aula_03

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Introduc¸a˜o Leis de Kirchoff Circuitos em Se´rie Circuitos em Paralelo Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
BAC006 - Eletricidade
Universidade Federal de Itajuba´
Campus Itabira
Aula 03
Circuitos em Se´rie e Paralelo CC
Prof. Caio Fernandes de Paula
caiofernandes@unifei.edu.br
2◦ Semestre de 2013
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Introduc¸a˜o Leis de Kirchoff Circuitos em Se´rie Circuitos em Paralelo Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Introduc¸a˜o
Tipos de corrente ele´trica: corrente cont´ınua (CC) e corrente alternada
(CA);
Sentido convencional nas fontes: em circuitos de somente uma fonte,
a corrente entra na fonte pelo terminal negativo e deixa a fonte pelo
terminal positivo - aumento de potencial;
Sentido convencional nas resisteˆncias: a corrente entra na resisteˆncia
pelo terminal positivo e deixa a resisteˆncia pelo terminal negativo -
queda de potencial;
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Introduc¸a˜o Leis de Kirchoff Circuitos em Se´rie Circuitos em Paralelo Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o: Rede
Uma rede e´ uma interconexa˜o de va´rios elementos ou dispositi-
vos.
Definic¸a˜o: Circuito
Um circuito e´ uma rede que proveˆ um ou mais caminhos fecha-
dos.
A convenc¸a˜o, ao tratar de topologia de rede, e´ usar a palavra
rede ao inve´s de circuito, embora no nosso contexto as duas
palavras signifiquem exatamente a mesma coisa;
Na topologia de rede estudamos as propriedades relacionadas
a` colocac¸a˜o de elementos na rede e a configurac¸a˜o geome´trica
da rede. Tais elementos incluem ramos, no´s e lac¸os.
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Introduc¸a˜o Leis de Kirchoff Circuitos em Se´rie Circuitos em Paralelo Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o: Ramo
Um ramo representa um elemento u´nico na rede, como uma fonte de tensa˜o ou um
resistor.
Definic¸a˜o: No´
Um no´ e´ um ponto de conexa˜o entre dois ou mais ramos.
Definic¸a˜o: Lac¸o
Um no´ e´ qualquer caminho fechado em um circuito.
Em outras palavras, um ramo e´ qualquer dispositivo ou elemento de dois
terminais;
Em um circuito, um no´ e´ indicado por um ponto. Se um curto-circuito conecta
dois no´s, enta˜o os dois no´s constituem fisicamente em apenas um no´;
Um lac¸o e´ o caminho fechado iniciando-se em um no´ e passando-se por uma
se´rie de no´s, retornando ao no´ de origem sem passar por qualquer no´
mais de uma vez;
Diz-se que um lac¸o e´ independente se ele contiver pelo menos um ramo que
na˜o fac¸a parte de qualquer outro lac¸o independente.
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Introduc¸a˜o
Equac¸a˜o Fundamental
Dado uma rede com b ramos, n no´s e l lac¸os independentes, o seguinte teorema
fundamental da topologia de rede deve ser satisfeito:
l = b− n+ 1 .
Conforme mostram as duas definic¸o˜es a seguir, a topologia de rede e´ de
grande valia no estudo de tenso˜es e correntes em um circuito ele´trico.
Elementos em Se´rie
Dois ou mais elementos esta˜o em se´rie se eles compartilharem exclusivamente
um u´nico no´ e, consequentemente, transportarem fisicamente a mesma cor-
rente. Duas (ou mais) fontes ideais de corrente nunca podem estar em se´rie!
Elementos em Paralelo
Dois um mais elementos esta˜o em paralelo se eles estiverem conectados aos
mesmos dois no´s e, consequentemente, tiverem a mesma tensa˜o entre eles.
Duas (ou mais) fontes ideais de tensa˜o nunca podem estar em paralelo!
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Leis de Kirchoff
A Lei de Ohm, por si so´, na˜o e´ suficiente para analisar circuitos. No
entanto, quando associada a`s duas leis de Kirchoff, elas formam um
conjunto de ferramentas poderosas na ana´lise de circuitos ele´tricos;
Tais leis sa˜o formalmente conhecidas como Primeira Lei de Kirchoff
(ou Lei dos No´s ou Lei de Kirchoff para as Correntes) e como
Segunda Lei de Kirchoff (ou Lei das Malhas ou Lei de Kirchoff
para as Tenso˜es);
Tais leis nada mais sa˜o que uma reinterpretac¸a˜o de um dos princ´ıpios
mais cla´ssicos da F´ısica: a conservac¸a˜o;
Enquanto que a Lei dos No´s se baseia na conservac¸a˜o da carga, a Lei
das Malhas se baseia na conservac¸a˜o da energia;
As leis de Kirchoff na˜o sa˜o rigorosamente va´lidas em qualquer ocasia˜o
(sa˜o aproximac¸o˜es das Equac¸o˜es de Maxwell para pequenas frequeˆncias).
