Eletrônica Digital

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Indaial – 2020
ElEtrônica Digital
Prof. Léo Roberto Seidel
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2020
Elaboração:
Prof. Léo Roberto Seidel
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
S458e
Seidel, Léo Roberto
Eletrônica digital. / Léo Roberto Seidel. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.
203 p.; il.
ISBN 978-65-5663-002-1
ISBN Digital 978-65-5663-003-8
1. Eletrônica digital. - Brasil. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 621.3815
III
aprEsEntação
Olá, acadêmico!
Bem-vindo à disciplina de Eletrônica Digital! A eletrônica digital 
(ou Sistemas Digitais) é, atualmente, tão presente em nossa vida cotidiana 
que fica difícil imaginar nosso dia a dia sem a utilização dessa tecnologia. 
Os computadores, telefones celulares, televisores, meios de transporte, 
todos utilizam sistemas digitais de forma intrinsecamente integrada ao seu 
funcionamento. Podemos dizer que nossas vidas dependem da Eletrônica 
Digital para acontecer da forma que conhecemos.
Assim, uma área de conhecimento tão ampla e abrangente precisa 
ser compreendida por profissionais que queiram atuar como promotores 
do desenvolvimento humano pela aplicação de tecnologias que envolvam a 
transmissão, processamento e armazenamento de informações.
Neste livro, estudaremos os conceitos fundamentais em que se 
baseiam todos os sistemas digitais. O início do nosso estudo, na Unidade 
1, abordará os sistemas de numeração e operações aritméticas binárias, a 
álgebra booleana e as funções lógicas básicas da eletrônica digital.
Mais adiante, na Unidade 2, nosso estudo se aprofunda ao tratar 
da análise e projeto de circuitos combinacionais, codificadores, somadores 
e multiplexadores. Esses são tópicos importantes, pois apresentam alguns 
princípios amplamente utilizados em sistemas digitais.
Por fim, na Unidade 3, são estudados os circuitos sequenciais, 
construídos a partir de flip-flops, como os registradores de deslocamento e 
os contadores. Esses dispositivos apresentam a capacidade de memorizar 
informações e, assim, são a base de sistemas mais complexos que envolvem 
memórias, transmissão e processamento de informações.
Para um bom aproveitamento da disciplina, é muito importante 
que você, acadêmico, leia as unidades com antecedência aos encontros, 
desenvolva as atividades solicitadas e tire suas dúvidas com a tutoria sempre 
que necessário.
 
Bons estudos!
Prof. Léo Roberto Seidel
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
VII
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL ......................................................................1
TÓPICO 1 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .......................................................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 BASES DE NUMERAÇÃO ....................................................................................................................5
3 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO .........................................................................................5
4 SISTEMA BINÁRIO DE NUMERAÇÃO ...........................................................................................6
5 CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS BINÁRIO E DECIMAL .........................................................8
6 SISTEMA NUMÉRICO HEXADECIMAL .......................................................................................11
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................14
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................15
TÓPICO 2 – OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS BINÁRIOS ...............................17
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................17
2 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS BINÁRIOS ....................................................17
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................21
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................22
TÓPICO 3 – ÁLGEBRA BOOLEANA ..................................................................................................23
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................23
2 POSTULADOS DE BOOLE ................................................................................................................23
3 TEOREMAS DE BOOLE .....................................................................................................................25
4 TEOREMAS DE DE MORGAN .........................................................................................................28
5 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES PELOS TEOREMAS DE BOOLE ...................................29
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................31
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................32
TÓPICO 4 – PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS .................33
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................33
2 PORTAS LÓGICAS BÁSICAS ...........................................................................................................33
3 APRESENTAÇÃO DAS PORTAS LÓGICAS .................................................................................364 OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS ..............................................................................38
4.1 OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO BOOLEANA A PARTIR DA TABELA-VERDADE ..............38
4.2 OBTENÇÃO DA TABELA-VERDADE A PARTIR DA EXPRESSÃO BOOLEANA ..............40
4.3 OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO BOOLEANA A PARTIR DAS PORTAS LÓGICAS ..............41
5 PORTAS LÓGICAS SECUNDÁRIAS ..............................................................................................43
6 OBTENÇÃO DE CIRCUITO LÓGICO A PARTIR DE UMA EXPRESSÃO BOOLEANA .......47
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................50
RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................53
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................54
sumário
VIII
TÓPICO 5 – AUTOSSUFICIÊNCIAS NAND E NOR ......................................................................57
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................57
2 OBTENÇÃO DE FUNÇÕES LÓGICAS BÁSICAS A PARTIR DAS PORTAS 
NÃO-E E NÃO-OU ...............................................................................................................................57
3 APLICAÇÃO DA AUTOSSUFICIÊNCIA NÃO-E E NÃO-OU ...................................................59
RESUMO DO TÓPICO 5........................................................................................................................63
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................64
UNIDADE 2 – CIRCUITOS COMBINACIONAIS ...........................................................................65
TÓPICO 1 – SIMPLIFICAÇÃO POR MAPA DE KARNAUGH .....................................................67
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................67
2 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS PELO MÉTODO DE 
VEITCH-KARNAUGH (MAPA DE KARNAUGH) .......................................................................67
3 ESTRUTURA GERAL DO MAPA DE KARNAUGH ....................................................................68
4 REGRAS PARA CRIAÇÃO DE AGRUPAMENTOS E OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO 
BOOLEANA SIMPLIFICADA ...........................................................................................................69
5 TIPOS DE MAPAS DE KARNAUGH...............................................................................................71
6 ANÁLISE DE EXEMPLOS DE SIMPLIFICAÇÕES PELO MAPA DE KARNAUGH .............73
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................82
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................83
TÓPICO 2 – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS COMBINACIONAIS .......................................85
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................85
2 PROJETO DE CIRCUITOS LÓGICOS .............................................................................................85
3 CONDIÇÕES IRRELEVANTES .........................................................................................................93
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................98
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................99
TÓPICO 3 – CODIFICADORES, SOMADORES E MULTIPLEXADORES ..............................101
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................101
2 CÓDIGOS BINÁRIOS.......................................................................................................................101
3 CODIFICADORES E DECODIFICADORES ................................................................................105
3.1 CODIFICADORES .........................................................................................................................106
3.2 DECODIFICADORES ...................................................................................................................111
4 CIRCUITOS LÓGICOS ARITMÉTICOS .......................................................................................117
5 MULTIPLEXADORES E DEMULTIPLEXADORES ....................................................................121
5.1 MULTIPLEXADORES ...................................................................................................................123
5.2 DEMULTIPLEXADORES .............................................................................................................126
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................127
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................132
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................133
UNIDADE 3 – CIRCUITOS SEQUENCIAIS ...................................................................................135
TÓPICO 1 – LATCHES E FLIP-FLOPS ..............................................................................................137
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................137
2 LATCH RS ............................................................................................................................................139
2.1 ANÁLISE DE UM LATCH RS BÁSICO ......................................................................................139
2.2 LATCH RS COM ENTRADA HABILITAR/ENABLE ..............................................................146
IX
3 FLIP-FLOPS ..........................................................................................................................................147
3.1 FLIP-FLOP RS .................................................................................................................................148
3.2 FLIP-FLOP JK .................................................................................................................................150
3.3 ENTRADAS PRESET E CLEAR ...................................................................................................151
3.4 ANÁLISE DO FUNCIONAMENTO DE UM FF JK ..................................................................153
3.5 FLIP-FLOP T ...................................................................................................................................155
3.6 FF TIPO D........................................................................................................................................156
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................157
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................158
TÓPICO 2 –REGISTRADORES DE DESLOCAMENTO E CONTADORES ............................161
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................161
2 REGISTRADORES DE DESLOCAMENTO .................................................................................1613 CONVERSOR SÉRIE-PARALELO ..................................................................................................162
4 CONVERSOR PARALELO-SÉRIE ..................................................................................................164
5 ASSOCIAÇÃO DE REGISTRADORES DE DESLOCAMENTO ..............................................165
6 CONTADORES ...................................................................................................................................166
6.1 CONTADORES ASSÍNCRONOS ................................................................................................166
6.2 CONTADORES SÍNCRONOS .....................................................................................................171
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................183
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................184
TÓPICO 3 – CARACTERÍSTICAS ELÉTRICAS DE CIRCUITOS LÓGICOS ..........................185
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................185
2 ASPECTOS TÉCNICOS DAS FAMÍLIAS LÓGICAS .................................................................185
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................191
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................200
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................201
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................203
X
1
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender os diferentes sistemas de numeração e realizar a conversão;
• utilizar a álgebra booleana para lidar com problemas lógicos;
• interpretar problemas lógicos através das expressões booleanas, tabelas-
verdades e circuitos lógicos;
• reconhecer as principais características dos circuitos integrados de 
diferentes famílias lógicas para projetar um sistema digital que opere 
satisfatoriamente.
Esta unidade está dividida em cinco tópicos. No decorrer da unidade, você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. 
 
