Trancal P3 2SEM2016 GABARITO diurno

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DISC: Nº ME4120 – FUNDAMENTOS DA TRANSMISSÃO DE CALOR P3 DATA: 08/12/2016 [15h 50min] 
 
Em transferência de calor existem diversas hipóteses simplificadoras 
que são aplicadas nos mais diversos problemas, a saber: 
I. Regime Permanente; 
II. Sem geração interna de calor; 
III. Condução unidimensional; 
IV. Resistência interna a condução desprezível; 
V. Transferência de calor por radiação desprezível e, 
VI. Material com propriedades uniformes e constantes. 
 
Esta prova trata do estudo da transferência de calor em um corpo 
cilíndrico maciço. Um sistema de coordenadas cartesiano é indicado 
na figura ao lado, o cilindro tem raio (R) igual a 10 mm, comprimento 
(L) de 150 mm e condutividade térmica igual a 20 W/m.K. 
 
[Q1][1,0 Ponto] São válidas as hipóteses: [I], [II], [III] apenas na direção z e [VI]. A superfície curva do 
cilindro é isolada com material de condutividade térmica nula. Sabendo que a variação da temperatura 
na direção z é de -159,15 °C/m. Determine a taxa de transferência de calor que atravessa o cilindro. 
 
𝑞 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑧
= 20 ⋅ 𝜋(10 × 10−3)2 ⋅ 159,15 = 1 𝑊 
 
 
[Q2][1,0 Ponto]. São válidas as hipóteses: [I], [III] apenas na direção r, [V], [VI]. Aplica-se sobre a lateral 
deste cilindro um isolante com condutividade térmica de 1,1 W/m.K, sobre a face externa deste isolante 
há troca de calor por convecção desenvolvendo-se um coeficiente convectivo de 110 W/m².K. 
Determinar a espessura de isolante que se aplicada sobre a superfície minimiza a temperatura na sua superfície 
lateral (r = R). 
𝒓𝒆 = 𝒓𝑪 =
𝒌
𝒉
=
𝟏, 𝟏
𝟏𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟏 𝒎 = 𝟏𝟎 𝒎𝒎 
𝒆 = 𝒓𝒆 − 𝑹 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 
 
[Q3][2,0 Pontos]. São válidas as hipóteses: [I], [III] apenas na direção r e [VI]. Sabendo que a geração 
interna de calor no corpo é homogênea de valor igual a 3,92 × 107 W/m³ e a temperatura na linha de 
centro da peça é de 50°C, determine a temperatura na superfície lateral do cilindro (em r = R). 
 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
) = −
𝑞
�̇�
𝑘
𝑟 
𝝏𝑻
𝝏𝒓
= −
𝒒
�̇�
𝟐𝒌
𝒓 → 𝐶1 = 0 𝑝𝑜𝑖𝑠,
𝑑𝑇
𝑑𝑟
|
𝑟=0
= 0 
𝑻 = −
𝒒�̇�
𝟒𝒌
𝒓𝟐 + 𝟓𝟎 → 𝐶2 = 50 → sabendo que, 𝑟 = 0; 𝑇 = 50 °𝐶 
𝑻 = −
3,92 × 107
𝟒 ⋅ 𝟐𝟎
(10 × 10−3)2 + 𝟓𝟎 = 𝟏°𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
Nº 
 
[Q4][2,0 Pontos]. São válidas as hipóteses: [IV], [V], [VI] e para z = 0 e z = L as superfícies são 
perfeitamente isoladas. Há geração interna de calor de 84000 W/m³ e externo a este cilindro se 
desenvolve um coeficiente convectivo de 20 W/m²K, sabendo que inicialmente a peça e o fluido 
possuem temperatura de valor igual a -20°C, determine a que temperatura a peça estará quando atingir a hipótese 
[I]. 
−𝒉 ⋅ 𝑨 ⋅ (𝑻𝒇 − 𝑻∞) + 𝒒�̇� ⋅ 𝑽 = 𝟎 
−𝒉 ⋅ 𝝅 ⋅ 𝒅 ⋅ 𝑳 ⋅ (𝑻𝒇 − 𝑻∞) + 𝒒�̇� ⋅
𝝅
𝟒
𝒅𝟐𝑳 = 𝟎 
−𝟐𝟎 ⋅ (𝑻𝒇 + 𝟐𝟎) + 𝟖𝟒𝟎𝟎𝟎 ⋅
𝟎, 𝟎𝟐
𝟒
= 𝟎 → 𝑻𝒇 = 𝟏°𝑪 
 
[Q5][2,0 Pontos]. São válidas as hipóteses: [I], [V], [III] na direção z, [VI] e em z = L a superfície é 
perfeitamente isolada. Sabe-se que o cilindro troca calor pela lateral curva (r = R) com um gás que está 
a 20°C e se desenvolve um coeficiente convectivo de 6 W/m²K. Determinar a taxa de transferência de 
calor por condução que atravessa a seção de coordenada z = 0 se a temperatura em z = 0 possui valor igual a 45 °C. 
 
𝒎 = √
𝟒 ⋅ 𝒉
𝒌 ⋅ 𝒅
= 𝟕, 𝟕𝟒𝟔 𝒎−𝟏 
𝒒 = (𝑻𝒔 − 𝑻∞)√𝒉𝑷𝒌𝑨 ⋅ 𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳) 
𝒒 = (𝟒𝟓 − 𝟐𝟎)√𝟔 ⋅ 𝟐𝟎 ⋅ 𝝅𝟐(0,02)3/4 ⋅ 𝒕𝒂𝒏𝒉(𝟕, 𝟕𝟒𝟔 ⋅ 𝟎, 𝟏𝟓) = 𝟏𝑾 
 
[Q6][2,0 Pontos]. São válidas as hipóteses: [I], [III], [VI] e para z = 0 e z = L as superfícies são 
perfeitamente isoladas. Sabendo que o cilindro gera internamente 7,25 W, que a temperatura das 
vizinhanças e do gás circundante é de 20 °C, que se desenvolve um coeficiente convectivo de 19 W/m².K 
e que a temperatura da superfície do cilindro (r = R) é de 50 °C, determinar a emissividade hemisférica total da 
superfície do cilindro (r = R). 
 
𝟕, 𝟐𝟓 − 𝒉 ⋅ 𝝅 ⋅ 𝒅 ⋅ 𝑳 ⋅ (𝑻𝒇 − 𝑻∞) − 𝝈𝜺 ⋅ 𝝅 ⋅ 𝒅 ⋅ 𝑳 ⋅ (𝑻𝒇
𝟒 − 𝑻𝒗𝒊𝒛
𝟒 ) = 𝟎 
𝜺 = 𝟏