Considere os polinômios: p1(x) = 1 + x+ 3x² + x³, p2(x) = 1 + 2x² + x³, p3(x) = 4 + x+ 9x² + 4x³, p4(x) = 2 + 2x+ 8x² + 2x³, e seja S o subespaço...

Considere os polinômios: p1(x) = 1 + x+ 3x² + x³, p2(x) = 1 + 2x² + x³, p3(x) = 4 + x+ 9x² + 4x³, p4(x) = 2 + 2x+ 8x² + 2x³, e seja S o subespaço de P3(R) gerado por {p1, p2, p3, p4}. Pode-se afirmar que:

(a) dim(S) = 2;
(b) existe uma base de P3(R) que contém {p2, p3, p4};
(c) S = P3(R);
(d) existe uma base de P3(R) que contém {p1, p2, p3};
(e) o conjunto {p1, p2, p3} gera S.

Álgebra Linear I

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18/01/2024

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p3 poli 2010

Álgebra Linear I • USP - São PauloUSP - São Paulo

Rafael Augusto

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18.01.2024

O subespaço S gerado pelos polinômios p1(x), p2(x), p3(x) e p4(x) é um subespaço de dimensão 4 de P3(R), que é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais. (a) dim(S) = 4, pois o subespaço é gerado por 4 polinômios linearmente independentes. (b) Não necessariamente. É possível que {p2, p3, p4} seja uma base de P3(R), mas isso não é garantido. (c) Não é verdade. S é um subespaço de P3(R), mas não é igual a P3(R). (d) Não necessariamente. É possível que {p1, p2, p3} seja uma base de P3(R), mas isso não é garantido. (e) Verdadeiro. O conjunto {p1, p2, p3} é um conjunto gerador de S, pois qualquer polinômio em S pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios p1, p2 e p3.

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