FE U2 TBase04 Simplificacoes de Expressoes

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Simplificações de Expressões
Você já sabe que os circuitos lógicos correspondem a equações booleanas que, por sua vez, são 
extraídas da tabela-verdade.
Contudo, construir circuitos lógicos diretamente das expressões booleanas da tabela-verdade é um 
processo complexo. Esses circuitos podem ser simplificados, o que facilita sua montagem e diminui 
o custo do sistema pela economia dos blocos lógicos necessários a sua construção.
Neste texto, vamos estudar os postulados, teoremas, propriedades e identidade da álgebra 
booleana. Isso nos permitirá realizar a simplificação das expressões booleanas o que facilitará 
muito a execução dos circuitos combinatórios, ou seja, aqueles cuja saída depende das 
combinações das variáveis de entrada.
Para estudar esta unidade, é importante ter os seguintes conhecimentos da álgebra booleana: 
propriedades e identidades básicas.
Teoremas de De Morgan
Os teoremas de De Morgan são empregados para simplificar as expressões algébricas booleanas. 
Primeiramente, vamos demonstrar e comparar as leis postuladas por De Morgan. Em seguida, 
veremos a aplicação desses postulados.
Teorema 1
O complemento do produto é igual à soma dos complementos. Ou seja:
B .A = BA + .
Veja, com o auxílio da tabela-verdade, como os resultados de cada termo das expressões são 
iguais.
A B A B A . B B . A B A +
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 0 0
Este teorema pode também ser deduzido pela equivalência entre blocos lógicos, como por 
exemplo:
B . A (porta NE) ← → A + B (porta OU)
Aplicação do teorema de complemento do produto - Equivalência entre dois blocos lógicos
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
Esse teorema pode ser aplicado para mais de duas variáveis:
...N C . B .A = ( A + B + C + ...N )
Equivalência entre dois blocos lógicos de mais de duas variáveis
Teorema 2
O complemento da soma é igual ao produto dos complementos.
B A + = A . B
Este teorema é a extensão do primeiro. Assim, podemos escrever:
( ...N C B A +++ ) = A . B . C . ...N
A aplicação deste teorema é demostrada pela equivalência entre blocos lógicos.
( B A + ) (porta NOU) A . B (porta E)
Aplicação do teorema de complemento da soma – equivalência de blocos lógicos
Generalizando:
Equivalência entre dois blocos lógicos de mais de duas variáveis
Com o auxílio do teorema de De Morgan, é fácil realizar a transferência de expressão booleana de 
termos mínimos para a de termos mínimos.
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
Observação
Entende-se por expressão booleana de termos mínimos, a expressão booleana resultante da soma 
de produtos. Expressão booleana de termos máximos é aquela que resulta do produto das somas.
Equações lógicas
Para resolver qualquer problema, ou antes de iniciar um projeto lógico, constrói-se primeiramente a 
tabela-verdade. Da tabela-verdade, extrai-se a expressão booleana correspondentes à operação 
exata de um circuito digital.
Expressão booleana de soma de produtos
Pela análise da tabela-verdade de uma operação OU-EXCLUSIVO, vamos mostrar como extrair 
uma expressão booleana de soma de produtos.
A B Y
1 0 0 0
2 0 1 1 A . B
3 1 0 1 A . B
4 1 1 0
A tabela-verdade mostra que apenas as linhas 2 e 3 da tabela geram a saída 1. Na linha 2, as 
variáveis de entrada correspondem a não A e B ( A . B).
A outra combinação de variáveis que gera 1 é a da linha 3. Essas variáveis são o produto A . B .
Ao realizar a soma desses produtos ( A . B + A . B ), temos a expressão booleana completa, ou 
seja:
Y = A . B + A . B
Esta é uma expressão de soma de produtos ou de termo mínimo.
A expressão booleana Y = A . B + A . B constitui-se num circuito de portas lógicas E-OU cujo 
diagrama de blocos lógicos é mostrado a seguir.
Y = A . B + A . B circuito de portas lógicas E-OU
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
Assim para a elaboração de um projeto lógico, deve-se:
• Construir a tabela-verdade;
• Determinar a partir da tabela-verdade, a expressão booleana de termos mínimos (soma de 
produtos);
• A partir da expressão booleana de termos mínimos, esquematizar o circuito lógico.
Expressão booleana de produto de somas
Pela análise de uma operação OU-EXCLUSIVO, vamos demonstrar como extrair uma expressão 
booleana de produtos de somas.
