(Apostila Trigonometria no Triângulo Qualquer)

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APOSTILA DE TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER – PROF. CARLINHOS 
 
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ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI 
 
UNITAU 
 
APOSTILA 
 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER 
LEIS DOS SENOS E DOS COSSENOS 
 
 
PROF. CARLINHOS 
 
 
NOME: NO: 
 
 APOSTILA DE TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER – PROF. CARLINHOS 
 
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Já estudamos as relações trigonométricas no triângulo retângulo, mas se o triângulo 
não for retângulo o que devemos fazer ? 
Existem duas Leis importantes na trigonometria de um triângulo qualquer, que são: 
 
LEI DO SENO: Em qualquer triângulo as medidas dos lados são proporcionais aos senos 
dos ângulos opostos e essa razão é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita a 
esse triângulo. 
 
 
LEI DO COSSENO: Em qualquer triângulo o quadrado de um lado é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das 
medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. 
 
 
 
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER: Em qualquer triângulo a área é igual ao 
semiproduto das medidas de dois lados pelo seno do ângulo formado por eles. 
 
 
 
 
 
Obs: as leis acima são válidas para qualquer triângulo, inclusive para o triângulo 
retângulo. 
 
 
 
 
 
 APOSTILA DE TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER – PROF. CARLINHOS 
 
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EXEMPLOS 
 
1) Determine o valor de x, nos triângulos abaixo: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Num triângulo ABC, dois lados medem 10cm e 6cm e formam entre si um ângulo de 
30º. Calcule a área desse triângulo. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APREDIZAGEM 
 
1) Num triângulo ABC, o lado 28 BC = cm, Â = 30º e Ĉ = 45o , calcule a medida do 
lado AB . Resp: 16cm 
 
2) Dois lados de um triângulo medem 6cm e 10cm, e formam entre si um ângulo de 
60º. Determine a medida do terceiro lado desse triângulo. Resp: 2 19 cm 
 
3)Calcule o valor de x nos triângulos abaixo: 
 
 
Resp: 4cm 
Resp: 3cm 
 APOSTILA DE TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER – PROF. CARLINHOS 
 
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4) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 6cm e 2 3 cm e formam 
entre si um ângulo de 30º. Calcule as medidas das diagonais desse paralelogramo. 
Dado: cos 150º = - cos 30º Resp: d =2 3 cm e D = 2 21 cm 
 
5) Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 4cm. Sabe-se que  = 
30º, calcule a media do lado a desse triângulo. Resp: 4cm 
 
6) Um menino, sentado num muro, observa o topo e o pé de um prédio, conforme a 
figura abaixo. 
 
Determine a altura desse prédio. Resp: 56,78 cm 
7) calcule a área do triângulo abaixo: 
 
 Resp: 24 3 cm2 
8) Dois lados de um triângulo medem respectivamente 8m e 10m e formam um ângulo 
agudo que mede X. Determine a medida do ângulo X, sabendo que a área do triangulo 
é de 20 m2. Resp: 30o 
 
9) Um triangulo tem lados iguais a 4cm, 5cm e 6cm. Calcule o cosseno do maior ângulo 
interno desse triangulo. Resp: ¼ 
 
10) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 4cm e 5cm e formam um 
ângulo de 300. Calcule a área desse paralelogramo. Resp: 10 cm2 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática 
APOSTILA ELABORADA PELO PROFESSOR: Luiz Carlos Souza Santos