Conceitos Básicos de Probabilidade

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FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial
Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos
2. 
PROBABILIDADE 
(CONCEITOS E 
LEIS BÁSICAS)
Os 3 conceitos fundamentais da teoria 
da probabilidade são os seguintes:
1 - Experimento Aleatório
2 - Espaço Amostral
3 - Evento.
Cada um deles é apresentado 
e exemplificado a seguir.
Notas de Aula - Professor Eduardo 
Lima Campos.
Um experimento aleatório é uma ação 
cujo resultado não pode ser previsto.
Exemplos:
2.1 - Lançar um dado e observar a 
face que fica voltada para cima.
2.2 - Selecionar uma bolinha de uma urna com 
bolinhas vermelhas e azuis e verificar sua cor.
Experimento Aleatório
Embora o resultado de um experimento 
aleatório não possa ser pré-determinado, 
é possível descrever o conjunto dos 
resultados que podem ocorrer.
Este conjunto é chamado 
espaço amostral.
Notas de Aula - Professor Eduardo 
Lima Campos.
O espaço amostral associado a um 
experimento aleatório é o conjunto 
de todos os seus possíveis resultados.
Notação: S.
No exemplo 2.1 – S = {1,2,3,4,5,6}.
No exemplo 2.2 – S = {´azul`,´vermelha`}.
Espaço Amostral
Um evento é um 
subconjunto do espaço amostral.
No exemplo 2.1, alguns possíveis eventos são: 
A = ´face par` = {2,4,6};
B = ´face>3` = {4,5,6};
C = ´face=2` = {2}.
Evento
Notas de Aula - Professor Eduardo 
Lima Campos.
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Um evento ocorre quando o resultado do 
experimento é um ponto que pertence a ele.
Exemplos com os eventos do slide anterior:
Se a face observada foi o 5, 
dizemos que B ocorreu,
Se a face observada foi o 4, 
dizemos que A e B ocorreram,
e assim por diante...
• União e Interseção de Eventos
No exemplo 2.1, considere os eventos:
A: ´Face par` = {2,4,6} 
B: ´Face > 3` = {4,5,6}
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Lima Campos.
O evento ´A ou B ocorre` é dado pela 
união do evento A com o evento B.
A∪B = {2,4,5,6}. 
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O evento ´A e B ocorrem` é dado pela 
interseção do evento A com o evento B.
A∩B = {4,6}.
Seja A um evento definido em um espaço 
amostral S. A probabilidade de A, denotada 
por P(A), é uma função que satisfaz aos 3 
Axiomas que são apresentados a seguir.
Probabilidade – Definição
Propriedades da Probabilidade:
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, p/ todo A definido em S.
2) P(S) = 1.
3) P(A∪B) = P(A) + P(B), se A∩B = ∅.
Axiomas da Probabilidade
quanto mais perto de 1, maior a probabilidade de que A ocorra.
este é um evento 
especial, chamado 
evento certo.
O Axioma 3 pode ser generalizado para mais de 2 eventos. Por exemplo, 
P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C), se os 3 pares possíveis têm interseções vazias.
• Atribuição de Probabilidades
Se os elementos do espaço amostral são 
todos equiprováveis, a probabilidade de 
um evento A é obtida da seguinte forma:
S#
A#)A(P =
casos favoráveis 
ao evento A
casos possíveis
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Exemplo 2.3 - Seja o experimento: lançar 3 
moedas e observar as faces voltadas para cima.
Seja: ´CA` = cara e ´CO` = coroa.
O espaço amostral associado 
a este experimento aleatório é: 
S = {(CA,CA,CA);(CA,CA,CO); 
(CA,CO,CA);(CO,CA,CA);(CA,CO,CO); 
(CO,CA,CO);(CO,CO,CA);(CO,CO,CO)}, 
totalizando #S = 8 casos possíveis.
Seja o evento: A = ´2 caras`. 
Obtenha a probabilidade de A.
Solução:
#A = 3 casos favoráveis.
A = {(CA,CA,CO);(CA,CO,CA);(CO,CA,CA)}
.
8
3
S#
A#)A(P ==
• Abordagens da Probabilidade
A abordagem anterior para obter 
probabilidades é chamada clássica.
Existem ainda duas outras formas de 
“pensar” em, ou abordar, ou interpretar 
uma probabilidade, que são denominadas 
abordagens frequentista e subjetivista.
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Abordagem Frequentista: 
A probabilidade de um evento A é a 
frequência relativa de ocorrência de A, 
quando o experimento aleatório é repetido 
muitas vezes (rigorosamente, é o limite da 
frequência relativa de A, quando n → ∞ ).