A B Y
1 0 0 0 A . B
2 0 1 1
3 1 0 1
4 1 1 0 A . B
Na tabela-verdade, vemos que as linhas 1 e 4 geram a saída 0. Dessas linhas será extraída a 
expressão booleana. Pelos resultados 0, chega-se à saída Y. A expressão booleana será:
Y = B . A + A . B
Para chegar à saída Y, inverte-se a expressão:
B . A Y = + A . B
Para simplificar essa expressão, aplica-se primeiramente o segundo teorema de De Morgan. Isso 
resulta na seguinte expressão:
B . A Y = . B .A 
Aplicando, nessa expressão, o primeiro teorema de De Morgan, obteremos: 
 
 
Aplicando, então, a identidade básica em ambos os termos, chegamos a:
Y = A + B . A + B
B A . B A Y ++=
Essa expressão resultante é uma expressão de produto de somas ou de termo máximo.
Agora você já sabe que as expressões booleanas podem ser tiradas de duas maneiras:
• A partir dos uns de saída (termos mínimos ou soma de produtos).
• A partir dos zeros (termos máximos ou produto da soma).
Contudo, antes de extrair a expressão booleana de uma tabela-verdade, convém verificar que 
método oferece maior facilidade: tirar a expressão pelos uns ou pelos zeros.
Observe que na tabela-verdade a seguir, é mais fácil extrair a expressão booleana pelos zeros 
(termos máximos ou produto da soma), pois pelos uns a expressão booleana seria mais longa e 
mais complexa.
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
SN76237
Linha
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Linha
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Linha
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Linha
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Linha
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Linha
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Linha
SN76237
Linha
SN76237
Linha
A B C Y
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 1 0 1
4 0 1 1 1
5 1 0 0 0 1º termo A . B . C = Y
6 1 0 1 1
7 1 1 0 1
8 1 1 1 0 2º termo A . B . C = Y
Temos então, a expressão booleana das variáveis das linhas 5 e 8. Quando submetidas ao 
teorema de De Morgan, estas variáveis darão um termo da expressão booleana:
1º termo 2º termo
Y = (A . B . C ) + (A . B . C)
Y = ) )(( C . B .A C . B .A +
Y = ( A + B + C) . ( C B A ++ )
Portanto, a expressão booleana de termos máximos (produto de somas) será:
Y = ( A + B + C) . ( A + B + C )
O diagrama de blocos OU-E, a seguir é a implementação da expressão retirada da tabela-verdade.
Diagrama de blocos OU-E correspondente à expressão Y = ( A + B + C) . ( A + B + C )
Observe que as saídas das portas OU estão alimentando uma porta E.
Aplicação dos teoremas de De Morgan e de equações lógicas booleanas
As leis e as propriedades fundamentais da operação da álgebra booleana permitem resolver 
problemas e projetos lógicos em diversas áreas. Através de um exemplo, vamos demonstrar a 
aplicação desses princípios.
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
Exemplo
No setor de operação de uma empresa, um alarme deverá disparar toda a vez que ocorrer uma 
das seguintes situações:
• Faltar energia elétrica, o gerador auxiliar não entrar em funcionamento e as luzes de 
emergência não acenderem; ou
• Faltar energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência não acenderem; 
ou
• Houver energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergênciaacenderem; ou
• Houver energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência não acenderem.
Observação
Lembre-se de que os passos a serem seguidos para resolver um problema lógico são:
• A elaboração da tabela-verdade;
• A extração da equação lógica;
• A execução do circuito ou diagrama de blocos lógicos.
Para elaborar a tabela-verdade deste problema, observamos que há três variáveis a considerar:
• A energia elétrica (A);
• O gerador auxiliar (B);
• As luzes de emergência (C).
Uma vez identificadas as variáveis de entrada, estabelecemos a convenção em binário para as 
situações existentes:
• Falta de energia = 1
• Funcionamento do gerador = 1
• Luzes de emergência acesas = 1
• Alarme disparado = 1
Existência de energia = 0
Não - funcionamento do gerador = 0
Luzes de emergência apagadas = 0
Alarme não disparado = 0
A tabela resultante é:
A B C Y
1 0 0 0 0
2 0 0 1 0
3 0 1 0 1
4 0 1 1 1
5 1 0 0 1
6 1 0 1 0
7 1 1 0 1
8 1 1 1 0
Observação
A saída Y = 1 é resultado das proposições dadas. Vejamos, por exemplo, a primeira proposição: se 
faltar energia elétrica (1), o gerador auxiliar não entrar em funcionamento (0), e as luzes de 
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
emergência não acenderem, o alarme disparará (1). Tal situação está representada na linha 5 da 
tabela (100). As demais situações nas linhas em que a saída for Y = 1. 
Montada a tabela-verdade, extraímos a expressão algébrica booleana a partir das situações em 
que Y = 1. Dessa forma, teremos a expressão booleana de termos mínimos ou de soma de 
produtos.
Na tabela-verdade montada, as linhas 3, 4, 5 e 7 geram a saída 1 (Y = 1).
Para a linha 3 gerar a saída 1, temos as variáveis de entrada A , B e C unidas por uma operação 
E:
A . B . C
Para a linha 4 gerar a saída 1, as entradas são A , B e C. Isso corresponde à expressão:
A . B . C
Na linha 5, temos as entradas A, B e C . A expressão booleana é:
A . C . B
Na linha 7, as entradas são A, B e C . A expressão booleana é:
A . B . C
A expressão booleana total será composta pela interligação desses quatro termos por uma 
operação OU.
Y = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C
Essa expressão, também chamada expressão canônica, pode ser representada pelo diagrama de 
blocos de portas E e OU mostrado a seguir.
Expressão canônica da equação Y = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
A expressão canônica que apresenta uma operação soma lógica (porta OU) como principal, é 
chamada de soma de produtos.
Como vimos antes, a expressão booleana pode também ser extraída a partir dos resultados Y = 0. 
A expressão assim obtida será um produto de somas. No caso do exemplo apresentado, a tabela-
verdade apresenta Y = 0 nas linhas 1, 2, 6 e 8.
A B C Y
1 0 0 0 0 C . B . A
2 0 0 1 0 . B . A C
3 0 1 0 1
4 0 1 1 1
5 1 0 0 1
6 1 0 1 0 A . B . C
7 1 1 0 1
8 1 1 1 0 A . B . C
A expressão booleana final é:
C . B . A + . B . A C + A . B . C + A . B . C = Y
Inverte-se a equação para obter a expressão de Y:
C . B . A C . B . A C . B . A C . B . A Y +++=
Simplificando a equação pela aplicação do teorema de De Morgan, temos:
Y = A + B + C . A +B + C . A + B + C . C B A ++
Embora essa expressão se apresente de forma diferente (produto das somas) daquela extraída 
pelos resultados Y = 1 (soma dos produtos), ambas são iguais, o que pode ser comprovado por 
meio da tabela-verdade como é mostrado a seguir.
Y1 = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C = Y2 = A + B + C . A + B + C . A + B + C . A + B + C
A B C A B C A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C
Y1 A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C Y2
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0
Teoremas de absorção
Os teoremas de absorção são os que definem identidades utilizadas para a simplificação de 
expressões booleanas.
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
SN76237
Linha
SN76237
Linha
Quatro são os teoremas de absorção:
1. A (A + B) = A
2. A + AB = A
3. A + BA = A + B
4. A . ( A + B) = A . B
Esses teoremas podem ser demostrados de dois modos: pela tabela-verdade ou pela aplicação de 
postulados, propriedades e teoremas da álgebra booleana.
Teorema 1 : A (A + B) = A
Aplicando a propriedade distributiva, temos a expressão:
A [1 . (1 + B)] = A
Aplicando o princípio da identidade básica, temos:
(1 + B) = 1 → A (1 . 1), donde se conclui: A = A
Teorema 2 : A + A . B = A
Aplicando a tabela-verdade, provamos que A + A . B = A
A B A . B A + AB
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
Observe que as colunas A e A + A . B são iguais.
Teorema 3 : A + BA = A + B
Pela propriedade distributiva, obtemos a equação:
A + A . A + B = A + B
Pela identidade básica, obtemos:
A + A = 1
Dado que 1 . A + B = A + B, concluímos que A + B = A + B. Assim, fica provado que:
A + BA = A + B
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
Teorema 4: A . ( A + B) = A . B
Empregando a tabela-verdade, obtemos:
A B A A + B A . ( A + B) A . B
0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 1
Verifique que A . ( A + B) = A, o que comprova as respectivas colunas da tabela-verdade.
Simplificação de expressões algébricas
De modo geral, a expressão booleana extraída da tabela-verdade é longa e complexa, embora 
essa expressão seja a base da construção do circuito lógico.
Para que o circuito se torne mais prático, as expressões booleanas podem ser simplificadas por 
meio de dois métodos:
• O método algébrico, que emprega os postulados, as propriedades, as identidades e os 
teoremas da álgebra de Boole;
• O método prático que utiliza mapas para a simplificação.
Método algébrico de simplificação
Na simplificação de expressões booleanas pelo método algébrico, não há ordem determinada a ser 
seguida. Conforme a necessidade, aplicam-se os postulados, as propriedades, os teoremas e as 
identidades até obter uma forma reduzida da expressão original.
Exemplo:
Dada a expressão: 
1. Aplica-se a propriedade distributiva nos termos 1 e 2 e o resultado obtido será o seguinte:
Pela identidade básica, obteremos:
e
Portanto:
2. Aplica-se igualmente a propriedade distributiva nos termos 3 e 4 e o resultado será:
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
Pela identidade básica, obteremos:
e
Portanto:
Aplicando novamente a propriedade distributiva, obteremos:
e
Assim, a forma final da expressão será:
Método gráfico de simplificação (mapas de Karnaugh)
A simplificação de expressões algébricas booleanas é um processo complexo e trabalhoso e pode 
apresentar resultado falso.
