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Prof: Jorge Bitencourt email: jorge.rocha@estacio.br Plano de Ensino: 1 - Objetivo - equações diferenciais de primeira e segunda ordem; - Soluções de equações diferenciais de primeira e segunda ordem; - Transformada de Laplace - Transformada inversa de Laplace - Séries de Fourrier 2 - Ementa 3 - Metodologia AV1: Teste + AE (Ativ Estruturada) AV2: Prova Unificada AV3: Prova Unificada 4 - Avaliação: - material didático - Zill & Cullen - equações diferenciais - Boyce e Diprima - Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno - Bronson - Moderna introdução às equações diferenciais - Spigel - Transformada de Laplace 5 - Referências bibliográficas: 2T 2C - atividades estruturadas + lista de exercícios CCE0116 - Calc III quarta-feira, 31 de julho de 2013 20:34 Página 1 de Calc III O que vem a ser uma equação diferencial? MRU: t dt dx xx vtxxvtSS += +=⇔+= 0 00 fxkam =+ .. = dt dx dt d dt dv )()()( 2 tftkx dt txd m =+ fkx dt xd m =+2 2 xey dx dy dx yd =++ 322 2 EDO EDO EDO x - variável dependente t - variável independente Massa - Mola K M f X f = fm + fk x - variável dependente f - variável independente Tipo• Linearidade• Ordem• EDO - equações diferenciais ordinárias (uma única variável independente)○ EDP - Equações diferenciais parciais (duas ou mais variáveis independentes)○ Exemplos:○ x v y u x t v x u x dx dv dx du y dx dy ∂ ∂ −=∂ ∂ =∂ ∂ −∂ ∂ =− =− 15 EDO EDO EDP 1) 2) 3) 4) 0 53 45 04 2 4 4 4 2 3 73 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ =+ + =++ = ∂ ∂ − ∂ ∂ f u x u a xy dx dyy dx yd ey dx dy dx yd x y x y x 5) 6) 7) 8) EDP EDP EDP EDO EDO Equações Diferenciais quarta-feira, 31 de julho de 2013 21:20 Página 2 de Calc III Equações Diferenciais (EDO) Uma ED é classificada como LINEAR quando pode ser escrita na forma: )()()(...)()( 11 1 1 xfyxadx dy xa dx yd xa dx yd xa nn n nn n n =++++ − − − As EDL's são caracterizadas por: 1- A variável dependente e suas derivadas estarem elevadas a grau um. 2- Os coeficientes dependem apenas da variável independente. Exemplos: OBS: 4 )4( )()( 3 3 .... 2 2 .. )( )( )( )( yy yty dt yd yty dt yd yty dt yd yty dt dy nn n n ≠ == == == == ∴∴ variável dependente variável independente xyyy =+ ... 2)1 a2(y) = y (BAD) / a1(x) = 2 / a0(x) = 0 / f(x) = x Não é linear xyyxyx cos54)1)(2 ... =+−− a2(x) = (1 - x) / a1(x) = -4x / a0(x) = 5 / f(x) = cos(x) EDL - 2a ordem 0)(2)3 4 . =+− ∴ yyyx 3a ordem Não é linear 034)4 ... 2 )4( 3 =−+− yyxyxyx a4(x) = x3 / a3(x) = 0 / a2(x) = -x2 / a1(x) = 4x / a0(x) = -3 / f(x) = 0 EDL - 4a ordem 0)5 2 .. 2 .. =+⇔−= −kRR R kR 2a ordem Não é linear a1(x) = x2 / a0(x) = (1 - x) / f(x) = xex EDL - 1a ordem xx x xeyx dx dy xxexyy dx dy x dxdxxexyydyx =−+⇒=−−+ ÷=−−+ )1(0)( )(0)()6 22 2 Linearidade quarta-feira, 7 de agosto de 2013 21:00 Página 3 de Calc III Objetivo: Encontrar soluções (funções) que satisfaçam as EDO's dadas: OBS: A função f tem que ser definida no intervalo I. contínua, sem ponto de singularidade ..SP∃ Exemplo: 16 4xy = 2 1 xy dx dy = é solução de ? x y RxI );,( +∞−∞∈⇒ x y +∞∈ −∞∈ =⇒= ),0( )0,(1 x x I x y 4444164 416 4 16 33232 1 43 2 1 . 33 . 4 xxx x xx x x xyy xxyxy =⇒ =⇒ =⇒= ==→= é solução! x xey = é solução de 02 ... =+− yyy ? 00022220)2(2)2( 2 .. . =⇒=−−+⇒=++−+ +=++= += xxxxxxxxx xxxxx xx xeexeexexeexee xeexeeey xeey é solução! y(x0) y(x0) y(x0) . PVI y(x0) y(x0) PVC .. y(x0) x0 ≠ x1 y(x1) Número de Soluções: Uma dada ED, geralmente, possui um número infinito de soluções. neste caso dizemos que uma solução, ou seja, uma função que satisfaz a ED é um membro da família de soluções. Exemplo: 1+= x Cy é uma solução da EDL 1 . =+ yyx ? 111111)( 1 1112 2 . 