aula_05

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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
BAC006 - Eletricidade
Universidade Federal de Itajuba´
Campus Itabira
Aula 05
Me´todos de Ana´lise de Circuitos em Corrente
Cont´ınua
Prof. Caio Fernandes de Paula
caiofernandes@unifei.edu.br
2◦ Semestre de 2013
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Introduc¸a˜o
Consideramos, ate´ enta˜o, que os circuitos analisados possu´ıam apenas
uma fonte, ou que as diversas fontes poderiam ser associadas de forma a
formar apenas uma fonte equivalente (fontes de tensa˜o em se´rie e fontes
de corrente em paralelo);
No entanto, em geral os circuitos apresentara˜o fontes de tensa˜o e fontes
de corrente associadas das mais diversas maneiras. Neste caso, precisa-
mos desenvolver me´todos para a ana´lise destes circuitos;
Veremos, nesta aula, os principais me´todos de ana´lise de circuitos em
corrente cont´ınua, a saber: ana´lise das correntes nos ramos, me´todo das
malhas e me´todo dos no´s;
Veremos, nas aulas posteriores, alguns teoremas de ana´lise de circuitos
que simplificam, e muito, a resoluc¸a˜o dos problemas;
Ale´m disso, veremos nesta aula, como converter fontes de tensa˜o re-
ais em fontes de corrente reais, e vice-versa, e a conversa˜o entre duas
associac¸o˜es especiais de resisteˆncias: Y-∆.
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Conversa˜o entre Fontes Reais
Uma fonte de tensa˜o real e´ aquela que possui uma resisteˆncia interna em
se´rie Rs com a tensa˜o interna E. Numa fonte de tensa˜o ideal, a resisteˆncia
Rs seria nula (curto-circuito);
Quanto menor for a resisteˆncia Rs, mais a fonte de tensa˜o real se aproxima
da ideal. E, neste caso, mais a tensa˜o terminal VT se aproxima da tensa˜o
interna;
Numa fonte de tensa˜o ideal na˜o ha´ queda de tensa˜o na resisteˆncia interna Rs,
e a tensa˜o terminal e´ igual a` tensa˜o interna;
Outro caso em que a tensa˜o terminal se aproxima da tensa˜o interna e´ quando
a resisteˆncia interna pode ser desprezada em func¸a˜o da resisteˆncia de carga
RL, ou seja, Rs � RL.
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Conversa˜o entre Fontes Reais
Uma fonte de corrente real e´ aquela que possui uma resisteˆncia interna em pa-
ralelo Rp com a corrente interna I. Numa fonte de corrente ideal, a resisteˆncia
Rs seria infinita (circuito-aberto);
Quanto maior for a resisteˆncia Rp, mais a fonte de corrente real se aproxima
da ideal. E, neste caso, mais a corrente terminal IT se aproxima da corrente
interna;
Numa fonte de corrente ideal na˜o ha´ fuga de corrente na resisteˆncia interna
Rp, e a corrente terminal e´ igual a` corrente interna;
Outro caso em que a corrente terminal se aproxima da corrente interna e´
quando a resisteˆncia de carga RL pode ser desprezada em func¸a˜o da resisteˆncia
interna, ou seja, Rp � RL.
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Conversa˜o entre Fontes Reais
Uma fonte de tensa˜o real pode ser convertida em uma fonte de corrente ideal
fazendo-se Rs = Rp = R e I = E/R;
Graficamente, temos:
Da mesma forma, uma fonte de corrente real pode ser convertida em uma
fonte de tensa˜o ideal fazendo-se Rp = Rs = R e E = RI;
Graficamente, temos:
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Conversa˜o entre Fontes Reais
A prova de ambas as converso˜es dependem de conceitos a serem vistos
mais a` frente, o Teorema de The`venin e o Teorema de Norton;
A ana´lise da conversa˜o de fonte de tensa˜o real em fonte de corrente real
indica que uma boa fonte de tensa˜o (baixo Rs) originara´ uma pe´ssima
fonte de corrente (baixo Rp), enquanto que uma pe´ssima fonte de tensa˜o
(alto Rs) originara´ uma boa fonte de corrente (alto Rp);
A ana´lise da conversa˜o de fonte de corrente real em fonte de tensa˜o real
indica que uma boa fonte de corrente (alto Rp) originara´ uma pe´ssima
fonte de corrente (alto Rs), enquanto que uma pe´ssima fonte de corrente
(baixo Rp) originara´ uma boa fonte de tensa˜o (baixo Rs);
Observe que fontes ideais, tanto de tensa˜o quanto de corrente, na˜o
podem ser convertidas uma nas outras!;
A conversa˜o entre fontes reais pode ser empregada sempre que poss´ıvel
e conveniente, e muitas vezes simplifica substancialmente a ana´lise de
circuitos.
