teorico IV Probabilidade e Estatistica

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Responsável pelo Conteúdo: 
Profª Ms. Rosangela Maura C. Bonici 
 
 
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. 
 
• Cálculo da Variância e Desvio Padrão 
• Introdução ao Conteúdo 
A proposta deste estudo é trabalhar com as medidas de dispersão. 
Nela você irá aprender como calcular a variância e o desvio-padrão 
de dados brutos, de dados agrupados em distribuições de freqüência 
variável discreta e de dados agrupados em distribuições de freqüência 
variável contínua. Aprenderá também qual o significado do desvio-
padrão e em quais situações práticas ele poderá ser empregado. 
 
Atenção 
Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar 
as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma. 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
Entenda o que é média e desvio padrão de uma prova 
 O entendimento natural que grande parte dos candidatos utiliza para avaliar seus 
desempenhos nas provas é: "acertei mais ou menos questões do que a média?". Claro que a 
premissa vigente é a de que os candidatos mais bem preparados superam, em número de 
acertos, a média das provas. 
0 resultado de uma prova, normalmente, é conhecido através de informações como 
média e desvio padrão, bem como pela distribuição de frequências do número de acertos dos 
candidatos, expressos em forma gráfica. Este gráfico, denominado histograma, mostra, no 
eixo dos X (abscissas), o número de questões e, no eixo dos Y, o número de candidatos que 
acertaram o referido número de questões. O que significam essas informações? 
Numa distribuição de frequências, há três medidas importantes: a moda, a mediana e a 
média. A primeira é o "pico", isto é, o ponto no eixo das abscissas de maior frequência. A 
mediana é o ponto, no eixo das abscissas, que divide as ocorrências em duas frações iguais, 
cada uma com 50% das frequências. A média é o ponto, no eixo das abscissas, que faria com 
que o gráfico ficasse equilibrado, não inclinando nem para a esquerda nem para a direita; em 
suma, a média é o ponto, no eixo das abscissas, situado na vertical que passa pelo centro de 
gravidade da figura. 
O que se deseja em uma prova do Concurso Vestibular é um histograma formando 
uma curva simétrica, distribuídos entre 0 e 25 acertos, concentrando moda, mediana e média 
próximas a 15 acertos, exibindo uma distribuição balanceada de acertos, tanto à esquerda 
como à direita do centro de distribuição, de acordo com o gráfico apresentado na figura da 
página a seguir. 
O gráfico mostra uma distribuição normal rigorosamente simétrica. No centro da 
distribuição, coincidem média, mediana e moda. Uma curva de distribuição normal (ou Curva 
de Gauss) tem como característica englobar 99,73% das ocorrências no intervalo 
compreendido entre a média e ± 3 desvios padrão, conforme detalhado no mesmo gráfico. 
 
7 
O desvio padrão de uma prova mede o grau de dispersão dos candidatos em relação à 
média, isto é, o quanto o conjunto de candidatos se distanciou da média, tanto além como 
aquém do centro de distribuição. Isso significa que os escores obtidos por 99,73% dos 
candidatos estarão compreendidos entre a média e ± 3 desvios padrão, ou seja, salvo raras 
exceções, todos os candidatos estarão neste intervalo. 
 
 Ao se elaborar uma prova, espera-se que o resultado da aplicação da mesma gere 
uma "curva de distribuição normal", isto é, essa prova deve gerar uma média de 15 acertos e 
os candidatos devem estar distribuídos simetricamente entre zero e 30 acertos (ou entre dois 
limites internos desse intervalo, equidistantes de 15). 
 A obtenção de uma distribuição simétrica com 100% das ocorrências entre 0 e 30 
acertos, em uma prova de 30 questões e média de 15 acertos, pode ser possível quando se 
obtém um desvio padrão de 5 acertos. Nesse caso, se o histograma assumir formato 
semelhante ao da curva normal, todos os escores possíveis de serem obtidos pelos candidatos 
ficariam simetricamente contidos no intervalo entre a média e ± 3 desvios padrão, ou seja, 
entre O acertos (15 - (3 x 5)) e 30 acertos (15 + (3 x 5)). 
 Infelizmente, não é fácil obter uma curva de distribuição normal. O resultado obtido 
pelos candidatos em uma prova depende de muitos fatores, entre os quais podem ser 
destacados a preparação dos mesmos e o grau de dificuldade da prova. Por isso mesmo, é 
importante poder avaliar uma prova através do resultado obtido na sua aplicação. 
 A informação da média permite verificar o grau de facilidade da prova para a 
população que a realizou. Quanto menor a média (abaixo de 15 acertos), menor a facilidade 
dos candidatos com as questões da mesma. Quanto maior a média (acima dos 15 acertos), 
maior a facilidade dos candidatos com as questões propostas. 
 
