Aula Trabalho e Energia

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Trabalho e Energia 
 
A Energia é algo com que convivemos constantemente. 
Para nos mantermos vivos, precisamos nos alimentar e, para isso, extrair a energia dos alimentos. 
Historicamente, o homem se encontra em uma busca constante por formas de energia. A queda das águas para 
gerar energia elétrica, a queima de combustíveis para a geração de movimento e mais um enorme número de 
exemplos. 
Desses todos, é importante observar que em nenhum deles ocorreu criação de energia, mas sim a 
sua transformação. Um caso clássico que pode ser citado é o de uma usina hidrelétrica, onde ocorre a transformação 
da energia mecânica em energia elétrica. 
Nós não sabemos o que é Energia. O que sabemos é que se um sistema formado por um ou mais corpos possui 
energia então ele será capaz de produzir movimento. 
De acordo com sua fonte, a energia recebe uma denominação, ela pode ser energia mecânica, elétrica, 
química, luminosa, sonora, nuclear, térmica, etc. Essas diferentes modalidades de energia são intercambiáveis, isto é, 
podem ser transformadas de um tipo em outro, tanto por processos naturais como artificialmente. 
A Energia Mecânica pode ser Cinética ou Potencial. A Energia Cinética é a associada ao movimento. A 
Energia Potencial é a energia armazenada, associada à posição de um corpo ou um sistemas de corpos. Essa energia 
pode permanecer armazenada indefinidamente, ou ser utilizada a qualquer momento, na produção de movimento. 
Classificamos a Energia Potencial em Gravitacional e Elástica. 
 
Trabalho 
Trabalho de uma força é uma medida da quantidade de energia transferida ou transformada, através e uma 
força, para um determinado sistema. 
Para se colocar algum objeto em movimento, é necessária a aplicação de uma força e, simultaneamente, uma 
transformação de energia. Quando há a aplicação de uma força e um deslocamento do ponto de aplicação dessa força, 
pode-se dizer que houve uma realização de trabalho. 
Note que, para realizar-se um trabalho, existe a necessidade de um deslocamento. Caso algum objeto esteja 
sob a ação de uma força, mas em repouso, não haverá a realização de trabalho. As forças que atuam sobre uma pessoa 
parada segurando uma mala não realizam trabalho, pois não há deslocamento do ponto de aplicação dessas forças. 
Considere um objeto que está submetido a uma força F constante e, devido a essa força, esse objeto sofre um 
deslocamento 𝑑 𝑜𝑢 𝑆, como se vê ao lado: 
 
 
 
 
 
A força pode ser dividida em duas componentes, como se mostra a seguir: 
 
Observe que a componente de F que realiza o trabalho é Fx, pois é a que tem a 
mesma direção do deslocamento. A componente Fy não realiza trabalho, pois 
é perpendicular ao deslocamento e, por isso, não interfere diretamente no 
movimento. 
 
O trabalho é então definido como sendo o produto do componente Fx pelo deslocamento sofrido pelo objeto e 
como Fx = F.cos(Ɵ) , teremos a seguinte definição matemática para o trabalho (W ou τ): 
W = �⃗� • 𝑆 (produto escalar) → W = │�⃗�│.│𝑆│. cos(Ɵ) 
No Sistema Internacional, a unidade de trabalho é o joule 1J = 1N.m 
No exemplo citado, a força mostrada é causadora do movimento do objeto, mas existem casos em que a força 
é de oposição ao movimento, como por exemplo o atrito. Nessas situações o trabalho será negativo. 
Observe que, se: 
Ɵ = 90º → W = 0 
 0 ≤ 𝜃 < 90° → W > 0 → 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (força a favor do movimento) 
90° < 𝜃 ≤ 180° → W > 0 → 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 (força de oposição ao movimento) 
Trabalho de uma força qualquer 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = �⃗�𝑡 + �⃗�𝑛 
 
�⃗�𝑛 ⊥ 𝑆 → W = 0 a componente está perpendicular ao deslocamento 
 
�⃗�𝑡 ∕∕ 𝑆 → W ≠ 0 a componente está paralela ao deslocamento 
 
 
figura:osfundamentosdafisica.blogspot.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W𝐴→𝐵 = ∫ �⃗�. 𝑑𝑆
𝐵
𝐴
⟹ Á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 
 
Quando a força que provoca o movimento não é constante podemos determinar o trabalho desta força pelo 
cálculo da integral da função ou pelo cálculo da área sob o gráfico desta função. 
 
 Fn 
F 
F(N) 
S(m) A B 
s 
 
Trabalho da Força Peso e Energia Potencial Gravitacional 
 
 
Considere um corpo de massa m sob ação exclusiva da força Peso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W𝐴→𝐵 = �⃗�. 𝑆 = |𝑃|. |𝐴𝐵̅̅ ̅̅ |. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚. 𝑔. (ℎ𝐴 − ℎ𝐵). 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Neste caso 𝜃 = 0° 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 , cos 0 = 1 
 
W𝐴→𝐵 = 𝑚. 𝑔. (ℎ𝐴 − ℎ𝐵). 1 = 𝑚. 𝑔. ℎ𝐴 − 𝑚. 𝑔. ℎ𝐵 
 
Percebam que as alturas hA e hB são dadas em relação a um Nível de Referência (NR) 
 
A equação anterior mostra que o trabalho da força Peso para levar um corpo de um ponto A para um ponto B 
W𝐴→𝐵 não depende da trajetória e sim, apensas da posição inicial e da posição final. Logo a força Peso é classificada 
como força conservativa e a ela associa-se o conceito de Energia Potencial. 
A Energia Potencial Gravitacional do corpo no ponto A é dada por: 𝐸𝑃𝐺𝐴 = 𝑚. 𝑔. ℎ𝐴 
A Energia Potencial Gravitacional do corpo no ponto B é dada por: 𝐸𝑃𝐺𝐵 = 𝑚. 𝑔. ℎ𝐵 
Assim a Energia Potencial Gravitacional do corpo em um ponto qualquer será dada por: 𝐸𝑃𝐺 = 𝑚. 𝑔. ℎ, onde 
h é a altura do corpo em relação ao NR. 
Trabalho da Força Elástica e Energia Potencial Elástica 
 
Em trabalho de distensão ou compressão em regime de proporcionalidade, a força que uma mola helicoidal 
exerce segue a Lei de Hooke: 
𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑘. �⃗� 
onde: 
 
k é a constante da mola [N/m]; e 
x é o módulo da elongação (deformação) da mola [m] 
 
 
figura:osfundamentosdafisica.blogspot.com.br 
NR 
hA 
hB 
A 
B 
�⃗⃗� 𝑆𝐴𝐵 
Vamos supor uma mola com alongamento inicial x1 e calcular o trabalho realizado pela força elástica quando 
esticamos a mola até um alongamento final x2 
𝑊𝑥1→𝑥2 = ∫ �⃗�. 𝑑𝑆
𝑥2
𝑥1
 = ∫ −𝑘𝑥𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
 = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
 
𝑊𝑥1→𝑥2 = −
𝑘𝑥2
2
|
𝑥1
𝑥2
= (−
𝑘𝑥2
2
2
) − (−
𝑘𝑥1
2
2
) = (−
𝑘𝑥2
2
2
) + (
𝑘𝑥1
2
2
) 
𝑊𝑥1→𝑥2 = (
𝑘𝑥1
2
2
) − (
𝑘𝑥2
2
2
) 
Como observamos na equação acima a força elástica é uma força conservativa, pois seu trabalho depende 
apenas da posição inicial x1 e da posição final x2. Então associamos a ela uma energia potencial elástica EPM. 
A Energia Potencial Elástica do corpo em um ponto A qualquer será dada por: 
𝐸𝑃𝑀𝐴 =
𝑘𝑥A
2
2
 
Teorema da Energia Potencial 
“O Trabalho de uma Força Conservativa equivale à diminuição de sua Energia Potencial” 
𝑊𝐴→𝐵 = −∆𝐸𝑃 = −(𝐸𝑃𝐵 − 𝐸𝑃𝐴) = 𝐸𝑃𝐴 − 𝐸𝑃𝐵 
 
Teorema da Energia Cinética 
“O Trabalho de todas as forças que atuam sobre uma partícula é igual à variação da Energia Cinética” 
𝑊𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 
𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠
= Δ𝐸𝐶 = 𝐸𝐶𝑓 − 𝐸𝐶𝑖 
𝐸𝐶 = 
𝑚𝑣2
2
 
