, b e c que estão a seguir: 
 
Resolução: 
1º passo: juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e em qualquer 
ordem. 
 
 
 
7 
 
2º passo: Criar um vetor ligando o ponto final ao ponto inicial. Esse é o 
resultado da soma vetorial. 
Vetor soma 
2) Somar os mesmos vetores, mas em ordem diferentes. 
 
 
Existe outro método geométrico, chamado de regra do paralelogramo, que é 
aplicado visando facilitar a resolução, mas ele só é utilizado quando a soma é 
realizada com dois vetores. 
A resolução é simples, basta juntar as origens dos dois vetores, traçar linhas 
paralelas a ele e ligar a intersecção da origem dos vetores à intersecção das 
linhas paralelas. Este segmento de reta é o vetor soma. 
 
Exemplo: Somar os vetores a e b da figura a seguir. 
 
1º passo: unir os vetores pela origem. 
Vetor soma (ele é igual ao do primeiro 
exemplo, provando que a ordem da soma não 
interfere no resultado). 
 
 
8 
 
 
2º passo: traçar linhasparalelas aos vetores. 
 
3º passo: ligar a origem à intersecção das linhas paralelas. 
 
Observação: o método do paralelogramo é utilizado apenas na soma de dois 
vetores, já o método do polígono pode ser utilizado para qualquer quantidade de 
vetores. 
 
Exemplo 2: Resolver o exercício anterior pelo método do polígono. 
 
 
Percebe-se que o vetor soma é igual ao do 
exercício anterior. 
 
 
9 
 
Vale ressaltar que quando os vetores estão numa mesma direção a soma vetorial 
é resolvida como uma soma ou uma subtração comum, se eles estiverem num 
mesmo sentido é só somar seus valores e se estiverem em sentidos opostos é só 
subtrair o maior do menor. 
Exemplo: Sendo | ⃗⃗| 2 , | ⃗⃗| 3 e | ⃗| , determine o vetor soma nos casos 
a seguir: 
a) 
 
| ⃗| 2 3 
Direção: horizontal; 
Sentido: da esquerda para direita 
 
b) 
 
Resolução: 
 
 
| ⃗| 2 3 3 
Direção: horizontal; 
Sentido: da esquerda para direita 
 
 
Soma 
Vetor Soma 
 
 
10 
 
Força 
Força é um agente físico que tende a proporcionar aceleração ou desaceleração 
no corpo que está sendo submetido a essa força. 
A força pode ser de contato ou de campo. Força de contato, como o próprio 
nome diz, tem que ocorrer um contato físico entre os corpos, já a de campo é 
quando a força age à distância (força gravitacional, elétrica, magnética...). 
A unidade de medida no sistema internacional de unidades de medidas (SI) de 
qualquer força é o newton (N) em homenagem ao grande físico Isaac Newton. 
Outras unidades de medida de força muito utilizadas são o quilograma força 
(kgf), a libra (lb) e a dina (dyn), e as suas relações com o newton são: 
1N 0,102 kgf. 
1N = 0,2248 lb 
1N dyn. 
O quilograma força (kgf) é uma unidade muito utilizada na engenharia como 
unidade da grandeza força e é definido como o peso de um corpo de 1kg de 
massa sujeito a aceleração da gravidade média na superfície da Terra, a qual 
possui um valor aproximado de 9,8 m/s
2
. Assim: 
1kgf = 9,8 N. 
O Instrumento de medição utilizado para medir força é o dinamômetro. 
Força resultante 
É a soma vetorial dos vetores forças que estão atuando num sistema, isto é, seria 
uma força que, sozinha, produziria o mesmo efeito no sistema que todas as 
forças reunidas. 
Exemplos: 
a) 1 
 
 
 
11 
 
b) 1 
 
c) √ 1
 
 
 
d) √ 1
 
 2 1 
 
 
e) Quando temos mais de dois vetores, deve-se uni-los mantendo-se as suas 
direções e sentidos, sendo a soma (força resultante) a distância da origem do 
primeiro vetor à extremidade da seta do último vetor. 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Leis de Newton 
 