8 
 
 Uma prova, com histograma normal, com média de 15 acertos e desvio padrão de 4 
acertos significa que 99,73% dos candidatos serão encontrados entre os escores 3 e 27 
acertos, (15 - (3 x 4)) e (15 + (3 x 4)). Isso significa que os candidatos com escores 0, 1, 2, 28, 
29 e 30 acertos serão 0,23% da população, portanto pouquíssimos, conforme mostrado na 
figura a seguir correspondente à distribuição com desvio 4. 
 Enquanto que numa prova, também com histograma normal, com média de 15 
acertos, mas desvio padrão de 2 acertos significa que 99,73% dos candidatos serão 
encontrados entre os escores 9 e 21 acertos, (15 - (3 x 2)) e (15 + (3 x 2)). Isto é, também 
haverá poucos candidatos (0,23%) com escores de 0 até 8 e de 22 até 30 acertos, conforme 
mostrado na figura correspondente à distribuição com desvio 2. 
 Analisando as duas figuras, que seguem, é possível concluir que, quanto maior for o 
desvio padrão, mais aberta é a curva (maior dispersão), ou seja, maior variedade de escores 
obtidos pelos candidatos e melhores condições de discriminar a qualificação dos candidatos. 
Curvas muito fechadas (pequeno desvio padrão) significam menor dispersão, ou seja, grande 
concentração de escores e menor variedade dos mesmos (muitos empates). Em outras 
palavras, se houver muitos empates, a prova poderá não avaliar devidamente a preparação 
dos candidatos. Ao mesmo tempo, provas muito difíceis não diferenciam escores obtidos 
unicamente através de acerto casual. 
 
Fonte: Vestibular da UFRGS 2005 
Provas Comentadas - Processo de Avaliação 
Publicado pela COPERSE - UFRGS 
Universidade federal do Rio Grande do Sul. Disponível em: 
<http://www.universitario.com.br/noticias/noticias_noticia.php?id_noticia=6560>. Acesso em: 10 Set. 2009 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
As medidas de variação ou dispersão, avaliam a dispersão ou a variabilidade da 
sequência numérica em análise, são medidas que fornecem informações complementares à 
informação da média aritmética. As principais medidas de dispersão são: a variância e o 
desvio-padrão. 
Usaremos as letras s2 para denotar a variância de uma amostra e s para denotar o seu 
desvio-padrão. 
 
2 Cálculo da Variância e Desvio Padrão 
 
Para calcular a variância e o desvio-padrão vamos analisar três casos: 
i) Quando os dados ainda não foram agrupados em tabelas de frequência, ou seja, 
estão na forma de dados brutos ou rol; 
ii) Quando os dados estão agrupados em distribuições de frequência variável discreta 
e 
iii) Quando os dados estão agrupados em distribuições de frequência variável 
contínua. 
 
2.1 Dados brutos ou rol 
Para podermos calcular a variância e o desvio padrão de dadosbrutos vamos usar as 
fórmulas que seguem: 
Fórmula para o Cálculo da Variância de Dados Brutos 
 
 
 
 
1
)( 2
2




n
xx
s
i
 
s2= Variância 
xi = Cada um dos valores assumidos pela 
variável 
x
= Média aritmética dos dados brutos 
n = Total de elementos observados 
 
 
10 
 
Fórmula para o Cálculo do Desvio-Padrão de Dados Brutos 
 
 
Vejamos um exemplo de utilização da variância e desvio-padrão. Calcule a variância e 
o desvio padrão das notas de três turmas de estudantes. 
Quadro 1 – Notas de estudantes das Turmas A, B e C 
Turma Notas dos alunos Média Desvio-Padrão 
A 4 5 5 6 6 7 7 8 6 1,31 
B 1 2 4 6 6 9 10 10 6 3,51 
C 0 6 7 7 7 7,5 7,5 6 2,69 
 