1 =⇒=++−⇒=++− −=⇒+= −−−− −− CxCxCxCxx CxyCxy ),0(: ∞∈xI x y 1 C = -1 (C < 0) C = 0 C > 0 Objetivo segunda-feira, 5 de agosto de 2013 21:00 Página 4 de Calc III Uma solução y = f(x)para uma EDO é dita ser uma solução explícita. Dizemos que uma relação G(x,y) = 0 é uma solução implícita de uma EDO, em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I. - x y +k-k 222 Ryx =+ kykI kxkI y x <<− <<− : : 0),( 222 =−+= RyxyxG 22 22 yRx xRy −= −= Exemplo: 04),( 22 =−+= yxyxG 22: <<− xI Se G(x,y) é solução de y x dx dy −= ? dx yxdG ),( ( ) 0422 dx dyx dx d =−+ 0)4()()( 22 = − ++ dx d dx yd dx xd y x dx dy x dx dyyx dx dyy dx dyyx −=⇒−=⇒−=⇒=+ 22022 c xy xdxydy +−=⇒−= ∫∫ 22 22 ( ) CC Cyxcxy 2 22 1 1 22 22 = =+→=+ => ydy = -xdx Soluções Implícitas e Explícitas segunda-feira, 5 de agosto de 2013 21:30 Página 5 de Calc III Representa-se a estrutura, comportamento e/ou desempenho de sistemas através de modelos matemáticos. No domínio do tempo é comum representar a dinâmica de um sistema através de uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Exemplos: S0 S V0 g dt tsd −=2 2 )( Corpo em queda livre: x = 0 K K K M M x(t) < 0 x(t) > 0 Sistema massa-mola: 0 )()(2 2 =+ −= −= Kxxm tKx dt txd m Kxma && Lei de resfriamento de Newton T 0T )( 0TTkdt dT −= OBS: resistência do ar desprezível 0mgSEp = 2 2 1 mvEc = 00 <→> kTT 00 >→< kTT Problema de valor inicial (PVI): Resolver uma ED de 1a ordem, ẏ = f(x,y), sujeita a condição inicial y(x0) = y0, em que x0 é um valor no intervalo I é um PVI. x y y0 x0 • (x0,y0) Exemplo: y = Cex é uma família de soluções de ẏ = y, sendo o intervalo I(-∞,∞) x y x0 (0,1) (0,-2) C > 0 C < 0 C = 0 → y = 0 C = 1 → y = ex C = -2 → y = -2ex xx CeyCey =→= & ∞ ∞− = e e 1 xx CeCe = y(2) = 1 y(-2) = -3 y(0) = 0 2 2 2 11 −==⇒=→= e e CCeCey x ( ) 22 −− == xx eeey 2 2 2 333 e e CCeCey x −=−=⇒=−→= − − ( ) 22 33 +−=−= xx eeey 00 0 =⇒=→= CCeCey x Obtendo a função: Modelos Matemáticos quarta-feira, 14 de agosto de 2013 19:00 Página 6 de Calc III Existência e unicidade da solução que passa por (x0,y0). Seja R uma região no plano xy, definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que contém em seu interior o ponto (x0,y0), Se f(x) e são contínuas em R, então existe uma única y = f(x) solução do PVI. x f ∂ ∂ x y y0 x0 b d c a • (x0,y0) região R Representação de uma ED: Forma normal: ẏ = H(x,y). Exemplos: 03)(3)()( 3)3 2 2 2 242)2 )1 243243 43 2 =−+⇒=+⇒ + = +−=⇒=+⇒=+ += yxyyxyxyyx yx yxy eyyeyyeyy senxyy xx x &&& &&& & a1(x,y) ≠ a1(x) EDL 1a ordem Forma diferencial: ),( ),(),( yxN yxMyxHy − ==& 0),(),( ),(),(),( ),( =+−=⇒ − = dyyxNdxyxM dyyxNdxyxM yxN yxM dx dy yN xM exemplos: 0)()( =−+⇒=+⇒+= dydxsenxydydxsenxysenxy dx dy M(x,y) N(x,y) 0 2 202)4(2)4( 2 442 =− +−⇒=−+−⇒=+−⇒ +− =⇒=+ dydxeydydxeydydxeyey dx dy ey dx dy xxxxx 0)()3()()3()( 3 432432 43 2 =+−⇒+=⇒ + = dyyxdxyxdyyxdxyx yx yx dx dy ADROG r Forma padrão: EDL 1a ordem )()()( 01 xgyxadx dy xa =+ )()( 1 )( )( 11 0 xg xa y xa xa dx dy =+ )(1 xa÷ )()( xfyxP dx dy =+ = = )()( 1)( )( )()( 1 1 0 xg xa xf xa xa xP Exemplo: 2 242 x x ey dx dy ey dx dy =+⇒=+ = = 2 )( 2)( x e xf xP Teorema de Picard quarta-feira, 14 de agosto de 2013 20:00 Página 7 de Calc III Professor: Marival Apresentação: Professor Marival1. Plano de Ensino2. Avaliações3. Boyce, William E, Diprima, Richard C. - Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, Ed. LTC 2006 a. Edwards C. H, Penney, David E. - Equações diferenciais Elementares - Pearson 2006.b. Material Didáticoc. Bibliografia4. Condução das Aulas5. Introdução às equações diferenciais: 1) Definição: Tratam-se de equações envolvendo uma função incógnita e suas derivadas, além de variáveis independentes. Exemplos: 02 2 =+ θθ sen l g dt d Na equação, a incógnita é a função θ(t). Assim, θ é a variável dependente e t é a variável independente. Nesta equação a incógnita é a função u(x,y). Assim, u é a variável dependente e x y as variáveis independentes.02 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u 2) Motivação para estudo: As equações diferenciais estão presentes na formulação dos modelos representativos de fenômenos físicos, por exemplo. 3) O que se deseja com as equações diferenciais: Encontrar uma função incógnita que satisfaça a equação diferencial. 4) Exemplos de equações diferenciais em fenômenos físicos. θ ℓ θsengm .. gmP .= θsengm .. 02 2 =+ θθ seng dt d l Pêndulo Simples Potencial em uma região plana: 02 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u O potencial elétrico em cada região do plano satisfaz a equação diferencial. Lembrando que u é a variável dependente de x e y, que são as variáveis independentes. Mudança de Professor quarta-feira, 28 de agosto de 2013 08:51 Página 8 de Calc III 3) Circuito RC (resistor - capacitor) V(t) resistor capacitor )(1 tvQ Cdt dQR =+ A incógnita é a função Q(t). Assim Q(t) é a variável dependente e t a variável independente. 