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Ana´lise das Correntes nos Ramos
Diversos circuitos apresentam mais de uma fonte e que na˜o podem ser
combinadas ou convertidas em outro tipo de fonte, impossibilitando a
utilizac¸a˜o do me´todo da reduc¸a˜o e retorno, visto na aula anterior;
O me´todo mais geral de ana´lise de circuitos e´ chamado de me´todo da
ana´lise das correntes nos ramos, no qual uma corrente arbitra´ria e´ defi-
nida para cada ramo do circuito, e enta˜o aplicam-se as leis de Kirchoff
para o equacionamento do circuito;
Dado um circuito no qual k correntes de ramos podem ser definidas,
devemos encontrar k equac¸o˜es de forma a formar um sistema linear e
encontrar uma soluc¸a˜o u´nica para o problema;
O nu´mero de equac¸o˜es derivadas da lei de Kirchoff para as tenso˜es esta´
limitada ao nu´mero de lac¸os independentes no circuito, de acordo com
o teorema fundamental da topologia de rede:
l = b− n+ 1
onde l e´ o nu´mero de lac¸os independentes, n e´ o nu´mero de no´s e b o
nu´mero de elementos;
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Ana´lise das Correntes nos Ramos
Aplicando-se enta˜o a lei de Kirchoff para as tenso˜es, restara˜o k − l
equac¸o˜es a serem determinadas, e que devera˜o ser encontradas atrave´s
da lei de Kirchoff para as correntes;
As equac¸o˜es da lei de Kirchoff para as correntes devera˜o ser aplicadas
em geral a no´s que possuem mais de dois elementos a eles conectados;
De posse das k equac¸o˜es que formam o sistema linear, aplica-se um
me´todo qualquer para a resoluc¸a˜o deste sistema, como eliminac¸a˜o de
Gauss, regra de Cramer, etc.
Em geral, a matriz tende a ser esparsa (matriz com muitos elementos
iguais a zero);
Utilizaremos programas computacionais e/ou calculadoras programa´veis
para a resoluc¸a˜o do sistema linear resultante;
Se alguma corrente tiver valor negativo, e as equac¸o˜es estiverem corre-
tas, significa apenas que o sentido da corrente e´ diferente do imaginado
inicialmente, mas na˜o o valor!
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Ana´lise das Correntes nos Ramos
Passos para a aplicac¸a˜o do me´todo da ana´lise das correntes nos ramos:
1 Defina uma corrente de sentido arbitra´rio para cada ramo. Na˜o e´ necessa´rio
atentar para que o sentido da corrente esteja inicialmente correto, pois o
me´todo garante o resultado mesmo que o sentido da corrente seja o oposto do
inicialmente pensado;
2 Com as correntes definidas, indique as polaridades das quedas de tensa˜o nos
resistores do circuito de acordo como sentido da corrente convencio-
nado inicialmente;
3 Em muitos casos, e´ conveniente substituir fontes de corrente real por fontes
de tensa˜o real;
4 Com as correntes e quedas de tensa˜o definidas, aplique a lei de Kirchoff para
as tenso˜es de acordo com o nu´mero de malhas (lac¸os) independentes;
5 Analise os no´s com mais de dois elementos a ele conectados e obtenha as
outras equac¸o˜es necessarias;
6 Monte o ordene o sistema de equac¸o˜es lineares;
7 Resolva o sistemade equac¸o˜es lineares;
8 Com base nas correntes calculadas, e se desejado, calcule as tenso˜es em cada
no´ do circuito.
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Me´todo das Malhas
Conforme vimos no exemplo anterior, um circuito relativamente simples (com
poucas malhas) pode possuir diversos ramos, e cada ramo exige uma corrente
para a aplicac¸a˜o do me´todo de ana´lise das correntes nos ramos;
Como a soluc¸a˜o depende da resoluc¸a˜o de um sistema linear, o qual tem sua
dimensa˜o dada pelo nu´mero de correntes de ramo, a soluc¸a˜o via ana´lise das
correntes nos ramos pode se tornar complicada, exigindo a inversa˜o de uma
matriz muito grande se houver muitos ramos no circuito;
Uma soluc¸a˜o para contornar este problema e´ o me´todo das malhas, que nada
mais e´ que uma extensa˜o do me´todo de ana´lise das correntes das malhas;
No me´todo das malhas, ao inve´s de definir correntes nos ramos, iremos definir
correntes nas malhas;
Uma vez identificada cada malha independente, iremos associar uma corrente
de malha arbitra´ria, em geral no sentido hora´rio, para cada uma e enta˜o
aplicar a lei de Kirchoff para as tenso˜es em cada malha;
Observe que neste caso o nu´mero de correntes a serem calculadas e´ reduzido ao
nu´mero de malhas independentes, diminuindo a ordem do sistema de equac¸o˜es
lineares a ser resolvido;
Podemos subdividir o me´todo das malhas em dois casos: sem fontes de cor-
rente ideais e com fontes de corrente ideais entre duas malhas. Este u´ltimo
podera´ ser resolvido de duas formas. Inicialmente iremos trabalhar com o
primeiro caso.