Em 1687 Isaac Newton publicou a sua grande obra Philosophiæ Naturalis 
Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural) onde, 
entre outras coisas, estava o enunciado de suas três grandes leis sobre o 
movimento dos corpos. 
1ª Lei - Inércia: Todo corpo tende a manter o seu estado inicial de movimento a 
não ser que uma força o obrigue a sair desse estado de movimento, isto é, um 
corpo que está em repouso em relação a um referencial continuará em repouso 
até uma força tirá-lo desse estado ou um corpo em movimento em relação a um 
referencial só poderá mudar o seu movimento se uma força agir sobre ele. 
Exemplos: 
1. Freada de um veículo: quando um veículo freia o nosso corpo vai para 
frente, pois ele tende a continuar o seu estado inicial de movimento 
devido à inércia. 
2. Aceleração de um veículo: quando um veículo acelera para sair da 
condição de repouso, sentimos nosso corpo indo para trás, pois ele tende a 
continuar no seu estado inicial que é o repouso. 
2ª Lei - Princípio fundamental: a aceleração que um corpo adquire é 
diretamente proporcional à força resultante e possui a mesma direção e o mesmo 
sentido da força resultante, mas é inversamente proporcional à massa do corpo. 
Matematicamente pode-se escrever: 
 ⃗⃗⃗ ⃗= 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
 
 
Assim: 
 ⃗⃗⃗⃗⃗ = m. ⃗ 
 
 
 
13 
 
Exemplo: Uma caixa de 20kg é puxada por um cabo de aço com uma força de 
200 N, conforme figura. Determine a aceleração adquirida, sabendo que a força 
de atrito é de 120 N. 
 
Resolução: 
 
 2 2 
 
 
3ª Lei - Ação e Reação: A toda força de ação que age num corpo existe uma 
força de reação deste corpo de mesma intensidade, mesma direção, mas de 
sentido oposto. Esse par de forças (ação e reação) fica evidente quando uma 
mola fica submetida a uma força F, conforme figura a seguir: 
 
Quando se alonga ou comprime-se uma mola, ela reage com uma força de 
sentido oposto, denominado força elástica (Fel), tentando retornar à sua posição 
de repouso. 
 
Tipos de força 
A seguir serão apresentadas algumas forças que aparecem com muita frequência 
no estudo de estática. 
Força peso (W): É a força de atração gravitacional que um determinado corpo 
está submetido. Todo corpo que possui massa, automaticamente possui força 
peso, sendo ela diretamente proporcional a aceleração da gravidade local e 
𝑎 
𝐹𝑅
𝑚
 
𝑎 
 
2 
 
𝒂 𝟒 𝒎/𝒔𝟐 
 
 
14 
 
apontada no sentido do centro de massa do corpo celeste que o está atraindo, por 
exemplo, um corpo de massa m sujeito a força gravitacional da Terra terá um 
vetor força peso verticalmente para baixo (no sentido do centro da Terra) e 
proporcional à aceleração da gravidade terrestre local, conforme figura a seguir. 
 
A força resultante que age no corpo de massa m da figura é a força peso (W). 
Como a aceleração proporcionada é a aceleração da gravidade (g) e sabendo que 
a lei do princípio fundamental de Newton é dada por ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗, teremos: 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
A aceleração da gravidade na superfície da Terra possui o valor médio de 
9,8m/s
2
, mas vale destacar que quanto mais distante do centro da Terra, menor o 
valor da aceleração da gravidade, sendo que esse valor começa a ficar difere de 
9,8 m/ a grandes altitudes (a partir de 22 km). Alguns valores da aceleração da 
gravidade estão destacados na tabela 1, considerando o raio médio da Terra de 
6371 km e a massa de 5,97.10
24
 kg. 
Altitude (km) Aceleração 
gravitacional (m/s
2
) 
0 9,8 
1 9,8 
5 9,8 
10 9,8 
15 9,8 
20 9,8 
22 9,7 
25 9,7 
30 9,7 
Tabela 1: Valores da aceleração da gravidade em função da altitude. 
 
Força Elástica (Fel): É a força de reação que um corpo elástico executa quando 
é alongado ou comprimido. A intensidade da força é proporcional à deformação 
 
 
15 
 
(x), isto é, se alongarmos uma mola com força F a sua deformação será x, se 
aumentarmos a força para 2F sua deformação aumentará para 2x e assim 
sucessivamente. 
 