4) Classificação 4.1 - Quanto ao tipo de equação diferencial, ela pode ser ordinária ou parcial. Ela é ordinária se as funções incógnitas forem somente uma variável. Caso contrário, ela é parcial. 4.2 - Quanto a ordem, ela pode ser de 1a, 2a, ... ou de enésima ordem, dependendo da derivada de maior ordem. 4.3 - Quanto a linearidade: Uma equação diferencial pode ser linear ou não linear. Ela é linear se as incógnitas e suas derivadas aparecem de forma linear na equação, isto é, as incógnitas e suas derivadas aparecem em uma soma em que cada parcela é um produto de alguma derivada com uma função que não depende das incógnitas. )()()()()( 2 2 210 tfdt yd ta dt yd ta dt dy tayta n n n =++++ K Exemplos de equações diferenciais quarta-feira, 28 de agosto de 2013 09:25 Página 9 de Calc III 1.1 - Representações: Simbolicamente pode ser escrita como: ( ) 0,,'',',, )( =nyyyyxF K ou 0,,,,, 22 = n n dx yd dx yd dx dyyxF K Se a função incógnita depende apenas de uma variável, temos uma equação diferencial ordinária. Se depender de mais de uma variável, tem-se uma equação diferencial parcial. 1.2 - Exemplos: 1.2.1) Ordinária: 032 4 2 2 3 3 2 =+ −+ dx dy dx ydy dx yd x 1.2.2) Parcial: ,02 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ t u x u onde u = (x,t) 1.3 - Classificação 1.3.1) A ordem de uma equação diferencial é o número que corresponde à ordem máxima das derivadas da equação. 1.3.2) O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem. 07) 3 2 2 = +− dx dy dx dy dx yd a Eq. diferencial de 2a ordem, 1o grau 03) 2 =+− y dx dy dx dyb Eq. diferencial de 1a ordem, 2o grau 2) Verificação da solução de uma equação diferencial: Uma solução de uma equação diferencial é uma função y = f(x) a qual, justamente com as derivadas, satisfaz a equação diferencial dada. Exemplo: Verificar se y = 4e-x+5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e 1o grau. xx e dx yd e dx dy dx dy dx yd −− =−==+ 4e4;0 2 2 2 2 substituindo ⇒==−+ −− 00;0)4(4 xx ee é solução Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial de 1a ordem representa uma família de curvas conhecidas como curvas-solução, uma para cada valor constante arbitrária. Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma condição inicial é uma condição que especifica o valor de y, y0 correspondente a x,x0. Essa solução é conhecida como problema de valor inicial (PVI). x z y z = f(x,y) (x,y) Equações Diferenciais quarta-feira, 4 de setembro de 2013 21:00 Página 10 de Calc III 02 32 2 32 3 =+− dy yx yxdx yx xy 3) Método de Separação de variáveis para resolver equações diferenciais de 1a ordem. Uma equação diferencial de 1a ordem é uma relação envolvendo a primeira derivada. Então pode ser escrita da forma: 0),(),( =+ dx dyyxNyxM ou multiplicando por dx : 0),(),( =+ dyyxNdxyxM onde M(x,y) e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y. 3.1) Separação de variáveis: cdyyNdxxMb dyyNdxxMdyyNdxxMa +−= −==+ ∫∫ )()() )()(ou0)()() 3.2) Exemplo: Reescreva a equação diferencial de 1o grau x2yy' - 2xy3 = 0 na forma da letra a do item 3.1: dxxydx dx dyyx xy dx dyyxxyyyx 32 3232 2 0202' − =−⇒=− (multiplicando por dx ) multiplicando cada membro por Então e 32 1 yx 012 2 =+− dyyx dx x xM 2)( −= 2 1)( y yN = 3.3) Exemplo: Determinar a solução geral da equação diferencial 1 ' 2 + = x yy 111 222 + =⇒ + =⇒ + = x dx y dydx x ydy x y dx dy multiplicou por dx multiplicou por 1/y cxarctgy x dx y dy +=⇒ + = ∫∫ ln12 cxarctgcxarctgccxarctg eeeekeky +=== ++ :,.xe yx y e = =log 3.1) Resolver a equação diferencial (1a lista de exercícios): 02 =− dxyxdy 21 xy × 00 22 2 2 =−⇒=− x dx y dy xy dxy xy xdy cx y cx yx dxdyy −=−⇒=+−−⇒=− ∫∫ − ln10ln102 cyxycyxy y x =+⇒+−= ln1ln y yyy 1 112 1 112 −=−= − = +− − −+− ₓ(-y) y Equações Diferenciais quarta-feira, 4 de setembro de 2013 11:58 Página 11 de Calc III 1) Resolva a equação diferencial homogênea x y vxdvvdxdyxvy x yxy =+==+= ;;.; 2 ' 0)(2))((02)(2)( 2 =+−+⇒=−+⇒=+⇒ + = xdvvdxxdxvxxxdydxyxxdydxyx x yx dx dy )(02)1(02022 2222 xdvxdxvxdvxvxdxxdxdvxvxdxvxdxxdx ÷=−−⇒=−−⇒=−−+ )1(02)1(2)1( 2 2 2 vdvx dxv x dvx x dxvx −÷=− − ⇒− − 0)1( 20)1( 2 )1( )1( = − −⇒= − − − − ∫∫ v dv x dx v dv vx dxv c x y xcvx =−−⇒=−− 1ln2ln|1|ln2ln 2 22 22 )(ln )(lnlnlnlnln2ln