Lista de Exercícios - Parte II - Unidade I

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Disciplina: Cálculo Numérico
Período: 2013.1
Aluno(a):
2
a
Lista de Exercícios de Cálculo Numérico - Noite - 16/05/2013
Representação de um número inteiro em uma dada base Dado um número inteiro x ∈ Z;x 6= 0,
tal número possui uma única represntação em base β. A saber:
x = ±(dnβn + dn−1βn−1 + . . .+ d1β1 + d0β0)
Onde di é o dígito da base β em questão.
Representação de um número real uma dada base Se o número real x tem parte inteira xi, sua
parte fracionária xf = x− xi pode ser escrita como uma soma de frações, como a seguir:
xf = ±(bnbn−1 . . . b2b1b0) = ±(b1β−1 + b2β−2 . . .+ dn−1b−(n−1) + dnβ−n)
Assim o número real x será representado juntando as partes inteiras e fracionárias, ou seja, x =
±(anan−1 . . . a2a1a0, bmbm−1 . . . b2b1b0) onde x, possui n+1 algarismos na parte inteira em+1 algarismos
na parte fracionária.
Aritmética do ponto �utuante Um computador ou calculadora representa um número real no sistema
denominado aritmética do ponto �utuante. O termo ponto �utuante do inglês �oating point, ou vírgula
�utuante é um formato de representação digital de números reais, que é usada nos computadores.
Ao falar em números reais temos a idéia de: (parte inteira, ponto ou vírgula, parte fracionária).
No entanto, essa representação custa caro, em termos de processamento e armazenamento, ao computador
havendo a necessidade de utilizar uma outra maneira que favoreça tais tarefas. Para trabalhar com a
parte fracionária de forma satisfatória, usa-se a representação por pontos �utuantes.
Essa representação baseia-se no deslocamento da vírgula de forma que se obtenha um
número menor ou próximo de 1, que é a mesma idéia utilizada para a representação de um
número em notação cientí�ca. Exemplo: o número 25, 456 em notação de ponto �utuante corresponde
ao numéro 0, 25456.102.
De modo geral dado x ∈ R, temos sua representação em aritmética do ponto �utuante é da seguinte
forma:
x = ±(0, d1d2d3 . . . dn).βe = ±( d1
β1
+
d2
β2
+
d3
β3
+ . . .+
dn
βn
)βe
Onde β é a base em que a máquina opera, n é o número de dígitos da mantissa(ou número de algarismos
signi�cativos), 0 ≤ dj ≤ (β − 1), j = 1; . . . ;n e d1 6= 0 e e ∈ [I, S], onde I e S são respectivamente o
limite inferior e superior para a variação do expoente.
1
a
Exemplo: Escreva os números abaixo em aritmética do ponto �utuante.
a)x1 = 0, 35 = (3.10
−1 + 5.10−2).100 = (0, 3 + 0, 05).100 = 0, 35.100.
b)x2 = −5, 172 = −(5.10−1 + 1.10−2 + 7.10−3 + 2.10−4).101 = −0, 5175.101.
c)x3 = 0, 0123 = (1.10
−1 + 2.10−2 + 3.10−3).10−1 = 0, 123.10−1.
d)x4 = 5391, 3 = (5.10
−1 + 3.10−2 + 9.10−3 + 1.10−4 + 3.10−5).104 = 0, 53913.104
e)x5 = 0, 0003 = (3.10
−1).10−3 = 0, 3.10−3
Erro de under�ow e over�ow: Considere, por exemplo, uma máquina que opera no sistema: β = 10;
n = 3 e e ∈ [−5, 5]. Os números serão representados na seguinte forma nesse sistema:
1
0, d1d2d3 . . . dn.β
e, 0 ≤ dj ≤ 9 d1 6= 0, e ∈ [−5, 5]
O menor número, em valor absoluto, representado nesta máquina é: m = 0, 100.10−5 = 10−6 e o
maior número, em valor absoluto, é: M = 0, 999.105 = 99900.
Considere o conjunto dos números reais R e o seguinte conjunto:
G = {x ∈ R | m ≤ |x| ≤M}
Dado um número real x, podem ocorrem as seguintes situações:
1
a
situação x = 235, 89 = 0, 23589.103. Observe que este número possui 5 núemeros na mantissa. Estão
representados nesta máquina os números 0, 235.103 e 0, 236.103. Se for usado o truncamento, x será
represntado por 0, 235.103 e se, for usado o arredondamento, x será representado por 0, 236.103.
2
a
situação |x| < m, por exemplo x = 0, 345.10−7. Este número não pode ser representado nesta má-
quina porque o expoente e é menor que −5. Esta é uma situação em que a máquina acusa a o ocorrência
de erro under�ow.
3
a
situação |x| > M , por exemplo x = 0, 875.109. Neste caso, o expoente e é maior que 5 e a máquina
acusa a ocorrência de um erro de over�ow.
Erros absoluto, relativo e percentual Vejamos algumas de�niçõs iniciais.
Erro absoluto: É a diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado x obtido
a partir de um procedimento numérico. Ou seja, Eax = x− x.
Erro relativo: É a divisão do erro absoluto pelo valor aproximado. Ous seja, Erx =
x− x
x
.
Erro percentual: É o erro relativo expresso em porcentagem, ou seja: Epx = Erx .100%
1
o
Exercício Converta os números x = 37, y = 234 e z = 0, 127 para a base binária.
2
o
Exercício Converta os seguintes números binários para sua forma decimal.
a)x = (101101)2 b)x = (0, 1101)2 c)x = (1101010111)2 d) x = (0, 111111111101)2
3
o
Exercício Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0.00004 para um valor exato de 0, 00005.
Calcule os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.
4
o
Exercício Suponha que tenhamos um valor aproximadop de 100000 para um valor exato de 101000.
Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.
5
o
Exercício Considerando os dois casos acima, onde se obteve uma aproximação com maior precisão?
Justi�que sua resposta.
2
6
o
Exercício Demonstre a fórmula para o erro absoluto e erro relativo para as operações de soma, sub-
tração, multiplicação e divisão com erros nas parcelas ou fatores.
7
o
Exercício Qual o erro absoluto no cálculo de u = (x− y).z + t.
8
o
Exercício Qual o erro relativo no cálculo de u = (x− y).z + t.
9
o
Exercício Qual o erro absoluto e relativo no cálculo de u = x.y + z.
3