Projeções Gráficas

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Computação Gráfica
Projeções Geométricas
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Leandro C. Souza
leandro.souza@ufersa.edu.br
Projeções Geométricas
Definição: Transformações de pontos de um sistema de 
coordenadas de dimensão n em pontos de um sistema de 
coordenadas de dimensão m, de modo que m < n.
No nosso caso, a transformação é um mapeamento de 
pontos no espaço tridimensional para o espaço 
bidimensional.
Estudaremos as projeções geométricas planares:
 Perspectiva
 Paralela
Projeções: Elementos
Plano de projeção: Superfície onde será projetado o objeto, 
ou seja, onde ele será representado em 2D.
Raios de projeção (ou projetoras): Retas que passam pelos 
pontos do objeto e pelo centro de projeção. 
Centro de projeção: é o ponto fixo de onde partem os raios de 
projeção.
A imagem projetada de um dado objeto
é determinada pelo cálculo da
interseção das projetoras com o plano
de projeção.
Classificação
 Perspectiva
– Um ponto
– Dois pontos
– Três pontos
 Paralela
– Ortográfica
• Vista Superior
• Vista Frontal
• Vista Lateral
• Axonométrica
– Isométrica 
– Oblíqua 
Projeção Perspectiva
Projeção Perspectiva
Projeção em Perspectiva (ou cônica): centro de projeção é um 
ponto do espaço, a ser especificado. 
Projeção Perspectiva
O objeto é deformado de forma inversamente proporcional à 
distância ao centro de projeção.
Projeção Perspectiva
A projeção perspectiva não 
preserva as proporções 
relativas dos objetos.
O tamanho da imagem 
projetada depende da 
distância do objeto ao 
plano de projeção.
Projeção Perspectiva
A Projeção em Perspectiva, em geral, não preserva retas 
paralelas.
Projeção Perspectiva
Há algumas exceções: retas paralelas contidas em um plano 
paralelo ao plano de projeção. 
Projeções Perspectivas
Cálculo das coordenadas de um ponto usando 
projeção perspectiva.
Sejam:
zcpr a coordenada z do centro de projeção e 
zpp a coordenada z do plano de projeção.
Projeções Perspectivas
Podemos escrever equações para encontrar a 
posição de um ponto ao longo da projetante 
utilizando a forma paramétrica:
uzzzz
yuyy
xuxx
cpr ).('
'
'



Projeções Perspectivas
Na posição do plano de projeção, temos 
z’ = zpp.
Podemos, então, obter o valor de u nesse 
ponto:
zz
zz
u
zporzdosubstituin
uzzzz
cpr
pp
pp
cpr




:'
).('
Projeções Perspectivas
Conhecendo o valor de u podemos calcular x’ e y’:
onde dp = zcpr – zpp é a distância entre o plano de 
projeção e o centro de projeção.










































zz
d
y
zz
zz
yy
zz
d
x
zz
zz
xx
cpr
p
cpr
ppcpr
cpr
p
cpr
ppcpr
..'
..'
Projeções Perspectivas
Na forma matricial (em coordenadas homogêneas), 
temos:
O fator homogêneo h é dado por:









































1
.
/
)/(
0
0
/1
/
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
z
y
x
dz
dzz
d
dz
h
z
y
x
pcpr
pcprpp
p
ppph
h
h
p
cpr
d
zz
h


Projeções Perspectivas
As coordenadas no plano de projeção são 
calculadas a partir das coordenadas homogêneas, 
como indicado abaixo: 
xp=xh/h , yp = yh/h
E a coordenada z é salva para operações que 
dependam de testes de profundidade.
 Exemplo: determinação de superfícies escondidas.
Projeções Perspectivas
Em alguns pacotes gráficos, o plano de projeção 
está localizado na origem. Assim, zcpr = 0 e as 
coordenadas xp e yp do ponto projetado são:






























