Prova 3 Cálculo I

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Universidade Federal do Parana´
3a prova (P3) - CM201 Ca´lculo I
Prof. Cleber de Medeira 13/12/2013
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GRR: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
“Expresse de maneira clara seu racioc´ınio, caso contra´rio perdera´ pontos”.
1. [ /2,5] Resolva as questo˜es.
(a) Encontre a a´rea da regia˜o do primeiro quadrante limitada pelas curvas y = x3 e y = x.
(b) Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = x2−1 e y = 1−x2 para 0 ≤ x ≤ 2.
(c) Encontre o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido ao rotacionar a regia˜o limitada pelas
curvas y =
√
x, y + x = 2 e x = 0 em torno do eixo x.
(d) Construa uma regia˜o no plano cartesiano de forma que o so´lido obtido pela revoluc¸a˜o
dessa regia˜o em torno de um eixo seja o tronco de cone conforme mostra a figura. Em
seguida, escreva uma fo´rmula usando uma integral definida para determinar o volume
desse so´lido (obs: na˜o precisa calcular a integral).
2. [ /2,5] Calcule as integrais definidas:
(a)
∫ 2
0
(x + 1)2dx (b)
∫ 1
−1
x
x2 + 1
dx (c)
∫ e
1
√
lnx
x
dx (d)
∫ 1
0
xexdx
3. [ /2,5] Calcule as integrais indefinidas:
(a)
∫
2x
3
√
x2 + 1
dx (b)
∫
cos2 x tg xdx (c)
∫
e2x cosxdx (d)
∫
2x + 1
x2 − 3x + 2dx
4. [ /2,5] Resolva as questo˜es.
(a) Verifique se a integral diverge ou converge:
∫ +∞
1
x
(x2 + 1)2
dx.
(b) Verifique se a integral diverge ou converge:
∫ +∞
−∞
xe−x
2
dx.
(c) Verifique se a integral diverge ou converge:
∫ 1
0
2x
1− x2dx.
(d) Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o: g(x) =
∫ 2x
0
ln(t2 + 1)dt.