TÓPICO 1 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
TÓPICO 2 – OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS BINÁRIOS
TÓPICO 3 – ÁLGEBRA BOOLEANA
TÓPICO 4 – PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES 
BOOLEANAS
TÓPICO 5 – AUTOSSUFICIÊNCIAS NAND E NOR
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
1 INTRODUÇÃO
O termo "digital", muitas vezes, remete a dispositivos eletrônicos, como 
computadores, celulares ou modernos equipamentos de televisão. Certamente, 
a associação pode ser atribuída à popularidade desses equipamentos, devido à 
maior facilidade em serem adquiridos e à queda dos seus preços. No entanto, 
é necessário lembrar que esses equipamentos citados representam apenas uma 
pequena parte de um vasto grupo de dispositivos que utiliza os sistemas digitais. 
Podemos afirmar que os sistemas digitais estão substituindo os analógicos 
em, praticamente, todas as áreas de aplicação: áudio, vídeo, telecomunicações 
etc. A grande diferença dos sistemas analógicos dos digitais está na forma de 
representação das grandezas utilizadas por esses sistemas.
Em sistemas analógicos, uma quantidade é representada através 
da variação contínua de um dado sinal: o ponteiro de um velocímetro se 
move, angularmente, de forma proporcional à velocidade do veículo. Em um 
termômetro, o mercúrio se expande proporcionalmente à temperatura medida. 
Podemos afirmar, assim, que as grandezas analógicas variam continuamente 
dentro de uma determinada faixa de valores.
Na representação digital, as quantidades são representadas por símbolos, 
dígitos, e estes variam de forma não contínua. Um relógio digital pode mostrar 
a passagem do tempo em horas, minutos e segundos, mas sabemos que o tempo 
varia continuamente, e não em saltos de um segundo.
Dentro da dualidade, a eletrônica também se divide em analógica e digital, 
sendo que cada uma lida com os respectivos tipos de grandezas, tendo que, às 
vezes, alternar de um desses mundos para outro através dos conversores. Na 
realidade, todas as grandezas físicas, na sua essência, são analógicas. O mundo em 
si é analógico. Então, pode surgir o questionamento: por que tratar das grandezas 
na forma digital se são naturalmente analógicas?
Basicamente, existem alguns bons motivos que favorecem a utilização da 
eletrônica digital:
 
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
4
• Os circuitos digitais tendem a ser mais fáceis para serem projetados, devido 
à natureza de funcionamento de seus componentes. Cada componente trata 
o sinal a ser analisado a partir de chaveamentos (aberto ou fechado, nível 
de tensão alto ou baixo etc.), de forma que pequenas variações no sinal não 
prejudicam sua interpretação.
• Fácil armazenamento de informação: guardar informações na forma digital é 
muito mais eficiente. Um pequeno disco rígido pode conter dezenas de horas 
de vídeos, músicas, livros e imagens. Esses elementos necessitariam de um local 
de grandes dimensões para armazenar suas respectivas mídias analógicas.
• Maior precisão e exatidão: na eletrônica analógica, os valores de tensão e 
corrente são muito afetados pelos componentes do circuito, além de fatores 
externos, como temperatura, interferência eletromagnética etc.
• Operações programadas: sistemas digitais podem ser controlados por um 
conjunto de instruções previamente armazenadas, denominado programa. 
Sistemas analógicos também podem ser programados, mas de forma menos 
eficiente e prática.
• Os circuitos digitais podem ser facilmente integrados e, portanto, 
miniaturizados, em pastilhas únicas, diminuindo o custo e tamanho desses 
sistemas. Componentes da eletrônica analógica, como capacitores, indutores e 
transformadores, são muito limitados nesse quesito.
No entanto, é preciso citar a grande desvantagem ao utilizar sistemas 
digitais: como já mencionado, o mundo é todo analógico. Então, é necessário 
realizar a conversão das grandezas do formato analógico para o digital e, às vezes, 
no fim do processo, converter o sinal digital novamente num formato analógico. 
Dependendo do tipo de sistema e do sinal, esses conversores são complexos e de 
difícil desenvolvimento.
FIGURA 1 – SISTEMAS DE CONTROLE DE TEMPERATURA ANALÓGICO E DIGITAL
FONTE: <https://upload.wikimedia.org/wikibooks/pt/2/2e/Conversao_digital_analog_digital.png>. 
Acesso em: 18 dez. 2019.
TÓPICO 1 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
5
No entanto, as vantagens dos sistemas digitais geralmente prevalecem.
A representação das grandezas, no sistema digital, é feita pela utilização 
de um sistema de numeração binário, ou seja, formado por apenas dois símbolos. 
Esse formato de numeração torna o desenvolvimento de sistemas digitais muito 
mais prático e simples, conforme veremos no decorrer deste livro.
2 BASES DE NUMERAÇÃO
Alguma vez você já parou para pensar sobre o porquê do nosso sistema 
de numeração utilizar o 10 como base de contagem? Será que existem outros tipos 
de sistemas de contagem que utilizam outras bases de cálculo?
Neste primeiro tópico, vamos estudar o sistema decimal de numeração 
e alguns outros que são utilizados em sistemas digitais. Também veremos como 
realizar a conversão de um valor de uma base numérica para outra. Esses conceitos 
são fundamentaispara o entendimento da lógica digital.
3 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO
É o sistema de numeração mais comum utilizado pelas pessoas através 
de todo o mundo. Acredita-se que sua criação e adoção, de forma generalizada, 
deram-se, principalmente, pela facilidade na realização de contas com o auxílio 
dos 10 dedos das mãos.
O sistema de numeração decimal é também denominado de Sistema de 
Base 10, por empregar dez dígitos distintos (de 0 a 9). Qualquer quantidade pode 
ser representada, neste sistema, através do peso por posicionamento, ou seja, o 
valor do dígito depende da sua posição dentro do número.
 
Exemplo 1: representação do algarismo 453
FIGURA 2 – ALGARISMO 453
FONTE: O autor
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
6
No exemplo anterior, o dígito 4 é dito o mais significativo (em inglês, Most 
Significative Digit – MSD) e, o dígito 3, é o menos significativo (em inglês, Least 
Significative Digit – LSD).
Esse padrão de numeração também pode ser utilizado para a representação 
de valores não inteiros.
Exemplo 2: representação decimal do número 27,35
27,35 = (2 × 101) + (7 × 100) + (3 × 10-1) + (5 × 10-2)
Logo, qualquer número é igual à soma dos produtos de cada dígito com 
seu respectivo valor posicional.
A quantidade de valores que se pode representar pelo sistema decimal 
obedece à regra estabelecida pela Equação 1.
Quantidade = 10N
Na qual:
N = número de algarismos utilizados.
Exemplo 3: quantos números podem ser representados, em base decimal, 
utilizando quatro dígitos?
A resposta é dada pelo emprego da Equação 1:
Quantidade = 104 = 10.000 números (de 0 a 9.999)
Equação 1
4 SISTEMA BINÁRIO DE NUMERAÇÃO
É o sistema mais utilizado na Álgebra Booleana e na eletrônica digital.
No sistema binário, são usados apenas dois símbolos ou dígitos: o 0 (zero) 
e o 1 (um). Cada algarismo binário é chamado de bit (Binary Digit).
Exemplo 4: apresentação de alguns números binários:
 
