Transformação de Tensões Resistência dos Materiais

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
1. TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES 
 1.1. Estado Plano de Tensões: tensões em uma direção qualquer, tensões principais e de cisalhamento 
máximo, planos principais, círculo de Mohr; 
 1.2. Noções do Estado Geral (ou triplo) de tensões, Círculo de Mohr conhecidas as tensões 
principais; 
 1.3. Teorias de Resistência (critérios de resistência ou de falhas); 
 1.4. Vasos de pressão de parede fina. 
 
 
2. SOLICITAÇÕES COMPOSTAS 
 2.1. Tensões devidas à combinação de flexão e torção; 
 2.2. Problemas envolvendo flexão, torção e tração (ou compressão); 
 2.3. Projeto de Eixos de Transmissão. 
 
 
3. MÉTODOS DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 3.1. Trabalho de deformação elástica devido a tensões normais; 
 3.2. Trabalho de deformação elástica devido a tensões de cisalhamento; 
 3.3. Trabalho para um único esforço aplicado; 
 3.4. Carregamento produzido por impacto; 
 3.5. Teorema de Castigliano; 
 3.6. Estruturas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas). 
 
 
4. FLAMBAGEM DE COLUNAS 
 4.1. Fórmula de Euler para colunas bi-rotuladas; 
 4.2. Fórmula de Euler para colunas com outros tipos de apoio: bi-engastada, engastada e articulada, 
engastada-livre; 
 4.3. Fórmulas empíricas; 
 
 
 
1. TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES 
 
 
 - Estado Triplo ou Tri-Axial – As tensões que atuam nas faces do paralelepípedo elementar admitem 
componentes nas direções de todas as suas arestas; 
 
 - Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial – As tensões no paralelepípedo apresentam componentes paralelas a 
apenas dois eixos; 
 
 - Estado Simples ou uniaxial – Nas faces do paralelepípedo atuam tensões na direção de uma única aresta; 
 
 - Estado de Cisalhamento Puro – Nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões tangenciais. O 
simples valor τxy = τyx é suficiente para definir o estado de tensão no ponto. 
 
 
Nos estudos anteriores, só eram determinadas as tensões normal e de cisalhamento nas seções transversais 
das barras. Ocorre muitas vezes, na engenharia, o interesse prático em se determinar essas tensões em planos 
que não sejam o da seção transversal. 
 
Para definirmos o ESTADO DE TENSÕES em um ponto, devemos determinar as componentes das tensões 
(normal e de cisalhamento) em todos os planos que passam por aqueles pontos. 
 
O objetivo do estudo dos estados de tensões é a determinação dos valores máximos de σ e τ que ocorrem 
num determinado ponto do corpo em análise. 
 
 
Estado geral de tensão Estado plano de tensões Estado plano de tensões 
 (vista bidimensional) 
 
 
Observações: 
 
1 - Demonstra-se que o estado de tensão num ponto fica definido quando forem conhecidas as tensões nesse 
ponto referentes aos três planos ortogonais entre si, que se interceptam no ponto considerado; 
2 - Para analisarmos o estado de tensão num ponto, imaginamos um paralelepípedo tri-retângulo situado 
com vértice no ponto, em cujas facetas supõe-se as tensões conhecidas; 
3 - Orientamos o nosso paralelepípedo considerado como um sólido de dimensões infinitesimais, tomando 
como origem o ponto em estudo e como eixos de referência as arestas a ele concorrentes; 
4 - Nas três faces do paralelepípedo que são “visíveis”, ocorrem tensões iguais e de sentidos opostos; 
5 - O estado de tensões num ponto, no caso mais geral, ficará então definido conhecendo-se nove tensões, 
que são as que atuam nas faces do paralelepípedo elementar. 
 
 
 
 
1.1. Estado Plano de Tensões: tensões em uma direção qualquer, tensões principais e de cisalhamento 
máximo, planos principais, círculo de Mohr 
 
O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num plano qualquer, a 
partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais passando pelo ponto e supostas 
previamente conhecidas. 
 
 
Procedimento para determinar os componentes σx', τx'y' que atuam sobre a face x’ do elemento: 
 
1 - Secionar o elemento da fig. (a). Área secionada (ΔA); 
2 - Desenhar o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as forças que atuam sobre o elemento, ou 
seja, multiplicam-se os componentes de tensão de cada face pela área sobre a qual atuam; 
3 - Aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções x’ e y’ para obter os componentes de tensão 
desconhecidos σx', τx'y'; 
4 - Se σy', que atua sobre a face y’ do elemento da fig. (b), tiver de ser determinado, considere um elemento 
como na fig. (d) e depois seguir o procedimento já descrito. Note que a tensão de cisalhamento não precisará 
ser determinada se ela já tiver sido calculada, visto que ela atende a propriedade complementar de 
cisalhamento. 
 
 
 
 
 
1.1.1. Equações gerais de transformação de tensão no estado plano 
 
Seja um ponto submetido a um estado geral de tensões planas, conforme indicado no elemento infinitesimal 
abaixo: 
 
 
 
O problema do estado plano consiste em: conhecer as tensões σx, σy, τxy que atuam em dois planos 
perpendiculares entre si, representados pelas normais x e y a esses planos, determinar, em função delas, as 
tensões σx', σy', τx'y' que ocorrem em planos genéricos inclinados de θ, representadas pelas normais x' e y'. 
 
 
Convenção de sinais: 
 
 
 
- Tensão normal positiva atua para fora de todas as 
faces; - Eixo z: regra da mão direita; 
- Tensão de cisalhamento positiva atua para cima na 
face direita do elemento. 
 
- Giro: sentido anti-horário. 
 
 
1.1.2. Componentes das tensões normais (σx e σy) e de cisalhamento (τxy) 
 
 
 
Isolando o elemento triangular 0AB: - SAB = AB·e = ΔA = unitária 
 - S0A = 0A·e = AB·cosθ·e = AB·e·cosθ = ΔA·cosθ = cosθ 
 - S0B = 0B·e = AB·senθ·e = AB·e·senθ = ΔA·senθ = senθ 
Diagrama de forças e equação de equilíbrio: 
 
 
 
� �� = 0 ∴ �	
 ∙ �
�� ∙ ��2 ∙ ���� − �
	 ∙ ���� ∙ ��2 ∙ �
�� → �	
 = �
	 
 
"As tensões de cisalhamento em planos perpendiculares são iguais e convergem para a reta interseção dos 
planos ou divergem dessa reta". 
 +↗ � �	� = 0 ∴ �	� ∙ ∆� − ��	
 ∙ ∆� ∙ ����� ∙ �
�� − ��
 ∙ ∆� ∙ ����� ∙ ���� − ��	
 ∙ ∆� ∙ �
��� ∙ ����− ��	 ∙ ∆� ∙ �
�� ∙ �
�� = 0 
 �	� = �	 ∙ �
�!� + �
 ∙ ���!� + �	
�2 ∙ ���� ∙ �
�� 
 +↖ � �
� = 0 ∴ �	�
� ∙ ∆� + ��	
 ∙ ∆� ∙ ����� ∙ ���� − ��
 ∙ ∆� ∙ ����� ∙ �
�� − ��	
 ∙ ∆� ∙ �
��� ∙ �
��+ ��	 ∙ ∆� ∙ �
�� ∙ ���� = 0 
 �	�
� = ��
 − �	� ∙ ���� ∙ �
�� + �	
��
�!� ∙ ���!� 
 
 
Usando as identidades trigonométricas: ���2� = 2���� ∙ �
�� 
 �
�2� = �
�!� − ���!� 
 ���!� = #$�%&!'! 
 �
�!� = #(�%&!'! 
 