O desvio-padrão da turma A foi calculado da seguinte forma: 
1º) Determinar é a média aritmética das notas, pois a variância depende dela. Como são 
dados brutos vamos relembrar a fórmula para calculo da média 
 
Usando as notas da turma A para fazer os cálculos temos: 
8
87766554
x 


 
6
8
48
x 
 
Observe no quadro que a média e o 
desvio-padrão das notas já estão 
calculados. Vamos ver como isso foi feito. 
n
xi
x


 
2ss 
 
s = Desvio-padrão 
s2= Variância 
 
 
11 
 
Concluímos que a média aritmética das notas vale 6. 
 
2º) Vamos calcular a variância das notas da turma A, para isso vamos usar a fórmula para o 
cálculo da variância de dados brutos que é 
 
 
1
)( 2
2




n
xx
s
i 
 
 
 
Temos que a variância das notas vale 1,71 
 
3º) Vamos calcular o desvio-padrão das notas vamos usando a fórmula: 
 
2ss  
Substituindo a variância na fórmula e fazendo o cálculo temos: 
71,1s
= 1,31 
Turma Notas dos alunos 
A 4 5 5 6 6 7 7 8 
Vamos entender o que a fórmula está dizendo... 
2)( xxi 
 (faça a diferença entre cada nota e a média 
aritmética e eleve ao quadrado, depois some cada uma 
dessas diferenças) 
Depois divida o valor que encontrou pelo total de notas 
menos 1 
71,1
7
12
7
41100114
18
 6)-(86)-(76)-(76)-(66)-(66)-(56) - (5)64(
1
)( 222222222
2










n
xx
s
i
 
12 
 
 
Temos que o desvio-padrão vale 1,31. 
Para calcular o desvio-padrão das turmas B e C foi procedido da mesma forma. 
Considerações 
Quadro 1 – Notas de estudantes das Turmas A, B e C 
Turma Notas dos alunos Média Desvio-Padrão 
A 4 5 5 6 6 7 7 8 6 1,31 
B 1 2 4 6 6 9 10 10 6 3,51 
C 0 6 7 7 7 7,5 7,5 6 2,69 
 
Observando o quadro1, podemos fazer as seguintes considerações: 
As notas que geraram média 6 nas três turmas são bastante diferentes. 
Os desvios-padrão são bem diferentes. O menor está na turma A, o intermediário na 
turma C e o maior na turma B. 
O desvio-padrão nos mostra a variabilidade dos dados em relação à média. A grosso 
modo dizemos que o desvio-padrão nos mostra se a média aritmética sofreu pouca ou muita 
influência dos valores extremos (muito grandes ou muito pequenos). Nesse caso podemos 
afirmar que: 
 
A turma A foi a menos influenciada por valores extremos 
A turma C foi medianamente influenciada por valores extremos 
A turma B foi a mais influenciada por valores extremos. 
 
2.2 Distribuição de frequência variável discreta 
 
Para calcular a variância e o desvio-padrão de uma distribuição de frequência variável 
discreta vamos usar as fórmulas a seguir: 
 
13 
Fórmula para o Cálculo da Variância da Distribuição de Frequência Variável 
Discreta 
 
 
 
 
Fórmula para o cálculo do desvio-padrão 
Distribuição de frequência variável discreta 
 
 
 
Vejamos um exemplo: O quadro 2 representa as notas de Matemática, calcule a 
variância e o desvio-padrão. 
 Quadro 2 – Notas de Matemática 
 
 
 
 
 
As notas de Matemática estão agrupadas em uma distribuição de frequência variável 
discreta, para calcular a variância e o desvio-padrão temos que usar as fórmulas 
correspondentes. 
Notas de Matemática (xi) fi 
2 3 
3 5 
4 8 
5 4 
Totais 20 
s2= Variância 
xi = Cada um dos valores assumidos pela 
variável 
fi = freqüência absoluta 
x
= Média aritmética da variável discreta 
1 fi
= Soma do total de elementos 
observados menos 1 
 