Abordagem Subjetivista: 
A probabilidade de um evento A é baseada 
em “achismo” ou na opinião de especialistas.
• Eventos Especiais e suas Probabilidades
O espaço amostral S é o evento 
certo, cuja probabilidade é 1 (Axioma 2).
O conjunto ∅ (vazio) é o evento 
impossível, cuja probabilidade é 0.
O evento composto de todos os pontos 
não favoráveis a A é chamado evento 
complementar de A e denotado por Ac. 
Sua probabilidade é: P(Ac) = 1-P(A).
Sejam A e B dois eventos, com interseção 
A∩B. Qual a probabilidade de A∪B? 
(ou seja, de que A ou B ocorram)
P(A∪∪∪∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩∩∩∩B).
pode ser 
ampliada 
para mais 
de 2 
eventos
Lei da Adição 
(Probabilidade do ´OU`)
A Lei da Adição fornece a solução deste 
problema, por meio da seguinte fórmula:
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Exemplo 2.4 - Um aluno estuda para um 
exame por 2 livros. O primeiro aborda 
30% do programa. O segundo, 28%. 24% 
do programa é abordado pelos dois livros.
Qual a probabilidade de que determinado 
tópico do programa esteja em pelo menos 
um dos dois livros utilizados pelo aluno?
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Solução: Seja A = ´tópico estar no 
primeiro livro` e B = ´tópico estar no 
segundo livro`. Pede-se P(A∪B).
São dados no enunciado:
P(A) = 0,30, P(B) = 0,28 
e P(A∩B) = 0,24.
Aplicando a Lei da Adição: 
P(A∪B) = 0,30 + 0,28 – 0,24 = 0,34.
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• Leis de DeMorgan
Ac∩∩∩∩Bc = (A∪∪∪∪B)c
Ac∪∪∪∪Bc = (A∩∩∩∩B)c
Exemplo 2.4 (cont.) - Calcule a 
probabilidade de que o conteúdo não 
esteja em nenhum dos dois livros.
2 eventos A e B são mutuamente 
exclusivos (ou disjuntos) se a ocorrência 
de um impede a ocorrência do outro. Se B 
ocorre, então A não ocorre, e vice-versa.
Em outras palavras, são aqueles que não 
possuem pontos em comum, ou seja: 
A∩∩∩∩B = ∅∅∅∅, o que implica P(A∩∩∩∩B) = 0. 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
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Exemplo 2.5 - Considere o 
lançamento simultâneo de 2 dados. 
Verifique se os pares de eventos 
a seguir são mutuamente exclusivos:
a) A = ´soma das faces igual a 7` e 
B = ´soma das faces igual a 11`. 
b) A = ´soma das faces maior 
que 8` e B = ´ faces iguais`. 
Solução:
a) A = {(3,4),(4,3),(2,5),(5,2),(1,6),(6,1)} 
e B = {(5,6),(6,5)} e A∩B = ∅. Portanto: 
A e B são mutuamente exclusivos.
b) A ={(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4), 
(5,6),(6,5),(5,5),(6,6)}, B = 
{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} 
e A∩B = {(5,5),(6,6)}. Portanto: 
A e B não são mutuamente exclusivos.
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Prova Formal da Lei da Adição:
A idéia é escrever A∪B e B como união 
de 2 eventos mutuamente exclusivos:
(I) A∪B = A∪(B∩Ac). 
Note que: A∩(B∩Ac) = ∅. 
(II) B = (A∩B)∪(B∩Ac). 
Note que: (A∩B)∩(B∩Ac) = ∅. 
Em seguida, é só aplicar o Axioma 3 em 
ambas as equações, e “isolar” P(B∩Ac). 
Exemplo 2.6 - Distribuição por sexo dos 
funcionários promovidosem uma empresa:
Promovidos Não-Promovidos Total
Masc. 46 184 230
Fem. 8 72 80
Total 54 256 310
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Responda as perguntas a seguir.
a) Qual a probabilidade de um funcionário ser 
do sexo masculino e ter sido promovido?
Solução: sejam os eventos: A = ´ter sido 
promovido` e B = ´ser do sexo masculino`.
Diretamente da tabela, temos que 46 
indivíduos satisfazem ambas as condições.
Assim: P(A∩B) = 46/310 = 0,1483.
O que está sendo pedido é a 
probabilidade (condicional) de A 
dado B, denotada por P(A|B).
b) Qual a probabilidade de um funcionário 
do sexo masculino ter sido promovido?