1012
11102 
112
1010112
 
TÓPICO 1 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
7
O sufixo “2” é utilizado para indicar, ao leitor, que o número está 
representado na base binária. Sua utilização não é obrigatória.
O sistema binário também é do tipo posicional, em que cada dígito tem 
um peso expresso em potência de 2. O bit mais significativo (Most Significative Bit - 
MSB) é o primeiro da esquerda, enquanto o menos significativo (Least Significative 
Bit - LSB) é aquele mais à direita.
A quantidade de valores que se pode representar com números binários 
depende do número de bits empregado.
Quantidade = 2N
Na qual:
N = quantidade de bits disponível.
Exemplo 5: Quantos valores distintos podem ser representados utilizando 
números binários de 1, 2, 3 e 4 bits?
Resposta: calculam-se as quantidades pela Equação 2:
Para 1 bit: 21 = 2 possibilidades (0 e 1);
Para 2 bits: 22 = 4 possibilidades (00, 01, 10 e 11);
Para 3 bits: 23 = 8 possibilidades (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111).
Para 4 bits: 24 = 16 possibilidades.
Equação 2
Analisando as Equações 1 e 2, pode-se concluir que a quantidade de valores 
distintos que podem ser representados num sistema de numeração de base X é igual a XN, 
ou seja:
Quantidade = XN
 Na qual:
X: base do sistema de numeração considerado;
N: número de algarismos utilizado.
NOTA
Equação 3
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
8
O exposto a seguir apresenta a equivalência numérica entre os 16 primeiros 
valores naturais dos sistemas binário e decimal. Nota-se que, por possuir menos 
símbolos, o sistema binário requer a utilização de mais casas numéricas para 
representar as quantidades, em comparação com o sistema decimal.
QUADRO 1 - EQUIVALÊNCIA ENTRE VALORES BINÁRIOS DE QUATRO BITS E DECIMAIS
Número Binário Equivalente Decimal
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 2
0 0 1 1 3
0 1 0 0 4
0 1 0 1 5
0 1 1 0 6
0 1 1 1 7
1 0 0 0 8
1 0 0 1 9
1 0 1 0 10
1 0 1 1 11
1 1 0 0 12
1 1 0 1 13
1 1 1 0 14
1 1 1 1 15
FONTE: O autor
5 CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS BINÁRIO E DECIMAL
Em muitas ocasiões, é necessário realizar a conversão entre diferentes 
sistemas de numeração. Como já mencionado anteriormente, o sistema decimal 
é utilizado amplamente por pessoas, no entanto, os sistemas eletrônicos digitais 
utilizam apenas o sistema binário.
A seguir, são apresentadas as regras para conversão entre as bases decimal 
e binária.
• Conversão do sistema binário para o decimal
Qualquer número binário pode ser convertido em seu equivalente decimal 
pela simples soma dos valores posicionais de todos os bits de valor 1.
TÓPICO 1 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
9
Exemplo 6: converter os seguintes números binários para a base decimal:
a) 110112
1 1 0 1 1
(1 × 24) + (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20) 
16 + 8 + 0 + 2 + 1
Logo: 110112 = 2710
b) 101101012
Podemos fazer a conversão de forma mais direta:
101101012 = 27 + 0 + 25 + 24 + 0 + 22 + 0 + 20 = 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 18110
• Conversão do Sistema Decimal para o Binário pelo Método das Divisões 
Sucessivas
Um valor decimal pode ser convertido para a base binária realizando 
sucessivas divisões por 2 até que o quociente seja 0. Os restos de cada divisão 
formam o número binário, sendo o último resto o bit mais significativo (MSB).
Exemplo 7: converter os seguintes números para a base binária pelo 
método das divisões sucessivas:
a) 2510
Aplicam-se as diversas divisões por 2, conforme demonstrado:
25 2
1 12 2
0 6 2
0 3 2
1 1 2
1 0
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
10
A seta indica o sentido de leitura dos restos que formam o número binário. 
Logo, o número 2510 é igual a 110012.
b) 7610
76 2
0 38 2
0 19 2
1 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1 2
1 0
Acompanhando o sentido da seta, temos que: 7610 = 10011002.
• Conversão do sistema decimal para o binário pelo método simplificado
O método é o inverso daquele descrito anteriormente, pois realiza uma 
soma de potências de base 2, colocando os zeros e uns nas posições apropriadas.
O exemplo 8, a seguir, auxiliará no entendimento do método.
Exemplo 8: passar os números a seguir para a base binária pelo método 
simplificado.
a) 58310
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1
Logo, 58310 = 10010001112 (como na base decimal, na base binária, os zeros 
à esquerda não precisam ser representados).
b) 7610
Logo, 7610 = 10011002.
64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 1 0 0
TÓPICO 1 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
11
6 SISTEMA NUMÉRICO HEXADECIMAL
O sistema hexadecimal também é conhecido por Sistema Hexa ou de Base 
16 (por utilizar 16 algarismos distintos). Para sua representação, são utilizados 
os dígitos decimais de 0 a 9 e as letras maiúsculas A, B, C, D, E e F, valendo, 
respectivamente, 10, 11, 12, 13, 14 e 15.
A seguir, há um comparativo das representações decimal, binária e 
hexadecimal.
QUADRO 2 - COMPARATIVO DAS BASES BINÁRIA, DECIMAL E HEXADECIMAL
FONTE: O autor
Decimal Binário Hexadecimal
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
• Conversão entre a base hexadecimal e outras
A seguir, serão apresentados os métodos de conversão da e para a base 
hexadecimal. É importante verificar que os métodos de conversão são, em 
essência, similares aos já apresentados. Todos se baseiam no sistema posicional 
de representação numérica, considerando uma base específica.
• Conversão da base hexadecimal para decimal
Um número na base hexadecimal pode ser convertido em seu equivalente 
decimal através do peso que cada dígito ocupa dentro do número.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
12
Exemplo 9: converter os números hexadecimais em decimais.
a) 35616
35616 = (3 × 162) + (5 × 161) + (6 × 160) = 768 + 80 + 6 = 85410
Nota-se que a conversão é realizada utilizando o formato já apresentado 
de peso por posicionamento, no caso, a base 16.
b) 2AF16
2AF16 = (2 × 162) + (10 × 161) + (15 × 160) = 512 + 160 + 15 = 68710
• Conversão da base decimal para hexadecimal
Para realizar a conversão, basta dividir o número em questãosucessivamente por 16, de modo semelhante ao realizado na conversão decimal 
para binário.
Exemplo 10: converter os seguintes números para a base hexadecimal:
a) 42310
423 16
7 26 16
10 1 16
1 0
Logo, temos que 42310 = 1A716. Devemos observar o que o resto “10” foi 
trocado pelo seu respectivo algarismo em hexadecimal, a letra “A”.
b) 21410
214 16
6 13 16
13 0
Assim, 24110 = D616.
TÓPICO 1 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
13
• Conversão da base hexadecimal para binária
Para realizar a operação, basta converter cada dígito hexadecimal em seu 
equivalente binário de 4 bits.
Exemplo 11: converter os seguintes números hexadecimais para binários:
a) 9F216
Algarismo hexadecimal: 9 F 2
Equivalente binário de 4 bits: 1001 1111 0010
Resposta: 9F216 = 1001111100102.
a) BA66
BA66 = 1011 1010 0110 = 1011101001102
• Conversão da base binária para hexadecimal
Converter um número binário para hexadecimal é, justamente, realizar 
o procedimento contrário daquele visto anteriormente: basta separar o número 
binário em agrupamentos de 4 bits e, então, converter cada um dos grupos para 
o valor hexadecimal equivalente. Os agrupamentos são criados da direita para e 
esquerda.
Exemplo 12: converter os seguintes números binários para hexadecimais:
a) 111010102
Agrupamento de 4 bits 1110 1010
Hexadecimal equivalente E A
Logo: 111010102 = EA16
b) 11101001102
Agrupamento de 4 bits 0011 1010 0110
Hexadecimal equivalente 3 A 6
Logo: 11101001102 = 3A616
Finalizamos, assim, o Tópico 1, que apresentou as principais numerações 
utilizadas na Eletrônica Digital, além da forma de converter.
14
Neste tópico, você aprendeu que:
• Existem diferentes bases de numeração para a representação de grandezas. 
A base decimal é aquela utilizada por pessoas, enquanto sistemas digitais 
utilizam a base binária ou hexadecimal.
• Toda grandeza pode ser representada numa determinada base numérica, pela 
soma dos produtos: (valores absolutos) × (valores posicionais). Os valores 
posicionais são as bases do sistema numérico escolhido elevado a um número 
crescente de potências.
• O sistema binário de numeração utiliza apenas os algarismos “0” e “1” para 
a representação de todas as grandezas numéricas. É o sistema utilizado na 
eletrônica digital.
• O sistema de numeração hexadecimal utiliza os seguintes algarismos para 
representação de valores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.
• É possível realizar a conversão de uma base numérica para outra através do 
método das sucessivas divisões ou pela utilização do sistema de representação 
posicional.
RESUMO DO TÓPICO 1
15
1 Converta os seguintes números binários para a base decimal:
a) 00101
b) 1010110
c) 1100011
d) 100100
e) 101
f) 1100101
2 Converta os números decimais para a base binária:
a) 123
b) 44
c) 100
d) 255
3 Converta os seguintes números hexadecimais para as bases decimal e binária:
a) A68F
b) B7
c) 8C1
d) DED0
4 Converta os seguintes números para hexadecimais:
a) 11610
b) 66810
c) 43710
d) 11001010112
e) 101000002
f) 1011100112
5 Quantas grandezas distintas podem ser representadas por um número 
hexadecimal de três dígitos?
AUTOATIVIDADE
16
17
TÓPICO 2
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS BINÁRIOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
A compreensão de um sistema de numeração passa pelo conhecimento 
de suas operações aritméticas. Assim, a seguir, são apresentadas as operações 
aritméticas básicas para o sistema de numeração binário.
2 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS BINÁRIOS
As quatro operações básicas da aritmética convencional (adição, subtração, 
multiplicação e divisão) também podem ser realizadas com os números binários. 
Há algumas similaridades e, também, algumas diferenças entre as aritméticas 
binária e a decimal, conforme veremos adiante.
• Adição
A adição de números binários segue a regra geral a seguir, demonstrada 
nas quatro possibilidades:
Vamos analisar alguns exemplos para facilitar o entendimento da 
operação.
Exemplo 13: realize as somas binárias:
a) 10110111 + 1110101
1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
+ 0 1 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0 0
Bit "vai um"
ou "carry".
0 0 0
0 1 1
 
1 0 1
1 1 0
+ =
 + =
 + =
 + =
RegraGeral da Adição
 (e vai 1, ou, transporta 1 para coluna à esquerda)
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
18
b) 10011110 + 11011100
1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 0
+ 1 1 0 1 1 1 0 0
1 0 1 1 1 1 0 1 0
• Subtração
A subtração entre números binários é realizada conforme a regra geral 
mostrada a seguir.
Para auxiliar no entendimento da operação, veremos o exemplo seguir.
Exemplo 14: realizar as seguintes subtrações:
a) 1101 - 1011
0 1
1 1 0 1
- 1 0 1 1
0 0 1 0
b) 11011000 – 1001011
• Multiplicação
A multiplicação entre números binários é idêntica àquela realizada entre 
números decimais.
0
1
0 1 1 1
1 1 0 1 1 0 0 0
- 0 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 1
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS BINÁRIOS
19
Exemplo 15: realizar a multiplicação entre os números binários 1011 e 101:
1 0 1 1
× 1 0 1
1 0 1 1
+ 0 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1 1 1
• Divisão
A operação de divisão com números binários é realizada de forma 
semelhante à dos números decimais.
Exemplo 16: realizar as divisões binárias apresentadas:
a) 100100 ÷ 110 
O resultado da divisão é 1102 e o resto é 0 (divisão exata).
b) 1110001 ÷ 1011 
O resultado da divisão é 10102 e o resto é 112.
0 1 1
1 0 0 1 0 0 1 1 0
- 1 1 0 ⁞ ⁞ 1 1 0
0 0 1 1 0 ⁞
- 1 1 0 ⁞
0 0 0 0
1
0 0 1
1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
- 1 0 1 1 ⁞ ⁞ ⁞ 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 ⁞
- 1 0 1 1 ⁞
0 0 0 1 1
- 0 0 0 0 0
1 1
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
20
Podemos realizar a prova efetuando a mesma divisão com os valores 
convertidos para a base decimal. Para a divisão da letra “b”, temos:
1 1 3 1 1
- 1 1 ⁞ 1 0
0 3
- 0 0
0 3
O resultado da divisão é 1010 e o resto é 3 10, que é o mesmo resultado 
obtido quando o cálculo foi realizado na base binária.
Para qualquer operação aritmética realizada na base binária, é possível fazer a 
comprovação convertendo os valores para decimais e, então, repetindo a operação na base.
NOTA
21
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A adição de números binários segue a regra geral:
• A subtração de números binários segue a regra geral:
• A multiplicação de números na base binária é realizada como na base decimal.
• A divisão de números binários é realizada de forma similar aos números 
decimais.
• Para comprovar se uma conta foi feita corretamente na base binária, é possível 
efetuar a mesma operação na base decimal. O resultado deve ser o mesmo.
0 0 0
0 1 1
 