x yx x c x yx xc x yx xc x yx x − ⇒= − −⇒= − −⇒= − − 2222 3 2 2 2 2 )( 1ln)(ln)(ln)(.ln)(ln yxxyxx x yx xyx x x x yx x − = − → − = − = − resultado duvidoso xyxcx yxx ec yxx c yxx c e 2 222 )()( 1 )( 1log)( 1ln −=⇒ − =⇒= − ⇒= − Equações diferenciais exatas: 1) Definição: Uma equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy é uma diferencial exata em uma região do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x,y). Uma equação diferencial da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é chamada de uma equação exata se existir uma função f(x,y) com derivadas parciais contínuas tais que fx(x,y) = M(x,y) e fy(x,y) = N(x,y). 2) Critério para uma diferencial exata: Sejam M(x,y) e N(x,y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região R definida a < x < b, c < y < d. Então a condição necessária e suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy seja exata é: x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ pág 15, mat did2 2a Lista de Exercícios quarta-feira, 18 de setembro de 2013 21:00 Página 12 de Calc III cont. Dada a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 1º) Mostrar que x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ 2º) Suponha que ∫ +=⇒=∂ ∂ )(),(),(),( ygdxyxMyxfyxM x f 3º) 4º) ),()('),(),( yxNygdxyxM yy fyxN y f =+ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ ∫ ∫∂ ∂ −= dxyxM y yxNyg ),(),()(' 3) Exemplo: 3ª lista, 1º exercício: →−= ∂ ∂ −= ∂ ∂ =−+− 3;3;0)32()32( x N y Mdyxydxyx EXATA cxhxyyyxfxhdyxyyxfxy y f ++−=⇒+−=⇒−=∂ ∂ ∫ )(32 2),()()32(),(32 2 yxcxhyxy xx f 32))(3( 2 −=++− ∂ ∂ = ∂ ∂ cxxhyxcxhy +=⇒−=++− 2)('32)('3 cyyxxyxfxxh ++−== 222 3),(;)( ),( yxM x f = ∂ ∂ ),( yxN y f = ∂ ∂ Equações diferenciais exatas quarta-feira, 18 de setembro de 2013 21:30 Página 13 de Calc III a) xy dx dy x dx yd x ln22 2 2 =+− 2 1)( x xy −= 3 2)(' x xy = 4 6)(" x xy −= 2222342 234 2 26).2().6(126 xxxxxxxx xx x x x −−−⇒−−−⇒− − − −−−− x xx ln29126 22 ≠ − = −−− b) Não é solução. tety dt dy dt yd 32 2 2 .96 =+− tetty 3 4 .2 12 )( += 3 .6 4 )(' 33 3 4 t t et e t ty + += ttt etete t ty 33323 4 2.18 4 3)(" ++ += ++ + +− ++ + t t tttt e tet e t etete t 3 433 3 4 33323 4 .2 12 9 3 .6 4 62.18 4 3 ++ ++− +++ ttttttttt ee t e t ee t etetee t 33 4 3 3 33 4 333233 4 2 12 9 3 6 4 6218 4 3 ttt e t e tt ett t 3 4 3 34 332 4 18 12 9 3 636 4 6218 4 3 ++ ++− +++ tt e t tt ttt e ttt tt t 3 3 32 444 3 434 32 4 3 62 4 3 4 6 4 318 12 9 3 636 4 6218 4 3 −+++−= ++−−−+++ é solução[ ] [ ] tt etettt 323332 22 =−+ Atividade Estruturada 01 Página 14 de Calc III a) 0)( 22 =−+ dyxdxyxy x y vxdvvdxdyxvy =+== //. 0)())().(( 22 =+−+ xdvvdxxdxvxxvx 0)(0)().( 2232222 =−−+⇒÷=−−+ xdvvdxdxvvdxxdvxdxvxdxxvdxxv c v x v dv x dx v dv x dx xdvdxvxdvdxv =+⇒=⇒=⇒=⇒=− ∫∫ 1)ln(0 2222 c y x x =+)ln( b) x xyy dx dy )1ln(ln +− = x y vxdvvdxdyxvy =+== //. 0)1ln(ln)1ln(ln =−+−⇒+−= xdydxxyydxxyyxdy )()ln(.)ln(.0)()1ln)(ln( 2 vxdxdvxvxdxvxdxdxxvxdxvxvxxdvvdxxdxxvxvx ÷−−+−⇒=+−+− vv dv x dx vdx xdv v vdx xdv x vx vdx xdv xvx vxdx dvx xvx ln ln0ln0)ln()ln(0)ln()ln( 2 =⇒=⇒=− ⇒=−−⇒=−− c x y x cvx vv dv x dx = ⇒=−⇒= ∫∫ ln ln)ln(lnln ln Atividade Estruturada 04 Página 15 de Calc III a) 0)146()524( =−++−+ dyxydxxy 1)0( −=y verificação: EXATA cxgyxyyxgdyxyyxfxy y f ++−+=+−+=⇒−+= ∂ ∂ ∫ )(42 6)(146),()146( 2 cxgyxyyyxf ++−+= )(43),( 2 cxxdxxxgcyxyxg +−=−=⇒+−−+= ∫ 552)(4524)(' 2 413 )0(5)0()1()1)(0(4)1(3)1,0(543),( 2222 =+= =−+−−−+−=−⇒+−+−+= c cfcxxyxyyyxf b) 0)1(2 2 =−+ dyxxydx 1)2( =y verificação: EXATA cxgyyxxgdyxyxfx y f ++−⇒+−=⇒−= ∂ ∂ ∫ )(')(1),()1( 222 cxgxgxycxgxyxy x cxgyyx x f ==⇒=++⇒=∂ ++−∂ =∂ ∂ )(,0)('2)('22))('( 2 3)1()1()2()1,2(),( 22 =⇒−=⇒+−= cfcyyxyxf M N M N →= ∂ ∂ ↔= ∂ ∂ x y N x y M 22 →= ∂ ∂ ↔= ∂ ∂ 44 y N y M 524)('4524))(43( 2 −+=++⇒−+⇒∂ ++−+∂ =∂ ∂ xycxgyxy x cxgyxyy x f Atividade Estruturada 05 Página 16 de Calc III a) cvvxxxvxvxxv xvx xvdxvxvdvdxvxvdv v v dx dv x +=⇒=⇒÷=⇒−= −=⇒−=⇒−= − = ∫∫ 11 2211)(211823 4 2 3)41(3)41(3 3 41 2222 2 2 22 2 b) 1)1ln(1)3cos( 1ln)01(3)0( |sec|ln)1()1()1( 3)0( )1( 2 222 2 =+= +=⇒= ++=⇒+=⇒+= = += ∫∫ cy cxyytgxdxydytgxdxydy y tgxy dx dy Atividade Estruturada 03 quarta-feira, 2 de outubro de 2013 17:07 Página 17 de Calc III 2a lista de exercício - Errata das respostas: xcyouxky cyxoukyx cyxxyxcx 33)3 22)2 )(1)()1 22 −=−= =+=+ =−⇒=− 3a lista de exercícios: { ),();,( 3 )( )( 3 )()(),( !2;2 311)3(;02)()8 2 3 22 2 3 2222 22 yxN y fyxM x f cxyxdxyx cygxyxygdxyxyxfyx x f ExataEquaçãoy x Ny y M xeyydyxydxyx NM = ∂ ∂ = ∂ ∂ ++=+ +++⇒++=⇒+= ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ = ∂ ∂ ==⇒==++ ∫ ∫ 43421 Portanto: 12 3 ),( 12)1).