1
.)( 2
2





fi
fixx
s
i
 
2ss 
 
s = Desvio-padrão 
s2= Variância 
 
 
14 
 
 
1º Vamos calcular a variância usando a fórmula 
 
 
 
 
 
 
 
Lembra-se da fórmula da média aritmética ponderada? É ela que iremos usar! 



fi
fixi
X
. 
Vamos usar a distribuição das notas de Matemática e abrir uma coluna para podermos 
multiplicar xi por fi e calcular a média 
Notas de Matemática (xi) fi xi.fi 
2 3 2.3 = 6 
3 5 3.5 = 15 
4 8 4.8 = 32 
5 4 5.4 = 20 
Totais 20 73 
 
Vamos entender o que ela significa 
ii fxx .)(
2
= devemos subtrair cada nota 
da média aritmética. Esse resultado deve ser 
elevado ao quadrado. Depois deve ser 
multiplicado pela respectiva frequência. Ao 
final fazer o somatório desses valores 
1 fi
=somar o total de notas e subtrair 1 
1
.)( 2
2





fi
fixx
s
i
 
Primeiro, devemos calcular 
a média aritmética. 
Para podermos, 
depois usar a fórmula da 
variância 
 
15 
Calculando a média temos: 
65,3
20
73.



fi
fixi
X
 
A média aritmética das notas de Matemática é 3,65 
Vamos calcular agora a Variância usando a fórmula. Para podermos fazer 
ii fxx .)(
2
, vamos abrir uma nova coluna na distribuição de frequência das notas de 
Matemática, para poder facilitar nossos cálculos 
 
Notas de Matemática 
(xi) 
fi (xi - 
x
)2. fi 
2 3 (2 - 3,65)2 . 3 = 8,17 
3 5 (3 - 3,65)2 . 5 = 2,11 
4 8 (4 - 3,65)2 . 8 = 0,98 
5 4 (5 - 3,65)2 . 4 = 7,29 
Totais 20 18,55 
 
Concluímos daí que 
ii fxx .)(
2
 vale 18,55, completando a resolução. 
1 fi
= 20-1 = 19 
Calculando temos = 0,98 
 
A variância das notas de Matemática vale 0,98 
 
16 
 
2º Vamos calcular o desvio-padrão usando a fórmula 
 
 
 
98,0s

 s = 0,99 (desvio-padrão) 
 
Considerações 
Podemos concluir pelos cálculos que o desvio-padrão vale 0,99, o que nos demonstra uma 
variabilidade pequena nas notas de Matemática. 
 
2.3 Cálculo da variância e do desvio-padrão da distribuição de frequência variável 
continua 
Para calcular a variância e o desvio-padrão de variáveis continuas devemos proceder 
como para as variáveis discretas, tomando somente o cuidado de substituir o xi pelos 
pontos médios de cada classe, uma vez que a variável está agrupada com intervalos de 
classe. 
 
Fórmula para o cálculo da variância da distribuição de frequência variável 
contínua 
 
 
 
 
 
2ss 
 
s = Desvio-padrão 
s2= Variância 
 
s2= Variância 
xi = Cada um dos valores assumidos pela 
variável 
fi = freqüência absoluta 
x
= Média aritmética da variável discreta 
1 fi
= Soma do total de elementos 
observados menos 1 
 
1
.)( 2
2





fi
fixx
s
i
 
 
17 
Fórmula para o cálculo do desvio-padrão 
Distribuição de frequência variável contínua 
 
 
Vamos ver um exemplo: O quadro 3, representa um banco de horas de uma pequena 
empresa. Calcule a variância e o desvio-padrão. 
Quadro 3 – Banco de horas dos empregados de uma empresa 
Banco de horas (h) fi 
0 |- 4 1 
4 |- 8 3 
 8 |- 12 5 
12 |- 16 1 
Total 10 
 
1º) Para calcular a variância a primeira coisaque temos que conhecer é a média 
aritmética desse banco de horas, caso contrario, não tem como usar a fórmula da 
variância. 
 
 
 
 Na variável contínua para podermos calcular a média temos que fazer aparecer os xi, 
calculando o ponto médio entre cada uma das horas. Para isso vamos abrir uma coluna 
para distribuição para colocar o ponto médio e outra para podermos multiplicar xi por fi. 
 
