Lei dos senos e cossenos

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Lei dos senos 
Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade 
relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados por meio 
das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações 
utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe: 
Seno: cateto oposto / hipotenusa 
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa 
Tangente: cateto oposto / cateto adjacente 
Essas relações somente são válidas se aplicadas 
no triângulo retângulo, aquele que possui um ângulo reto (90º) e 
outros dois ângulos agudos. Para triângulos quaisquer, utilizamos 
a lei dos senos ou a lei dos cossenos com o objetivo de calcular 
medidas e ângulos desconhecidos. Enfatizaremos neste texto a lei dos 
senos e mostraremos sua fórmula e alguns exemplos de cálculos. 
Fórmula que representa a lei dos senos: 
 
 a = b = c 
senA senB senC 
Na lei dos senos, utilizamos relações que envolvem o seno do ângulo 
e a medida oposta ao ângulo. 
Exemplos: 
1º) Determine o valor de x no triângulo a seguir. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trigonometria-no-triangulo-retangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/lei-coseno.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/lei-coseno.htm
 
sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3 ou 0,865 
 2 
sen45º = √2 ou 0,705 
2 
 x = 100 
sen60° sen45° 
 x = 100 
0,866 0,707 
0,707x = 86,6 
x = 122,5 
2º) No triângulo a seguir, temos dois ângulos (45º e 105º, 
respectivamente), e um dos lados mede 90 metros. Com base nesses 
valores, determine a medida de x. 
 
Para determinar a medida de x, devemos utilizar a lei dos senos, mas, 
para isso, precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do 
triângulo. Para tal cálculo, utilizaremos a seguinte definição: a soma 
dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. 
α + 105º + 45º = 180º 
α + 150º = 180º 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-angulos-internos-externos-um-poligono-convexo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-angulos-internos-externos-um-poligono-convexo.htm
α = 180º – 150º 
α = 30º 
Agora vamos aplicar a lei dos senos: 
 x = 90 
sen45° sen30° 
 x = 90 
0,707 0,5 
0,5x = 63,63 
x = 127,26 
Lei do cosseno 
Utilizamos a lei dos cossenos nas situações que 
envolvem triângulos não retângulos. Esses triângulos não 
possuem ângulo reto, portanto, as relações trigonométricas de seno, 
cosseno e tangente não são válidas. Para determinar valores de 
medidas de ângulos e de lados, utilizamos a lei dos cossenos, que é 
expressa pela seguinte lei de formação: 
a
2
 = b
2
 + c
2
 – 2·b·c·cosθ 
b
2
 = a
2
 + c
2
 – 2·a·c·cosβ 
c
2
 = a
2
 + b
2
 – 2·a·b·cosα 
 
Triângulo não retângulo para o qual valem as expressões acima 
Exemplos 
1º) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x 
no triângulo a seguir: 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-angulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/segmentos-retas.htm
7
2
 = x
2
 + 3
2
 – 2·3·x·cos60 
49 = x
2
 + 9 – 6·x·0,5 
49 = x
2
 + 9 – 3·x 
x
2
 – 3x – 40 = 0 
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos: x’ = 8 e 
x” = – 5. Por se tratar de medidas, descartamos x” = –5 e utilizamos x’ 
= 8. O valor de x no triângulo é 8 cm. 
2º) Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, 
AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A. 
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Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício: 
 
Aplicando a lei dos cossenos, temos: 
a = 7, b = 6 e c = 5 
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A 
49 = 36 + 25 – 60 * cos A 
49 – 36 – 25 = –60 * cos A 
–12 = –60 * cos A 
12 = 60 * cos A 
12/60 = cos A 
cos A = 0,2 
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º. 
3º) Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a 
seguir utilizando a lei dos cossenos. 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-diagonais-um-poligono-convexo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/paralelogramos.htm
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5 
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º) 
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5) 
x² = 125 + 50 
x² = 175 
√x² = √175 
x = √5² * 7 
x = 5√7 
Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm. 
 
 
Vídeos aulas 
https://www.youtube.com/watch?v=fyTx2c8d2N0&list=PLFZkYpCuD9Jx24_6g6NOeShNgzpjtuo
Dh&index=17 
 
https://www.youtube.com/watch?v=7d-
HxYNP_AA&list=PLFZkYpCuD9Jx24_6g6NOeShNgzpjtuoDh&index=20 
 
https://www.youtube.com/watch?v=RBMqSUo29hc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=fyTx2c8d2N0&list=PLFZkYpCuD9Jx24_6g6NOeShNgzpjtuoDh&index=17
https://www.youtube.com/watch?v=fyTx2c8d2N0&list=PLFZkYpCuD9Jx24_6g6NOeShNgzpjtuoDh&index=17
https://www.youtube.com/watch?v=7d-HxYNP_AA&list=PLFZkYpCuD9Jx24_6g6NOeShNgzpjtuoDh&index=20
https://www.youtube.com/watch?v=7d-HxYNP_AA&list=PLFZkYpCuD9Jx24_6g6NOeShNgzpjtuoDh&index=20
https://www.youtube.com/watch?v=RBMqSUo29hc
Exercícios 
 
1) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando 
um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo: 
 
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é: 
 
2) (UF- Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo 
de 60°. O terceiro lado desse triângulo mede: 
 
3) Calcule a medida do lado x do triângulo abaixo sabendo que o ângulo oposto a 
ele mede 60°. 
 
4) Descubra o valor do lado X do no triângulo abaixo. 
 
5) No triângulo a seguir, determine a medida do lado AC, tendo em vista as 
medidas presentes nele. (Use √2 = 1,4 e √3 = 1,7). 
 
 
6) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa em escala 1:10000, como na 
figura. Das alternativas, a que melhor se aproxima de distância entre as 
ilhas A e B é: