Transformações Politrópicas

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Capítulo 3 67 
 
 
Transformação Politrópica. Como vimos atrás, numa expansão isotérmica de 
um gás perfeito, 
 
∝ ⇒ =
1p pV C
V 
(1)
 
onde C é uma constante (C = nRT, neste caso). 
Para uma expansão adiabática de um gás perfeito 
 
γ
γ
∝ ⇒ =
1p pV C
V 
(2)
 
onde γ = Cp/ CV e C é outra constante. Conforme ilustra a Fig. 3.12, a pressão varia 
mais acentuadamente com o volume numa expansão adiabática do que numa 
expansão isotérmica. 
Uma expansão politrópica é um caso intermédio entre a expansão isotérmica e 
adiabática: 
 
∝ ⇒ =
1 n
n
p pV C
V 
(3)
 
onde 1 < n < γ e C é uma outra constante. Assim, neste tipo de expansão, há calor 
transferido (não é um processo adiabático) e há variação de temperatura (não é um 
processo isotérmico). 
Para calcularmos o trabalho envolvido numa transformação politrópica reversí-
vel de um gás perfeito, partimos (como não poderia deixar de ser) da definição de 
trabalho de expansão (ou compressão): 
 
= − ⇒ = − = −∫ ∫
f f
i i
ext ext
V V
V V
dW p dV W p dV pdV (4)
 
onde p é a pressão do gás, cuja dependência com o volume é expressa pela Eq. (4). 
Assim, substituindo a Eq. (3) em (4), fica 
 
= − = −∫ ∫
f f
i i
V V
nV V
CW pdV dV
V 
(5)
 
Para n = 1, obtemos, obviamente, a expressão do trabalho de uma expansão isotér-
mica reversível de gás perfeito [Eq. (2.12)]: 
68 Material Adicional 
 
= − = − =∫ ∫
f f
i i
i
f
ln
V V
V V
VC nRTW dV dV nRT
V V V 
(6)
 
Para o processo politrópico (1 < n < γ) obtemos da Eq. (5): 
 
− −−
−
   − = − = − = − = − = − 
 − −    
∫ ∫ ∫
f
f f f
i i i
i
1 11
f i1
1 1
V n nnV V V n
n nV V V
V
V VC VW dV C dV C V dV C C
n nV V 
(7)
 
Da Eq. (3) obtemos para o estado inicial (i) e para o estado final (f), 
 = =i i f f
n np V C p V (8) 
Substituindo este resultado na Eq. (7), fica 
 
− − − − − − − = − = =
 − − − 
1 1 1 1
f i i i i f f f i i f f
1 1 1
n n n n n nV V p V V p V V p V p V
W C
n n n 
(9)
 
Por outro, uma vez que o gás é perfeito, 
 
=
=
i i i
f f f
p V nRT
p V nRT 
(10)
 
onde n é, neste caso, o número de moles do gás. Assim, a Eq. (9) pode escrever-se, 
em alternativa, sob a forma 
 
−
=
−
i f( )
1
nR T T
W
n 
(11)1
 
Combinando as Eqs. (8) e (10) para eliminar a pressão, obtemos 
 
− −

= 
   
= × =       
    
= 

f f f
1
i i i f f f f
i i i if i
i f
n n
n
n
p V T
p V T T V V V
T V V Vp V
p V
 (12)
 
 
1 Notar o significado diferente dos dois “n” desta equação: o “n” no numerador, é o número de moles 
[Eq. (10)]; o “n” no denominador, é o expoente politrópico definido pela Eq. (3). 
Capítulo 3 69 
Em termos da temperatura e da pressão (isto é, eliminando o volume), vem 
 
−
− −

= 
   
= × = ×             ⇒= =    
  
   
= =      
   
f f f
1/ 1/i i i f f i f f
1/
i i f i if i f i
i i ff
1 (1/ ) ( 1)/
f f
i i
n n
nn
n
n n n
p V T
p V T T p p p p
T p p p pp V V p
p V pV
p p
p p
 (13)
 
Numa expansão politrópica [1 < n < γ, isto é, (1 – n) < 0], Vf > Vi (e pf < pi) e a Eq. 
(12) mostra que Tf < Ti. Assim, o gás arrefece e efetua trabalho pois a Eq. (11) prova 
que W < 0, já que (Ti – Tf) > 0 e (1 – n) < 0 . 
De modo semelhante, numa compressão politrópica de um gás perfeito, pf > pi e 
a Eq. (13) mostra que Tf > Ti (o gás aquece). Por isso, é efetuado trabalho no siste-
ma, pois a Eq. (11) mostra que W > 0, já que (Ti – Tf) < 0 e (1 – n) < 0.