FE U2 TBase01 Sistemas de Numeracao

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Sistemas de Numeração
Introdução 
Uma das primeiras exigências para se entender a eletrônica moderna aplicada à indústria, 
mecatrônica, eletrônica aplicada e, principalmente, à eletrônica dos computadores, é conhecer bem 
os princípios da eletrônica digital. 
Inicialmente um ramo que era apenas curiosidade, a eletrônica digital passou a ocupar um lugar de 
tal destaque nos últimos anos, que hoje é preciso dominá-la para entender como funcionam os 
circuitos equipados com processadores, computadores, equipamentos de automação industrial, 
equipamentos mecatrônicos e todos os periféricos de computadores. 
Sistemas de Numeração
O homem, através dos tempos, sentiu necessidade de utilizar sistemas numéricos. Existem vários 
sistemas, dentre os quais se destacam o sistema decimal, o binário, o octal e o hexadecimal.
O sistema decimal é utilizado por nós no dia a dia e é, sem dúvida, o mais importante dos sistemas 
numéricos. Os sistemas binário, octal e hexadecimal são muito importantes nas áreas de técnicas 
digitais e computação. No decorrer de nossos estudo, você vai perceber a ligação existente entre 
circuitos lógicos e esses sistemas de numeração.
Estudaremos os sistemas de numeração binária, octal e hexadecimal e os métodos de conversão 
entre esses sistemas a partir do sistema decimal (partimos do pressuposto que o sistema 
decimal já é suficientemente conhecido, por fazer parte do nosso dia-a-dia). 
Estudaremos também os códigos gerados pelo sistema binário, destacando sua importância como 
linguagem de máquina. Para assimilar os conteúdos dessa lição é necessário que você já conheça 
perfeitamente o sistema decimal.
Sistema de numeração decimal
O sistema de numeração decimal utiliza dez algarismos para a sua codificação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9. Assim, a base desse sistema é dez. Com esses dez algarismos, é possível representar 
qualquer grandeza numérica, graças a características do valor de posição. Desse modo, temos:
• Números que representam as unidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Números que representam as dezenas: 10, 11, 12, 13, 14, 15,16, 17, 18, 19 – o valor da 
posição 1 indica uma dezena e o outro dígito, a unidade.
• Números que representam as centenas: 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116... – o valor de 
posição 1 indica a centena, seguido pela dezena e pela unidade. Assim, por exemplo, o 
número 385 indica:
1
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
centenas dezenas unidades; ou seja:
↓ ↓ ↓
3 8 5
3 . 100 8 . 10 5 . 1
↓ ↓ ↓
300 + 80 + 5 = 385
O número 385 pode ser expresso também através de uma potência de base 10:
3 8 5
↓ ↓ ↓
3 . 100 8 . 10 5 . 1
↓ ↓ ↓
3 . + 8 . + 5 . 
Observação: a potência da base 10 indica o valor de posição do número.
Sistema de numeração binário
O sistema de numeração binário é empregado em circuitos lógicos digitais. Possui apenas dois 
algarismos: 0 e 1. Por isso, sua base é dois (dois dígitos). Cada dígito ou algarismo binário é 
chamado de bit (do inglês “binary digit”, ou seja dígito binário). Um bit é, pois, a menor unidade de 
informação nos circuitos digitais.
A tabela a seguir mostra a correspondência entre números decimais e binários.
Decimal Binário Decimal Binário
0 → 0 10 → 1010
1 → 1 11 → 1011
2 → 10 12 → 1100
3 → 11 13 → 1101
4 → 100 14 → 1110
5 → 101 15 → 1111
6 → 110 16 → 10000
7 → 111 - -
8 → 1000 - -
9 → 1001 - -
Empregando a propriedade do valor de posição do dígito, podemos representar qualquer valor 
numérico com os dígitos 0 e 1. Como a base da numeração binária é 2, o valor de posição é dado 
pelas potências de base 2, como mostra o quadro a seguir.