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Me´todo das Malhas
Quando o circuito possui fontes de corrente reais, as quais podem ser
convertidas em fontes de tensa˜o reais, o procedimento e´ o mesmo,
fazendo-se a conversa˜o devida;
Na realidade, podemos compreender que o me´todo das malhas fornece
uma “reinterpretac¸a˜o (ou generalizac¸a˜o) matricial” da Lei de Ohm, sob
a forma:
R.I = V ,
onde I e´ o vetor das correntes de malha (vetor de sa´ıda), V e´ o vetor das
fontes de tensa˜o na malha (vetor de entrada) e a matriz R e´ conhecida
como matriz de resisteˆncia;
Assumindo sempre que as correntes de malha sa˜o definidas no sentido
hora´rio, a matriz de resisteˆncia R e´ constru´ıda da seguinte forma:
R =

R11 R12 R13 · · · R1N
R21 R22 R23 · · · R2N
R31 R32 R33 · · · R3N
...
...
...
. . .
...
RN1 RN2 RN3 . . . RNN
 ,
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Me´todo das Malhas
Rkk e´ a soma de todas as resisteˆncias presentes na malha k;
Rkj = Rjk e´ o negativo da soma de todas as resisteˆncias comuns a`
malha j e k. Obviamente, j 6= k;
Vk e´ a soma de todas as fontes de tensa˜o independentes presentes na
malha k, com elevac¸a˜o de tensa˜o sendo tratada como positiva;
Ik e´ a corrente da malha k;
Observe que a matriz de resisteˆncia R e´ sempre sime´trica!;
A matriz de resisteˆncia so´ pode ser constru´ıda por inspec¸a˜o se o circuito
na˜o possuir fontes de tensa˜o dependentes ou fontes de corrente ideais
(dependentes ou independentes);
O fato do circuito possuir fontes de tensa˜o dependentes ou fontes de cor-
rente ideais (dependentes ou independentes) na˜o impossibilita a aplicac¸a˜o
do me´todo das malhas - apenas impossibilita a construc¸a˜o da matriz de
resisteˆncia por inspec¸a˜o;
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Introduc¸a˜o Conversa˜o entre Fontes Ana´lise das Correntes Malhas No´s Y-∆ Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Me´todo das Malhas
Para resolver o caso no qual ha´ uma fonte de corrente que pertence a duas
malhas, ha´ duas abordagens:
A primeira, mais simples, consiste em adicionar uma resisteˆncia em
paralelo com a fonte de corrente com valor muito superior a`s demais
resisteˆncias do circuito, de forma que a corrente por ele drenada na˜o
interfira no restante do circuito, e transformar esta fonte de corrente,
agora real, em fonte de tensa˜o e aplicar o me´todo. Observe que esta
abordagem, decorrente da inserc¸a˜o de um elemento na˜o pertencente
ao circuito original, na˜o ira´ fornecer o resultado exato do problema.
Mas, dependendo do valor da resisteˆncia escolhida, pode fornecer um
resultado muito pro´ximo do exato;
O segundo consiste em retirar todo o ramo onde esta´ a fonte de corrente
e tratar a malha que se forma atrave´s da interceptac¸a˜o das outras ma-
lhas como uma so´. Observe que ao se “aglutinar” as malhas para formar
uma so´ ha´ a perda de equac¸o˜es, as quais devera˜o ser buscadas atrave´s
da lei de Kirchoff para as correntes nos no´s onde a fonte de corrente
atua. Esta abordagem e´ conhecida como supermalha (supermesh).