1 0 1
1 1 0
+ =
 + =
 + =
 + =
RegraGeral da Adição
 (e vai 1, ou, transporta 1 para coluna à esquerda)
22
1 Realize as seguintes adições com números binários:
a) 10011 + 110
b) 110 + 111
2 Realize as seguintes subtrações com números binários:
a) 111011 – 111
b) 10000 – 111
c) 100101 – 1001
3 Realize as multiplicações entre números binários:
a) 101 × 10
b) 11001 × 101
4 Efetue as divisões entre os números binários:
a) 10001 ÷ 10
b) 11011 ÷ 100
c) 11000 ÷ 101
AUTOATIVIDADE
23
TÓPICO 3
ÁLGEBRA BOOLEANA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Em 1854, o matemático inglês George Boole descreveu um novo tipo de 
álgebra, cujas variáveis poderiam assumir apenas dois valores: 0 ou 1.
 
Inicialmente, apenas um estudo teórico para explicar a lógica, essa 
álgebra em particular, nomeada por Álgebra Booleana, mostrou-se ideal para 
tratar do estudo do chaveamento de sistemas telefônicos nas primeiras décadas 
do século passado. Naquela época, em 1938, Claude Shannon, um estudante do 
MIT, aplicou a álgebra booleana para descrever o funcionamento de sistemas 
telefônicos, conforme explica Ferreira (2019).
Atualmente, a lógica booleana está presente em todos os circuitos e sistemas 
digitais eletrônicos. O mundo digital é movido por essa lógica de princípios 
simples, criada há mais de 150 anos. Pode-se afirmar, com toda certeza, que a 
álgebra booleana faz parte da vida de todos, mesmo que de forma imperceptível.
2 POSTULADOSDE BOOLE
A seguir, serão apresentados os postulados formulados por Boole, que 
determinam o comportamento das expressões booleanas. O conhecimento dos 
postulados permitirá prever o comportamento das funções e portas lógicas, que 
serão estudadas adiante neste livro.
• Operação Lógica OU / OR (+)
A operação lógica OU, denominada também de OR, em inglês, é 
representada pelo símbolo de adição +. Assim, a operação OU, entre duas 
variáveis A e B, pode ser expressa pela equação 4:
S = A + B
Na qual:
A e B: variáveis booleanas de entrada.
S: variável booleana de saída.
Equação 4
24
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
A Equação 4 é lida da seguinte maneira: “S é igual a A OU B”. Embora o 
símbolo utilizado seja o da adição (+), a operação lógica é do tipo OU, similar à 
adição, mas com algumas particularidades.
Para compreender o comportamento da função lógica OU, vamos 
representar todas as combinações possíveis de A e B e seu respectivo resultado, 
que é a variável S.
TABELA 1 – TABELA-VERDADE DA FUNÇÃO OU
FONTE: O autor
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Assim, para a função lógica OU, podemos afirmar que “a saída é verdadeira 
sempre que, ao menos, uma das entradas for verdadeira”.
• Operação Lógica E / AND (·)
A operação lógica E é representada pelo ponto e se caracteriza pela 
multiplicação booleana. Uma expressão booleana com a função E é mostrada a 
seguir:
S = A · B
A expressão é lida como “S é igual a A E B”.
Sua tabela-verdade é mostrada a seguir.
Equação 4
FONTE: O autor
TABELA 2 – TABELA-VERDADE DA FUNÇÃO LÓGICA E
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
TÓPICO 3 | ÁLGEBRA BOOLEANA
25
Assim, pela análise, podemos afirmar que, na operação lógica E, “a saída 
só será verdadeira se ambas as entradas forem verdadeiras simultaneamente”.
• Operação Lógica Inversão / NOT ( ‾ )
A operação lógica Inversão, representada por um traço sobre uma variável 
ou expressão booleana, significa trocar o valor daquele elemento. A Equação 6 
apresenta a expressão booleana que define a Inversão.
A Equação 6 é lida como “S é igual ao inverso de A” ou ainda, S é igual a 
A negado.
A seguir, a tabela-verdade da função Inversão.
=S A Equação 6
TABELA 3 – TABELA-VERDADE DA FUNÇÃO INVERSÃO
FONTE: O autor
A S
0 1
1 0
Pela análise, podemos concluir que, para a função Inversão, a saída é o 
inverso da entrada.
Um termo muito comum utilizado com a função inversão é o complemento. 
O complemento de uma variável é o seu inverso. Assim, podemos afirmar que o 
complemento de A é Ā e o complemento de é B.B
3 TEOREMAS DE BOOLE
Os Teoremas de Boole são estruturas algébricas (ou identidades) que 
“captam as propriedades essenciais” dos operadores lógicos e de conjuntos. 
Ainda, oferecem uma estrutura para lidar com “afirmações”, conforme explicado 
por Scheinerman (2003).
• Teoremas de uma variável
São nove teoremas de Boole de uma variável, conforme apresentado a 
seguir.
26
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
• Da adição
a) A + 0 = A Prova:
Se A = 0 → 0 + 0 = 0
Se A = 1 → 1 + 0 = 1
b) A + 1 = 1 Prova:
Se A = 0 → 0 + 1 = 1
Se A = 1 → 1 + 1 = 1 
c) A + A = A Prova:
Se A = 0 → 0 + 0 = 0
Se A = 1 → 1 + 1 = 1
d) Prova: 
Se A = 0 → 0 + 1 = 1
Se A = 1 → 1 + 0 = 1
 1 + =A A
O segundo teorema da adição informa que 1 + 1 = 1. A interpretação é um 
pouco diferente daquela apresentada na Regra Geral da Adição, que afirma 1 + 1 = 10. A 
diferença reside no fato de que as variáveis booleanas admitem apenas um estado ou valor 
(0 ou 1).
NOTA
• Da Multiplicação
a) A · 0 = 0 Prova:
Se A = 0 → 0 · 0 = 0
Se A = 1 → 1 · 0 = 0
b) A · 1 = A Prova:
Se A = 0 → 0 · 1 = 0
Se A = 1 → 1 · 1 = 1
TÓPICO 3 | ÁLGEBRA BOOLEANA
27
c) A · A = A Prova:
Se A = 0 → 0 · 0 = 0
Se A = 1 → 1 · 1 = 1
d) Prova:
Se A = 0 → 0 · 1 = 0
Se A = 1 → 1 · 0 = 0
 · 0=A A
• Da Complementação
a) Prova:
Se A = 0 → 
Se A = 1 → 
0 1 0= =
1 0 1= =
A A=
• Teoremas para duas variáveis
São três teoremas de Boole envolvendo duas variáveis. A comprovação 
de cada teorema é apresentada junto destes.
a) A(A+B) = A
A(A+B) = A.A + A.B = A + A.B = A(1+B) = A.1 = A
b) A(Ā+B) = AB
A(Ā+B) = A.Ā + A.B = 0 + A.B = AB
c) A + ĀB = A + B
A + ĀB = A + A + ĀB (pois A+A=A, então, não altera a expressão)
= A(1 + B) + A.A + Ā.B (pois 1+B=1 e A.A=A, então, não se 
alterou a expressão)
= A + AB + AA + Ā.B
Colocando em evidência:
= A(1 + A) + B(A + Ā)
Temos que 1+A = 1 e A + Ā = 1, então, a expressão pode ser 
simplificada para:
= A + B
28
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
4 TEOREMAS DE DE MORGAN
Os teoremas de De Morgan são muito utilizados na prática para a 
simplificação de expressões booleanas. São dois os teoremas que veremos a seguir.
• 1º Teorema De Morgan
O teorema afirma que “o complemento do produto é igual à soma dos 
complementos”. A Equação 7 representa o teorema na forma de uma expressão 
booleana.
A comprovação do teorema pode ser feita pela análise das tabelas-
verdades dos dois lados da equação.
( ). = +A B A B Equação 7
TABELA 4 – COMPROVAÇÃO DO 1o TEOREMA DE DE MORGAN
FONTE: O autor
A B
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
A B+
• 2a Teorema de De Morgan
O segundo teorema de De Morgan estabelece que “o produto dos 
complementos é igual ao complemento da soma”. O teorema é apresentado na 
forma de uma expressão booleana na Equação 8 a seguir:
A comprovação do teorema pode ser feita pela análise das tabelas-
verdades dos dois lados da equação.
Equação 8
⋅A B
( ). = +A B A B
TÓPICO 3 | ÁLGEBRA BOOLEANA
29
TABELA 5 – COMPROVAÇÃO DO 2o TEOREMA DE DE MORGAN
FONTE: O autor
A B
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
A B⋅ +A B
É importante ressaltar que ambos os teoremas de De Morgan podem ser 
aplicados para qualquer número de variáveis de entrada. Assim, como exemplo, 
podemos afirmar que .( ) . .+ + +…+ = …A B C N A B C N
5 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES PELOS TEOREMAS DE 
BOOLE
Ao tratar de sistemas e eletrônica digital, um problema enfrentado 
frequentemente é a simplificação de expressões booleanas. A simplificação das 
expressões permite trabalhar com sistemas com menos elementos, havendo mais 
agilidade e menor probabilidade de erros.
Neste momento, vamos analisar como simplificar as expressões através 
dos Teoremas de Boole. Mais adiante, outro método de simplificação será 
abordado.
Exemplo 17: simplificar as seguintes expressões booleanas:
a) 
b)
 . . . 
 