�	� = �	 + �
2 + �	 − �
2 ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2� 
 �	�
� = − �	 − �
2 ∙ ���2� + �	
 ∙ �
�2� 
 
 
A tensão normal atuante na direção y' será obtida substituindo θ por θ+90° na eq. de σx': 
 
�
� = �	 + �
2 − �	 − �
2 ∙ �
�2� − �	
 ∙ ���2� 
 
Somando membro a membro das eqs. de σx' e σy', temos: σx' + σy' = σx + σy 
 
"Em duas seções quaisquer, perpendiculares ente si, a soma das tensões normais é constante". 
 
EXEMPLO: 
 
1) O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura abaixo. 
Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30° no sentido horário em 
relação à posição mostrada. 
 
 
 
De acordo com a convenção de sinal definida, temos: σx = -80MPa, σy = 50MPa e τxy = -25MPa 
 
Para obter as componentes de tensão no plano CD (ver fig. (b)), o eixo x' positivo é dirigido para fora 
perpendicularmente a CD, e o eixo y' associado é dirigido ao longo de CD. O ângulo medido de x até o eixo 
x' é θ = -30° (em sentido horário): 
 
�	� = �	 + �
2 + �	 − �
2 ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2� = −80 + 502 + −80 − 502 ∙ �
�2�−30+ �−25 ∙ ���2�−30 = −25,8�-. 
 
�	�
� = − �	 − �
2 ∙ ���2� + �	
 ∙ �
�2� = − −80 − 502 ∙ ���2�−30 + �−25 ∙ �
�2�−30 = −68,8�-. 
 
Os sinais negativos indicam que σx' e τx'y' agem nas direções de x' e y' negativos, respectivamente. De modo 
semelhante, as componentes de tensão que agem na face BC, figura (c), são obtidas usando θ=60°: 
 
 
 
�	0 = −80 + 502 + −80 − 502 ∙ �
�2�60 + �−25 ∙ ���2�60 = −4,15�-. 
�	0
0 = − −80 − 502 ∙ ���2�60 + �−25 ∙ �
�2�60 = 68,8�-. 
 
 
 
Aqui, τx'y' foi calculada duas vezes, como confirmação. O sinal 
negativo para σx' indica que essa tensão age na direção de x' 
negativo (figura (c)). Os resultados são mostrados no elemento 
na figura (d): 
 
 
1.1.3. Tensões principais (σmáx e σmín) e tensões de cisalhamento máximas (τmáx) no plano 
 
 
É importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal chegar ao máximo e ao mínimo, 
bem como a orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamento chegar ao máximo. 
 
Posição Principal: Posição para a qual as tensões tangenciais nas faces do paralelepípedo elementar são 
todas nulas, restando apenas tensões normais. 
 
Planos Principais: Planos de atuação das tensões principais. 
 
Direções Principais: Definem os planos principais. 
 
Estado Plano de Tensões: 
Direções principais: direções 1 e 2 
Tensões Principais: σ1 (ou σmáx) e σ2 (ou σmín) 
Planos Principais: planos 1 e 2 
 
 
1.1.3.1. Tensões principais (σmáx e σmín) e direções principais - condições de máximo e mínimo 
 
�	� = �	 + �
2 + �	 − �
2 ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2� 
 3�	′3� = −2 ∙ �	 − �
2 ∙ ���2� + 2 ∙ �	
 ∙ �
�2� = 0 → Condição de máximo ou mínimo 
 3�	�3� = −2 ∙ �	�
� ∙ �
�2� = 0 → Quando �	�
� = 0, 3�	�3� = 0 e teremos �Bá	 ou �BíE 
 
 
Nos planos em que agem os valores máximo e mínimo das tensões normais (σmáx e σmín), tensão de 
cisalhamento é nula (τx'y' = 0). 
 
Direções principais: 
 3�	�3� = 2 ∙ F− �	 − �
2 ∙ ���2� + �	
 ∙ �
�2�G = 0 
 �	 − �
2 ∙ ���2�H = �	
 ∙ �
�2�H 
���2�H�
�2�H = tan 2�H = �	
0,5��	 − �
 
 
 
onde: θp ângulo que define o plano de tensão normal extrema 
 
"A solução desta equação tem duas raízes, θp1 e θp2. Especificamente, os valores de 2θp1 e 2θp2 são 
defasados de 180°. Logo, θp1 e θp2 são defasados de 90°". 
 
�H = 12 ∙ arctan J �	
0,5��	 − �
 K → Direções principais 
 
Os eixos principais são definidos por θp1 e θp2 através dos quais os planos principais ficam determinados. Os 
planos principais são ortogonais entre si, como apresenta a figura abaixo: 
 
 
 
 
Para calcularmos as tensões principais devemos substituir os valores de sen2θp1 e cos2θp1, nas equações �	′ = PQ( PR! + PQ$ PR! ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2� e �
′ = PQ( PR! − PQ$ PR! ∙ �
�2� − �	
 ∙ ���2�. Dessa 
forma, encontraram-se os valores do seno e cosseno a partir do triângulos apresentados na figura abaixo. A 
montagem dos triângulos se baseia na equação tan 2�H = SQRT,U�PQ$ PR : 
 
 
 
Supondo-se que τxy e σx − σy são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos: 
 
���2�H# = �	
V F�	 − �
2 G! + �	
!
 e �
�2�H# = F
�	 − �
2 G
V F�	 − �
2 G! + �	
!
 
 
���2�H! = − �	
V F�	 − �
2 G! + �	
!
 e �
�2�H! = − F
�	 − �
2 G
V F�	 − �
2 G! + �	
!
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os dados de θp1 e θp2 na eq. �	� = PQ( PR! + PQ$ PR! ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2�: 
 
�Bá	 = �# = �	 + �
2 + W F�	 − �
2 G
! + �	
! 
 
�BíE = �! = �	 + �
2 − W F�	 − �
2 G
! + �	
! 
 �	�
� = 0 
 
 
As equações de σmáx e σmín nos dá a tensão normal máxima ou mínima no plano a qual atua sobre um ponto 
em que σ1 ≥ σ2. 
 
 
 
 
1.1.3.2. Tensões de cisalhamento máxima (τmáx) no plano e suas direções 
 
Deriva-se a expressão de τmáx em relação a θ e iguala a zero: 
 �	�
� = − �	 − �
2 ∙ ���2� + �	
 ∙ �
�2� 
 3�	�
�3� = 0 = −2 ∙ F�	 − �
2 G ∙ �
�2� − 2�	
 ∙ ���2� = 0 
3�	�
�3� = −2 ∙ F�	 − �
2 ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2� G = 0 
 
Simplificando através da eq. �	� = PQ( PR! + PQ$ PR! ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2�: 
 3�	�
�3� = −2 ∙ X�	� − �	 + �
2 Y = 0 
 
 
Quando �	� − PQ( PR! = 0 → ZSQ0R0Z' = 0 , e teremos τmáx ou τmín. Ou seja: �	� = PQ( PR! = P[( P\! , tensão 
normal quando τ é máximo ou mínimo. 
 