Potências de base 2 42 32 22 12 02
Valor de posição 16 8 4 2 1
Binário 1 0 0 1 1
O valor da posição é indicado pelo expoente da base do sistema numérico. Esse valor aumenta da 
2
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
direita para a esquerda. O valor da posição do bit mais significativo (de maior valor) será a base 
elevada a n-1 (n = número de dígitos).
Por exemplo, 101011 é um número binário de 6 bits. Ao aplicar a fórmula, temos
6 - 1 = 5. Assim, o bit mais significativo terá como valor de posição .
Binário 1 0 1 0 1 1
Valor de posição 52 42 32 22 12 02
MSB LSB
Observação
• MSB - do inglês “most significant bit”, ou seja, bit mais significativo, pois ele comporta o maior 
peso na determinação do valor do número.
• LSB - do inglês “least significant bit”, ou seja, bit menos significativo.
A base é o elemento diferenciador entre um número do sistema binário e um do sistema decimal:
1012 base 2; - portanto, número binário; lê-se: um, zero, um.
10110 - base 10; portanto, número decimal; lê-se: cento e um.
Conversão de números do sistema binário para o sistema decimal
Para converter um número binário em decimal, deve-se multiplicar cada bit pelo seu valor de 
posição (que é indicado pala potência de base) e somar os resultados.
Exemplo
Na conversão de 10102 para o sistema decimal, procede-se da seguinte forma:
Potência de 2 23 22 21 20
↓ ↓ ↓ ↓
Binário 1 0 1 0
Valor de posição 1 . 8 0 . 4 1 . 2 0 . 1
↓ ↓ ↓ ↓
No. decimal 8 + 0 + 2 + 0 = 1010
Portanto, 1010 = 1010
Exemplo
Neste exemplo, converte-se 110012 em decimal. Ou seja:
Potência de 2 24 23 22 21 20
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Binário 1 1 0 0 1
Valor de posição 1 . 16 1 . 8 0 . 4 0 . 2 1 . 1
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
No. decimal 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 2510
3
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
Observe a seguir uma tabela das potências de base 2.
Potência Decimal Potência Decimal
20 1 29 512
21 2 210 1024
22 4 211 2048
23 8 212 4096
24 16 213 8192
25 32 214 16384
26 64 215 32768
27 128 216 65536
28 256 217 131072
Conversão de números do sistema decimal para o sistema binário
A conversão de números do sistema decimal para o sistema binário é realizada efetuando-se 
divisões sucessivas do número decimal por 2 (base do sistema binário).
Exemplo
29 2
09 14 2
1 0 7 2
1 3 2
1 1
O número binário é formado pelo quociente da ultima divisão e os restos das divisões sucessivas 
da direita para a esquerda: 2910 = 111012.
Esse é um método prático de convenção de número decimal para binário.
Observação: todo número decimal par, ao ser convertido para binário, termina em zero. Por outro 
lado, todo número decimal ímpar ao ser convertido para binário terminará em um.
Números fracionários
Todo número fracionário decimal tem uma parte inteira (à esquerda da vírgula) e uma fracionária (à 
direita da vírgula).
Exemplo:
105 ,25
parte parte
inteira fracionária
No exemplo dado, a parte fracionária (0,25) possui duas casas. O valor de posição da primeira 
casa após a vírgula corresponde aos décimos:
4
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
0,25 = 1-10 . 2 110
2
 
10
2
==
O valor da segunda posição após a vírgula corresponde aos centésimos:
0,25 = 
 10 
5 
 100 
5
2= = 5 . 10-2
Assim, o número 105,2510 tem os seguintes valores de posição:
 
1 0 5 2 5
1 . 102 + 0 . 101 + 5 . 100 + 2 . 10-1 + 5 . 10-2 
 
No sistema binário, a parte fracionária é análoga ao do sistema decimal:
101 ,112
parte parte
inteira fracionária
O valor de posição da primeira casa da parte fracionária será:
0,11 = = 1 . 2-1
O valor de posição da segunda casa após a vírgula será:
0,11 = = 1 . 2-2
Assim os valores de posição do número 101,11 serão:
22 21 20 2-1 2-2
1 0 1, 1 1
Conversão de números binários fracionários em números decimais 
fracionários.