=
=
ABCA
A A B C
ABC
( )
( )
( )
( )
1
aplicando o teorema 3.2 c :
+ +
= + +
= +
= +
= +
= +
ABC ABC ABC
AB C C ABC
AB ABC
AB ABC
A B BC
A B C
30
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
c) 
 
Fica evidenciada a importância de conhecer as identidades e teoremas 
apresentados para a simplificação de expressões booleanas, ocasionando o 
desenvolvimento de sistemas mais simples, por consequência. 
( )
( )
( )
 , apresentado por Idoeta e Capuano 2008 .
Coloca-se, em evidência, o termo :
 
Aplicando a propriedade associativa, temos:
Aplicando a identidadeX=X, temos:
[
= + +
= + +
 = + + 
= + +
S ABC AC AB
A
S A BC C B
S A BC C B
S A BC C B(
( )
( )
( )
)
Aplicando o teoremade De Morgan, temos:
Chamando de, logo , temos, então:
 1, , .1
Assim, chega-se à resposta final, que é: 


 = + 
=
= +
+ = = =
=
S BC BC A
BC Y
S A Y Y
Como Y Y logo S A A
S A
31
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• As expressões booleanas representam sistemas digitais em termos de entradas e 
a respectiva saída. Cada variável booleana apresenta um único estado possível: 
0 ou 1 (falso ou verdadeiro, desligado ou ligado etc.).
• Os três postulados de Boole representam as funções booleanas elementares: 
Função OU (OR), Função E (AND) e Função Inversão (NOT).
• Os teoremas de Boole são expressões que explicam o comportamento das 
variáveis booleanas mediante as operações lógicas. Esses teoremas são 
apresentados a seguir:
QUADRO - RESUMO
FONTE: O autor
• Há dois teoremas desenvolvidos por De Morgan que permitem simplificaralgumas expressões booleanas específicas:
A + 0 = A A · 0 = 0
A + 1 = 1 A · 1 = A A(A+B) = A
A + A = A A · A = A A(Ā+B) = AB
A + Ā = 1 A · Ā = 0 A + ĀB = A + B
=A A
( )
( )
. 1º Teorema de De Morgan
. 2º Teorema de De Morgan
= +
= +
A B A B
A B A B
32
1 Simplifique as expressões utilizando a Álgebra de Boole e os teoremas de 
De Morgan:
a) 
b) 
c) 
d) 
2 Simplifique as expressões pelas regras da álgebra booleana e pelos teoremas 
De Morgan:
a) 
b) 
AUTOATIVIDADE
+C BC
( )( ) + +AB A B B B
( )( ) + + + +A C AD AD AC C
( ) ( )( ) + + + +A A B B AA A B
 = + + + +S ABC ABC ABC ABC ABC
( ) ( ) .= + + + +S A B C A B C
33
TÓPICO 4
PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES 
BOOLEANAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
As Portas Lógicas são elementos da Eletrônica Digital que realizam as 
operações (ou funções) lógicas já analisadas anteriormente. As portas lógicas 
possuem uma representação gráfica específica e serão analisadas em seguida.
 
Na eletrônica digital, as portas lógicas são apresentadas encapsuladas 
em pastilhas (ou chips, em inglês), denominadas de circuitos integrados. A 
interligação destas portas lógicas permite a realização de tarefas específicas 
predeterminadas.
2 PORTAS LÓGICAS BÁSICAS
As portas lógicas, ou apenas portas (gates, em inglês), que desempenham 
as três funções lógicas já estudadas, são denominadas de Portas (Lógicas) Básicas. 
Estas serão analisadas em seguida.
• Porta Lógica OU
É aquela que implementa a função (ou operação) lógica OU. Sua 
representação gráfica é mostrada a seguir. Os terminais A e B representam as 
entradas e, o terminal S, é a saída.
FIGURA 3 – REPRESENTAÇÃO DA PORTA LÓGICA OU
FONTE: O autor
34
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
Para fins de compreensão, podemos comparar o funcionamento da porta 
OU ao de um circuito com duas chaves A e B (entradas) e uma lâmpada S (saída).
FIGURA 4 – CIRCUITO EQUIVALENTE À FUNÇÃO OU
FONTE: O autor
Assim, pela análise do circuito mostrado, podemos afirmar que “a 
lâmpada acenderá quando a chave A OU a chave B (ou ambas) estiver fechada”.
Se considerarmos a seguinte convenção:
Podemos tabelar todas as possíveis combinações das chaves, além do 
respectivo estado da lâmpada. Então, chega-se à tabela-verdade.
Chave aberta = 0 Lâmpada apagada = 0
Chave fechada = 1 Lâmpada acesa = 1
TABELA 6 – TABELA-VERDADE DO CIRCUITO DA FUNÇÃO OU
FONTE: O autor
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
O funcionamento é compatível ao que foi apresentado anteriormente para 
a porta OU.
TÓPICO 4 | PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
35
• Porta Lógica E
É aquela que realiza a operação lógica E (AND). Sua representação gráfica 
é mostrada a seguir.
FIGURA 5 - PORTA E
FONTE: O autor
Podemos comparar o funcionamento da porta lógica a um circuito elétrico 
com duas chaves ligadas em série (que representam as variáveis de Entrada) e 
uma lâmpada (que representa a variável de Saída).
FIGURA 6 – CIRCUITO EQUIVALENTE DA PORTA E E A RESPECTIVA TABELA-VERDADE
FONTE: O autor
Assim, pela análise do circuito mostrado, podemos afirmar que “A lâmpada 
acenderá apenas quanto a chave A E a chave B estiverem fechadas.” O funcionamento é 
compatível ao que foi apresentado anteriormente para a porta E.
 