Outros fatores que estão relacionados com a força e a deformação são geometria 
e o material do corpo elástico o qual é representado pela constante elástica da 
mola (K). 
A constante elástica é definida como a razão da força elástica (Fel) pela 
deformação elástica (x). 
 
 ⃗ 
 ⃗
 
Assim: 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
Reação Normal (N ou R): É uma força de reação que um corpo executa quando 
recebe uma força, isto é, todo corpo que se apoia em uma superfície realiza uma 
força na mesma e pela lei da ação e reação, essa superfície realiza uma força de 
mesma intensidade, mesma direção, mas sentido oposto ao corpo. Esse vetor 
força é chamado de reação normal e estará sempre formando um ângulo de 90° 
com a superfície de apoio. 
 
Exemplos: 
 
 
Comprimento inicial 
 
 
16 
 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
Tração (T): É um esforçomecânico que os corpos ficam submetidos quando 
estão sujeitos a forças que tendem a alongá-los. É comumente aplicado em 
cabos, cordas, correntes, fios, linhas e outros. Quando tracionamos um cabo, por 
exemplo, toda a extensão dele estará tracionada com a mesma intensidade. A 
representação da tração é realizada da seguinte maneira. 
 
Corpo apoiado num plano horizontal: 
R = W 
Corpo apoiado num plano inclinado: 
R = Wy 
𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑊 
Viga apoiada em duas extremidades: 
𝑅𝐴 
𝑊
 
𝑅𝐴𝐵 
𝑊
 
Força de atrito 
 
 
17 
 
 
Note que o corpo move-se devido à força de tração, mas ao mesmo tempo, a 
força de atrito tenta frear o tambor, tracionando no sentido oposto, portanto, a 
força de tração deve ser indicada nas duas extremidades do cabo e em sentidos 
opostos. 
Exemplos: 
a) Corpo em repouso pendurado por um cabo de aço: 
 
b) Dois corpos em repouso pendurados por cabos de aço: 
 
c) Corpo em repouso pendurado por um sistema de cabos: 
 
Tambor enrolando o cabo para 
puxar a caixa 
𝑻 𝑾 
𝑻𝟏 𝑾𝑨 
𝑻𝟐 𝑾𝑩 𝑻𝟏 
𝑻𝟏 𝑾 
Para calcular as trações 𝑇 e 𝑇3, devem-se 
utilizar algumas técnicas que 
serão apresentadas no próximo capítulo. 
 
 
18 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Determine o peso de um corpo que possui massa de 20 kg, sabendo que a 
aceleração da gravidade é de 9,8 m/ . 
Resolução: 
W = m.g 
W = 20.9,8 
W = 196 N 
2) Se o corpo do exercício anterior fosse para Lua, qual seria a sua massa e o 
seu peso na superfície lunar sabendo que a aceleração da gravidade é de 
1,6m/ ? 
Resolução: 
A massa não altera seu valor (m = 20 kg), pois massa é a quantidade de 
matéria do corpo e na mudança de local essa propriedade do corpo não se 
altera. Já o peso depende da aceleração da gravidade, assim: 
W = m.g 
W = 20.1,6 
W = 32 N 
3) Uma força de 200 N é aplicada sobre uma mola alongando-a conforme 
figura. Sabendo que a mola possui constante elástica K = 1000 N/m, 
determine a sua deformação elástica. 
 
Resolução: 
A força F aplicada na mola fará surgir uma força elástica no sentido 
contrário de mesma intensidade (200N), assim: 
 
 
19 
 
 
Fel = K.x 
200 = 1000.x 
x= 0,2m 
4) A placa superior de um estampo de corte de possui massa de 40 kg e está 
sob uma mola de constante elástica K = 7200 N/m. Determine quanto a mola 
deforma. 
 