Já vimos que para converter um número binário em decimal devemos multiplicá-lo pelo valor de 
posição da base. Observe, a seguir, o valor de posição da parte fracionária dos seguintes números:
2-1 = 
 2 
1 
 2 
1
1 = = 0,5
2-2 = 
 4 
1 
 2 
1
2 = = 0,25
2-3 =8 
1 
 2 
1
3 = = 0,125
5
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
2-4 = 0,0625 
 16 
1 
 2 
1
4 ==
Veja a seguir o procedimento da conversão de binário fracionário em decimal fracionário. A título 
de exemplo, vamos converter o número 1001,012 (binário fracionário) em número decimal:
1. Faz-se a conversão da parte inteira do número (1001)
Binário 1 0 0 1
Valor de posição 1 . 23 0 . 22 0 . 21 1 . 20
↓ ↓ ↓ ↓
No. decimal 8 + 0 + 0 + 1 = 9
2. A seguir faz-se a conversão da parte fracionária (0,01) da seguinte maneira:
Binário fracionário 1001 0 1
Valor da posição 0 . 2-1 1 . 2-2
↓ ↓
0.0,5 + 1.0,25
Decimal fracionária 0 + 0,25 = 0,25
Assim, 0,25 é a parte decimal fracionária. Portanto, o número 1001,012 eqüivale a 9,2510. Outro 
exemplo:
Portanto, 101,1012 = 5.62510
6
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
Conversão de números decimais fracionários em números binários 
fracionários
Como já vimos, para converter um número decimal inteiro em binário, basta dividi-lo por 2, 
sucessivamente. O número binário será dado pelos restos das divisões e o quociente da última 
divisão.
Exemplo
9,252
9 2
1 4 2
0 2 2
0 1
Portanto, 910 = 10012
Para converter a parte fracionária do número, deve-se fazer o inverso, ou seja, multiplicá-la 
sucessivamente por 2, até que o resultado após a vírgula seja 0, ou que se obtenham oito dígitos.
Assim, temos:
Os algarismos à esquerda da vírgula na multiplicação constituirão os dígitos binários fracionários.
Portanto, 9,2510 = 1001 → 9,2510 = 1001,012
Exemplo:
Converter 23,3510 (decimal fracionário) em número binário fracionário.
Conversão da parte inteira: 23
23 2
1 11 2
1 5 2
1 2 2 23 = 10111
0 1
7
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
Conversão da parte fracionário: 0,35
0,35 . 2 = 0,70
0,70 . 2 = 1,40 (considere para multiplicação apenas a parte fracionária)
0,40 . 2 = 0,80
0,80 . 2 = 1,60
0,60 . 2 = 1,20
0,20 . 2 = 0,40
0,40 . 2 = 0,80
0,80 . 2 = 1,60
Assim, 0,35 = 01011001...
Portanto, 23,3510 = 10111,01011001...
Observação: observe que o número 0,80 é uma repetição. Isso significa que se trata de uma 
dízima periódica, o que pode ser indicado por três pontinhos (...).
Sistema de numeração octal
O sistema de numeração octal tem a base 8. Os oito símbolos da numeração octal são: 0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7.
A tabela a seguir mostra a relação entre a numeração decimal e a octal.
Sistemas numéricos
Decimal Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
8
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
A base da numeração octal é 8; portanto, os valores das posições serão as potências de base 8.