Direções de τmáx e τmin: 
 3�	�
�3� = −2 ∙ F�	 − �
2 ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2�G = 0 
 �	
 ∙ ���2�& = − F�	 − �
2 G ∙ �
�2�& = 0 
 ���2�&�
�2�& = tan 2�& = − 0,5��	 − �
 �	
 
 
�& = 12 ∙ arctan J− 0,5��	 − �
 �	
 K → Direções de de �Bá	 e �B]E no plano ��&! = �&# + 90° 
 
 
Para calcularmos as tensões de cisalhamento máximas devemos substituir os valores de sen2θs e cos2θs, na 
equação �	�
� = − PQ$ PR! ∙ ���2� + �	
 ∙ �
�2�. Dessa forma, encontram-se os valores do seno e cosseno 
a partir do triângulos apresentados na figura abaixo. A montagem dos triângulos se baseia na equação tan 2�& = − T,U�PQ$ PR SQR : 
 
 
 
Supondo-se que τxy e σx − σy são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos 
 
���2�&# = − F
�	 − �
2 G
V F�	 − �
2 G! + �	
!
 e �
�2�&# = �	
V F�	 − �
2 G! + �	
!
 
 
���2�H! = − �	
V F�	 − �
2 G! + �	
!
 e �
�2�H! = − F
�	 − �
2 G
V F�	 − �
2 G! + �	
!
 
 
 
Substituindo os dados de θs1 na eq. �	�
� = − PQ$ PR! ∙ ���2� + �	
 ∙ �
�2�: 
 
�Bá	 %a B]E E% HbcE% = ± W F�	 − �
2 G
! + �	
! 
 
 
τmax é chamada de tensão máxima no plano por que atua sobre o elemento no plano xy. Substituindo-se os 
valores de sen2θs e cos2θs, na equação �	� = PQ( PR! + PQ$ PR! ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2�, verificamos que há 
uma tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máximo dada por: 
 
 
�BeZ = ��	 − �
�2 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
tan 2�H = �	
0,5��	 − �
� �planos principais e tan 2�& = −
0,5��	 − �
��	
 �planos de tensões tang. 
 tan 2�H ∙ tan 2�& = −1 → os ângulos 2�H e 2�& são perpendiculares entre si. 
 2�& = 2�H + 90° → �& = �H + 45° → os planos de �Bá	 e �B]E são planos bissetores aos principais 
 
O par de eixos ortogonais relativos às tensões de cisalhamento máximas, no plano xy, é obtido pela rotação 
de 45º nos eixos principais. 
 
As tensões tangenciais extremas diferem apenas em sinal. Seus valores absolutos são iguais. Isto, aliás, está 
de acordo com a lei da reciprocidade das tensões, visto que τmax e τmin agem em planos perpendiculares 
conforme demonstrado anteriormente. O sinal indicará o sentido da tensão tangencial, conforme convenções 
estabelecidas anteriormente. 
 
 
 
RESUMO: 
 
Tensões Principais �Bá	,BíE = �#,! = PQ( PR! ± V FPQ$ PR! G! + �	
! 
 
Tensões tangenciais �Bá	,B]E = ± V FPQ$ PR! G! + �	
! 
 
onde: �Bá	 = �# = PQ( PR! + �	
 �BíE = �! = PQ( PR! − �	
 �# − � ! = 2�Bá	 �Bá	 = PQ$ PR! 
 
 
EXEMPLO: 
 
2) O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento da figura abaixo (a). Represente 
esse estado de tensão em termos das tensões principais e τmáx e τmin. 
 
 
 
De acordo com a convenção de sinal definida, temos: σx = -20MPa, σy = 90MPa e τxy = 60MPa 
 
tan 2�H = �	
0,5��	 − �
 = 600,5�−20 − 90 → 2�H! = −47,49° → �H! = −23,7 
 �H# = �H! + 90° = 66,3° 
 
 
Tensões Principais: 
 
�#,! = �	 + �
2 ± W F�	 − �
2 G
! + �	
! = −20 + 902 ± W X−20 − 902 Y
! + 60! 
 ∴ �# = 116�-. e �! = −46,4�-. 
 
 
�	� = �	 + �
2 + �	 − �
2 ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2� = −20 + 902 + −20 − 902 ∙ �
�2�−23,7 + �60 ∙ ���2�−23,7 = −46,4�-.Por consequência, σ2 = -46,4MPa age no plano definido por θp2 
= -23,7°, ao passo que σp1 = 116 MPa age no plano definido por 
θp1 = 66,3°. Os resultados são mostrados no elemento na figura 
abaixo. Nenhuma tensão de cisalhamento age nesse elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�Bá	 %a jík = ± W F�	 − �
2 G
! + �	
! = ± W X−20 − 902 Y
! + 60! = ± 81,4 �-. 
 
Direções de τmáx e τmín: �& = �H! + 45° = 21,3° e �& = 21,3° + 90° = 111,3° 
 
Para θs = 21,3°: 
 
�	
 = − �	 − �
2 ���2� + �	
�
�2� = − −20 − 902 ����2 ∙ 21,3 + 60�
��2 ∙ 21,3 = 81,4�-. 
 �Bá	 = 81,4�-. → �&# = 21,3° �B]E = −81,4�-. → �&! = 111,3° 
 
� = �BeZ = �	 + �
2 = −20 − 902 = 35�-. de tração 
 
 
1.1.4. Círculo de Mohr para o estado plano de tensões 
 
É uma maneira prática para representar o estado de tensões em um ponto, graficamente. Para o elemento 
sujeito ao estado geral de tensões planas indicado, tem-se: 
 
 
 
�	� = �	 + �
2 + �	 − �
2 ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2� 
 �	�
� = − �	 − �
2 ∙ ���2� + �	
 ∙ �
�2� 
 
 
 
 
Sabe-se da geometria analítica que a equação de um círculo, de centro C (a,b) e raio R, é representado por: 
 �m − . ! + �n − o ! = p! 
 
Assim, as eq. podem ser reescritas: 
 
�	� − �	 + �
2 = �	 − �
2 ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2� 
 �	�
� = − �	 − �
2 ∙ ���2� + �	
 ∙ �
�2� 
 
Elevando ao quadrado cada uma das equações: 
X�	� − �	 + �
2 Y
! = F�	 − �
2 ∙ �
�2� + �	
 ∙ ���2�G
!
 
 
��	�
��! = F− �	 − �
2 ∙ ���2� + �	
 ∙ �
�2�G
!
 
 
Somando: 
X�	� − �	 + �
2 Y
! + ��	�
��! = F�	 − �
2 G
! + �	�
�! 
 
Simplificando: �m − . ! + �n − 0 ! = p! 
 
Representa-se a equação de um círculo cujo centro e raio são dados por: 
 C ��BeZ, 0 = �	 − �
2 
 
p = W F�	 − �
2 G
! + �	
! 
Assim, temos: ��	� − �BeZ ! + �	�
�! = p! 
 
 
Se estabelecermos eixos coordenados em que 
representarmos a equação acima, teremos um círculo de raio 
círculo é chamado de círculo de Mohr
 
 
 
Construção do Círculo de Mohr: 
 
 
 
1° Estabelecer os eixos coordenados: 
 - Eixo horizontal: eixo dos σ (positivo para direita 
 - Eixo vertical: eixo dos τ (positivo para baixo 
 
2° Marcar o ponto V (σx, τxy): tensões no plano vertical do elemento
das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e,
eixo x, isso significa que θ = 0°; 
Se estabelecermos eixos coordenados em que σ seja positivo para a direita e 
teremos um círculo de raio R com centro em 
círculo é chamado de círculo de Mohr e está ilustrado abaixo: 
 
Estabelecer os eixos coordenados: σ e τ: 
(positivo para direita → tração); 
(positivo para baixo → sentido de giro anti-horário)
): tensões no plano vertical do elemento. Esse ponto representa os
das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e, como o eixo 
seja positivo para a direita e τ positivo para baixo e 
com centro em (σméd, 0) no eixo σ. Esse 
 
 
horário). 
. Esse ponto representa os componentes 
como o eixo x’ coincide com o 
 
3° Marcar o ponto H (σy, -τxy): tensões no plano horizontal do elemento (admitimos σx > σy) para efeito da 
construção do círculo; 
 
4° Unir o ponto V ao centro C e determinar CV usando trigonometria. Essa distância representa o raio R do 
círculo. Unindo os pontos V e H por uma reta, temos que essa reta VH corta o eixo σ no ponto C; 
 
5° Centro do compasso em C e raio CV = CH, traça-se o Círculo de Mohr. 
 