(3( 3 )3(31/; 3 ),( )(0)('2)('22 )( 3 2 3 2 3 2 3 2 3 ++= =⇒=+⇒==++= =⇒=⇒=+⇒= ∂ +++∂ = ∂ ∂ xyxyxf ccxeypcxyxyxf cygygxyygyxxy y cygxyx y f 2a lista de exercício 2) ;)(2' yx yy + = x y vvdyydvdxvyx =+== ;;. )2(;0)2(02 )1(;02022 0).(2)(0)(2)(2)(2 22 22 vdvydyvydvyyvdyydy ydyyvdydvyydyyvdyvydydvy dyyvyvdyydvydyyxydxdyyxydx yx y dx dy +÷=−+⇒=−+ −×=−−⇒=−−+ =+−+⇒=+−⇒+=⇒ + = 0)2()(;0)2(0)2()2( )2( 2 2 2 2 22 = + −⇒÷= + −⇒= + − + + vy dvy y ydyy v dvyydy v dvy v dyvy c y yxyc y y xycvy v dv y dy = + −⇒=+−⇒=+−⇒= + − ∫∫ 2lnln1 2lnln|2|lnln0)2( 2 22 )2( 22 ln. 2 ln 2 ln yyxc yx y ec yx yycy yx yyc y yx y c =+⇒ + =⇒= + ⇒= + ⇒= + Errata lista de exercícios quarta-feira, 25 de setembro de 2013 20:30 Página 18 de Calc III 1a lista de exercícios: 3.6) dxxydyx x xy dx dy )()3(; 3 2 2 =++ = 0)3(0)3(03 )(0 3 )( 3 )3( 22222 2 = + −⇒= + −⇒= + −⇒= + − + + ∫∫ x xdx y dy xy xydx y dy x dxxydy x dxxy x dyx )3( 2 +÷x )( y÷ 2 1 2 2 1 22 1 2 2 )3( )3()3( ln3ln 2 1ln +=⇒ + =⇒= + ⇒=+− xcy x y ec x y cxy c a b c ou k =− b aba lnlnln Exercícios quarta-feira, 25 de setembro de 2013 21:00 Página 19 de Calc III Equação diferencial de 2a ordem com coeficientes constantes: 1) Definição: a) Equação Diferencial Homogênea são equações da forma: ay" + by' + cy = 0 b) Equação diferencial não homogênea são equaçõesda forma : ay" + by' + cy = f(x), onde a, b e c são constantes reais. 2) Exemplos: a) Homogênea: 2y" + 3y' - 5y = 0 b) Não homogênea: x³y''' - 2xy" + 5y' + 6y = ex OBS: A busca da solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) de 2a ordem envolve a determinação da solução geral homogênea (H) e uma solução particular da não homogênea (NH). 3) Solução geral da EDO Homogênea: (*) y" - y' = 0; a = 1, b = 0 e c = -1 y" = y ⟹ y1(x) = ex e y2(x) = e-x As equações 2ex e 5e-x também satisfazem a equação (*) por meio dos cálculos das derivadas assim, c1y1(x) = C1ex e c2y2(x) = C2ex também satisfazem a equação diferencial (*) para todos os valores das constantes C1 e C2. Então podemos escrever a solução geral: xx eCeCxyCxyCy 212211 )()( +=+= (**) y' = C1ex - C2e-x e y" = C1ex + C2e-x que é (*); esta equação constitui uma família de soluções. 3.1) Condições Iniciais: C1 + C2 = 2; Derivando (**) y' = C1ex - C2e-x ; substituindo: x = 0 e y = 1 y(0) = 2 e y'(0) = -1, fazendo x = 0 e y = 2 xx eey CeCCC −+= ==−=− 2 3 2 1 2 3 2 1;1 2121 (ar2 + bx + c) = 0, então ar2 + bx + c = 0, que é chamada equação característica. 4) Retornando a equação mais geral (H): ay" + by' + cy = 0, que tem coeficientes constantes reais, vamos supor que y = erx onde"r" é um parâmetro a ser determinado. Então y' = r.erx e y" = r2.erx. Levando as expressões de y, y' e y" para a equação (***) temos: 5) Solução geral de uma equação linear homogênea com base na equação característica: a) Raízes reais e distintas se r1 ≠ r2,então a solução é: xrxr eCeCy 21 21 += b) Raízes reais iguais: se r1 = r2, então: rxrxrx exCCxeCeCy )( 2121 +=+= c) Raízes Complexas, se r1 = α + βi e r2 = α - βi: xseneCxeCy xx ββ αα 21 cos += ED 2a ordem quarta-feira, 16 de outubro de 2013 20:30 Página 20 de Calc III 5.1) Exemplo com duas raízes reais distintas: 3)0('2)0(;06'5" ===++ yeyyyy 32;065 212 −=−==++ rerrr então: xx eCeCy 32 2 1 −− += para y = 2 e x = 0, temos C1 + C2 = 2. Como y' = 3 quando x = 0, xx eCeCy 32 2 1 32' −− −−= então: 21 323 CC −−= Logo: xx eey C C CC CC 32 2 1 21 21 79 7 9 332 2 −− −=⇒ −= = ⇒ =−− =+ 5.2) Exemplo com raízes reais e iguais: 1)0('2)0(;04'4" ===++ yeyyyy Eq. característica: 0442 =++ xr xx xeCeCyrr 22 2 121 .2 −− +=⇒−== como y = 2 e x = 0, temos C1 = 2 e y' = 1, quando x = 0; ( )xxx exeCeCy 22221 222' −−− +−+−= [ ] 51)1).(0(2)1).(2).