Neste curso, assumir-se-a´ que as leis de Kirchoff sera˜o sempre va´lidas.
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Leis de Kirchoff
Definic¸a˜o: Lei dos No´s
A soma alge´brica das correntes que entram e saem de um no´, regia˜o ou
sistema, ou seja, um limite fechado, e´ igual a` zero. Matematicamente, temos:
N∑
n=1
In = 0 .
Por convenc¸a˜o, iremos adotar que a corrente que entra em um no´ tem sinal
positivo e a corrente que sai de um no´ tem sinal negativo. Alternativa-
mente, podemos enunciar a Lei dos No´s como: a soma alge´brica das correntes
que entram em um no´, regia˜o ou sistema deve ser igual a` soma alge´brica das
correntes que deixam este no´, regia˜o ou sistema. Matematicamente:∑
Ientram =
∑
Isaem .
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Leis de Kirchoff
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Leis de Kirchoff
Definic¸a˜o: Lei das Malhas
A soma alge´brica das elevac¸o˜es e quedas de potencial em torno de um caminho
fechado (ou lac¸o) e´ zero. Matematicamente, temos:
M∑
m=0
Vm = 0 .
A ana´lise do lac¸o deve ter in´ıcio em um no´, passando por outros no´s e
voltando-se ao no´ de origem, sem passar por qualquer no´ mais de uma vez.
Por convenc¸a˜o, adotaremos o sinal positivo se o ramo for de elevac¸a˜o de
potencial e o sinal negativo se o ramo for de queda de potencial. Al-
ternativamente, podemos enunciar a Lei das Malhas como: a soma alge´brica
das elevac¸o˜es de potencial em um caminho fechado (ou lac¸o) em um determi-
nado sentido e´ igual a` soma alge´brica das quedas de potencial deste mesmo
caminho. Matematicamente:∑
Velevac¸o˜es =
∑
Vquedas .
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Leis de Kirchoff
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Leis de Kirchoff
Observe que uma diferenc¸a de potencial pode existir entre quaisquer dois no´s
do circuito, mesmo que na˜o haja um ou mais elementos conectados entre eles.
+12 [V]− Vx − 8 [V] = 0 −→ Vx = 4 [V] .
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Leis de Kirchoff
O fato de duas fontes de corrente ideais na˜o poderem ser ligadas em
se´rie e´ n´ıtido: isto violaria a Lei de Kirchoff para as correntes. A u´nica
hipo´tese de duas fontes de corrente serem ligadas em se´rie e´ caso elas
sejam absolutamente iguais, o que configura uma hipo´tese irreal´ıstica
em circuitos pra´ticos;
O fato de duas fontes de tensa˜o ideais na˜o poderem ser ligadas em
paralelo tambe´m e´ n´ıtido: isto violaria a Lei de Kirchoff para as tenso˜es.
A u´nica hipo´tese de duas fontes de tensa˜o serem ligadas em paralelo e´
caso elas sejam absolutamente iguais, o que tambe´m configura uma
hipo´tese irreal´ıstica em circuitos pra´ticos;
Nas pro´ximas aulas veremos como utilizar as leis de Kirchoff e a Lei de
Ohm para a resoluc¸a˜o de circuitos ele´tricos mais complexos;
Agora, veremos como os componentes em um circuito ele´trico podem
ser associados: em se´rie, em paralelo e em se´rie-paralelo (mistos).
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Circuitos em Se´rie
Definic¸a˜o: Resistores em Se´rie
Diz-se que dois resistores esta˜o em se´rie se eles compartilharem
exclusivamente um u´nico no´ e, consequentemente, transportarem
a mesma corrente (fisicamente a mesma corrente, na˜o a mesma
corrente em intensidade).
Exemplo de um circuito com resistores em se´rie:
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Circuitos em Se´rie
Exemplo de circuito com nenhum resistor em se´rie:
Exemplo de circuito com dois resistores em se´rie:
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Circuitos em Se´rie
Quando uma fonte e´ conectada ao circuito, ela na˜o “veˆ” as conexo˜es
dos elementos individualmente, mas apenas a resisteˆncia “equivalente”
do circuito, determinada pela lei de Ohm;
Logo, e´ necessa´rio desenvolver uma expressa˜o para calcular a resisteˆncia
equivalente para o circuito se´rie.