 
Neste círculo, por construção, tem-se: 
 
0V' = σx 0H' = σy VV' = -HH' = τxy 
 
H'V' = σx - σy qr′ = qt′ = �P	 $ P
 ! 
 
 
O centro do círculo tem coordenadas C (0C,0): 
 
0q = 0t� + t�q = �
 + �	 − �
2 = �	 + �
2 = �BéZ 
 
∴ C X�	 + �
2 , 0Y 
 
p = qr = qt = v �qr′ ! + �rr′ ! = W F�	 − �
2 G
! + �	
! 
 
O plano vertical do elemento infinitesimal é representado pela linha CV e o plano horizontal pela linha CH. 
No elemento, esses planos são perpendiculares entre si, mas no Círculo de Mohr eles estão defasados de 
180°. Logo, no Círculo de Mohr, os ângulos aparecem sempre dobrados, são ângulos duplos. 
 
 
 
1.1.4.1. Tensões principais - direções principais: 
 
Pontos B e A - Definem as tensões normais extremas, σ1 e σ2 (σ1 ≥ σ2 ). Observe as tensões de cisalhamento 
que são nulas nesses pontos. 
 
�# = 0� = 0q + q� = �	 + �
2 + W F�	 − �
2 G
! + �	
! 
 
�! = 0� = 0q − q� = �	 + �
2 − W F�	 − �
2 G
! + �	
! 
 � = 0 
 
Essas tensões atuam sobre os planos definidos pelos ângulos θp1 e θp2, como na figura abaixo. Eles são 
representados no círculo pelos ângulos 2θp1 (mostrado) e 2θp2 e medidos da linha de referência radial CV 
para as linhas CB e CA, respectivamente. 
 
Apenas um desses ângulos precisa ser calculado pelo círculo, usando-se trigonometria, uma vez que θp1 e 
θp2, estão 90º afastados. A direção de rotação no círculo 2θp (nesse caso no sentido anti-horário) representa a 
mesma direção de rotação θp a partir do eixo de referência (+x) para o plano principal (+x’) como apresenta 
a figura acima. 
 
A tangente do ângulo formado pelas linhas CV e CB vale: 
 
tan 2�H = rr′qr′ = �	
0,5��	 − �
� → direções principais 
 
 
 
1.1.4.2. Tensões de cisalhamento máxima e mínima no plano: 
 
Coordenadas do Ponto D e E. 
 
Os ângulos θs1 e θs2 dão a orientação dos planos que contém os componentes (ver figura abaixo). O ângulo 
2θs1 é determinado por trigonometria. Nesse caso a rotação ocorre no sentido horário e, desse modo, θs1 deve 
estar no sentido horário no elemento. 
 
 
 
�Bá	 = p = W F�	 − �
2 G
! + �	
! = �	 − �
2 
 
�BéZ = �	 + �
2 = �# + �!2 
 
 
 
Direção no plano de τmáx: 2θs1 = 2θp1 - 90° → θs1 = θp1 - 45° 
Direção no plano de τmín: 2θs2 = 2θp1 + 90° → θs2 = θp1+ 45° 
 
 
1.1.4.3. Tensões num plano qualquer: 
 
Os componentes das tensões normal σx' e de cisalhamento τx'y' que atuam sobre um plano especificado 
definido pelo ângulo θ, como na figura abaixo, são obtidos no círculo usando-se trigonometria para 
determinar as coordenadas do ponto P no círculo de Mohr. 
 
 
 
Para localizar P, o ângulo conhecido para o plano θ (nesse 
caso no sentido anti-horário), figura ao lado, deve ser 
medido no círculo na mesma direção de 2θ (sentido anti-
horário), da linha de referência CV para a linha radial CP: 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
3) A tensão normal que atua no eixo x é positiva e a tensão de cisalhamento tende a girar o elemento 
no sentido anti-horário. 
 
 
a) Construção do círculo de Mohr 
 
O ponto X será representado à direita do eixo vertical e abaixo do eixo horizontal. De forma análoga, o 
ponto Y que representa a face oposta deverá ser representado a 180° de X. Traçando a linha XY, obtemos o 
centro C do círculo de Mohr; sua abscissa é: 
 
�BéZ = �	 + �
2 = 50 + �−10 2 = 20�-. 
 
 
Os lados do triângulo CFX são: CF = 50 – 20 = 30MPa e FX = 40MPa 
 
 
O raio do círculo é: 
p = W X50 − �−10 2 Y
! + 40! = 50�-. 
 
 
 
 
 
b) Planos principais e tensões principais 
 
As tensões principais são: 
 
σmáx = OA = OC + CA = 20 + 50 = 70 MPa 
σmín = OB = OC – BC = 20 – 50 = -30 MPa 
 
Como o ângulo ACX representa 2θp, escrevemos: 
 
tg(2θp) = FX / CF = 40 / 30 
2θp = 53,1° (ângulo no circulo) 
θp = 26,6° (ângulo do objeto) 
 
 
 
c) Tensão de cisalhamento máxima 
 
Com mais uma rotação de 90° no sentido anti-horário faz CA coincidir com CD na figura 4, uma rotação 
adicional de 45° no sentido anti-horário fará o eixo Oa coincidircomo eixo Od correspondendo à tensão de 
cisalhamento máxima na Figura 3. 
 
Nota-se na figura 4 que τmáx = R = 50MPa e que a tensão normal correspondente é σ' = σméd = 20MPa. Como 
o ponto D está localizado acima do eixo σ na Figura 4, as tensões de cisalhamento que atuam nas faces 
perpendiculares a Od na Figura 3 devem ser direcionadas de modo que tenham a tendência de rodar o 
elemento no sentido horário. 
 
 
 
4) A figura abaixo mostra o estado plano de tensões no elemento representativo de um ponto. 
Determine a tensão de cisalhamento máxima e sua orientação do elemento sobre o qual ela age.
 
 
De acordo com a convenção de sinal definida, temos: 
O centro do círculo C está localizado sobre o eixo 
 
O ponto C e o ponto de referência V (
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo sombreado 
para determinar o raio de circunferência 
 p = 	v	�60 ! �	55! �
 
 
A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média sã
no círculo. Em particular as coordenadas do ponto 
 
 
O ângulo em sentido anti-horário θs1 pode ser determinado pelo círculo, identificado como 2
 
	 2�&# � tan	$#
�20 � 35
60
 
�&# � 21,3°				e					�&! �
 
Esse ângulo em sentido anti-horário define a direção do 
(figura (c)). Como o ponto E tem 
ambas, a tensão normal média e a tensão de cisalhamento
máxima no plano, agem nas direções 
mostra a figura. 
 
 
) A figura abaixo mostra o estado plano de tensões no elemento representativo de um ponto. 
amento máxima e sua orientação do elemento sobre o qual ela age.
 
 
com a convenção de sinal definida, temos: σx = -20MPa, σy = 90MPa e τ
 
está localizado sobre o eixo σ, no ponto: �BéZ �		
$!T(	wT
!
�
(-20; 60) são marcados. 
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo sombreado 
para determinar o raio de circunferência CV, temos: 
� 81,4�-. 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média são e identificadas pelo ponto 
coordenadas do ponto D (35; 81,4) dão: 
�Bá		E%	HbcE% � 	81,4�-. 
�BéZ � 	35�-. 
pode ser determinado pelo círculo, identificado como 2
35 
� 42,5° 
� �68,7°					 
define a direção do eixo x' 
tem coordenadas positivas, 
ambas, a tensão normal média e a tensão de cisalhamento 
máxima no plano, agem nas direções x' e y' positivas como 
) A figura abaixo mostra o estado plano de tensões no elemento representativo de um ponto. 
amento máxima e sua orientação do elemento sobre o qual ela age. 
 