(2(1 22 =⇒+−+−= CC xx xeey 22 52 −− += 5.3) Equações características com raízes complexas: y" + 6y' + 12y = 0; Equação característica: r2 + 6r + 12 = 0 124836;3333 −=−=∆=−=⇒±−= βα eir ir 33 2 126 ±−=−±−= xseneCxeCy xx .3...3cos.. 32 3 1 −− += 4a lista de Exercício: 9) y" - y' - 2y = 0; y(0) = 2, y'(0) = 1 Equação característica: r2 - r -2 = 0 ⟹ r1 = 2 e r2 = -1 sobrando... ED 2a ordem quarta-feira, 16 de outubro de 2013 21:00 Página 21 de Calc III Solução Geral de uma equação linear não homogênea (NH): 1) Teorema: seja ay" + by' + cy = F(x) uma equação diferencial linear não homogênea de 2a ordem. Se yp é uma solução particular dessa equação e se yh é a solução geral de uma equação homogênea correspondente, então: � = �� + �� 2) Método dos coeficientes a determinar: Já temos as ferramentas para encontrar yh, faltando encontrar a solução yp. Podemos encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar. A idéia do método é tentar uma solução yp do mesmo tipo que F(x). Exemplos: 1. Se �� = 5 + 4, escolher �� = + �. 2. Se �� = 2 �� + 5��, escolher �� = � + � �� = �� + ���. 3) Se �� = � + 9 − ���7 , escolher �� = � � + � + � + ����7 + ����7 3) Exemplos pelo método coeficientes a determinar: a) Encontrar a solução geral da equação y" + 2y' + 3y = 2senx: �� = �� − 2� − 3 = 0 ⟹ �� = �� + 1 �� + 3 = 0� = −1 � � = 3; "�#�: ���%�&� + ���'�;�� = ��� + ���� �(� = − ��� + ���� �"� = − ��� − ���� �− ��� − ���� − 2�− ��� + ���� − 3� ��� + ���� = 2��� ⟹− ��� − ���� + 2 ��� − 2���� − 3 ��� − 3���� = 2��� ⟹ �−4 − 2� ��� + �2 − 4� ��� = 2��� ; −4 − 2� = 0 � 2 − 4� = 2 = 15 � � = −25 ; � = �� + �� = �%�&� + ���'� + *15+ ��� − * 2 5+ ��� �� = ��� ; �(� = ��� ; �"� =? − ��� − 2 ��� − 3 ��� = 2��� −4 ��� − 2 ��� = 2��� −4 = 2;−2 = 0 ⟹ − = 24 b) Encontre a solução geral da equação: 2002;2'2" 21 2 ==⇒=−+=− rerrrexyy x xx h exxFeCCy 2)(;221 +=+= x p x p x p CeBy CeBxAy eCBxAxy += ++= ++= 2" 2' .² A solução (A+Bx) + Cex Mult. x Substituindo na equação diferencial: xxx exCeBxACeB 2)2(2)2( +=++−+ xxxxx exCeBxABexCeBxACeB 24)22(22422 +=−−−⇒+=−−−+ 4 1 ;2;14;022 −===−=−=− BACBAB x p exxy .2²4 1 4 1 −−+−= A solução geral é: xx exxeCCy 2 4 1 4 1 22 21 −−−+= Equação Linear não homogênea quarta-feira, 23 de outubro de 2013 20:30 Página 22 de Calc III 4.1) Exemplos: 4) Equações diferenciais de ordem mais alta. 0)³1(13²3³0'3"3) =+=+++→=+++′′′ rrrryyyya A raiz é tripla; r = -1 xxx exCxeCeCy −−− ++= 2321 0)²1²(1³202) 4)4( =+=++→=+′′′+ rrryyyb A raiz é dupla com α = 0 e β = 1 A solução geral da equação é: xsenxCxxCsenxCxCy 4321 coscos +++= ED - Ordem mais Alta quarta-feira, 23 de outubro de 2013 21:00 Página 23 de Calc III 1) A transformada de Laplace é um método para resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada à Engenharia. O método consiste de três etapas: 1a: A equação diferencial dada é transformada em uma equação algébrica (equação subsidiária). 2a: Esta equação subsidiária é resolvida por manipulações algébricas. 3a: A solução subsidiária é transformada em sentido contrário, de tal maneira que forneça a solução desejada da equação diferencial original. A transformada de Laplace pode levar em conta as condições iniciais e ainda evita a necessidade de calcular uma solução geral e uma solução particular. 2) A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes da forma: ay" + by' + cy = f(x) ou ay" + by' + cy = f(t) 3) Definição da transformada de laplace de uma função f:[0, ∞) → ℝ . /�� = ��� = 0 �&12/�3 43 5 6 Representamos função original por uma letra minúscula, a sua variável por t e a sua transformada de Laplace pela letra correspondente maiúscula e a sua variável. Ex: f(t) g(t) h(t) F(s) G(s) H(s) 4) Exemplos: a) A transformada de Laplace da função f:[0, ∞) → Definida por f(t) = 1 é dada por: ss e s e s e s edtesF ssst t st st 101)( 0.0. 0 0 lim = − −= − − − = − == −−− ∞→ ∞ − ∞ − ∫ para s > 0 b) Seja a uma constante real. A transformada de Laplace da função f:[0, ∞) → ℝ definida por f(t) = eat é dada por: assa e sa edtedteesF astas tasatst − = − −= − === −− ∞ −− ∞ −− ∞ − ∫∫ 10)( 0).( 0 )( 0 )( 0 para s > 0 4) Propriedades: a) Soma de duas funções: L7/%�3 + /��3 8 = 97/%�3 8 + 97/��3 8 = �%�� + ���� b) Multiplicação por constante: 97:/�3 8 = :97/�3 8 = :��� c) Derivada Primeira de uma função: 9 ;<=�2 <2 > = ?