Resolução: 
Primeiro deve-se calcular a força peso da base superior do estampo: 
W = m.g 
W = 40.9,8 
W = 392 N 
A força elástica possui a mesma intensidade da força peso (392 N), porém 
de sentido aposto, assim: 
Fel = K.x 
392 = 7200.x 
x = 0,054 m 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Equilíbrio 
Para um corpo adquirir a condição de equilíbrio em relação a um referencial ele 
deve se encontrar em repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo e 
uniforme, isto é, com velocidade linear constante (equilíbrio dinâmico). 
Em ambos os casos podemos dizer que a somatória das forças que atuam no 
corpo é nula, pois a aceleração será nula nas duas situações. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
Equilíbrio de um ponto material 
O estudo de equilíbrio é realizado em corpos considerados como ponto material 
e corpos considerados como corpo extenso. 
Um ponto material é um corpo que possui dimensões desprezíveis para aquele 
determinado estudo e a única preocupação é verificar a condição de equilíbrio na 
translação retilínea (movimento retilíneo). 
Os cálculos relacionados ao equilíbrio de um ponto material devem obedecer as 
seguintes condições: 
 
A força resultante na vertical (eixo y) é dada por: 
 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝑦; 
Como o corpo está em equilíbrio, a aceleração será nula, assim: 
 𝐹𝑦 . 
Carro em movimento retilíneo uniforme na horizontal, isto é, 
sua aceleração horizontal é nula, assim: 
 𝐹𝑥 𝑚 𝑎𝑥, então, 𝑭𝒙 𝟎. 
O carro não possui movimento vertical, portanto sua aceleração 
vertical é nula, assim: 
 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝑦, então, 𝑭𝒚 𝟎. 
 
 
21 
 
1ª) 
2ª) 
Exercícios resolvidos 
1) Calcule a tração que o cabo da figura está submetido para suportar um 
pacote de 100 kg. 
 
Resolução: 
1º passo: Indicar as forças que atuam no pacote (diagrama de força): 
 
2º passo: Aplicar as condições de equilíbrio: 
As forças que estão agindo no pacote são verticais, assim: 
 
Como temos vetores força em sentidos opostos, a resultante ( ) tem que 
ser a subtração deles, portanto: 
T – W = 0 
T = W (este resultado é óbvio, pois para obter o equilíbrio, as duas forças 
devem ter o mesmo valor). Como W = m.g, então: 
T = m.g 
T = 100.9,8 
T = 980 N 
 
 
 
22 
 
2) Calcule a deformação elástica das molas de um carro de 1200 kg que se 
encontra parado, sabendo que a constante elástica de cada mola é de 
15000N/m. 
Resolução: 
Um carro é composto por quatro molas, assim, o diagrama de forças fica: 
 
Portanto, 
 
4.Fel – W= 0 
4.Fel = W 
Como Fel=Kx e W=mg, então: 
4.K.x = m.g 
4.15000.x = 1200.9,8 
60000.x = 11760 
x = 0,196 m = 19,6 cm 
 
3) Na figura a seguir está representado um engradado de 150 kg suspenso pelos 
cabos 1, 2 e 3. Qual o valor das trações que estes cabos estão submetidos? 
 
 
Resolução: 
1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema: 
 
 
23 
 
 
Diagrama de forças que atuam no engradado 
Nesse diagrama pode-se perceber que para o engradado estar em equilíbrio, 
a força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W). 
 1 
 1 
 1 
 1 
 
Diagrama de forças que atuam entre os cabos 
 
Nesse diagrama, como a tração T3 está inclinada, deve-se utilizar alguma 
técnica matemática para calcular as trações não conhecidas, sabendo-se que 
T1 =1470N. 
2º passo: Escolher o método de resolução adequado: Existem dois métodos 
possíveis de resolução, o da triangulação e o da decomposição vetorial: 
Método da triangulação: 
Para o corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se 
juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor coincide com a seta 
do último vetor formando um triângulo: 
 
 
24 
 
 
Como T1=1470N então, por trigonometria: 
 
 1
 3
 
 3 
 1
 
 
 
Assim, como agora temos os valores de T1 e de T3, para calcular T2 pode ser 
utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria: 
 
 
 
 
 
Método da decomposição vetorial: 
Neste método, deve-se fazer a decomposição do vetor que está inclinado (no 
caso o T3) e, como o sistema está em equilíbrio, a componente T3x deve ser 
igual a T2 e a componente T3y deve ser igual a T1, portanto: 
 
 
 
Da figura podemos extrair o seguinte triângulo: 
0 1
2
1
2 0
2
40
40
1751,88
T
tg
T
T
T
tg
T N



3 1
3
1470
y
y
T T W
T N
 

 
 
25 
 
 
E a resolução é igual ao do método da triangulação, assim, por 
trigonometria: 
 
 3 
 3
 
 3 
 3 
 
 
 