τxy = 60MPa 
� 	35�-. 
identificadas pelo ponto D ou E 
pode ser determinado pelo círculo, identificado como 2θs1. Temos: 
1.2. Noções do Estado Geral (ou triplo) de tensões, Círculo de Mohr conhecidas as tensões principais; 
 
No caso mais geral, o estado de tensões em um ponto é caracterizado por 9 componentes de tensões, sendo 3 
normais e 6 de cisalhamento, que atuam nas faces de um elemento do material localizado no ponto. 
 
 
 
σx, σy, σz 
τxy, τxz, τyx 
τyz, τzx, τzy 
 
 
 
Sabendo-se que as tensões de cisalhamento são iguais em planos perpendiculares, tem-se: 
 
τxy = τyx ; τxz = τzx ; τyz = τzy 
 
Portanto, rigorosamente, o estado de tensões em um ponto é caracterizado por 6 componentes de tensão 
"independe", sendo 3 normais e 3 de cisalhamento, que atuam nas faces do elemento. 
 
Este caso geral recebe o nome de ESTADO TRIPLO DE TENSÕES e pode ser representado, 
matematicamente, na forma de uma matriz quadrada (3x3, com 9 elementos), chamado tensor de tensões σij. 
 
 σx τxy τxz EPT = σx τxy 0 
σij = τxy σy τyz τxy σy 0 
 τxz τyz σz simétrica 0 0 0 
 
 
Assim, como no caso do Estado Plano de Tensões, é possível desenvolver as equações de transformação de 
tensões que possam ser utilizadas para determinação das componentes normal (σ) e de cisalhamento (τ) das 
tensões atuantes em qualquer plano inclinado do elemento no espaço. 
 
Pode-se demonstrar que, neste caso, há 3 planos perpendiculares entre si passando pelo ponto considerado 
nos quais é nula a tensão de cisalhamento (τ = 0), apresentando pois, apenas tensões normais. 
 
Nesses 3 planos, denominados planos principais, as tensões normais são chamadas de "tensões principais" e 
usualmente representadas por σ1, σ2 e σ3, admitindo algebricamente: 
 
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 
(máx.) (int.) (mín.) 
 
e nesses planos principais, temos: 
 
 σ1,máx 0 0 
σij = 0 σ2,int 0 
 0 0 σ3,mín 
 
 
Para o nosso objetivo, que é estudar a tensão de cisalhamento máxima absoluta, vamos admitir que a 
situação do elemento associado às tensões principais seja conhecida. 
 
Se observarmos esse elemento em apenas duas dimensões, isto é, segundo os planos x'y', y'z' e x'z', 
poderemos utilizar o cálculo de Mohr para determinarmos a tensão de cisalhamento máximo que ocorre em 
cada um desses planos. 
 
 
 
 �
�x�Bá	 = �!,]Ey − �z,BíE 2 �	�x�Bá	 = �#,Bá	 − �z,BíE 2 �	�
�Bá	 = �#,Bá	 − �!,]Ey 2 
 
�BéZ = �!,]Ey + �z,BíE 2 �BéZ = �#,Bá	 + �z,BíE 2 �BéZ = �#,Bá	 + �!,]Ey 2 
 
 
 
 
 
Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta: 
 �Bá	,c{& = �# − �z 2 = �Bá	 − �BíE 2 
 
�BéZ = �# + �z 2 = �Bá	 + �BíE 2 
 
 
Cuidados no estudo do Estado Plano de Tensões:
 
a) Quando as tensões principais tem o mesmo sinal, a tensão de cisalhamento máxima absoluta ocorrerá fora 
do plano e terá um valor �Bá	,c{& �	 P
 
 
b) Quando as tensões principais tem o sinal diferente, então a tensão de cisalhamento máxima absoluta é 
igual à tensão de cisalhamento máxima no plano, isto é, 
 
 
 
 
 
 
Cuidados no estudo do Estado Plano de Tensões: 
es principais tem o mesmo sinal, a tensão de cisalhamento máxima absoluta ocorrerá fora 
P|áQ	
!
 
 
 
 
�	 �	�já} 	 �	�# ~ 0 
�
 �	�k€ 	 �	�! ~ 0																						
�x �	�jík 	 � 	0 � 	�z			�direção
 
 
 
b) Quando as tensões principais tem o sinal diferente, então a tensão de cisalhamento máxima absoluta é 
igual à tensão de cisalhamento máxima no plano, isto é, �Bá	,c{& �	
P|áQ$P|í	
!
: 
�	 �	�já} 	 �	�# ~ 0 
�
 �	�jík 	 �	�z ‚ 0 
�x �	�k€ �		�! � 0 
 
es principais tem o mesmo sinal, a tensão de cisalhamento máxima absoluta ocorrerá fora 
															�# ~	�! 	 ~	�z 
direção	ƒ 
 
b) Quando as tensões principais tem o sinal diferente, então a tensão de cisalhamento máxima absoluta é 
 
1.3. Teorias de Resistência (critérios de resistência ou de falhas); 
 
Quando um engenheiro se depara com um problema de projeto em que deve ser utilizado um material 
específico, torna-se importante que se imponha um limite superior ao estado de tensão que define a falha do 
material. 
 
Se o material for dúctil, usualmente a falha é caracterizada pelo início do escoamento. Para o material frágil, 
a falha é caracterizada pela fratura do material. Esses tipos de falhas são prontamente detectados caso o 
elemento esteja sujeito a um estado uniaxial de tensões, como no caso de barras de aço tracionadas, ou 
corpos de prova comprimidos axialmente. Entretanto, se o material estiver submetido a um estado biaxial ou 
triaxial de tensões, será mais difícil o estabelecimento de um critério de falha. 
 
Seria desejável a existência de alguma teoria capaz de prever a falha de um material sujeito a um estado de 
tensão qualquer, sem ter que recorrer a ensaios complexos, utilizando-se apenas os resultados de testes 
simples e gerais, conhecido de antemão. 
 
Critérios de falha existentes são baseados nos mecanismo de falha existentes. Eles permitem a comparação 
das condições de falha de um ensaio de tensão uniaxial e um carregamento biaxial. De fato, é possível 
estabelecer critérios que possibilitem essa previsão, a partirdos comportamentos nos ensaios de tração e 
compressão simples. 
 
Finalmente, ao se estabelecer um critério de falha para um material sujeito a um estado de tensão qualquer, 
será necessário calcular as tensões principais (σ1, σ2 e σ3) nos pontos críticos e compará-los com os critérios 
oriundos dos ensaios de tração, compressão ou cisalhamento simples. 
 
 
 
 
1.3.1. Critérios de escoamento para materiais dúcteis em estado plano de tensão 
 
Os elementos estruturais e componentes de máquinas feitos com material dúctil geralmente são projetados 
de modo que o material não escoe sob as condições esperadas de carregamento. Quando o elemento ou 
componente está sob um estado de tensão uniaxial (figura abaixo), o valor da tensão normal σx que fará o 
material escoar pode ser obtido facilmente por um ensaio de tração executado em um corpo de prova do 
mesmo material, pois o corpo de prova e o ele mento estrutural ou componente de máquina estão sob o 
mesmo estado de tensão. Assim, independentemente do mecanismo real que faz o material escoar, podemos 
dizer que o elemento ou componente estará seguro desde que σx < σE, em que σE é a tensão de escoamento 
do material do corpo de prova. 
 