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Me´todo dos No´s
Os dois me´todos de ana´lise de circuitos vistos ate´ enta˜o forneciam as
correntes que circulam no circuito, sejam no ramo ou na malha;
O terceiro me´todo, conhecido como me´todo dos no´s ou ana´lise no-
dal, fornece a tensa˜o nodal, isto e´, a tensa˜o de cada no´ em relac¸a˜o a`
tensa˜o de um no´ de refereˆncia no circuito;
Na maioria absoluta dos casos, utilizaremos como no´ de refereˆncia no
no´ terra (ground), uma vez que o potencial deste no´ e´ conhecido a` priori
(0 [V]);
Inicialmente, vamos considerar que o circuito na˜o possui fontes de tensa˜o
(dependentes ou independentes);
Se o circuito possui n no´s, teremos n − 1 no´s a serem analisados, uma
vez que um dos no´s (o no´ terra) sera´ utilizado como refereˆncia;
Por meio da lei de Kirchoff para as correntes, equacionaremos cada um
dos no´s do circuito, e de acordo com a lei de Ohm teremos a tensa˜o em
cada um deles;
Lembrar sempre que a corrente flui do no´ de maior potencial para o no´
de menor potencial.
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Me´todo dos No´s
Quando o circuito possui fontes de tensa˜o reais, as quais podem ser
convertidas em fontes de corrente reais, o procedimento e´ o mesmo,
fazendo-se a conversa˜o devida;
Assim como no me´todo das malhas, podemos compreender que o me´todo
dos no´s tambe´m fornece uma “reinterpretac¸a˜o (ou generalizac¸a˜o) ma-
tricial” da lei de Ohm, sob a forma:
G.V = I ,
onde V e´ o vetor das tenso˜es nodais (vetor de sa´ıda), I e´ o vetor das
fontes de corrente no circuito e a matriz G e´ conhecida como matriz
de condutaˆncia;
A matriz de condutaˆncia pode ser constru´ıda da seguinte forma:
G =

G11 G12 G13 · · · G1N
G21 G22 G23 · · · G2N
G31 G32 G33 · · · G3N
...
...
...
. . .
...
GN1 GN2 GN3 . . . GNN
 ;
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Me´todo dos No´s
Gkk e´ a soma de todas as condutaˆncias ligadas ao no´ k;
Gkj = Gjk e´ o negativo da soma de todas as condutaˆncias ligadas entre
os no´s j e k. Obviamente, j 6= k;
Ik e´ a soma de todas as fontes de corrente independentes ligadas ao no´
k, com corrente entrando no no´ sendo tratada como positiva;
Vk e´ a tensa˜o do no´ k;
Observe que a matriz de condutaˆncia G e´ sempre sime´trica!;
A matriz de condutaˆncia so´ pode ser constru´ıda por inspec¸a˜o se o cir-
cuito na˜o possuir fontes de corrente dependentes ou fontes de tensa˜o
ideais (dependentes ou independentes);
O fato do circuito possuir fontes de corrente dependentes ou fontes
de tensa˜o ideais (dependentes ou independentes) na˜o impossibilita a
aplicac¸a˜o do me´todo dos no´s - apenas impossibilita a construc¸a˜o da
matriz de condutaˆncia por inspec¸a˜o;
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Me´todo dos No´s
Para resolver o caso no qual ha´ uma fonte de tensa˜o ideal ligada diretamente
entre dois no´s, sendo que um deles na˜o e´ o de refereˆncia, ha´ duas abordagens
para lidar com o problema:
A primeira, mais simples, consiste em adicionar uma resisteˆncia em se´rie
com a fonte de tensa˜o com valor muito inferior a`s demais resisteˆncias do
circuito, de forma que a queda de tensa˜o por esta resisteˆncia na˜o inter-
fira no restante do circuito, e transformar esta fonte de tensa˜o em fonte
de corrente e aplicar o me´todo. Observe que esta abordagem, decorrente
da inserc¸a˜o de um elemento na˜o pertencente ao circuito original, na˜o
ira´ fornecer o resultado exato do problema. Mas, dependendo do valor
da resisteˆncia escolhida, pode fornecer um resultado muito pro´ximo do
exato;
A segunda consiste em curto-circuitar a fonte de tensa˜o e tratar o no´
que se forma atrave´s da unia˜o dos outros no´s como um so´. Observe
que ao se unir os no´s para formar um so´ ha´ a perda de equac¸o˜es, as
quais devera˜o ser buscadas atrave´s da lei de Kirchoff para as tenso˜es
nas malhas onde a fonte de tensa˜o atua. Esta abordagem e´ conhecida
como superno´ (supernode).
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Converso˜es Estrela-Triaˆngulo
Nas aulas anteriores, vimos como duas associac¸o˜es ba´sicas de dois ou
mais resistores se comportam: a associac¸a˜o se´rie e a associac¸a˜o para-
lelo. Um circuito complexo pode ser decomposto em va´rias associac¸o˜es
ba´sicas se´rie e paralelo;
No entanto, existem outras duas formas dos resistores se associarem que
na˜o se encaixam numa associac¸a˜o se´rie nem paralelo: sa˜o as associac¸o˜es
estrela (ou Y ou T) e triaˆngulo (ou ∆ ou pi).