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Circuitos em Se´rie
Considere enta˜o o circuito com dois resistores em se´rie e a fonte de tensa˜o E,
dada pela figura abaixo:
Aplicando a Lei das Malhas no circuito, temos:
E − VR1 − VR2 = 0 ;
Utilizando-se a Lei de Ohm para determinar o valor das quedas de tensa˜o VR1
e VR2, temos:
E −R1IS −R2IS = 0 −→ E = (R1 +R2) IS ;
Se a resisteˆncia equivalente e´ a resisteˆncia que a fonte “veˆ” dada pela lei de
Ohm, enta˜o:
E = ReqIS ;
Logo, a resisteˆncia equivalente de um circuito se´rie e´:
Req = R1 +R2 .
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Circuitos em Se´rie
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Circuitos em Se´rie
Num circuito se´rie de N resistores, a resisteˆncia equivalente e´ a soma das
resisteˆncias dos N resistores:
Req = R1 +R2 + . . .+RN =
N∑
n=1
Rn ;
Caso os N resistores sejam iguais com resisteˆncia R, enta˜o a resisteˆncia equi-
valente e´:
Req = NR ;
Em um circuito se´rie, a resisteˆncia equivalente e´ sempre maior que o valor do
maior resistor;
De acordo com a lei de Kirchoff para as tenso˜es, ao se trocar quaisquer resisto-
res de posic¸a˜o no circuito se´rie, a soma alge´brica das tenso˜es na˜o se alteraria.
Logo, a troca de quaisquer resistores no circuito se´rie na˜o altera o valor da
resisteˆncia equivalente. Isto e´ conhecido com intercaˆmbio de elementos em
se´rie;
Num circuito se´rie, a poteˆncia fornecida pela fonte e´ igual a soma da poteˆncia
dissipada em cada um dos resistores:
PS =
N∑
n=1
PRn .
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Circuitos em Se´rie
Para uma conexa˜o de va´rias fontes de tensa˜o em se´rie, podemos utilizar
a lei de Kirchoff para as tenso˜es para determinar a tensa˜o equivalente
entre os terminais do circuito. Veja o exemplo a seguir:
E1 − E2 + E3 − Eeq = 0 −→ Eeq = E1 + E3 − E2 ;
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Circuitos em Se´rie
Exceto em alguns poucos casos, os circuitos ele´tricos e eletroˆnicos sa˜o aterra-
dos por razo˜es de seguranc¸a. Ale´m disso, o terra e´ importante pois fornece
um no´ cujo potencial e´ conhecido, ou seja, 0 [V]:
Na maioria dos casos, as tenso˜es dos no´s no circuito tem como “refereˆncia”
o potencial zero, ou seja, o no´ terra (ground). Neste caso, a tensa˜o aparece
com uma notac¸a˜o de ı´ndice inferior u´nico. Exemplos: Va (tensa˜o do no´ a em
relac¸a˜o ao terra), Vb (tensa˜o do no´ b em relac¸a˜o ao terra), etc;
Quando a tensa˜o na˜o possui o terra como refereˆncia, a tensa˜o aparece com
uma notac¸a˜o de duplo ı´ndice inferior. Exemplo: Vab e´ a tensa˜o do no´ a em
relac¸a˜o ao no´ b. Pela lei de Kirchoff das malhas:
Vab = Va − Vb ;
Quando as fontes de tensa˜o esta˜o ligadas ao terra como refereˆncia, em geral
elas aparecem nos circuitos apenas como um ponto de conexa˜o seguido da
tensa˜o da fonte;
Em geral, os curto-circuitos que ligam os no´s terras tambe´m sa˜o omitidos.
Essas u´ltimas duas representac¸o˜es sa˜o muito utilizadas principalmente em
circuitos eletroˆnicos.
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Circuitos em Se´rie
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Circuitos em Se´rie
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Circuitos em Se´rie
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Circuitos em Se´rie
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Circuitos em Se´rie
Na ana´lise de circuitos, muitas vezes nos deparamos com um circuito
em se´rie e desejamos saber a queda de tensa˜o em algum ramo;
Uma regra pra´tica para se determinar essa queda de tensa˜o sem calcular
a corrente no ramo e´ o que chamamos de regra do divisor de tensa˜o.