 
 
 
Em contrapartida, quando um elemento estrutural ou componente de máquina está em um estado plano de 
tensão (figura (a) abaixo), considera-se conveniente usar um dos métodos desenvolvidos anteriormente para 
determinar as tensões principais σ1 e σ2 em um dado ponto (figura (b) abaixo). O material pode então ser 
considerado como estando em um estado de tensão biaxial naquele ponto. Como esse estado é diferente do 
estado de tensão uniaxial encontrado em um corpo de prova submetido a um ensaio de tração, fica claro que 
não é possível prever diretamente, por meio de um ensaio como esse, se o elemento estrutural ou 
componente de máquina que está sendo investigado falhará ou não. Será necessário primeiro estabelecer 
algum critério referente ao mecanismo real de falha do material, que permitirá comparar os efeitos de ambos 
os estados de tensão no material. A finalidade desta seção é apresentar os dois critérios de escoamento 
utilizados mais frequentemente em materiais dúcteis. 
 
 
 
 
 
a) Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento ou Critério de Tresca 
 
Essa teoria pode ser usada para prever a tensão de falha de um material dúctil sujeito a qualquer tipo de 
carga. A teoria da tensão de cisalhamento máxima afirma que o escoamento do material começa quando a 
tensão de cisalhamento máxima absoluta no material atinge a tensão de cisalhamento que provoca o 
escoamento desse mesmo material quando sujeito somente a tensão axial. Portanto, para evitar falha, a teoria 
da tensão de cisalhamento máxima exige que τmáx,abs no material seja menor ou igual a σE/2, onde σE é 
determinada por um ensaio de tração simples. 
 
Para aplicar a teoria, expressaremos a tensão de cisalhamento máxima absoluta em termos das tensões 
principais. O procedimento para tal foi discutido na Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta com 
referência à condição de estado plano de tensão, isto é, na qual a tensão principal fora do plano é nula. Se as 
duas tensões principais no plano tiverem o mesmo sinal, isto é, forem ambas de tração ou de compressão, a 
falha ocorrerá fora do plano e, pela equação: 
 �Bá	,c{& = �Bá	 2 
 
 
Por outro lado, se as tensões principais no plano verem sinais opostos, a falha ocorrerá no plano e, equação: 
 �Bá	,c{& = �Bá	 − �BíE2 
 
Por essas equações e pela �Bá	 = P„ ! , a teoria da tensão de cisalhamento máxima para o estado plano de 
tensão pode ser expressa para quaisquer duas tensões principais no plano como σ1 e σ2 pelos seguintes 
critérios: 
 
 
 
A figura abaixo apresenta um gráfico dessas equações. Fica claro que, se qualquer ponto do material estiver 
sujeito ao estado plano de tensão e suas tensões principais no plano forem representadas por uma 
coordenada (σ1,σ2) marcada no contorno ou fora da área hexagonal mostrada nessa figura, o material escoará 
no ponto e diz-se que ocorrerá a falha. 
 
 
 
 
 
 
b) Teoria da Máxima Energia de Distorção ou Critério de Von Mises 
 
Este critério baseia-se na determinação da energia de distorção em um dado material, isto é, da energia 
associada a variações na forma do material (ao contrário da energia associada a variações em volume no 
mesmo material). De acordo com esse critério, um componente estrutural está seguro desde que o valor 
máximo da energia de distorção por unidade de volume naquele material permaneça menor que a energia de 
distorção por unidade de volume necessária para provocar escoamento em um corpo de prova do mesmo 
material, em um ensaio de tração. A energia de distorção por unidade de volume em um material isotrópico, 
em um estado plano de tensão, é: 
 
…Z = 1 6† ��#! + �#�! + �!! 
 
 
Onde σ1 e σ2 são as tensões principais e G é o módulo de elasticidade transversal. 
 
No caso particular de um corpo de prova em ensaio de tração que está começando a escoar, temos: 
 
σ1= σE, σ2 = 0 e (ud)E = σE2/6G. 
 
Assim, o critério de energia de distorção máxima indica que o componente estrutural estará seguro desde 
que ud < (ud)E, ou: 
 �#! + �#�! + �!! < �‡! 
 
 
isto é, desde que o ponto de coordenadas σ1 e σ2 fique dentro da área mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
Essa área é limitada pela elipse da equação: 
 �#! + �#�! + �!! < �‡! 
 
 
que intercepta o eixo de coordenadas em σ1 = ± σE e σ2 = ± σE. Podemos verificar que o eixo maior da elipse 
divide o primeiro e o terceiro quadrantes e se estende de A (σ1 = σ2 = σE) até B (σ1 = σ2 = -σE), enquanto seu 
eixo menor se estende de C (σ1 = -σ2 = -0,577σE) a D (σ1 = -σ2 = 0,577σE). 
 
 
 
 
 
 
 
Comparação entre o critério da tensão de cisalhamento máxima e da energia de distorção máxima 
 
 
 
Nota-se que a elipse passa pelos vértices do hexágono. Assim, para os estados de tensão representados por 
esses seis pontos, os dois critérios trarão os mesmos resultados. Para qualquer outro estado de tensão, o 
critério da tensão de cisalhamento máxima é mais conservador que o critério de energia de distorção 
máxima, pois o hexágono está localizado dentro da elipse. 
 
 
 
 
1.3.2. Critérios de fratura para materiais frágeis em estado plano de tensão 
 
Os materiais frágeis são caracterizados pelo fato de que, quando submetidos a um ensaio de tração, eles 
falham subitamente por meio da ruptura ou fratura sem nenhum escoamento prévio. Quando um elemento 
estrutural ou componente de máquina feito de um material frágil está sob um estado de tensão de tração 
uniaxial, o valor da tensão normal que o faz falhar é igual ao limite de resistência σL desse material obtido no 
ensaio de tração, uma vez que o corpo de prova do ensaio e o elemento ou componente investigado estão sob 
o mesmo estado de tensão. No entanto, quando um elemento estrutural ou componente de máquina está em 
um estado plano de tensão, considera-se conveniente determinar primeiro as tensões principais σ1 e σ2 em 
um dado ponto, e usar um dos critérios indicados para prever se o elemento estrutural ou componente de 
máquina falhará ou não. 
 
 
 
a) Teoria da Tensão Normal Máxima ou Critério de Coulomb 
 
De acordo com esse critério, um certo componente estrutural falha quando a tensão normal máxima nesse 
componente atinge o limite de resistência σL obtido no ensaio de tração de um corpo de prova do mesmo 
material. Assim, o componente estrutural estará seguro desde que os valores absolutos das tensões principais 
σ1 e σ2 sejam ambos menores que σL 
 
|σ1| < σL e |σ2| < σL 
 
O critério da tensão normal máxima pode ser expresso graficamente conforme mostra a figura abaixo. Se o 
ponto obtido representando os valores σ1 e σ2das tensões principais cair dentro da área quadrada, o 
componente estrutural estará seguro. Se ele cair fora dessa área, o componente falhará. 
 
 
 
Este critério tem uma limitação importante, pois se baseia na hipótese de que o limite de resistência do 
material é o mesmo em tração e em compressão. Isso raramente ocorre em razão da presença de defeitos no 
material, como trincas microscópicas ou cavidades, que tendem a enfraquecer o material em tração, ao 
mesmo tempo em que não afetam de modo considerável sua resistência à compressão. Além disso, esse 
critério não admite outros efeitos senão aqueles das tensões normais no mecanismo de falha do material. 
 