Como agora temos os valores de T3 e de T3y, para calcular T3x pode ser 
utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria: 
 
 
 
 
 
Como T2=T3x, então: 
 
A pergunta que fica é: “Qual o melhor método?”. Bom isso depende da 
aplicação, na situação do exemplo anterior, onde temos três vetores força e 
um deles está inclinado, tanto faz o método, pois a resolução fica bem 
parecida,mas quando temos dois vetores inclinados, o método da 
triangulação é o mais simples, pois será resolvido apenas com a resolução 
dos valores de cada vetor que forma o triângulo, enquanto que pelo método 
da decomposição deve-se decompor os dois vetores inclinados. Agora, 
quando temos mais de três vetores, o método da triangulação fica 
impossível, pois não formará um triângulo e nesse caso deve-se aplicar o 
método da decomposição. 
30
3
3
3 0
3
40
40
1751,88
y
x
y
x
x
T
tg
T
T
T
tg
T N



2
1751,88T N
 
 
26 
 
4) Determine a força que é aplicada na mola, de constante elástica 
k=12000N/m, da figura a seguir e também o quanto ela está alongada, 
sabendo que a carga que está suspensa é de 180 kg. 
 
Resolução: 
1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema: 
 
Diagrama de forças que atuam na carga 
Nesse diagrama pode-se perceber que para a carga estar em equilíbrio, a 
força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W). 
 1 
 1 
 1 
 1 
 
Diagrama de forças que atuam entre os cabos 
 
 
27 
 
Lembre-se que Fel representa a força elástica, isto é, a força que a mola está 
submetida. 
2º passo: Escolher o método de resolução: 
O método que será utilizado nessa resolução é o da triangulação. Para o 
corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se 
juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor deve coincidir com a 
seta do último vetor formando um triângulo: 
 
Como T1=1764 N então, por trigonometria: 
 
 
 
 
 
Com isso, já calculamos a força que está atuando na mola. Agora falta 
determinar o quanto a mola está alongada, e para isso basta utilizar a 
seguinte equação: 
 
 
 
 
 Equilíbrio de um corpo Extenso 
No equilíbrio de um corpo extenso, além de analisar a condição de equilíbrio 
para o movimento retilíneo (translação retilínea), devemos também analisar o 
equilíbrio na rotação que é definido através da grandeza momento de uma força 
ou momento torçor ou simplesmente torque. 
0 1
0
20
1764
20
4846,55
el
el
el
T
tg
F
F
tg
F N



.
4846,55 12000.
0,4
el
F k x
x
x m



 
 
28 
 
Momento de uma Força 
É a capacidade que uma força possui de rotacionar um determinado corpo. 
Matematicamente é definido como o produto da intensidade de uma força pela 
distância dessa força ao eixo de rotação, sendo que esse vetor força deve estar 
perpendicular a uma linha que passe pelo eixo de rotação. Como o corpo pode 
rotacionar nos sentidos horário e anti-horário, deve-se fazer uma distinção entre 
eles, é usual considerar positivo quando o corpo tende a rotacionar no sentido 
horário e negativo quando tende a rotacionar no sentido anti-horário, mas se 
utilizar o inverso não terá problema o importante é fazer a distinção entre os 
sentidos de rotação. Assim: 
 
Exemplos: Determine o momento das forças nas situações indicadas nas figuras 
a seguir: 
1) Considere F1=80 N: 
 
2) Considere F1=80 N: 
 
3) Considere F1=100 N: 
 
 
1
.
80.0,5
40
M F d
M
M Nm



1
.
80.0,5
40
M F d
M
M Nm



0M 
O momento neste caso é nulo, 
pois da forma que esta força está 
sendo aplicada, a chave não terá 
a capacidade de rotação. 
Negativo porque a chave tende a 
rotacionar no sentido anti-horário. 
 