Considere o circuito a seguir:
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Circuitos em Se´rie
Ja´ sabemos que a resisteˆncia total RT (ou equivalente) vista pela fonte
E e´ a soma das resisteˆncias R1 e R2:
RT = R1 +R2 ,
e a corrente que circula no ramo e´:
I =
E
RT
;
Entretanto, em um circuito se´rie a corrente que atravessa os ramos deve
ser igual. Logo, pela lei de Ohm:
V1 = R1I = R1
E
RT
= E
R1
R1 +R2
V2 = R2I = R2
E
RT
= E
R2
R1 +R2
;
De maneira geral, podemos escrever da seguinte forma:
Vx = E
Rx
RT
;
Observe que a regra do divisor de tensa˜o fornece a queda de tensa˜o
no ramo, e na˜o a tensa˜o em um dos no´s do ramo!
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Circuitos em Se´rie
Lembrete: Divisor de Tensa˜o
E´ importante lembrar que a regra do divisor de tensa˜o pode ser
aplicada na˜o somente a uma fonte de tensa˜o independente, mas
sim a uma tensa˜o qualquer entre dois no´s.
V2Ω = 6 [V]
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Circuitos em Se´rie
Para um circuito se´rie, sabemos que a resisteˆncia total (ou equivalente)
e´ a soma de todas as resisteˆncias:
RT = R1 +R2 + . . .+RN ,
mas e a condutaˆncia total?
Aplicando a definic¸a˜o de condutaˆncia na equac¸a˜o anterior, vemos que:
1
GT
=
1
G1
+
1
G2
+ . . .+
1
GN
;
Em outras palavras, quanto maior as resisteˆncias e mais resistores em
se´rie tivermos no ramo, menor sera´ a condutaˆncia deste ramo!
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Crcuitos em Paralelo
Definic¸a˜o: Resistores em Paralelo
Diz-se que dois resistores esta˜o em paralelo se eles compartilha-
rem os dois mesmos no´s e, consequentemente, tiverem a mesma
tensa˜o entre eles.
Exemplo de um circuito com resistores em paralelo:
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Crcuitos em Paralelo
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Circuitos em Paralelo
Assimcomo na se´rie, e´ preciso encontrar uma resisteˆncia equivalente
para resistores conectados em paralelo. Considere enta˜o o circuito
abaixo:
De acordo com a lei de Kirchoff para as correntes, temos que:
I = I1 + I2 + . . .+ IN ;
Uma vez que todos os resistores esta˜o em paralelo, todos eles tem a
mesma tensa˜o V . Logo, pela lei de Ohm:
I =
V
R1
+
V
R2
+ . . .+
V
RN
= V
(
1
R1
+
1
R2
+ . . .+
1
RN
)
.
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Circuitos em Paralelo
Sabendo que I/V = 1/Req, finalmente temos que:
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+ . . .+
1
RN
=
N∑
n=1
1
Rn
;
Logo, vemos que em um circuito paralelo, o inverso da resisteˆncia equi-
valente e´ o soma do inverso de cada resisteˆncia;
A resisteˆncia equivalente em paralelo e´ sempre menor que o valor do
menor resistor!;
Em um circuito paralelo, e´ mais intuitivo pensar-se na condutaˆncia,
pois:
Geq = G1 +G2 + . . .+GN =
N∑
n=0
Gn ;
Para o caso especial em que os N resistores sa˜o iguais e possuem valor
R:
Req =
R
N
;
Para o caso especial em que apenas dois resistores esta˜o em paralelo:
Req =
R1R2
R1 +R2
.
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Circuitos em Paralelo
De acordo com a lei de Kirchoff para as correntes, ao se trocar quaisquer
resistores de posic¸a˜o no circuito paralelo, a soma alge´brica das corren-
tes na˜o se alteraria. Logo, a troca de quaisquer resistores no circuito
paralelo tambe´m na˜o afeta a resisteˆncia equivalente. Isto e´ conhecido
como intercaˆmbio de elementos em paralelo;
Considerando-se o circuito abaixo, poder´ıamos resolveˆ-lo de duas for-
mas: aplicando-se a definic¸a˜o de resistores em paralelo aos cinco resis-
tores ou atrave´s de treˆs paralelos equivalentes;
Em um circuito paralelo, a poteˆncia fornecida pela fonte tambe´m e´ igual
a soma das poteˆncias dissipadas em todos os resistores:
PS =
N∑
n=1
PRn .