 
 
b) Critério de Falha de Mohr 
 
Este critério pode ser utilizado para prever o efeito de um dado estado plano de tensão em um material 
frágil, quando há disponíveis resultados de vários tipos de ensaios para esse material. 
 
Considerando que um ensaio de tração e um ensaio de compressão foram executados em um certo material, 
e que foram determinados para ele os valores de σLT e σLC do limite de resistência em tração e em 
compressão. O estado de tensão correspondente à ruptura do corpo de prova no ensaio de tração pode ser 
representado em um diagrama do círculo de Mohr pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e σLT 
(figura (a) abaixo). Analogamente, o estado de tensão correspondente à falha do corpo de prova no ensaio de 
compressão pode ser representado pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e σLC. Está claro que 
um estado de tensão representado por um círculo contido inteiramente em um desses círculos será um estado 
de tensão seguro. Assim, se ambas as tensões principais forem positivas, o estado de tensão será seguro 
desde que σ1 < σLT e σ2 < σLT; se ambas as tensões principais forem negativas, o estado de tensão será 
seguro desde que |σ1| < |σLC| e |σ2| < |σLC|. Representando o ponto de coordenadas σ1 e σ2 (figura (b) abaixo), 
verificamos que o estado de tensão será seguro desde que aquele ponto recaia dentro de uma das áreas 
quadradas mostradas na figura. 
 
 
Para analisarmos os casos em que σ1 e σ2 têm sinais opostos, consideramos agora que foi executado um 
ensaio de torção no corpo de prova do material e que seu limite de resistência ao cisalhamento, τL, foi 
determinado. Traçando o círculo centrado em O, que representa o estado de tensão correspondente à falha do 
corpo de prova no ensaio de torção (figura (c) abaixo), observamos que qualquer estado de tensão 
representado por um círculo contido inteiramente nesse círculo também será seguro. O critério de Mohr é 
uma extensão lógica dessa observação: de acordo com ele, um estado de tensão estará seguro se ele for 
representado por um círculo localizado inteiramente dentro da área limitada pela envoltória dos círculos 
correspondentes aos dados obtidos no ensaio. As outras partes do diagrama de tensões principais podem 
agora ser obtidas traçando-se vários círculos tangentes a essa envoltória, determinando-se os valores 
correspondentes de σ1 e σ2, e representando-se os pontos de coordenadas σ1 e σ2, (figura (d) abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
5) Considere a viga cilíndrica em balanço da figura sujeita ao carregamento indicado. Trata
uma viga de aço, cuja tensão de escoamento, à tração e à compressão, é 
 
a) Esboçar os diagramas correspondentes aos esforços solicitantes;
b) Determinar o estado de tensões no ponto mais solicitado da seção transversal mais solicitada da 
viga e representá-lo no elemento infinitesimal;
c) Determinar o diâmetro d da viga considerando
 
 
 
 
a) (V) 
 
 
 (M) Mmáx = P
 
 
 (Mt) 3600kN.cm
 
 
A seção mais solicitada é a do engaste. Ponto mais solicitado:
 
 
Os pontos A = B e C devem ser verificados
 
 
b) Expressões de σ e τ: 
 
sendo: N = 0; My = 0; Mz = -1200kN.cm e 
 
�	 �	�	�
) Considere a viga cilíndrica em balanço da figura sujeita ao carregamento indicado. Trata
uma viga de aço, cuja tensão de escoamento, à tração e à compressão, é σE = 15kN/cm². Pede
correspondentes aos esforços solicitantes; 
b) Determinar o estado de tensões no ponto mais solicitado da seção transversal mais solicitada da 
lo no elemento infinitesimal; 
da viga considerando-se os critérios de Tresca e Von Mises.
P x l = 1200kN.cm 
3600kN.cm 
A seção mais solicitada é a do engaste. Ponto mais solicitado: 
 
devem ser verificados 
�	 �		
ˆ
�
�
�
‰
∙ ƒ �	
�x
‰x
∙ n	 
1200kN.cm e ‰x	 �		
ŠZ‹
Œ
: 
�x
‰x
∙ n		 � 			
1200	 ∙ 	64
Ž3
∙
3
2
		� 			
12223,07
3z
	 
 
 
�	 �		
�y
y
∙ 	 
) Considere a viga cilíndrica em balanço da figura sujeita ao carregamento indicado. Trata-se de 
= 15kN/cm². Pede-se: 
b) Determinar o estado de tensões no ponto mais solicitado da seção transversal mais solicitada da 
Tresca e Von Mises. 
 
 
 
sendo: Mt = 3600kN.cm; y = ŠZ‹z! e  = Z!: 
 
� = 3600 ∙ 32Ž3 ∙ 32 = 18334,613z 
 
 
Ponto A: 
 
 
 
 
Cálculo das tensões principais: 
 
�#,! = �	 + �
2 ± W F�	 − �
2 G
! + �	
! = 12223,0723z ± W X12223,0723z Y
! + X18334,613z Y
!
 
 
�#,! = 6111,543z ± 19326,383z ∴ �# = 25437,923z e �! = −13214,843z = 0 
 
 
 
Tresca: 
�# − �z ≤ �‡ ∴ 25437,923z + 13214,843z ≤ 15 
 38652,663z ≤ 15 → 3z ≥ 38652,6615 = 2576,84�“z → 3z ≥ 13,72�“ 
 
 
 
Von Mises: ��# − �! ! + ��! − �z ! + ��z − �# ! ≤ 2 ∙ �‡! ��# − 0 ! + �0 − �z ! + ��z − �# ! ≤ 2 ∙ �‡! �#! + �z! + ��z! + �#! − 2�#�z ≤ 2 ∙ �‡! 2��#! + �z! − �#�z ≤ 2 ∙ �‡! 
 ∴ 3 ≥ 13,14�“ 
 
 
 
 
1.4. Vasos de Pressão de Parede Fina 
 
Os vasos de pressão de paredes finas consistem em uma importante aplicação de análise do estado plano de 
tensão. Como suas paredes oferecem pouca resistência à flexão, pode-se supor que os esforços internos que 
atuam em determinada parte da parede sejam tangentes à superfície do vaso (figura abaixo). As tensões 
resultantes em um elemento da parede estarão contidas em um plano tangente à superfície do vaso. 
 
 
 
 
1.4.1. Vasos de Pressão Cilíndrico 
 
 
 
Considere um vaso cilíndrico de raio interno r e espessura de parede t que contém um fluido sob pressão. 
Propomos determinar as tensões que atuam em um pequeno elemento de parede com lados respectivamente 
paralelos e perpendiculares ao eixo do cilindro. Em razão da axissimetria do vaso e seu conteúdo, está claro 
que a tensão de cisalhamento não está atuando no elemento. As tensões normais σ1 e σ2 são, portanto, 
tensões principais. A tensão σ1 é conhecida como tensão tangencial ou circunferencial e a tensão σ2 é 
chamada de tensão longitudinal. 
 
 
 
 
Para determinarmos a tensão tangencial σ1, destacamos uma parte do vaso e seu conteúdo limitado pelo 
plano xy e por dois planos paralelos ao plano yz a uma distância Δx um do outro, conforme mostra a figura 
abaixo. As forças paralelas ao eixo z que atuam no corpo livre consistem em forças elementares internas 
σ1dA que atuam nas seções da parede, e de forças elementares de pressão pdA que atuam na parte do fluido 
incluído no corpo livre. Note que p representa a pressão manométrica do fluido, isto é, o excesso da pressão 
interna sobre a pressão atmosférica externa. 
 