Teorema da Energia Mecânica 
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = 𝐸𝐶 + (𝐸𝑃𝐺 + 𝐸𝑃𝑀) 
“O Trabalho das forças não conservativas é igual à variação da Energia Mecânica” 
Pelo Teorema da Energia Cinética, vem: 
 𝑊𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 
𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠
= Δ𝐸𝐶 = 𝐸𝐶𝑓 − 𝐸𝐶𝑖 
 𝑊𝐶𝑜𝑛𝑠 + 𝑊𝑁𝐶 = 𝐸𝐶𝑓 − 𝐸𝐶𝑖 
Pelo Teorema da Energia Potencial, vem: 
(𝐸𝑃𝑖 − 𝐸𝑃𝑓) + 𝑊𝑁𝐶 = 𝐸𝐶𝑓 − 𝐸𝐶𝑖 
𝑊𝑁𝐶 = 𝐸𝐶𝑓 − 𝐸𝐶𝑖 − (𝐸𝑃𝑖 − 𝐸𝑃𝑓) 
𝑊𝑁𝐶 = 𝐸𝐶𝑓 − 𝐸𝐶𝑖− 𝐸𝑃𝑖 + 𝐸𝑃𝑓 
𝑊𝑁𝐶 = 𝐸𝐶𝑓 + 𝐸𝑃𝑓 − 𝐸𝐶𝑖− 𝐸𝑃𝑖 = (𝐸𝐶𝑓 + 𝐸𝑃𝑓) − (𝐸𝐶𝑖+ 𝐸𝑃𝑖) 
𝑊𝑁𝐶 = 𝐸𝑀𝑓 − 𝐸𝑀𝑖 = (𝐸𝐶𝑓 + 𝐸𝑃𝑓) − (𝐸𝐶𝑖+ 𝐸𝑃𝑖) 
Lembrando que 𝐸𝑃 = 𝐸𝑃𝐺 + 𝐸𝑃𝑀 
𝑊𝑁𝐶= (𝐸𝐶𝑓 + 𝐸𝑃𝐺𝑓 + 𝐸𝑃𝑀𝑓) − (𝐸𝐶𝑖+ 𝐸𝑃𝐺𝑖 + 𝐸𝑃𝑀𝑖) 
Assim: 
𝑊𝑁𝐶 = Δ𝐸𝑀 
Se: 
𝑊𝑁𝐶 = 0 ⟹ Δ𝐸𝑀 = 0 ⟹ 𝐸𝑀𝑓 = 𝐸𝑀𝑖 = (𝐸𝐶𝑓 + 𝐸𝑃𝐺𝑓 + 𝐸𝑃𝑀𝑓) = (𝐸𝐶𝑖+ 𝐸𝑃𝐺𝑖 + 𝐸𝑃𝑀𝑖) 
Agora vamos fazer alguns exercícios, sempre se lembrando de algumas coisinhas muito importantes: 
1- Estabelecer o NR (nível de referencia) no nível mais baixo que o objeto alcança durante o movimento. 
2- Identificar os pontos, Inicial e Final, do movimento. 
3- Verificar o tipo de Energia que o objeto possui em cada ponto (Inicial e Final) 
Se tem velocidade tem EC 
Se tem mola, comprimida ou distendida, tem EPM 
Se tem altura, em relação ao NR, tem EPG 
4- Verificar se o sistema é Conservativo (não tem atrito) ou Não Conservativo (tem atrito) 
5- Colocar os dados na equação e resolver. 
 
Fazer os exercícios da Apostila que se iniciam na pagina 129 
Pág 130 ex. 9, 10 
Pág 131 ex. 11 
Pág 132 ex. 16, 17 
Pág 133 ex. 20, 21 
Pág 136 ex. 29, 30 
Pag 137 ex 1 
Pág 139 ex 2 
 
 
Na lista avulsa de exercícios que segue abaixo não tem o exercício nro 1. 
 
 
Alguns exercícios já estão com as respostas no enunciado e outros não. O que estiver faltando passarei a 
resposta na próxima aula. 
 
Bons Estudos!!!!