Utilizando as mesmas convenções já estabelecidas para a porta OU 
anteriormente, se considerarmos a convenção adotada para os estados das 
entradas e saídas, obteremos a tabela-verdade mostrada junto ao circuito.
• Porta Lógica Inversora
A porta lógica inversora, conforme já visto, troca o estado do sinal da sua 
entrada.
36
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
FIGURA 7 – PORTA LÓGICA INVERSORA
FONTE: O autor
Um circuito elétrico que se comporta de forma semelhante à porta 
inversora é mostrado a seguir. É possível verificar que, quando a chave é fechada 
(A=1), a lâmpada se apaga (S=0) por estar curto-circuitada. A função do resistor é 
apenas evitar um circuito na fonte.
FIGURA 8 – CIRCUITO EQUIVALENTE E A TABELA-VERDADE DA PORTA INVERSORA
FONTE: O autor
3 APRESENTAÇÃO DAS PORTAS LÓGICAS
As portas lógicas são implementadas em termos práticos através de 
arranjos de componentes eletrônicos que têm, como base, transistores. O tipo 
de transistor utilizado e a forma do arranjo permitem a obtenção de portas 
lógicas com características de funcionamento distintas em relação à tensão de 
funcionamento, velocidade de chaveamento, capacidade de cascateamento de 
circuitos etc.
A seguir, são apresentados dois circuitos que desempenham funções 
lógicas específicas. O circuito da esquerda, montado a partir de transistores 
bipolares de junção, representa uma porta E, já o circuito da esquerda, montado a 
partir de transistores de efeito de campo, desempenha a função Inversão.
TÓPICO 4 | PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
37
FIGURA 9 – CONSTRUÇÃO DE PORTAS LÓGICAS COM TRANSISTORES
FONTE: O autor
Comercialmente, as portas lógicas são apresentadas em encapsulamentos 
(circuitos integrados). É uma forma de simplificar e baratear o desenvolvimento 
de sistemas digitais. A seguir, é apresentado o esquema elétrico interno, além de 
uma foto do circuito integrado 7408, que contém, em seu interior, quatro portas E.
FIGURA 10 – CIRCUITO INTEGRADO 7408
FONTE: <https://www.elecparts101.com/ic-7408-datasheet-and-pinout-logic-gate-chip/>; 
<https://www.jameco.com/z/7408-Major-Brands-IC-7408-Quad-2-Input-Positive-AND-
Gate_49146.html>. Acesso em: 14 dez. 2019.
Retornaremos, mais adiante, à análise mais detalhada de circuitos 
integrados e suas famílias lógicas.
38
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
4 OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
Conforme já mencionado anteriormente, as expressões booleanas 
representam o comportamento de determinado circuito ou sistema através da 
associação de diversas funções lógicas. Assim, podemos interpretar as expressões 
booleanas como o código que determina o funcionamento de um circuito lógico 
através de suas entradas e saídas.
Além das expressões booleanas, podemos descrever o funcionamento de 
um sistema lógico das seguintes maneiras:
• pela linguagem comum (linguagem falada ou escrita utilizada para comunicação 
entre pessoas);
• pela tabela-verdade;
• por um circuito eletrônico.
No momento, importa saber como obter a expressão booleana a fim de 
analisar ou planejar um determinado circuito lógico.
4.1 OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO BOOLEANA A PARTIR DA 
TABELA-VERDADE
Conhecendo a tabela-verdade de um sistema ou circuito lógico digital, 
é possível obter a expressão booleana equivalente seguindo os quatro passos a 
seguir:
i. Indicar, na tabela-verdade, as combinações que resultam numa saída em nível 
lógico 1.
ii. Realizar uma operação lógica E entre todas as variáveis de entrada nas 
combinações selecionadas.
iii. Inverter as variáveis de entrada que estiverem em nível lógico 0 nas 
combinações selecionadas.
iv. Ao fim, realizar uma operação lógica OU entre os resultados parciais obtidos 
no item anterior.
Para reforçar esses passos, vamos analisar os exercícios propostos no 
Exemplo 18 a seguir.
Exemplo 18: determinar a expressão booleana de cada tabela-verdade:
TÓPICO 4 | PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
39
a) Tabela-verdade com duas entradas
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Solução:
A B S
0 0 0
 0 1 1 →
1 0 1 →
1 1 0
.A B
.A B
= +S AB AB
Passo i Passo iv
Passos 
ii e iii
O resultado obtido está na forma chamada de “Soma de Produtos”, muito 
comum para expressões booleanas.
b) Tabela-verdade com três variáveis de entrada
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
40
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
Solução:
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1 →
0 1 0 0
0 1 1 1 →
1 0 0 1 →
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1 → A.B.C
. .A B C
. .A B C
. .A B C Por fim, realiza-se a operação OU entre as 
expressões parciais obtidas:
= + + +S ABC ABC ABC ABC
4.2 OBTENÇÃO DA TABELA-VERDADE A PARTIR DA 
EXPRESSÃO BOOLEANA
Em determinados momentos, é necessário obter a tabela-verdadede um 
circuito para a compreensão do seu funcionamento. A tabela-verdade pode ser 
obtida a partir de uma expressão booleana, seguindo os dois passos descritos:
i. Transformar a expressão booleana original numa soma de produtos.
ii. Localizar, na tabela-verdade, as combinações que levam cada termo, 
individualmente, para o nível lógico 1 (casos em que a saída será, 
necessariamente, 1 também).
Exemplo 19: obter a tabela-verdade da seguinte expressão booleana:
( )= + + +S AB ABC BC C ABC
Solução: passo i: reconfigurar a expressão na forma soma de produtos.
( )
( )
( ) ( )
( )
. . Temos que: . 0 .
Identidade:
= + + +
= + + + = =
= + +
= + +
= +
= + + = +
= +
= +
S AB ABC BC C ABC
AB ABC AB BC ABC ABC A A e B B B
ABC ABC ABC
AB C C ABC
AB ABC
A B BC B BC B C
A B C
AB AC
TÓPICO 4 | PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
41
Passo ii: de posse da expressão booleana na forma de soma de produtos, 
monta-se a tabela-verdade com as três entradas A, B e C e uma saída S. Deve-
se analisar a tabela-verdade linha por linha e, sempre que encontrarmos uma 
combinação onde A for 0 e B for 1 (devido ao termo ĀB), ou uma combinação em 
que A = 0 e C = 1 (devido ao termo ĀC), marcaremos a saída como 1. Para todos 
os outros casos, a saída será 0.
A B C S
0 0 0 0 Termo utilizado para determinar S=1:
0 0 1 1 →
0 1 0 1 →
0 1 1 1 →
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
AC
AB
 AC e AB
Podemos realizar a prova fazendo a obtenção da expressão booleana a 
partir da tabela-verdade. Assim, temos que:
Como chegamos a uma mesma expressão booleana do passo i, verifica-se 
a validade dos dois métodos estudados até aqui.
( )
( )
( )
= + +
= + +
= +
= +
= +
= +
S ABC ABC ABC
ABC AB C C
ABC AB
A BC B
A B C
AB AC
4.3 OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO BOOLEANA A PARTIR 
DAS PORTAS LÓGICAS
Dado um circuito lógico qualquer, para compreender seu comportamento, 
é necessário determinar sua expressão booleana ou tabela-verdade.
Para a obtenção da expressão booleana de um circuito lógico, é preciso 
proceder com a análise das entradas e funções lógicas. Vamos analisar os exemplos 
20 e 21 para compreender o processo.
42
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
Exemplo 20: determine a expressão booleana do circuito lógico:
FIGURA 11 – CIRCUITO LÓGICO
FONTE: O autor
Solução: fazer a indicação das operações lógicas efetuadas por cada porta 
lógica do circuito:
FIGURA 12 – CIRCUITO LÓGICO
FONTE: O autor
Por fim, a resposta é: S = AB + C
Exemplo 21: obter a expressão booleana do circuito.
FIGURA 13 – CIRCUITO LÓGICO
FONTE: O autor
TÓPICO 4 | PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
43
Solução:
FONTE: O autor
FIGURA 14 – CIRCUITO LÓGICO
Então: S = (A+B).(C+D)
5 PORTAS LÓGICAS SECUNDÁRIAS
Pela combinação das três portas lógicas básicas (E, OU e Inversora) 
estudadas anteriormente, são obtidas outras portas lógicas denominadas 
secundárias. As portas secundárias permitem, em muitos casos, desenvolver 
sistemas digitais com menos componentes.
A seguir, serão apresentadas e analisadas essas portas secundárias.
• Porta Lógica NÃO-E/NE (NAND)
A porta é o resultado da combinação de uma porta inversora conectada 
na saída de uma porta E. 
A seguir, à esquerda, é apresentada a interligação das duas portas lógicas 
e, à direita, a representação gráfica.
FIGURA 15 – PORTA LÓGICA NÃO-E
FONTE: O autor
A adição de uma porta inversora, conforme ilustrado, significa que a 
expressão booleana da porta NÃO-E e sua tabela-verdade são o inverso da porta 
E já estudada.
44
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
TABELA 7 - TABELA-VERDADE DA PORTA NÃO-E
FONTE: O autor
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
.=S A B
Expressão Booleana 
da Porta NÃO-E
• Porta NÃO-OU/NOU (NOR)
A porta NÃO-OU é obtida ao adicionar uma porta Inversora à saída de 
uma porta OU.
FIGURA 16 – PORTA LÓGICA NÃO-OU
FONTE: O autor
A tabela-verdade e a expressão booleana da porta NÃO-OU são 
apresentadas a seguir:
TABELA 8 - TABELA-VERDADE DA PORTA NÃO-OU
FONTE: O autor
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Expressão Booleana 
da Porta NÃO-OU
= +S A B
• Porta OU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE-OR / X-OR)
A função lógica é obtida pela associação de portas que serão mostradas 
a seguir. À esquerda, vemos o arranjo de portas que ocasiona a função X-OR e, à 
direita, é apresentada a representação gráfica da porta.
TÓPICO 4 | PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
45
FIGURA 17 – PORTA LÓGICA OU-EXCLUSIVA/X-OR
FONTE: O autor
Na representação de circuitos eletrônicos em geral, adota-se a convenção de 
que linhas cruzadas só estão interconectadas se houver um ponto no local de cruzamento.
NOTA
A expressão booleana da porta X-OR é, a princípio, , no 
entanto, optou-se por estabelecer um novo operador que representa a função.
S = A ⊕ B
O operador ⊕, denominado de OU-EXCLUSIVO, foi criado apenas para 
fins de simplificação na representação da função OU-EXCLUSIVA, não fazendo 
parte da álgebra booleana.
A tabela-verdade da função OU-EXCLUSIVA é apresentada a seguir.
Equação 9
= +S AB AB
TABELA 9 – TABELA-VERDADE DA PORTA OU-EXCLUSIVA
FONTE: O autor
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Pela análise, podemos enunciar a função OU-EXCLUSIVA da seguinte 
maneira: “A saída é 1 quando as variáveis de entrada forem diferentes entre si”.
46
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
• Porta NÃO-OU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE-NOR / X-NOR)
Adicionando uma porta Inversora na saída de uma porta OU-
EXCLUSIVO, obtém-se a porta NÃO-OU-EXCLUSIVO, também conhecida por 
X-NOR. A seguir, será possível ilustrar a representação gráfica da porta NÃO-
OU-EXCLUSIVO.
FIGURA 18 – PORTA NÃO-OU-EXCLUSIVO
FONTE: O autor
Pode-se concluir que a expressão booleana da porta X-NOR é . 
De forma similar à porta OU-EXCLUSIVA, foi criado um operador para 
simplificar a representação da função lógica, o ʘ, denominado operador NÃO-
OU-EXCLUSIVO. Assim, a expressão booleana da função pode ser escrita 
conforme mostrado na Equação 10.
S = A ʘ B
A porta lógica também é denominada de COINCIDÊNCIA, pois sua saída 
só vale 1 se houver coincidência entre os valores das entradas.
= +S AB AB
Equação 10
TABELA 10 – TABELA-VERDADE DA FUNÇÃO X-NOR/COINCIDÊNCIA
FONTE: O autor
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A função X-NOR pode ser representada como uma soma de produtos, 
bastando aplicar DeMorgan na expressão original: 
NOTA
( ) ( ).+ = + +AB AB A B A B
TÓPICO 4 | PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
47
6 OBTENÇÃO DE CIRCUITO LÓGICO A PARTIR DE UMA 
EXPRESSÃO BOOLEANA
Para obter um circuito lógico a partir de uma expressão booleana, deve-se 
seguir os dois passos descritos a seguir:
i. Colocar a expressão booleana na forma de soma de produtos, realizando a 
simplificação sempre que possível.
ii. Desenhar, primeiramente, as portas lógicas E e, no fim, as portas lógicas da 
função OU.
Vamos analisar o processo a partir dos dois exemplos a seguir.
Exemplo 22: desenhar o circuito a partir da seguinte expressão booleana: 
 .
Solução: primeiramente, conforme o passo i, deve-se colocar a expressão 
na forma de soma de produtos.
Em seguida, realiza-se o desenho do circuito, conforme o passo ii:
( ) ( ).= + + +S A B C C DC B
( ) ( ).= + + + = + + + = + +S A B C C DC B AC BC CD BC AC BC CD
FIGURA 19 – DESENHO
FONTE: O autor
Exemplo 23: obter o circuito lógico que segue a tabela-verdade:
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
48
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
Solução: inicialmente, é necessário obter a expressão booleana da tabela-
verdade, conforme já visto anteriormente. Temos que:
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0 Termos extraídos da tabela-verdade:
0 1 0 1 →
0 1 1 1 →
1 0 0 0
1 0 1 1 →
1 1 0 1 →
1 1 1 0
ABC
ABC
ABC
ABC
Assim, temos que: .
Simplificando:
A partir da expressão booleana simplificada, podemos desenhar o circuito 
lógico.
= + + +SABC ABC ABC ABC
( )
( )
( )
( )
( ) Pela regra:
= + + +
= + +
= + +
= + +
= + +
= + + → + = +
= + +
S AB C C ABC ABC
AB ABC ABC
ABC B A AC
ABC B A C
ABC B A AC
ABC B A C X XY X Y
S ABC AB BC
FIGURA 20 – CIRCUITO LÓGICO RESULTANTE
FONTE: O autor
TÓPICO 4 | PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
49
Na elaboração de circuitos mais complexos, isto é, com várias portas lógicas, 
pode ser interessante representar as entradas na forma de barramentos, oferecendo, 
também, seus respectivos complementos (A e Ā, e assim por diante).
ATENCAO
50
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
LEITURA COMPLEMENTAR
COMPUTADORES ANALÓGICOS E DIGITAIS
Benito Piropo Da-rin
Um dos significados do termo “computar” é, simplesmente, calcular. Por 
isso, os primeiros computadores tinham, como principal objetivo, o cálculo de 
alguma coisa. 
O computador mais antigo que conhecemos, um primor de engenharia 
montado na Grécia há mais de dois mil anos, era uma máquina magnífica que 
tinha, por objetivos, calcular a posição relativa dos objetos celestes (Sol, Lua e 
os cinco planetas então conhecidos) e outras coisas, como prever eclipses, por 
exemplo.
Aqui cabe uma observação: fragmentos do artefato, mostrado na 
Figura 1, um objeto de valor histórico inestimável, conhecido como “Máquina 
de Anticítera”, foram encontrados em 1900 entre os destroços de um navio 
naufragado nas proximidades da Ilha de Anticítera, no Mediterrâneo, mas seu 
significado somente pôde ser compreendido recentemente, quando seu interior 
foi explorado com a ajuda de ultrassom. Trata-se de uma maravilha tecnológica 
concebida e fabricada cem anos antes do nascimento de Cristo, cujo projeto de 
extraordinária complexidade impressiona a todos.
FIGURA 1 - UM DOS FRAGMENTOS DA MÁQUINA DE ANTICÍTERA
Também constituído por engrenagens, era o “Difference Engine”, o 
computador concebido por Charles Babbage, no Século XIX, que exigia uma 
tecnologia tão avançada para sua construção que apenas pôde ser montado 
experimentalmente mais de um século após o projeto.
TÓPICO 4 | PORTAS LÓGICAS E OBTENÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
51
O objetivo da máquina de Babbage era calcular, ou seja, “computar” 
as preciosas tabelas náuticas, essenciais para orientar a navegação quando a 
Inglaterra era a grande potência marítima mundial. Essas tabelas eram calculadas 
à mão por uma enorme equipe especializada de “computadores” (funcionários 
cujo trabalho consistia em computar, ou calcular, os valores a serem tabulados), e 
eventuais erros podiam ser catastróficos em mar aberto. Conceber uma máquina 
que pudesse montar essas tabelas sem erros era algo tão importante que o projeto 
de Babbage foi financiado pelo governo inglês.
Tanto a Máquina de Anticítera quanto o Difference Engine eram 
computadores analógicos.
As máquinas modernas são digitais.
Computadores digitais armazenam dados exclusivamente sob a forma 
de números (o termo “digit”, “algarismo”, em inglês, deriva do latim “digitus”, 
ou “dedo”, em virtude da forma mais simples e primitiva de exprimir números: 
exibindo os dedos das mãos). Nos computadores modernos, os números são 
expressos e armazenados internamente no sistema binário, ou sistema numérico 
posicional de base dois, por razões que ficarão claras adiante, mas, teoricamente, 
qualquer sistema numérico pode ser utilizado (alguns dos primeiros computadores 
digitais usavam o sistema decimal). Os valores que exprimem as grandezas 
sofrem apenas variações “discretas”, ou seja, descontínuas, “saltando” de um 
valor inteiro para o seguinte (embora seja possível adotar técnicas que permitem 
trabalhar com valores fracionários intermediários).
Já os computadores analógicos representam dados utilizando grandezas 
capazes de variar continuamente. Bons exemplos são a posição relativa de 
engrenagens em mecanismos e os valores de tensões em circuitos elétricos. Um 
caso típico: há uma extraordinária analogia (e “analogia” é a palavra-chave, já 
que é devido a ela que esses computadores receberam sua designação) entre o 
comportamento de um líquido fluindo entre reservatórios de diferentes níveis 
d´água através de uma rede ramificada de tubulações e o comportamento de 
uma corrente elétrica fluindo entre pontos de um circuito elétrico com diferentes 
tensões, interligados por condutores elétricos ramificados. A diferença de nível 
entre os reservatórios (diferença de potencial hidráulico) é absolutamente análoga 
à diferença de tensão entre os dois pontos do circuito (diferença de potencial 
elétrico) e a dificuldade oferecida ao escoamento da vazão de água pelo atrito com 
as tubulações (resistência hidráulica) é igualmente análoga à resistência elétrica 
oferecida pelos condutores à passagem da corrente elétrica. Assim, conhecendo 
o “modelo matemático” (ou seja, o conjunto de equações que rege os fenômenos 
físicos), é possível usar um artefato que simule o comportamento de qualquer 
sistema e efetuar experimentos que emulem o comportamento do sistema sem 
a necessidade de construção Por exemplo: o comportamento de um conjunto de 
52
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
FIGURA 2 - DETALHE DAS ENGRENAGENS DO DIFFERENCE ENGINE
represas interligadas pode ser simulado por um circuito elétrico análogo. Melhor 
ainda, pode-se criar um conjunto de equações (ou “modelo matemático”) que 
represente os diferentes estados do fenômeno e trabalhar diretamente na solução 
das equações, alterando o valor de suas variáveis para simular o comportamento 
do sistema.
 