Observe o quadro a seguir:
Potências de base 8 83 82 81 80
Valores de posição 512 64 8 1
O sistema de numeração octal é muito empregado em máquinas digitais que usam palavras de 6 
bits.
Conversão de números do sistema de numeração octal para o sistema decimal
Sabemos que todos os sistemas de numeração apresentam o valor de posição do dígito de acordo 
com sua base. Desse modo, o valor da posição de um número octal corresponde ao expoente da 
base 8. Por isso, para converter um número octal em decimal, considera-se o seu valor de posição, 
multiplica-se cada algarismos do número octal pelo valor de posição e soma-se o resultado. Veja o 
exemplo abaixo.
Conversão de 1378 para decimal:
Potência → 82 81 80
↓ ↓ ↓
No. octal → 1 3 7
Valor de posição → 1.64 3.8 7.1
↓ ↓ ↓
No. decimal → 64 + 24 + 7 + = 9510
Portanto, 1378 = 9510
A seguir, apresentamos uma tabela das potências de base 8.
Potência Decimal
80
81
82
83
84
85
86
1
8
64
512
4096
32768
262144
Conversão de números do sistema decimal para o sistema octal
Para converter um número decimal em um número do sistema octal faz-se a divisão sucessiva do 
número decimal pela base 8.
Por exemplo, para converter o número 128410 em um número octal, proceda da seguinte maneira:
9
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
1284 8
 4 160 8
0 20 8
4 2 8
2 0
Os restos das divisões por 8, lidas de baixo para cima, formam o número octal 24048
Portanto, 1284 = 2404
Conversão de números do sistema octal para o sistema binário
Há uma regra prática para a conversão de números octais em binários. Ou seja, cada dígito do 
número octal deve ser transformado no seu correspondente binário. Lembre-se que para cada 
dígito octal são necessários três dígitos binários (3 bits). Isto porque o maior número do sistema 
octal é representado por três bits (1112 = 78).
A seguir, mostramos como se faz para converter em binário o número octal 378.
Dígitos octais → 3 7
Dígitos binários → 011 111
Portanto, 378 = 111112
Observação: você deve estar lembrando que o dígito zero à esquerda de 011 não é significativo; 
portanto, deve ser cortado.
Conversão de números do sistema binário para o sistema octal
Para converter um número binário em octal é preciso separar o número binário, da direita para a 
esquerda, em grupos de três bits e, em seguida, converter cada grupo no algarismo octal 
correspondente.
Na conversão de 1010112 em octal, devemos proceder da seguinte maneira:
no binário → 101 011
no octal → 5 3
Portanto, 1010112 = 538
Observação: deve-se acrescentar um ou dois zeros ao último grupo de bit à esquerda, a fim de 
completar os três algarismos do número binário a ser convertido. Por exemplo, na conversão de 
10111012 e, octal, ao separar os grupos de 3 bits, teremos:
Dígitos binários → 10111012 → 001 011 101
Dígitos octais → 1 3 5
Portanto, 10111012 = 1358
10
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
Sistema de numeração hexadecimal
O sistema de numeração hexadecimal tem a base 16. Os dezesseis símbolos que constituem a 
numeração hexadecimal são os seguintes números e letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, 
F. Emprega-se este sistema em computação e em mapeamento de memórias de máquinas digitais 
que utilizam palavras de 4, 8 ou 16 bits.
A tabela a seguir mostra a relação entre a numeração decimal e a hexadecimal. Observe que a 
contagem recomeça a cada 16 dígitos.
Decimal Hexadecimal Decimal Hexadecimal Decimal Hexadecimal
0 0 11 B 22 16
1 1 12 C 23 17
2 2 13 D 24 18
3 3 14 E 25 19
4 4 15 F 26 1A
5 5 16 10 27 1B
6 6 17 11 28 1C
7 7 18 12 29 1D
8 8 19 13 30 1E
9 9 20 14 31 1F
10 A 21 15 32 20
Os valores de posição da numeração hexadecimal serão as potências de base 16. Observe o 
quadro a seguir.