Lembra-se da fórmula da média 
aritmética ponderada? 
É ela que iremos usar! 


fi
fixi
X
.
 
2ss 
 s = Desvio-padrão 
s2= Variância 
 
 
18 
 
 
Banco de horas (h) fi xi (ponto 
médio) 
xi . fi 
0 |- 4 1 
2 
2.1 = 2 
4 |- 8 3 
= 6 
3.6 =18 
8 |- 12 5 
 =10 
5.10 = 50 
12 |- 16 1 
14 
1.14 =14 
Total 10 - 84 



fi
fixi
X
.

4,8
10
84
x
 Temos que a média do banco de horas é 8,4 h 
Agora sim, estamos em condições de calcular a variância 
1
.)( 2
2





fi
fixx
s
i
 
Vamos usar a distribuição e abrir uma coluna para podermos calcular 
fixxi .)(
2
 
Banco de horas (h) fi xi (ponto médio) (xi - 
x
)2. fi 
0 |- 4 1 2 (2 – 8,4)2 . 1 = 40,96 
4 |- 8 3 6 (6 – 8,4)2 . 3 = 17,28 
8 |- 12 5 10 (10 – 8,4)2 . 5 = 12,80 
12 |- 16 1 14 (14 – 8,4)2 . 1 = 31,36 
Total 10 - 102,4 
 
 
19 
Temos que 
fixxi .)(
2
 = 102,4 e 
1 fi
= 10 - 1 = 9 
Aplicando os valores na fórmula vem: 
1
.)( 2
2





fi
fixx
s
i
 

38,11
9
4,1022 s
 
Chegamos à conclusão de que a variância vale 11,38 
 
2º Agora vamos calcular o desvio-padrão usando 
2ss 
 
Substituindo os valores temos: 
37,338,11 s 
 
Considerações 
Feitos os cálculos verificamos que a variância do banco de horas é 3,37, o que demonstra 
uma variabilidade média nas horas. 
 
 
 
 
Finalizando 
Finalizamos mais uma Unidade onde aprendemos a calcular a variância e calcular e 
interpretar o desvio-padrão. 
Como vimos, o desvio-padrão fornece informações que complementam a informação 
da média aritmética, mostrando se a variação dos dados que geraram a média aritmética é 
pequena, média ou grande. 
Só conseguimos identificar se um desvio-padrão é pequeno ou grande se tivermos dois 
conjuntos que tenham médias iguais para podermos comparar seus desvios-padrão. 
NOTA 
Quanto maior o desvio-padrão maior a variação ou dispersão dos dados 
Quanto menor o desvio-padrão, menor a variação ou dispersão dos dados 
 
 
20 
 
 
 
Agradeço a todos, continuem se esforçando sempre e até a próxima! 
Um forte abraço 
Estou confiante e tenho certeza que vocês conseguiram 
acompanhar e que estão satisfeitos por terem conseguido 
vencer mais essa etapa. 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
UOL educação. Disponível em 
<http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u77.jhtm>. 
 
Infoescola. Disponível em: < http://www.infoescola.com/estatistica/variancia-e-desvio-
padrao/>. 
 
Vídeo sobre cálculo da media e do desvio-padrão. Disponível em: 
<http://www.youtube.com/watch?v=8X9apoqlbgs>. 
 
Site da ADVFN. Disponível em <http://wiki.advfn.com/pt/Desvio_Padr%C3%A3o>. 
 
 
23 
 
 
 
CRESPO A. A. Estatística Fácil, 11ª Ed. São Paulo: Saraiva, 1994. 
DOWNING, D. Estatística Aplicada, 2ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2002. 
MORETTIN, L.G. Estatística Básica, 7ª Ed. São Paulo: Pearson, 2000. 
NEUFELD, J.L.Estatística Aplicada a Administração Usando o Excel. São Paulo: 
Pearson, 2003. 
SPIEGEL, M.R. Estatística, 3ª Ed. Coleção Schaum. São Paulo: Pearson, 1994. 
SPIEGEL, M.R. Probabilidade e Estatística. Coleção Schaum. São Paulo: Pearson, 1977. 
SILVA, E.M.,Estatística Para os Cursos de; Economia, Administração e Ciências 
Contábeis. 3ª Ed. São Paulo:Atlas, 1999. 
 
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