O método de simplificação por meio de mapas de Karnaugh (método gráfico) oferece maior 
facilidade e segurança no processo de simplificação.
Esses mapas permitem simplificar expressões booleanas com qualquer número de variáveis. Para 
cada expressão booleana, deve-se construir um mapa com diferentes números de casas. Assim:
• Expressões booleanas com duas variáveis (A, B) terão quatro casas (22):
B B
A 0 1
A 2 3
As variáveis, neste caso, podem ser A, B 
• Expressões com três variáveis (A, B, C) terão 8 casas (23).
CB CB BC CB B B
A A 0 1 3 2
A A 4 5 7 6
C C C C C C
• Expressões com quatro variáveis terão dezesseis casas (24).
CD DC DC DC C C B
AB A 0 1 3 2
BA 4 5 7 6 B
BA A 12 13 15 14
BA 8 9 11 10 B
D D D
A disposição das variáveis nas linhas horizontais e nas colunas pode ser feita em qualquercombinação de variáveis. O que se deve observar é que de uma casa para outra haja mudança em 
apenas uma variável. Por exemplo, na expressão com as variáveis A . B . C . D:
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Nas linhas horizontais, qualquer combinação pode dar início à seqüência. Iniciamos BA .
BA
BA mudamos a variável B para B
AB mudamos a variável A para A
BA mudamos a variável B para B
Nas colunas, pode-se iniciar também por qualquer combinação; a cada coluna muda-se apenas 
uma variável.
DC DC CD DC
A casa formada pela intersecção de uma coluna com uma linha corresponde a uma combinação 
das variáveis de entrada, como acontece na tabela-verdade. Veja exemplo abaixo.
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
C C
BA
BA ↓
AB →
ABC
110
BA
• Utilização do mapa de Karnaugh
Vamos tomar como exemplo a seguinte expressão extraída de uma tabela-verdade qualquer:
Y = CBA + CBA + CBA + CBA + CAB
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
Para simplificar a expressão, constrói-se, primeiramente, o mapa de acordo com o número de 
variáveis. No exemplo dado, três são as variáveis (23).
CB CB BC CB
A
A
O processo de simplificação é o seguinte:
1. Colocar 1 nas casas de acordo com os termos da expressão:
CB CB BC CB
A 1 1
A 1 1 1
2. Colocar 0 ou deixar em branco as demais casas, cujos termos não correspondem à 
expressão.
CB B C BC BC
A 1 0 0 1
A 1 1 0 1
Observação
O mapa poderá ser feito de outra forma, mas o resultado será o mesmo.
1. Enlaçar a maior quantidade de uns adjacentes em grupos de 2, 4 e 8 uns no mesmo laço 
como é mostrado a seguir.
Observações
• Não deixar nenhum número 1 fora do laço; o mesmo número 1 pode fazer parte de dois laços.
• A primeira e a última linhas do mapa, assim como a primeira e a última colunas também são 
adjacentes. Verifique que os uns pertencentes à primeira e última colunas estão unidos pelo 
mesmo laço.
• Não importa a maneira de enlaçar os uns, as respostas serão iguais e irão satisfazer a tabela-
verdade.
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Texto Base 4 – Simplificações de Expressões
2. Extrair a expressão simplificada, conforme mostramos a seguir.
1o laço: separar as variáveis comuns dos termos:
CBA , CBA , CBA , CBA → B
2o laço: separar as variáveis comuns dos termos
CBA , CBA → BA
Para obter a expressão booleana simplificada, basta juntar os termos separados da expressão 
booleana de soma lógica. Ou seja:
B + BA = Y
Observação
Há situações em que uma mesma variável pode assumir o nível 1 ou 0 sem influenciar o estado de 
saída. Nesta situação, o estado da variável é irrelevante. Por exemplo, um interruptor, ao ser ligado 
acende a lâmpada. Contudo, se a lâmpada estiver queimada, tanto faz o interruptor estar ligado ou 
desligado: a lâmpada não acenderá.
Esta situação pode ser comprovada na tabela-verdade a seguir.
A B Y
0 0 0
0 X 0
1 0 0
1 1 1
Convenção
A - lâmpada boa = 1
lâmpada queimada = 0
B - interruptor ligado = 1
interruptor desligado = 0
Observe na linha 2 que o estado da variável B (interruptor) é irrelevante. Isso é indicado por um A 
ao invés de 1 ou 0.
Contudo, nos mapas de Karnaugh, quando a variável for irrelevante, deve-se considerá-la como 
estado 1, porque isso tornará menor a equação resultante da simplificação.
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