Potências de base 16 163 162 161 160
Valores de posição 4096 256 16 1
Conversão de números do sistema hexadecimal para o sistema decimal
A conversão de um número hexadecimal em decimal é realizada do mesmo modo como nos 
sistemas já estudados. Ou seja, multiplica-se cada dígito hexadecimal por seu valor de posição e 
somam-se os resultados.
Para converter 1A816 em decimal, procede-se da seguinte forma:
Potência de 16 → 162 161 160
 ↓ ↓ ↓
No hexadecimal → 1 A 8
Valor de posição → 1 256 10 . 16 8 . 1
 ↓ ↓ ↓
No decimal → 256 + 160 + 8 = 42410
Portanto 1A816 = 42410
11
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
Conversão de números do sistema decimal para o sistema hexadecimal
Para converter um número decimal em hexadecimal, executam-se divisões sucessivas do número 
decimal por 16, que é a base do sistema hexadecimal. O número hexadecimal será dado pelo 
último quociente e pelos restos das divisões.
Veja isto pelo exemplo a seguir.
12412 16
 12 775 16
7 48 16
0 3
O último quociente e os restos das divisões resultarão no número hexadecimal. Contudo, em 
número hexadecimal não existe o número 12. Veja na tabelaque a letra C, em hexadecimal, 
significa o número 12 decimal.
Portanto, pela convenção, obtivemos o número 307 C
Onde, 1241210 = 307C16
Conversão de números do sistema hexadecimal para o sistema binário
A tabela a seguir mostra a correspondência entre o código hexadecimal e o binário.
Hexadecimal Binário Hexadecimal Binário 
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 A 1010
3 0011 B 1011
4 0100 C 1100
5 0101 D 1101
6 0110 E 1110
7 0111 F 1111
Pela tabela, é possível observar que a cada código hexadecimal correspondem quatro dígitos 
binários. Desse modo, para converter um número hexadecimal em número binário, basta converter 
cada algarismo ou letra do número hexadecimal no número binário correspondente. Este número 
binário terá 4 dígitos.
A título de exemplo, para converter o número FACA16 em binário, basta proceder como 
demostramos a seguir.
Dígitos hexadecimais → F A C A
Dígitos binários → 1111 1010 1100 1010
Portanto, FACA16 = 11111010110010102
12
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
Veja mais este exemplo:
Converter o numero 1A25 em binário.
hexadecimal → 1 A 2 5
binários → 0001 1010 0010 0101
Portanto, 1A2516 = 11010001001012
Conversão de números do sistema binário para o hexadecimal
Para converter um número binário em hexadecimal, basta separar o número binário, da direita para 
a esquerda, em grupos de quatro bits. Em seguida, converte-se cada grupo no algarismo 
hexadecimal correspondente.
Na conversão de 10100011012 em hexadecimal, deve-se proceder da seguinte forma:
Dígitos binários → → 0001 0100 1101
Hexadecimal → 1 4 13
Na numeração hexadecimal não existe o número 13; em seu lugar usa-se a letra D. Portanto, o 
resultado da conversão será: 1010011012 = 14D16.
Códigos binários
Os códigos binários utilizam os mesmos símbolos do sistema de numeração binário, ou seja, 0 e 1. 
O 1 e o 0 são códigos que podem representar números, letras do alfabeto e sinais de pontuação.
Os códigos binários mais empregados são:
• BCD 8421
• BCD-AIKEN
• Johnson
• ASCII
BCD 8421 -- BCD significa “Decimal Codificado em Binário” (do inglês: “Binary Coded Decimal”). É 
um código que utiliza números binários para representar os dígitos de um número decimal. Cada 
grupo de quatro dígitos representa um algarismo do número decimal. Veja exemplos a seguir:
Valores de posição → 8421 8421
Dígitos binários → → 0011 0111
Dígitos decimais → 3 7
Portanto, 1101112 = 3710
13
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
Outro exemplo:
Bits → → 1000 0010 0101
Dígitos decimais → 8 2 5
Assim, 1000001001012 = 82510
O código BCD é um código ponderado. O bit mais significativo tem peso 8 e o menos significativo, 
peso 1. Tal código é mais conhecido como BCD 8421. Os algarismos 8421 significam o valor de 
posição ou peso de cada dígito do código de quatro bits. Observe a seguir a tabela do código BCD 
8421.
Decimal BCD8421
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
BCD-AIKEN – Esse código representa os dígitos dos números decimais. Cada dígito decimal é 
representado por um grupo de quatro bits, cujos pesos ou valores de posição dos bits são: 2, 4, 2 e 
1. Veja tabela abaixo.
Decimal BCD-AIKEN2421
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0000
0001
0010
0011
0100
1011
1100
1101
1110
1111
14
SENAI/SP
Texto Base 1 – Sistemas de Numeração
Os exemplos abaixo mostram como os números decimais são representados no código BCD-
AIKEN.
Dígitos decimais → 3 7
→
Dígitos binários 0011 1101
Valores de posição 2421 2421
Portanto, 3710 = 1111012
 8 2 5
1110 0010 1011
2421 2421 2421
Assim, 82510 = 1110001010112
Johnson – O código Johnson, como o código BCD, utiliza grupos de números binários para 
representar números decimais. Esses grupos são formados por cinco bits. Veja tabela a seguir.
Decimal Johnson
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
00000
00001
00011
00111
01111
11111
11110
11100
11000
10000
Por esse código o número decimal é assim representado:
 3 7
00111 11100
Portanto, 3710 = 00111111002
Observação: neste código não são utilizados valores de posição. É um código progressivo, ou 
seja, as numerações adjacentes (um número em relação ao seu anterior ou posterior) diferem 
somente de um bit.
ASCII – ASCII significa “Código-padrão americano para intercâmbio de informações” (do inglês: 
“American Standard Code for Information Interchange”). Este código padroniza a representação de 
símbolos gráficos (caracteres) e sinais de controle, o que possibilita a comunicação entre diferentes 
equipamentos. É utilizado em teletipos, dispositivos de controle numérico e em outros 
equipamentos industriais. É um código de sete bits que, combinados, representam 128 estados. 
Um oitavo bit pode ser usado, não para representar uma informação, mas para possibilitar a 
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checagem de erros de paridade. A tabela abaixo mostra a estrutura para a formação do código 
ASCII.
Bit mais significativo (MSB)
b7
 b6
 b5
0
 0
 0
0
 0
 1
0
 1
 0
0
 1
 1
1
 0
 0
1
 0
 1
1
 1
 0
1
 1
 1
b4 b3 b2 b1 Controles Caracteres
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
NUL
SOH
SIX
ETX
EOT
ENQ
ACK
BEL
BS
HT
LF
VT
FF
CR
SO
SI
DLE
DC1
DC2
DC3
DC4
NAK
SYN
ETB
CAN
EM
SUB
ESC
FS
GS
RS
US
SP
!
“
#
$
%
&
‘
(
)
*
+
,
-
.
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
!
;
<
=
>
?
@
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
[
]
^
-
.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
:
~
DEL
Para entender a composição do código ASCII, localize na tabela dos “caracteres” o símbolo 2, por 
exemplo. Os bits que representarão o caractere 2 são: 011 0010, que vêm a ser a combinação de:
011 = bit mais significativo (MSB), em cuja coluna o número 2 está situado;
0010 = bit menos significativo (LSB), em cuja linha o número 2 está situado.
Do mesmo modo, o caractere C será representado por 100 0011. Ou seja:
• 100 = bit mais significativo (MSB);
• 0011 = bit menos significativo (LSB).
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