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Obs - Perceba a diferença entre P(A|B) e 
P(A∩B). Esta é uma confusão comum!
Promovidos Não-Promovidos Total
Masc. 46 184 230
Fem. 8 72 80
Total 54 256 310
A idéia é que somente os casos favoráveis 
ao evento condicionante (B = ´ser do sexo 
masculino`) passam a ser os casos possíveis.
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A probabilidade de A dado B 
é, portanto, 46/230 = 0,2. 
Se dividirmos numerador e denominador 
acima pelo total de funcionários (310), 
obtemos P(A|B) em função de P(A∩B) 
e P(B), conforme apresentado a seguir.
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Sejam 2 eventos A e B, 
tais que P(B)>0. 
A probabilidade de A dado B é: 
P(A|B) = P(A∩∩∩∩B)/P(B).
Probabilidade Condicional
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Lima Campos.
R: 2/3.
Exemplo 2.7 - Considere novamente 
o exemplo 2.1, e sejam os eventos:
A: ´Face par` e B: ´Face > 3`. 
a) Calcule P(A|B).
2 eventos são independentes se a 
ocorrência de um não interfere na 
probabilidade de ocorrência do outro.
Ou seja, se: 
P(A|B) = P(A).
Eventos Independentes
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Exemplo 2.7 (cont.) - b) A: ´face par` e 
B: ´face > 3` são eventos independentes? 
R: não, pois P(A|B) ≠ P(A).
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Obs - Não confunda eventos 
independentes com eventos 
mutuamente exclusivos!
Exemplo 2.8 - Em uma classe, os percentuais 
de aprovados em álgebra e literatura são, 
respectivamente, 75% e 84%. 63% são 
aprovados em ambas as disciplinas.
a) Qual a probabilidade de um aluno ter 
passado em álgebra ou em literatura?
b) Se um aluno passou em literatura, qual a 
probabilidade de ter passado em álgebra? 
c) Ter passado em álgebra e ter passado 
em literatura são eventos independentes? 
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Solução: 
Sejam A = ´ter passado em álgebra` 
e B = ´ter passado em literatura`.
a) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 
= 0,75 + 0,84 – 0,63 = 0,96.
b) P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0,75.
c) Sim, pois P(A|B) = P(A) = 0,75.
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Exemplo 2.9 - Seja uma urna com 8 
bolinhas azuis e 4 vermelhas. 2 bolinhas 
são selecionadas ao acaso desta urna. 
a) Qual a probabilidade de que a primeira 
bolinha retirada da urna seja vermelha 
e que a segunda seja azul? 
Seja A = segunda bolinha azul e 
B = primeira bolinha vermelha. 
Queremos P(A∩B).
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Para revolver o problema, basta inverter a 
fórmula da probabilidade condicional para 
obter P(A∩∩∩∩B) como função de P(A|B) e 
P(B).
P(A|B) = P(A∩∩∩∩B)/P(B).
⇓⇓⇓⇓
P(A∩∩∩∩B) = P(A|B)P(B).
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Sejam A e B dois eventos, com P(B)>0. Qual 
a probabilidade de que A e B ocorram (A∩B)?
pode ser ampliada 
para mais de 2 eventos.
Lei da Multiplicação 
(Probabilidade do ´E`)
A Lei da Multiplicação fornece a solução 
deste problema, por meio da fórmula a seguir:
P(A∩∩∩∩B) = P(A|B)P(B)
Solução do exemplo 2.9, item a:
A = segunda bolinha azul e B = primeira 
bolinha vermelha. Do enunciado, temos 
que: P(A|B) = 8/11 e P(B) = 4/12. 
Assim:
P(A∩B) = 8/33.
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Diagrama de Árvore:
B
Bc
A
A
Ac
Ac
P(B)
P(Bc)
P(A|B)
P(Ac|B)
P(A|Bc)
P(Ac|Bc)
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Lima Campos.
• Evento A∩∩∩∩B em um Diagrama de Árvore:
B
Bc
A
A
Ac
Ac
P(B)
P(Bc)
P(A|B)
P(Ac|B)
P(A|Bc)
P(Ac|Bc)
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• Forma-Produto para Independência
Vimos que, pela Lei da Multiplicação: 
P(A∩∩∩∩B) = P(A|B)P(B). 
Por outro lado, vimos que 2 eventos A e B 
são independentes se: P(A|B) = P(A).
Pode-se concluir que A e B são 
independentes se: P(A∩∩∩∩B) = P(A)P(B).
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Exercício 2.1 - Sejam 2 eventos A e B 
tais que P(A) = 0,3 e P(A∪B) = 0,5. 