O “Difference Engine” de Babbage nada mais era que uma máquina de 
engrenagens usada para resolver equações polinomiais de grau “n”.
Computadores analógicos funcionam. Contudo, quanto mais complexo 
for o problema, maior a precisão necessária na fabricação de seus componentes 
mecânicos. Ainda assim, é inevitável que erros se acumulem, se propaguem e 
se ampliem devido a imprecisões micrométricas que se somam. Assim, Babbage 
jamais conseguiu fabricar sua máquina (a Figura 2 mostra um detalhe do 
protótipo construído com base nos desenhos de Babbage e exibido no Museu 
de Ciências de Londres. A máquina somente foi montada em 1991, mais de um 
século depois de sua concepção, quando, enfim, a tecnologia mecânica permitiu 
fabricar engrenagens com a precisão necessária).
Já nos anos trinta do século passado, por essas e outras razões, havia 
quem percebesse que computadores digitais poderiam ser muito mais eficientes e 
práticos. Dois desses pioneiros foram John Atanasoff e George Stibitz. O que faltava 
era uma ferramenta teórica que permitisse resolver as complexas equações lógicas 
que o projeto exigia. Aí que entra Claude Shannon, uma figura extraordinária. 
Tão extraordinária que não cabe nesta coluna. Contudo, prometemos falar sobre 
ele na próxima. Até lá!
FONTE: <https://www.techtudo.com.br/artigos/noticia/2012/08/computadores-analogicos-e-
digitais.html>. Acesso em: 6 abr. 2020.
53
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você aprendeu que:
• As funções lógicas são implementadas fisicamente a partir de arranjos de 
componentes eletrônicos (resistores e transistores), e passam a ser denominadas, 
então, de Portas Lógicas.
• As portas lógicas são construídas em pastilhas denominadas de circuitos 
integrados.
• Além das portas lógicas, que realizam as operações básicas da álgebra 
booleana (E, OU E INVERSÃO), existem também outras portas, denominadas 
secundárias. As portas lógicas secundárias são construídas a partir das portas 
Básicas: NÃO-E, NÃO-OU, OU-EXCLUSIVO e NÃO-OU-EXCLUSIVO.
• Um sistema lógico pode ser expresso através da escrita comum, da tabela-
verdade, de uma expressão booleana ou de um circuito lógico. 
• É possível obter uma expressão booleana a partir de um circuito lógico ou de 
uma tabela-verdade. Também é possível obter a tabela-verdade a partir da 
expressão booleana.
• Pode-se montar um circuito lógico, isto é, um arranjo de portas lógicas para se 
comportar de acordo com uma tabela-verdade ou expressão booleana.
54
AUTOATIVIDADE1 Obtenha as expressões booleanas a partir das tabelas-verdades.
a) b)
2 Determine a tabela-verdade para cada expressão booleana.
a) 
b) 
3 Obtenha as expressões booleanas de cada circuito lógico.
a) 
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
( ) ( ). .= +S A B B C
( ) ( ). .   = + + +   S A B C D B C
55
b) Observação: os pequenos círculos desenhados nas entradas de algumas 
portas lógicas representam, de forma simplificada, a inserção de uma porta 
inversora naquele local.
 