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Converso˜es Estrela-Triaˆngulo
Frequentemente, a conversa˜o de uma associac¸a˜o estrela em triaˆngulo,
ou vice-versa, faz com que o circuito recaia sobre as associac¸o˜es se´rie e
paralelo, simplificando o problema;
Desta forma, e´ necessa´rio desenvolver um me´todo que permita converter
uma associac¸a˜o estrela em triaˆngulo, e vice-versa.
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Converso˜es Estrela-Triaˆngulo
O ponto de partida para o desenvolvimento da expressa˜o de conversa˜o
e´: dado uma associac¸a˜o inicialmente em triaˆngulo, qual deveria ser a
associac¸a˜o estrela equivalente, ou seja, analisando-se a associac¸a˜o pelos
terminais a − c, a resisteˆncia equivalente da associac¸a˜o triaˆngulo deve
ser igual a` associac¸a˜o serie:
Pela figura, claramente podemos ver que:
Ra−c = R1 +R3 =
RB(RA +RC)
RA +RB +RC
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Converso˜es Estrela-Triaˆngulo
Fazendo-se esta mesma ana´lise para as outras duas possibilidades en-
tre os terminais poss´ıveis, e isolando-se os termos, chega-se a seguinte
conclusa˜o:
R1 =
RBRC
RA +RB +RC
R2 =
RARC
RA +RB +RC
R3 =
RARB
RA +RB +RC
;
Caso as treˆs resisteˆncias do triaˆngulo sejam iguais e possuam um valor
R, podemos escrever:
RY =
R
3
De maneira geral, podemos enunciar a conversa˜o triaˆngulo-estrela da
seguinte forma:
Conversa˜o Triaˆngulo-Estrela
Uma resisteˆncia estrela equivalente de uma associac¸a˜o triaˆngulo e´ igual ao
produto das duas resisteˆncias triaˆngulo adjacentes a` resisteˆncia estrela de
interesse dividido pela soma de todas as resisteˆncias do triaˆngulo.
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Converso˜es Estrela-Triaˆngulo
Ao se isolar os termos das equac¸o˜es obtidas anteriormente para fornecer
as resisteˆncias do triaˆngulo, chega-se a:
RA =
R1R2 +R2R3 +R1R3
R1
RB =
R1R2 +R2R3 +R1R3
R2
RC =
R1R2 +R2R3 +R1R3
R3
;
Caso as treˆs resisteˆncias da estrela sejam iguais e possuam um valor R,
podemos escrever:
R∆ = 3R
De maneira geral, podemos enunciar a conversa˜o estrela-triaˆngulo da
seguinte forma:
Conversa˜o Estrela-Triaˆngulo
Uma resisteˆncia triaˆngulo equivalente de uma associac¸a˜o estrela e´ igual a`
soma do produto dois a dois das resisteˆncias estrela dividido pela resisteˆncia
estrela oposta a` resisteˆncia triaˆngulo de interesse.
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Exerc´ıcios
Exemplo 5.1
Aplique o me´todo de ana´lise das correntes nos ramos no circuito
a seguir e determine as correntes em cada ramo e a tensa˜o de
cada no´ do circuito.
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Exerc´ıcios
Exemplo 5.2
Aplique o me´todo das malhas e encontre as correntes de malha e de ramos
do circuito a seguir.
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Exerc´ıcios
Exemplo 5.3
Aplique o me´todo das malhas e encontre as correntes de malha circuito a
seguir. Utilize a abordagem da supermalha.
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Exerc´ıcios
Exemplo 5.4
Aplique o me´todo dos no´s e encontre as tenso˜es nodais do circuito a seguir.
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Exerc´ıcios
Exemplo 5.5
Aplique o me´todo dos no´s e encontre as tenso˜es nodais do circuito a seguir.
Utilize a abordagem do superno´.
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Exerc´ıcios
Exemplo 5.6
Determine a corrente fornecida pela fonte no circuito a seguir.
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Boylestad 12a Edic¸a˜o
Cap´ıtulo 8: Exerc´ıcios 10, 13, 14, 17, 18, 19, 25, 27, 36, 39,
41, 45, 49, 53, 54, 55, 67, 68;
29 / 29
	Introdução
	Conversão entre Fontes
	Análise das Correntes
	Malhas
	Nós
	Y-
	Exercícios