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Circuitos em Paralelo
Assim como nas fontes de tensa˜o, e´ poss´ıvel conectar va´rias fontes de
corrente de forma a formar uma u´nica fonte. Exemplo:
Pela lei de Kirchoff das correntes:
I1 − I2 + I3 − Ieq = 0 −→ Ieq = I1 + I3 − I2 .
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Circuitos em Paralelo
Em teoria, fontes de tensa˜o nunca poderiam ser colocadas em paralelo.
O u´nico caso poss´ıvel e´ se as fontes possu´ırem exatamente a mesma
tensa˜o. Isso normalmente e´ feito com baterias de forma a aumentar a
especificac¸a˜o ampe´re-horas;
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Circuitos em Paralelo
Quando duas baterias reais sa˜o colocadas em paralelo, a de maior tensa˜o
fornece corrente para a de menor tensa˜o. Isto pode ser feito de forma
intencional e calculada ou de forma acidental, o que geralmente ocasiona
a destruic¸a˜o de ambas as baterias;
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Circuitos em Paralelo
Na ana´lise de circuitos, muitas vezes nos deparamos com um circuito
paralelo e desejamos saber a corrente que flui para um determinado
ramo;
Uma regra pra´tica para se determinar essa corrente sem se calcular a
tensa˜o nos no´s e´ o que chamamos de regra do divisor de corrente.
Considere o circuito a seguir:
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Circuitos em Paralelo
Ja´ sabemos que a resisteˆncia equivalente vista pela corrente I e´ o paralelo de
R1 e R2, ou seja:
RT =
R1R2
R1 +R2
,
e a tensa˜o entre os dois no´s e´ enta˜o:
V = IRT ;
Entretanto, em um circuito paralelo a tensa˜o entre os ramos e´ a mesma. Logo,
pela lei de Ohm:
I1 =
V
R1
=
IRT
R1
= I
R1R2
R1 +R2
1
R1
= I
R2
R1 +R2
I2 =
V
R2
=
IRT
R2
= I
R1R2
R1 +R2
1
R2
= I
R1
R1 +R2
As fo´rmulas anteriores esta˜o limitadas quando o circuito paralelo possui ape-
nas dois resistores.
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Circuitos em Paralelo
A regra do divisor de corrente e´ mais interessante do ponto de vista da con-
dutaˆncia. Considere um circuito paralelo com N resistores (e suas respectivas
condutaˆncias associadas);
A condutaˆncia equivalente GT , vista pela corrente I, e´ a soma das con-
dutaˆncias de cada ramo:
GT = G1 +G2 + . . .+GN ;
Sabendo que I = GTV , pela lei de Ohm:
I1 = V G1 =
I
GT
G1 = I
G1
GT
I2 = V G2 =
I
GT
G2 = I
G2
GT
De maneira geral:
Ix = I
Gx
GT
.
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.1
Para o circuito a seguir:
(a) Determine o nu´mero de ramos e no´s presentes no circuito e identifique-
os;
(b) Determine o nu´mero de lac¸os independentes presentes no circuito;
(c) Identifique quais elementos esta˜o em se´rie e quais esta˜o em paralelo;
Figura : Exerc´ıcio 3.1
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.2
Encontre todas as quantidades desconhecidas no circuito ele´trico da figura a
seguir.
Figura : Exerc´ıcio 3.2
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.3
Para o circuito a seguir:
(a) Determine as tenso˜es de cada no´ em relac¸a˜o ao terra;
(b) Determine a corrente que circula pelo circuito se´rie;
(c) Determine as tenso˜es Vab, Vbc, Vad e Vbd.
Figura : Exerc´ıcio 3.3
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.4
Encontre todas as quantidades desconhecidas no circuito ele´trico da figura a
seguir.
Figura : Exerc´ıcio 3.4
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.5
Determine a corrente indicada no circuito ele´trico da figura a seguir atrave´s
do divisor de corrente de duas maneiras distintas.
Figura : Exerc´ıcio 3.5
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Introduc¸a˜o Leis de Kirchoff Circuitos em Se´rie Circuitos em Paralelo Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Boylestad 12a Edic¸a˜o
Cap´ıtulo 5: Exerc´ıcios 2, 5, 7, 11, 16, 20, 23, 31, 33, 40;
Cap´ıtulo 6: Exerc´ıcios 3, 5, 8, 12, 14, 20, 21, 27, 31, 41;
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	Introdução
	Leis de Kirchoff
	Circuitos em Série
	Circuitos em Paralelo
	Exercícios
	Exercícios Sugeridos