Determine o valor de P(B) se: 
a) A e B são mutuamente exclusivos.
b) A e B são independentes.
Respostas: a) 0,2. b) 2/7.
Exemplo 2.9 (cont.) 
b) Qual a probabilidade de que a segunda 
bolinha selecionada seja azul? 
Considere novamente:
A = segunda bolinha azul e 
B = primeira bolinha vermelha.
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• Evento A no Diagrama de Árvore
B
Bc
A
A
Ac
Ac
P(B)
P(Bc)
P(A|B)
P(Ac|B)
P(A|Bc)
P(Ac|Bc)
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Sejam A e B dois eventos, em que A 
possa ocorrer condicionado a B ou a Bc. 
A probabilidade “total” do evento A pode 
ser calculada por meio da seguinte fórmula:
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc)
pode ser ampliada para mais de 2 eventos
Lei da Probabilidade Total
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Solução do exemplo 2.9, item b:
Do enunciado, temos que: 
P(A|B) = 8/11, P(B) = 4/12, 
P(A|Bc) = 7/11 e P(Bc) = 8/12. 
Assim:
P(A) = 2/3.
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Exemplo 2.10 - A empresa X lança um 
serviço inédito de envio de mensagens 
pelo celular. Ela calcula que este novo 
serviço gera lucro no primeiro ano com 
probabilidade 0,6, caso o concorrente 
não introduza um serviço semelhante. 
Caso contrário, a probabilidade de lucro 
é 0,3. Suponha ainda que exista 50% de 
chances de que o concorrente introduza 
um serviço semelhante naquele ano.
a) Qual a probabilidade de que o concorrente 
introduza o serviço e que, mesmo assim, ele 
seja lucrativo para a empresa X?
b) Qual a probabilidade de que o serviço 
seja lucrativo para a empresa X?
c) Qual a probabilidade de que o serviço 
seja lucrativo para a empresa X ou o 
concorrente introduza o serviço?
Solução: 
Os eventos de interesse são:
A: ´serviço é lucrativo p/ a empresa X` 
B: ´concorrente introduz serviço semelhante`.
São fornecidas no enunciado 
as seguintes probabilidades:
P(A|B) = 0,3; P(A|Bc) = 0,6 e P(B) = 0,5.
a) Pela Lei da Multiplicação, temos que: 
P(A∩B) = P(A|B)P(B) = 0,3*0,5 = 0,15. 
b) Pela Lei da Probabilidade Total:
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc) 
= 0,3*0,5 + 0,6*0,5 = 0,45.
c) Pela Lei da Adição: 
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
= 0,45 + 0,5 – 0,15 = 0,8. 
Exercício 2.2 - Demonstre que, 
se A e B são independentes, então:
a) A e Bctambém são independentes.
b) Ac e B também são independentes.
c) Ac e Bc também são independentes.
Solução: a) Pela Lei da Probabilidade Total: 
P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bc), logo: P(A∩Bc) 
= P(A) - P(A∩B). Além disto, como A e B 
são independentes: P(A∩B) = P(A)P(B). 
Assim: P(A∩Bc) = P(A) - P(A)P(B)
= P(A)[1 - P(B)] = P(A)P(Bc), C.Q.D..
b) igual à do item a), invertendo A e B.
c) análoga à do item a), porém escrevendo 
a L.P.T. para Ac (ao invés de para A).
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Exemplo 2.11 - 2 máquinas (M1 e M2) são 
usadas para fabricar o mesmo tipo de item. 
Suponha que:
60% dos itens tenham sido fabricados por M1,
40% dos itens tenham sido fabricados por M2,
e que:
1% dos itens fabricados por M1 têm defeito,
2% dos itens fabricados por M2 têm defeito.
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Lima Campos.
Um item é selecionado aleatoriamente.
a) Qual a probabilidade de 
que ele seja defeituoso?
Notas de Aula - Professor Eduardo 
Lima Campos.
Os eventos de interesse são:
Sejam A = ´ser defeituoso` e 
B = ´ter sido produzido por M1`. 
São fornecidas no enunciado 
as seguintes probabilidades:
P(B) = 0,6, P(Bc) = 0,4,
P(A|B) = 0,01 e P(A|Bc) = 0,02.
Notas de Aula - Professor Eduardo 
Lima Campos.
Solução do item a: 
Pede-se P(A)
Aplicando a Lei da Probabilidade Total:
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc) 
= 0,01*0,6 + 0,02*0,4 = 0,014. 