 
 
 
A resultante das forças internas σ1dA é igual ao produto de σ1 pela área da seção transversal 2tΔx da parede, 
enquanto a resultante das forças de pressão pdA é igual ao produto de p pela área 2rΔx. 
 
 
Escrevendo a equação de equilíbrio, temos: 
 � �x = 0 ∴ �#�2”∆m − •�2∆m = 0 
 
 
e, resolvendo para a tensão tangencial σ1: 
 �# = •” 
 
 
Paradeterminarmos a tensão longitudinal σ2, cortamos agora o vaso perpendicularmente ao eixo x e 
consideramos o corpo livre como parte do vaso e de seu conteúdo localizado à esquerda da seção: 
 
 
 
 
As forças que atuam nesse corpo livre são as forças internas elementares σ2dA na seção da parede e as forças 
elementares de pressão pdA que atuam na parte do fluido incluído no corpo livre. Observando que a área da 
seção de fluido é πr2 e que a área da seção de parede pode ser obtida multiplicando-se o comprimento da 
circunferência 2πr do cilindro pela sua espessura de parede t, escrevemos a equação de equilíbrio: 
 � �	 = 0 ∴ �!�2Ž” − •�Ž! = 0 
 
 
e, resolvendo para a tensão longitudinal σ2: 
 �! = •2” 
 
 
Observamos assim, que a tensão tangencial σ1 é o dobro da tensão longitudinal σ2: 
 �# = 2�! 
 
 
Obs.: Usando o raio médio da seção de parede B =  + #! ” no cálculo da resultante das forças naquela 
seção, obteríamos um valor mais preciso da tensão longitudinal, ou seja: 
 
�! = •2” ∙ 11 + ”2 
 
 
No entanto, para um vaso de pressão de paredes finas, o termo t/2r é suficientemente pequeno, 
possibilitando o uso da eq. �! = H–!y para projeto de engenharia e análise. Se um vaso de pressão não é do 
tipo de paredes finas (isto é, se t/2r não é pequeno), as tensões σ1 e σ2 variam na parede e devem ser 
determinadas pelos métodos da teoria da elasticidade. 
 
 
Traçando o círculo de Mohr entre pontos A e B que correspondem, respectivamente, às tensões principais σ1 
e σ2 (ver figura abaixo), e lembrando que a tensão de cisalhamento máxima no plano da tensão é igual ao 
raio desse círculo, temos: 
 
 
 
�Bá	 E% HbcE% = 12 �! = •4” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa tensão corresponde aos pontos D e E e atua em um elemento obtido pela rotação do elemento original 
da figura em 45° dentro do plano tangente à superfície do vaso. No entanto, a tensão de cisalhamento 
máxima é maior na parede do vaso. Ela é igual ao raio do círculo de diâmetro OA e corresponde a uma 
rotação de 45° em torno do eixo longitudinal e fora do plano das tensões. Temos: 
 
 
 �Bá	 = �! = •2” 
 
 
 
 
 
 
1.4.2. Vasos de Pressão Esférico 
 
 
 
Consideramos agora um vaso esférico de raio interno r e parede com espessura t, que contém um fluido sob 
uma pressão manométrica p. Por razões de simetria, as tensões que atuam nas quatro faces de um pequeno 
elemento de parede devem ser iguais. Temos: 
 
 
 �# = �! 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinarmos o valor da tensão, cortamos o vaso por uma seção através do centro C do vaso e 
consideramos o corpo livre que consiste na parte do vaso e seu conteúdo localizado à esquerda da seção 
(figura (a)). A equação de equilíbrio para esse corpo livre é mostrada na figura (b). Concluímos então que, 
para um vaso esférico, 
 
 
 
 �# = �! = •2” 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
 
Como as tensões principais σ1 e σ2 são iguais, o círculo de Mohr para as transformações de tensão dentro do 
plano tangente à superfície do vaso se reduz a um ponto (figura abaixo). 
 
Concluímos que a tensão normal no plano das tensões é constante e que a tensão de cisalhamento máxima 
no plano das tensões é zero. No entanto, a tensão de cisalhamento máxima na parede do vaso não é zero; ela 
é igual ao raio do círculo de diâmetro OA e corresponde a uma rotação de 45° fora do plano das tensões. 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�Bá	 = 12 �# = •4” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deve-se observar que, enquanto a terceira tensão principal é zero na superfície externa do vaso, ela é igual a 
p na superfície interna, e é representada por um ponto C (p, 0) no diagrama do círculo de Mohr. Assim, 
próximo à superfície interna do vaso, a tensão de cisalhamento máxima é igual ao raio do círculo de 
diâmetro CA, e, então, temos: 
 
�Bá	 = 12 ��# + • = •2” X1 + ”Y 
 
 
No entanto, para um vaso de paredes finas, o termo t/r é pequeno, e podemos desprezar a variação de τmáx 
através da seção de parede. Essa observação também se aplica a vasos de pressão esféricos. 
 
 
EXEMPLO: 
 
6) Um tanque de ar comprimido está apoiado em dois berços como mostra a figura. 
 
 
 
Um dos berços foi projetado de modo que não exerça nenhuma força longitudinal no tanque. O corpo 
cilíndrico do tanque tem um diâmetro externo de 762mm e é fabricado a partir de uma placa de aço 
de 9,5mm de espessura por soldagem de topo ao longo de uma hélice que forma um ângulo de 25° com 
o plano transversal. As tampas das extremidades são esféricas e têm uma espessura de parede 
uniforme de 8,0mm. Para uma pressão manométrica interna de 1,2MPa, determine: 
 
a) a tensão normal e a tensão de cisalhamento máxima nas tampas esféricas; 
b) as tensões em direções perpendiculares e paralelas à soldagem helicoidal. 
 
 
 
a) Tampa esférica 
�# = �! = •2” = —1,2 ∙ �381 − 8 ˜2�8 = 28�-. 
 
 
Notamos que para tensões em um plano tangente à tampa, o círculo de Mohr se reduz a um ponto (A, B) no 
eixo horizontal e que todas as tensões de cisalhamento no plano das tensões são zero. Na superfície da tampa 
a terceira tensão principal é zero e corresponde ao ponto O. Em um círculo de Mohr de diâmetro AO, o 
ponto D' representa a tensão de cisalhamento máxima; ela ocorre em planos a 45° em relação ao plano 
tangente à tampa. 
 
 
 
 
 
�Bá	 = 12 �# = 12 28 = 14�-. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Corpo cilíndrico do tanque 
 
Primeiro determinamos a tensão tangencial σ1 e a tensão longitudinal σ2 
 
 
 
 
�# = •” = —1,2 ∙ �381 − 9,5 ˜9,5 = 47�-. 
 
�! = 12 �# = 23,4�-. 
 
�BéZ = 12 ��# + �! = 35,25�-. 
 
p = 12 ��# − �! = 11,75�-. 
 
 
 
 
 
 
Tensões na solda: Considerando que tanto a tensão tangencial quanto a tensão longitudinal são tensões 
principais, traçamos o círculo de Mohr conforme está mostrado. 
 
Um elemento com uma face paralela à solda é obtido rodando-se a face perpendicular ao eixo Ob no sentido 
anti-horário em 25°. Portanto, no círculo de Mohr localizamos o ponto X' correspondente aos componentes 
de tensão na solda rodando o raio CB no sentido anti-horário por meio de 2θ = 50°. 
 �™ = �BéZ − p�
�50° = 35,25 − 11,75�
�50° = 27,7�-. 
 �™ = p���50° = 11,75���50° = 9�-. 
 
 
Como X' está abaixo do eixo horizontal, τw tende a girar o elemento no sentido anti-horário.