pp
pp
p
pp
pp
p
zz
y
z
z
yy
zz
x
z
z
xx
/
1
..
/
1
..
Projeções Perspectivas com 1, 2 e 3 
Pontos
Retas paralelas no objeto que não estão paralelas ao 
plano de projeção convergem para um ponto de fuga.
Retas paralelas se interceptam em pontos ideais. 
Existem infinitos pontos de fuga, um para cada possível 
direção de retas paralelas.
Projeções Perspectivas: Retas Paralelas 
convergem
Projeções Perspectivas com 1, 2 e 3 
Pontos
Se o feixe de retas paralelas é paralelo a 
algum dos três eixos principais, o ponto de 
fuga é dito axial.
Podem existir, portanto, apenas três pontos 
de fuga axiais. 
Os pontos de fuga axiais aparecem no plano 
de projeção quando este corta um ou mais 
eixos principais.
Construção de Projeção Perspectiva 
com 1 Ponto
Construção de Projeção Perspectiva 
com 1 Ponto
Construção de Projeção Perspectiva 
com 2 Pontos
Projeção Perspectiva com 2 Pontos
Projeção Perspectiva com 3 Pontos
Projeções Perspectivas com 1, 2 e 3 
Pontos
Projeção Paralela
Projeção Paralela
Projeção Paralela (ou cilíndrica): 
• Centro de projeção no infinito (ponto ideal). 
• Deve-se especificar um vetor, que é a direção da projeção. 
• Pode ser usada para tomada de algumas medidas.
Projeções: Conceitos
A Projeção Paralela preserva retas paralelas.
Ângulos são preservados apenas em planos paralelos 
ao plano de projeção.
Projeções Paralelas
Existem dois tipos de projeções paralelas:
– Ortográfica
– Oblíqua 
Na Projeção Paralela Ortográfica, as projetantes são 
normais ao plano de projeção, o que não acontece 
com a projeção paralela oblíqua.
Projeções Paralelas Ortográficas
Os tipos mais comuns de projeções ortográficas são: 
 Vista frontal
 Vista lateral
 Vista superior
São importantes para desenhos de engenharia para 
representar partes de máquinas e prédios, pois as 
distâncias e os ângulos podem ser medidos a partir 
delas.
Projeções Paralelas Ortográficas
Projeções Paralelas Ortográficas
Outro tipo de projeção ortográfica é a chamada Axonométrica, que 
ocorre quando o plano de projeção não é ortogonal a nenhum eixo 
principal do sistema.
Projeções Axonométricas permitem a exibição de mais de um lado do 
objeto projetado.
Retas paralelas são projetadas em retas paralelas, mas os ângulos não 
são preservados. 
As medidas podem ser tomadas ao longo de cada eixo principal, em 
geral com um fator de escala distinto.
Projeções Paralelas Ortográficas
Um tipo especial de projeção ortográfica axonométrica é 
a projeção Isométrica. 
O plano de projeção intercepta cada eixo principal a uma 
mesma distância da origem.
As projeções dos três vetores unitários canônicos formam 
ângulos de 120o entre si. Isto permite que as medições 
feitas na projeção em cada eixo utilize a mesma escala.
Construção de Projeção Paralela 
Ortográfica Axonométrica Isométrica
Projeções Paralelas Ortográficas
Transformações Projetivas para 
Projeções Paralelas Ortográficas:
x
p
= x
y
p
= y
O valor da coordenada z é armazenado 
para operações que necessitem de 
informação de profundidade.
Exemplo: determinação de superfícies 
escondidas.
Projeções Paralelas Oblíquas
Projeções Oblíquas: as projetantes não são paralelas à 
normal ao plano de projeção. 
O plano de projeção é normal a algum eixo principal. 
Isto significa que projeções de faces paralelas a este 
plano preservam ângulos e distâncias
Construção de Projeção Paralela 
Oblíqua
Projeções Paralelas Oblíquas
Projeções oblíquas permitem visões simultâneas das 
faces superiores, frontais e laterais.– Permitem ainda que medidas de distância 
possam ser tomadas em faces não paralelas ao 
plano de projeção, mas não ângulos.
– Geralmente as medidas de distância para 
estas faces têm um fator de escala associado.
Projeções Paralelas Oblíquas
Transformações Projetivas para Projeções Paralelas 
Oblíquas:
Projeções Paralelas Oblíquas
x
p
= x + L cos f
y
p
= y + L sen f
L depende do ângulo a e da coordenada z
do ponto a ser projetado:
L
z
atan
Projeções Paralelas Oblíquas
Assim, temos:
L = z/tan a
= zL
1
onde L
1
= arctan a. 
Então,
x
p
= x + z.(L
1
cos f)
y
p
= y + z.(L
1
sen f)
Projeções Paralelas
Matriz para projeções paralelas no plano xvyv:
Projeções Ortográficas: L
1
= 0 (ocorre quando a = 90o)
Projeções Oblíquas: L
1
≠ 0













10
00
00
00
0
0cos
10
01
1
1
f
f
senL
L
M paralela
Projeções Paralelas Oblíquas
Escolhas comuns para f são 30o e 45o.
Escolhas comuns para a são aquelas para as quais tan a = 1 e 
tan a = 2.