��� − /�0 d) Derivada de uma segunda função: 9 ;<@=�2 <2@ > = ����� − �/�0 − /(�0 e)Integral de uma função entre instantes 0 e t: 9 ;A /�3 26 = %1 ��� > = % 1 ��� Transformada de Laplace quarta-feira, 30 de outubro de 2013 20:30 Página 24 de Calc III a) Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial com problema do valor inicial: y" - y' - 6y = 0; y(0) = 1; y'(0) = -1)(}{ 1)()0()(}'{ 1)(²)0(')0()(²}"{ syyL ssyyssyyL ssysysysysyL = −=−= +−=−−= ( ) )2)(3( 2)(26²)(0)(61)(1)(² +− − =⇒−=−−⇒=−+−+− ss s syssssysyssyssys ==⇒ −=− =+ 5 4 ; 5 1 232 1 BA BA BA frações parciais ( )tt eety ss sy 23 4 5 1)( 2 5 4 3 5 1 )( −+=⇒ + + − = as sFetf at − =→= 1)()( tabela: 232)(2322)3()2( −=−++⇒−=−++⇒−=−++ sBABAssBBsAAsssBsA b) ;.96" 32 tetyyy =+− 6)0(';2)0( == yy 62)()0(')0()(}"{ 22 −−=−−= ssysysysysyL 2)()0()(}'{ −=−= ssyyssyyL )(}{ syyL = 331 32 )3( 2 )3( 1.2 )( !}.{}.{ − = − = − =⇔ + ssas n teetL n natt )3( 2 )3( 2)( )3( )3(2 )3()3( 2)()3(2)3( 2)3)(( 62)3( 2)96)(()3( 2)(912)(662)( 5 2233 2 3 2 3 2 − + − = − − + −− =⇒−+ − =− −+ − =+−⇒ − =++−−− ss sy s s ss sys s ssy s s sssy s syssyssys tt eetty 334 2 12 1)( +=transf. inv ' ��� = � − 3 + � � + 2 Exercícios quarta-feira, 30 de outubro de 2013 19:26 Página 25 de Calc III 1) Funções Periódicas: Uma função f(x) é dita periódica com um período I se f(x+t) = f(x) para qualquer x . Disso discorre f(x +nt) = f(x) para n = 0, ±1, ±2,...) 2) Série Trigonométrica: É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x por coeficientes que não dependem da variável x e são admitidos reais. ...2...)2(cos 2 1 21210 ++++++ xsenbsenxbxosaxaa ou ∑ ∞ = ++ 1 0 )]()cos([2 1 n nn nxsenbnxaa Sendo esta uma série de funções, sua soma s será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções periódicas de período 2π. A soma s(x) será uma função periódica de período 2π (-π, π) ou (0, 2π). As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica. ∑ ∞ = ++= 1 0 )]()cos([2 1)( n nn nxsenbnxaaxf 3) Determinação dos coeficientes de Fourier: Para determinar os coeficientes, fazemos a integral de: ∫ ∫∫ ∑ ∫∫∫∫ ∑ − −− ∞ = −−−− ∞ = = == ++= ++= pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pipi dxxfa aadxadxxf dxnxsenbdxnxadxadxxf nxsenbnxaaxf n nn n nn )(1 ]2[ 2 1 2 1)( )()cos( 2 1)( )]()cos([ 2 1)( 0 000 1 0 1 0 Cálculo de an: Multiplicando-se os termos da série por (px), sendo p um número fixo dado, integrando-se no intervalo (-π, π): 0 0 ∑∫∫ ∞ = −− ++ 1 0 )]cos()()cos()cos([)cos(2 1 n nn dxpxnxsenbdxpxnxadxpxa pi pi pi pi se n ≠ p 0 0 0 Lembrando: )(2 ])[( )(2 ])cos[()cos()( )(2 ])[( )(2 ])[()cos()cos( ba xbasen ba xbadxbxaxsen ba xbasen ba xbasendxbxax − − + + + = + + + − − = ∫ ∫ Série de Fourier quarta-feira, 6 de novembro de 2013 20:40 Página 26 de Calc III se n ≠ p pi pi pi pi pi nn adxnxadxnxxf == ∫∫ −− )²(cos)cos()( Lembrando: n nxsenxdxnx 4 )2( 2 )²(cos +=∫ então: ∫−= pi pipi dxnxxfan )cos()(1 Cálculo de bm: Multiplicando-se agora por sen(px), entre (-π, π): ∫∑∫∫ − ∞ = −− ++ pi pi pi pi pi pi dxpxsennxsenbdxpxsennxadxpxsena n n n )()()()cos([)(2 1 1 0 Então para n = p: pi pi pi pi pi n bdxnxsenbndxnxsenxf == ∫∫ −− )²()()( se n ≠ p 0 0 0 ∫ − = pi pipi dxnxsenxfbn )()(1 4) Funções pares e ímpares: Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π, π): g(x) é par se g(-x) = g(x) para todo x h(x) é impar se h(-x) = -h(x) para todo x 5) Produto de funções pares e ímpares a) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x): q(x) = g(x) . h(x) q(x) = g(-x) . h(-x) q(x) = g(x) . h(-x) q(x) = -g(x) . h(x) q(x) = -q(x) b) O produto de uma função par g(x) por uma função par é uma função par: q(x) = g(x) . g(x) q(x) = g(-x) . g(-x) q(x) = g(x) . g(x) q(x) = q(x) c) O produto de uma função ímpar h(x) por uma função ímpar é uma função par: q(x) = h(x) .h(x) q(x) = h(-x) . h(-x) q(x) = -h(x) . -h(x) q(x) = q(x) 6) Conclusão: a) Se uma função f(x) é uma função par, f(x)sen(nx) é uma função ímpar 0)()(1 == ∫ − pi pipi dxnxsenxfbn b) Se f(x) é uma função ímpar, f(x)cos(nx) é ímpar: 0)cos()(1 == ∫ − pi pipi dxnxxfan Série de Fourier quarta-feira, 6 de novembro de 2013 21:22 Página 27 de Calc III 7) Exemplo: Determinar série de Fourier da função f(x): ∫ ∫∫ − − = == += pi pi pi pi pi pi pipi dxnxxfa dxdxa n n )cos()(1 1][1101 0 0 << <<− = pi pi x x xf 0,1 0,0)( 1 π -π =⇒= =⇒= 0 2 n n bparn n bímparn pi +++= ...)3( 3 12 2 1)( xsensenxxf pi ∫ ∫ − − = = pi pi pi pi pi pi dxnxxfa dxxfa n )cos()( 1 )(10 [ ] [ ]1)1(1)cos(1)()(01 0)(11)cos(1)cos(01 00 0 0 0 0 −−−=⇒−= += = =⇒ += ∫∫ ∫∫ − n nn nn n bnx n dxnxsendxnxsenb nxsenadxnxdxnxa pipipi pipipi pipi pi pi pi pi ∑ ∞ = ++= 1 0 )]()(cos([ 2 )( n nn nxsenbnxa a xf Série de Fourier quarta-feira, 6 de novembro de 2013 14:17 Página 28 de Calc III 1) Use a transformada de Laplace para resolver as equações diferenciais com problema do valor inicial: 1.4) 1)0(',1)0(;04'4" ===+− yyyyy )(}{ 1)()0()(}'{ 1)()0(')0()(}"{ 22 syyL ssyyssyyL ssysysysysyL = −=−= −−=−−= 0)(44)(41)(0)(4]1)([41)( 22 =++−−−⇒=+−−−− syssyssyssyssyssys 32)44(3)2()2( 22 −=−++−⇒−=−+− sBBsssAssBsA 324)4(3244 22 −=−++−+⇒−=−++− sBABAsAssBBsAAsAs 22 2 )2()2()()2( 3)(3)44)(( − + − =⇒ − − =⇒−=+− s B s A sy s s syssssy 2,2 324 14 =−=−⇒ −=− =+− BB BA BA 4 11)2(4 =⇒=+− AA at nat n ety as sy tety as n sy =⇔ − = =⇔ − = + )(1)( .)()( !)( 1tt eety ss sy 222 4 1)()2( 2 2 4 1 )( +=⇒ − + − = 4a Lista de Exercícios 4) ;015'13"2 =+− yyy 49;015132 2 =∆=+− rr 2121 ;2 35 4 713 rrrerr ≠==⇒ ± = x x eCeCy 2 3 2 5 1 += logo: 5a lista de Exercícios: 2.1) 6322'4" 2 +−=−+ xxyyy 21 2 ,24024 rrrr ≠=∆⇒=−+ 622;622; 2 244 21 −−=+−= ±− = rrr )622( 2 )622( 1)( −−+− += eCeCy g AyBAxyCBxAxy ppp 2";2'; 2 =+=++= 632222482632)(2)2(42 2222 +−=++−++⇒+−=++−++ xxCBxAxBAxAxxCBxAxBAxA 632242)28(2 22 +−=−++−+− xxCBABAxAx 122 −=⇒=− AA 2 5328 −=⇒−=− BBA 962 2 54)1(2 −=⇒=− −+− CC 9 2 5)( 2)622(2)622(1 −−−+= −−+− xxeCeCxy 6a lista de Exercícios quarta-feira, 16 de outubro de 2013 00:27 Página 29 de Calc III a) 0912 ² ²4 =+− y dx dy dx yd 09'12"4 =+− yyy 0)0('1)0( == yy 0912²4 =+− rr 5,1 8 14414412 )4(2 )9)(4(4)²12()12( = −± = −±−− =r xxx exCCxeCeCy 5,121 5,1 2 5,1 1 )( +=+= 1))0((1 1)0(5,121 =⇒+= CeCC 5,105,1)1()5,1)0(()1(5,10)5,1(5,1" 22)0(5,1)0(5,12)0(5,15,15,125,11 −=⇒=+⇒++=⇒++= CCeeCeexeCeCy xxx xxx e x e x ey 5,15,15,1 2 31 2 3 −=−= 2 3 = b) 065 ² ² =+− y dx dy dx yd 06'5" =+− yy 1)0('1)0( −== yy 2;3065 212 ==⇒=+− rrrr 21 2 2 3 1 1 CCeCeCy xx +=⇒+= 21 )0(2 2 )0(3 1 2 2 3 1 23123123' CCeCeCeCeCy xx +=−⇒+=−⇒+=4;3 123 1 21 21 21 =−=⇒ −=+ =+ CC CC CC xx eey 23 43 +−= Atividade Estruturada 7 Página 30 de Calc III Para cada uma das equações abaixo, determine o valor da constante r, para que a função f(x) = erx seja uma solução: a) 0)(2 =+ ty dt dy b) 0)( ² ² =− ty dt yd c) 02 ² ²3 ³ ³ =+− dt dy dt yd dt yd Resolva: 036 ² ²5 ³ ³ =−− dt dy dt yd dt yd 2 202 0)(2)'(02' −= − =⇒=+ =+⇒=+ r e e rere eeyy rx rx rxrx rxrx 0 23² 0 0)23²(02²3³ 0)'(2)"(3'')'(0'2"3''' = +− = =+−⇒=+− =+−⇒=+− rxrxrx rxrxrxrxrxrx rxrxrx ereer r ereerrreerer eeeyyy y(0) = 0, y'(0) = 1, y"(0) = -7 00)365²(036²5³ 0'36"5''' 1 =⇒=−−⇒=−− =−− rrrrrrr yyy 36 5 −= = P S 9 4 3 2 = −= r r 78116)81()16(0)"()"()"(7 194)9()4(0)'()'()'(1 00 ... 32 0 3 0 2 9 3 4 21 32 0 3 0 2 9 3 4 21 321 0 3 0 21 9 3 4 21 9 3 4 2 0 1 −=+⇒++=++=− =+−⇒+−+=++= =++⇒++= ++=++= − − −− CCeCeCeCeCC CCeCeCeCeCC CCCeCeCC eCeCCeCeCeCy xx xx xxxx 026,0 117 33117 78116 43616 78116 194 33 32 32 32 )4( 32 −= − =⇒−=⇒ −=+ =+− ⇒ −=+ =+− × CC CC CC CC CC 06,0 4 234,01)026,0(94 22 ==⇒=−+− CC 966,0034,011026,006,0 11 =−=⇒=−+ CC xx eey 94 026,006,0966,0 −+= − 11 1²0² 0)"(0" ±== ==⇒=− =−⇒=− r e e reer eeyy rx rx rxrx rxrx Atividade Estruturada 8 Página 31 de Calc III a) 2²5)(54 ² ² +=+− tty dt dy dt yd 0)0('1)0( == yy b) t ety dt yd =+ )(4 ² ² 0)0('0)0( == yy 2²55'4" +=+− tyyy 054² =+− rr iir ±=±=−±=−±=−−±−−= 2 2 24 2 44 2 20164 )1(2 )5)(1(4)²4()4( 1;2 == βα tsenetey CCseneCeC CCeCseneCseneCeC teCtseneCtseneCteCy tseneCteCtseneCteCy tt h tttt h tttt h 22 21 )0(2 2 )0(2 1 21 )0(2 2 )0(2 2 )0(2 1 )0(2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 121 2cos 2)1(2;1)0()0cos(1 02)]0cos()0(2[)]0()0cos(2[0 ]cos2[)](cos2[' coscos −= =−==⇒+= =+⇒++−+= ++−+= +=+= ββ αα 2²5)542()58(²)5( 2²555²5482 2²5)²(5)2(4)2( 2;2';² " +=+−++−+ +=+++−− +=++++− =+=++= tCBAtBAtA tCBtAtBAtA tCBtAtBAtA AyBAtyCBtAty ppp =⇒=⇒=+ −⇒=+− =⇒=+−⇒=+− =⇒= 25 32 5 32525 5 8422542 5 8058058 155 CCCCBA BBBA AA 25 32 5 8 ²2cos 22 +++−= tttsenetey tt teyy =+4" 04² =+r iir ±=±=−±= −±− = 2 2 2 16 )1(2 )4)(1(4)²0()0( 1;0 == βα tsenCtCtseneCteCtseneCteCy tth 21 0 2 0 121 coscoscos +=+=+= ββ αα hh yCCsenCCy ===⇒+== 000cos0 2121 " 5 115 )4( )(4)( ; " =⇒= =+ =+ == AA eAAe eAeAe AeyAey tt ttt t p t p 5 t p eyy == Atividade Estruturada 9 Página 32 de Calc III
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