 
29 
 
4) Considere F1=120000 N: 
 
5) Considere F1=150 N, F2=100 N e F3=200 N: 
 
6) Considere F = 500 N: 
 
Neste caso temos que lembrar que o vetor força deve ser perpendicular à 
distância até uma linha que passa pelo centro de rotação, assim, para facilitar 
o cálculo, podemos decompor o vetor F na sua componente no eixo y e 
utilizar a distância horizontal até o eixo de rotação (50 cm ou 0,5 m): 
O valor de Fy é dado por: 
 
 
Assim o momento dessa força será: 
0M 
O momento neste caso também 
é nulo, pois da forma que esta 
força está sendo aplicada, a 
chave não terá a capacidade de 
rotação. 
1 2 3
1 2 3
.0,5 .0,2 .0,3
150.0,5 100.0,2 200.0,3
95 60
35
F F F
M M M M
M F F F
M
M
M Nm
  
  
  
 

0
0
0
cos30
.cos30
500.cos30
433,01
y
y
y
y
F
F
F F
F
F N




 
 
30 
 
 
 
 
 
Condições de equilíbrio de um corpo extenso 
Um corpo extenso para estar em equilíbrio deve obedecer as seguintes 
condições: 
1ª) 
2ª) 
3ª) 
Lembre-se que o equilíbrio pode ser estático (repouso) ou dinâmico (movimento 
retilíneo uniforme). 
Estes conceitos são muito importantes para se projetar um mecanismo, pois é 
necessário analisar os esforços que alguns pontos estratégicos do projeto estão 
sujeitos para poder dimensioná-los. 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Na figura a seguir a viga horizontal, homogênea e de massa 50 kg está presa 
nas duas colunas por meio de parafusos dispostos nas duas extremidades. 
Qual o esforço que cada parafuso está submetido? 
 
Resolução: 
1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema: 
.
433,01.0,5
216,51
F y
F
F
M F d
M
M N



 
 
31 
 
 
Observa-se que a força peso (W) está indicada no centro da viga, pois é no 
centro de massa (ponto de equilíbrio) que podemos representar a força peso 
de qualquer corpo, assim, fica indicado que todo peso do corpo está 
concentrado no centro de massa, que neste caso é o centro geométrico. 
O esforço que cada parafuso está submetido são as reações RA e RB, que 
nada mais são do que as forças verticais que os parafusos devem fazer para 
sustentar a força peso. 
Percebe-se que nesse caso a força peso é distribuída igualmente para os 
parafusos, assim: 
 
2º passo: calcular a força peso: 
 
 
3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as 
reações: 
1ª) 
Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste 
sistema. 
2ª) 
Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão 
negativas e a forças para baixo positivas, assim: 
0
A B
W R R  
 
Como RA=RB, então: 
50.9,8
490
W mg
W
W N



 
 
32 
 
0
490 2 0
490 2
245
,
245
A B
A
A
A
A B
W R R
R
R
R N
Assim
R R N
  
 


 
 
Nota-se que neste exemplo era só dividir o peso por dois que teríamos 
encontrado o esforço em cada parafuso, mas foi apresentada a técnica de 
resolução através das condições de equilíbrio para provar que se chega ao 
mesmo resultado e também para já ir se acostumando com essa técnica que 
será a utilizada para se resolver questões mais complexas. 
 
2) Colocando-se uma carga homogênea de 20 kg a 1m do apoio da esquerda do 
exemplo anterior, conforme figura a seguir, qual será a nova força que cada 
parafuso estará sujeito? 
 
Resolução: 
1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema: 
 
 
 
33 
 
Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da 
carga que está em cima da viga. Como a carga não está centralizada, então 
os esforços que os parafusos estão submetidos são diferentes, isto é, as suas 
reações RA e RB são diferentes. 
2º passo: calcular as forças peso: 
 
 
 
3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as 
reações: 
1ª) 
Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste 
sistema.2ª) 
Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão 
negativas e a forças para baixo positivas, assim: 
1 2
0
196 490 0
686
A B
A B
A B
W W R R
R R
R R
   
   
 
 
Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim, 
teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio: 
3ª) 
Observação: Lembre-se que momento é o produto da força pela distância 
até um eixo de rotação e que o momento é positivo para rotação tendendo 
ao sentido horário e negativo para rotação tendendo ao sentido anti-horário. 
Nesse caso será adotado como eixo de rotação o parafuso da esquerda, pois 
assim eliminaremos a incógnita RA durante o cálculo por possuir distância 
zero, portanto: 
1 1
1
1
20.9,8
196
W m g
W
W N



2 2
2
2
50.9,8
490
W m g
W
W N



 
 
34 
 
1 2
0
196.1 490.1,5 .0 .3 0
196 735 .3 0
931 .3
310,33
W W R RA B
A B
B
B
B
M M M M
R R
R
R
R N
   
   
  


 
Para determinar RA é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver 
a equação, assim: 
686
310,33 686
375,67
A B
A
A
R R
R
R N
 
 

 
Observe que, por a carga está mais próxima do parafuso da esquerda, ele 
terá que suportar uma força maior que o da direita. 
 
3) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal 
homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na 
extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração 
exercida no cabo e a força que o pino está submetido. 
 
Resolução: 
1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema: 
 
 
35 
 
 
Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da 
carga que está em cima da viga, uma força de tração no cabo de aço e uma 
força de reação no pino devido à ação das forças peso. 
Não é necessário calcular as forças peso, pois os valores já foram 
determinados no enunciado do exercício. 
2º passo: aplicar as condições de equilíbrio: 
1ª) 
Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste 
sistema. 
2ª) 
Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão 
negativas e as forças para baixo positivas, assim: 
1 2
0
200 600 0
800
W W T R
T R
T R
   
   
 
 
Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim, 
teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio: 
3ª) 
Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que 
está à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita R durante o cálculo 
por possuir distância zero, portanto: 
 
 
36 
 
1 2
0
200.2,5 600.3 .5 .0 0
500 1800 .5 0
2300 .5
460
W W T R
M M M M
T R
T
T
T N
   
   
  


 
Para determinar R é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver 
a equação, assim: 
800
460 800
340
T R
R
R N
 
 
 
 
4) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal 
homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na 
extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração 
exercida no cabo e a força que o pino está submetido. 
 
 
Resolução: 
Este exercício é muito parecido com o anterior, a única diferença é que o 
cabo de aço encontra-se inclinado, assim, a resolução torna-se também 
muito parecida. 
1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema: 
 
 
37 
 
 
2º passo: aplicar as condições de equilíbrio: 
1ª) 
Neste caso, existem forças horizontais e para determinar a reação R, é 
imprescindível calcular as suas componentes. Como as forças estão em 
sentidos opostos, serão consideradas como positivas as forças que estão 
apontadas para direita e negativas as forças que estão para a esquerda. 
Portanto: 
0
x x
x x
R T
R T
 

 
Neste caso pode-se considerar também que, para estar em equilíbrio, as 
forças que estão para direita devem ter a mesma intensidade das forças que 
estão para esquerda, isto é: 
x x
R T
 
2ª) 
Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão 
negativas e a forças para baixo positivas, assim: 
1 2
0
200 600 0
800
y y
y y
y y
W W T R
T R
T R
   
   
 
 
Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim, 
teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio: 
 
 
38 
 
3ª) 
Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que está 
à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita Ry durante o cálculo por 
possuir distância zero, portanto: 
1 2
0
200.2,5 600.3 .5 .0 0
500 1800 .5 0
2300 .5
460
W W T Ry y
y y
y
y
y
M M M M
T R
T
T
T N
   
   
  


 
Para determinar Ry é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver 
a equação, assim: 
800
460 800
340
y y
y
y
T R
R
R N
 
 
 
Para determinar o valor da tração do cabo (T) e sua componente Tx, deve-se 
utilizar o triângulo formado entre T, Tx e Ty, assim: 
 
 
 
Percebe-se que a tração no cabo é maior quando ele está inclinado do que 
quando ele está na vertical (caso do exercício anterior), pois com ele 
inclinado origina-se um força horizontal no sistema. 
Para determinar Rx é só voltar na primeira condição de equilíbrio, assim: 
548,21
x x
x
R T
R N


 
 
 
 
39 
 
E para terminar, basta calcular a reação no pino (R) através do teorema de 
Pitágoras: 
 
2 2 2
2 2 2548,21 340
645,08
x y
R R R
R
R N
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Referências Bibliográficas 
 
RAMALHO, F.; CARDOSO, J; FERRARO, N & TOLEDO, P. Os Fundamentos da Física, 1. Moderna, São Paulo, 
2000. 
DOCA, R. H.; BISCUOLA, G. J. & VILLAS, N. Tópicos de Física, 1. Saraiva, São Paulo, 2001. 
RESNICK, R.; HALLIDAY, D. & KRANE, K. Física 1. LTC, EUA, 2003. 
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. Érica. São Paulo, 1999.