4 Obtenha os circuitos lógicos a partir das expressões booleanas a seguir.
a) 
b) 
5 Demonstre, através de tabelas-verdades, que .
= + +S AB ABC BC
= + + + +S ABC ABC ABC ABC ABC
. .A B A B≠
56
57
TÓPICO 5
AUTOSSUFICIÊNCIAS NAND E NOR
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Como vimos até aqui, as expressões booleanas são combinações de várias 
operações E, OU e Inversão. Até mesmo as portas lógicas NÃO-E, NÃO-OU, X-OR 
e X-NOR são, em sua essência, arranjos das três operações aritméticas básicas.
Por outro lado, as portas NÃO-E e NÃO-OU podem ser combinadas 
para a realização das três operações básicas e, assim, também das demais. Em 
outras palavras, as portas lógicas NÃO-E e NÃO-OU podem ser utilizadas para 
implementar qualquer circuito lógico. 
Cada porta lógica costuma ser comercializada num circuito integrado 
(chip) específico. Assim, muitas vezes, seriam necessários vários circuitos 
integrados distintos para realizar a implementação de um determinado circuito.
 A utilização de apenas portas NÃO-E ou NÃO-OU pode baratear e 
simplificar o desenvolvimento prático. Por essas características, as portas NÃO-E 
e NÃO-OU são denominadas Universais ou Autossuficientes.
2 OBTENÇÃO DE FUNÇÕES LÓGICAS BÁSICAS A PARTIR 
DAS PORTAS NÃO-E E NÃO-OU
Inicialmente, vamos analisar como podemos obter as operações lógicas 
básicas (E, OU e Inversão) a partir das portas lógicas NÃO-E e NÃO-OU. Os 
teoremas de DeMorgan auxiliam a compreender essas implementações.
 
• Autossuficiência NÃO-E
A Figura 21 demonstra a maneira de conseguir realizar as operações 
booleanas básicas a partir da Função Não-E.
58
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
FIGURA 21 - IMPLEMENTAÇÃO DAS OPERAÇÕES BÁSICAS A PARTIR DA PORTA NÃO-E
FONTE: Tocci, Widmer e Moss (2009, p. 83)
Na parte (a), vemos que a porta Inversora pode ser obtida a partir do 
curto-circuito das entradas da porta Não-E. Dessa forma, conforme demonstrado, 
a saída será .
Na parte (b), vemos a utilização de duas portas Não-E, resultando 
na obtenção da porta E. A segunda porta Não-E funciona, no caso, como 
uma porta inversora, assim, a operação realizada é: , ou seja, uma 
operação E.
Na parte (c), são utilizadas três portas Não-E para conseguir uma porta 
OU. O arranjo faz uso de um dos teoremas de DeMorgan, que afirma que 
 .
• Autossuficiência Não-OU
De forma similar ao que vimos em relação à porta Não-E, podemos 
implementar as funções booleanas básicas a partir da função Não-OU.
.= =x A A A
= + = +x A B A B
. = +A B A B
TÓPICO 5 | AUTOSSUFICIÊNCIAS NAND E NOR
59
FIGURA 22 - IMPLEMENTAÇÃO DAS OPERAÇÕES BÁSICAS A PARTIR DA PORTA NÃO-OU
FONTE: Tocci, Widmer e Moss (2009, p. 84)
Em (a), temos a implementação de uma porta Inversora a partir de 
uma Porta Não-OU com as duas entradas interligadas. Assim, a saída será 
 .
Na parte (b), há a utilização de duas portas Não-OU conectadas em série. 
A segunda porta atua como uma inversora, de forma a conseguir, no fim, a função 
OU.
 
Na parte (c), é apresentada a obtenção da porta E a partir do arranjo de 
três portas Não-OU. No fim da terceira porta, há a expressão booleana +A B , com 
equivalência em AB, a função E das entradas.
= + =x A A A
3 APLICAÇÃO DA AUTOSSUFICIÊNCIA NÃO-E E NÃO-OU
A utilização da característica de autossuficiência das portas Não-E ou 
Não-OU pode ser realizada de duas maneiras distintas. 
A primeira delas se refere a alterar o circuito lógico original, substituindo 
as diversas portas lógicas pelos seus respectivos arranjos. Vamos verificar o 
processo no exemplo a seguir.
Exemplo 24: implementar a lógica do circuito utilizando apenas portas 
lógicas Não-E.
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UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
FIGURA 23 - CIRCUITO LÓGICO ORIGINAL
FONTE: O autor
O primeiro passo é substituir cada porta lógica pelo seu arranjo equivalente. 
Assim, há o circuito mostrado a seguir.
FIGURA 24 – SUBSTITUIÇÃO DAS PORTAS ORIGINAIS POR PORTAS NÃO-E
FONTE: O autor
O circuito obtido possui algumas portas lógicas que podem ser eliminadas. 
As portas 3 e 5, que desempenham a função Inversão, estão conectadas em série 
e, portanto, podem ser eliminadas. O mesmo procedimento pode ser feito com 
as portas 4 e 6. Assim, eliminando as portas, obtém-se o seguinte circuito. Ele 
desempenha o mesmo papel do circuito original, sendo construído apenas com 
portas Não-E.
FIGURA 25 - RESULTADO SIMPLIFICADO
FONTE: O autor
TÓPICO 5 | AUTOSSUFICIÊNCIAS NAND E NOR
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A segunda maneira de implementar a autossuficiência Não-E ou Não-OU 
consiste em modificarmos a operação booleana da saída do circuito de forma a 
eliminarmos a operação básica não realizada pela porta a ser utilizada. Para que 
o comportamento da função não seja alterado, são utilizadas duas Inversões e, 
então, aplica-se o teorema de De Morgan da seguinte maneira:
• Para utilizar apenas portas Não-OU, é preciso eliminar, da expressão booleana, 
todas as ocorrências da função E, aplicando o teorema: +A B .• Para utilizar apenas portas Não-E, é preciso eliminar a função OU, aplicando: 
 .+ = + =A B A B A B .
Vamos analisar a aplicação do método no exemplo visto anteriormente. 
No caso, tínhamos que a expressão booleana da saída do circuito lógico era: 
S = AB + CD. Se desejarmos utilizar apenas portas Não-E, precisamos eliminar as 
operações OU da expressão. Assim, inicialmente, aplicamos uma dupla inversão 
na expressão (são duas inversões para que o resultado não se altere):
Agora, é possível aplicar DeMorgan (sobre a negação inferior) e, assim, 
eliminar a operação OU:
Tendo sido feita a eliminação de todas as instâncias da operação OU, 
assim, pode-se partir para a montagem do circuito.
Exemplo 25
Monte um circuito lógico utilizando apenas portas Não-OU para a 
expressão booleana .
Solução: para utilizar apenas as portas Não-OU, é preciso eliminar todas 
as operações.
Assim, temos que:
= +S AB CD
.=S AB CD
= + +S AB AC AB
= + + = + + + + +S AB AC AB A B A C A B
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UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À LÓGICA DIGITAL
FIGURA 26 – CIRCUITO LÓGICO IMPLEMENTADO APENAS COM PORTAS NÃO-OU
FONTE: O autor
Agora que você viu mais um exemplo, que tal fazer algumas autoatividades?
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RESUMO DO TÓPICO 5
Neste tópico, você aprendeu que:
• As portas lógicas Não-E e Não-OU podem ser utilizadas sozinhas para a 
realização de qualquer função booleana básica. Assim, elas são denominadas 
de Autossuficientes ou Universais.
• Em circuitos eletrônicos reais, pode ser interessante utilizar apenas um tipo 
de porta lógica. Geralmente, isso representa menos custos de aquisição de 
componentes e facilita o gerenciamento do projeto.
• Para montar um circuito apenas com portas universais, é preciso eliminar as 
funções lógicas que aquela determinada porta escolhida não realiza. Então, são 
utilizados os Teoremas de De Morgan.
• A tabela-verdade da saída de um circuito lógico implementado apenas com 
portas lógicas deve ser igual à tabela-verdade do circuito original.
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