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Lima Campos.
b) Se (= dado que) o item selecionado 
é defeituoso, qual a probabilidade de 
que ele tenha sido produzido por M1? 
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Lima Campos.
Solução do item b: pede-se P(B|A), que 
pode ser obtida da seguinte forma:
P(B|A) = P(A∩∩∩∩B)/P(A) 
= P(A|B)P(B)/P(A)
= 0,01*0,6/0,014 = 0,429.
A fórmula acima, que permite obter P(B|A) a 
partir de P(A|B) é chamada Teorema de Bayes.
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Sejam A e B eventos definidos em S, sendo 
A dependente de B, na sequência: B ⇒ A.
O Teorema de Bayes (p/ 2 eventos) se ocupa 
da sequência reversa: A ⇒ B, fornecendo:
Teorema de Bayes
.)A(P
)B(P)B|A(P)A|B(P =
obtida 
pela Lei da 
Probabilidade 
TotalNotas de Aula - Professor Eduardo 
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Exemplo 2.12 - Um candidato que 
cursou o MFEE tem probabilidade 0,9 
de ser selecionado para uma vaga em 
um cargo gerencial. Caso contrário, 
esta probabilidade é de apenas 0,3. 
70% dos candidatos cursaram o MFEE. 
a) Calcule a probabilidade de que um candidato 
ao acaso seja selecionado para a vaga.
Os eventos de interesse são: 
A = ´ser selecionado` 
B = ´ter cursado o MFEE`.
São fornecidas no enunciado 
as seguintes probabilidades:
P(A|B) = 0,9, P(A|Bc) = 0,3 e P(B) = 0,7.
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Lima Campos.
Solução do Item a: 
Pede-se P(A).
Aplicando a Lei da Probabilidade Total:
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc)
= 0,9*0,7 + 0,3*0,3 = 0,72.
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Exemplo 2.12 (cont.) 
b) Se um candidato foi selecionado 
para a vaga, qual a probabilidade 
de que ele tenha cursado o MFEE?
Solução do Item b: 
Pede-se P(B|A) 
P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A)
= 0,9*0,7/0,72 = 0,875.
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O Teorema de Bayes pode ser ampliado 
para mais de 2 Eventos, fazendo, por 
exemplo: B1, B2 e B3, ao invés de B e Bc.
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• Teorema de Bayes para 3 Eventos
Exemplo 2.13 - Os funcionários de uma 
empresa dividem-se em 3 grupos: economistas, 
engenheiros e analistas de sistemas. Estes 
funcionários podem ocupar cargos técnicos ou 
gerenciais. Sabemos que 20% dos funcionários 
são analistas de sistemas, 30% são engenheiros 
e 50% são economistas. 1% dos analistas 
de sistemas, 2% dos engenheiros e 3% dos 
economistas fazem parte da direção da empresa.
Um funcionário é selecionado aleatoriamente.
a) Qual a probabilidade de que ele 
seja um dos diretores da empresa?
b) Dado que ele é um dos diretores, qual a 
probabilidade de que seja engenheiro? 
Os eventos de interesse são: 
A = ser diretor da empresa
B1 = ser analista
B2 = ser engenheiro
B3 = ser economista.
São fornecidas no enunciado 
as seguintes probabilidades:
P(B1) = 0,2, P(B2) = 0,3, P(B3) = 0,5, 
P(A|B1) = 0,01, P(A|B2) = 0,02, P(A|B3) = 0,03. 
Solução do Item a - Ampliando a Lei 
da Probabilidade Total para 3 eventos:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + 
P(A| B3)P(B3) = 0,01*0,2 + 0,02*0,3 + 
0,03*0,5 = 0,002 + 0,006 + 0,015 = 0,023.
Solução do Item b:
P(B2|A) = P(A|B2)P(B2)/P(A) 
= 0,02*0,3/0,023 = 0,2609.
• Lei da Adição para 3 Eventos
P(A∪∪∪∪B∪∪∪∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩∩∩∩B) 
- P(A∩∩∩∩C) - P(B∩∩∩∩C) + P(A∩∩∩∩B∩∩∩∩C).
• Lei da Multiplicação para 3 Eventos
P(A∩∩∩∩B∩∩∩∩C) = P(A|B∩∩∩∩C)P(B|C)P(C).
• Independência para 3 Eventos
P(A∩∩∩∩B∩∩∩∩C) = P(A)P(B)P(C), 
P(A∩∩∩∩B) = P(A)P(B),
P(A∩∩∩∩C) = P(A)P(C),
e
P(B∩∩∩∩C) = P(B)P(C).
3 eventos A, B e C são 
independentes se, e somente se: