Aula Sears Cap12 Gravitação

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Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: F´ısica 2 - Termodinaˆmica e Ondas
Autores: Sears e Zemansky
Edic¸a˜o: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
24 de agosto de 2011
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular as forc¸as gravitacionais que dois corpos
quaisquer exercem um sobre o outro.
I Como relacionar o peso de um objeto a` expressa˜o geral para a
forc¸a gravitacional.
I Como usar e interpretar a expressa˜o geral para a energia
potencial gravitacional.
I Como relacionar a velocidade, o per´ıodo orbital e a energia
mecaˆnica de um sate´lite em uma o´rbita circular.
I As leis que descrevem os movimentos dos planetas, e como
utiliza´-las.
I O que sa˜o buracos negros, como calcular suas propriedades e
como eles sa˜o encontrados.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular as forc¸as gravitacionais que dois corpos
quaisquer exercem um sobre o outro.
I Como relacionar o peso de um objeto a` expressa˜o geral para a
forc¸a gravitacional.
I Como usar e interpretar a expressa˜o geral para a energia
potencial gravitacional.
I Como relacionar a velocidade, o per´ıodo orbital e a energia
mecaˆnica de um sate´lite em uma o´rbita circular.
I As leis que descrevem os movimentos dos planetas, e como
utiliza´-las.
I O que sa˜o buracos negros, como calcular suas propriedades e
como eles sa˜o encontrados.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular as forc¸as gravitacionais que dois corpos
quaisquer exercem um sobre o outro.
I Como relacionar o peso de um objeto a` expressa˜o geral para a
forc¸a gravitacional.
I Como usar e interpretar a expressa˜o geral para a energia
potencial gravitacional.
I Como relacionar a velocidade, o per´ıodo orbital e a energia
mecaˆnica de um sate´lite em uma o´rbita circular.
I As leis que descrevem os movimentos dos planetas, e como
utiliza´-las.
I O que sa˜o buracos negros, como calcular suas propriedades e
como eles sa˜o encontrados.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular as forc¸as gravitacionais que dois corpos
quaisquer exercem um sobre o outro.
I Como relacionar o peso de um objeto a` expressa˜o geral para a
forc¸a gravitacional.
I Como usar e interpretar a expressa˜o geral para a energia
potencial gravitacional.
I Como relacionar a velocidade, o per´ıodo orbital e a energia
mecaˆnica de um sate´lite em uma o´rbita circular.
I As leis que descrevem os movimentos dos planetas, e como
utiliza´-las.
I O que sa˜o buracos negros, como calcular suas propriedades e
como eles sa˜o encontrados.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular as forc¸as gravitacionais que dois corpos
quaisquer exercem um sobre o outro.
I Como relacionar o peso de um objeto a` expressa˜o geral para a
forc¸a gravitacional.
I Como usar e interpretar a expressa˜o geral para a energia
potencial gravitacional.
I Como relacionar a velocidade, o per´ıodo orbital e a energia
mecaˆnica de um sate´lite em uma o´rbita circular.
I As leis que descrevem os movimentos dos planetas, e como
utiliza´-las.
I O que sa˜o buracos negros, como calcular suas propriedades e
como eles sa˜o encontrados.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular as forc¸as gravitacionais que dois corpos
quaisquer exercem um sobre o outro.
I Como relacionar o peso de um objeto a` expressa˜o geral para a
forc¸a gravitacional.
I Como usar e interpretar a expressa˜o geral para a energia
potencial gravitacional.
I Como relacionar a velocidade, o per´ıodo orbital e a energia
mecaˆnica de um sate´lite em uma o´rbita circular.
I As leis que descrevem os movimentos dos planetas, e como
utiliza´-las.
I O que sa˜o buracos negros, como calcular suas propriedades e
como eles sa˜o encontrados.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Introduc¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
A palavra planeta vem do grego e significa ‘errante’. Pois, os planetas mudam
constantemente de posic¸a˜o no ce´u em relac¸a˜o ao fundo das estrelas.
Eˆxitos intelectuais dos se´culos XVI e XVII:
1. A Terra tambe´m e´ um planeta.(Nicolau Cope´rnico)
2. Todos os planetas descrevem o´rbitas em torno do Sol.(Nicolau Cope´rnico)
3. Os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra podem ser usados para
determinar suas o´rbitas.(Johannes Kepler, Tycho Brahe)
4. Sugesta˜o: Vejam o filme Alexandria.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Introduc¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
A palavra planeta vem do grego e significa ‘errante’. Pois, os planetas mudam
constantemente de posic¸a˜o no ce´u em relac¸a˜o ao fundo das estrelas.
Eˆxitos intelectuais dos se´culos XVI e XVII:
1. A Terra tambe´m e´ um planeta.(Nicolau Cope´rnico)
2. Todos os planetas descrevem o´rbitas em torno do Sol.(Nicolau Cope´rnico)
3. Os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra podem ser usados para
determinar suas o´rbitas.(Johannes Kepler, Tycho Brahe)
4. Sugesta˜o: Vejam o filme Alexandria.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Introduc¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
A palavra planeta vem do grego e significa ‘errante’. Pois, os planetas mudam
constantemente de posic¸a˜o no ce´u em relac¸a˜o ao fundo das estrelas.
Eˆxitos intelectuais dos se´culos XVI e XVII:
1. A Terra tambe´m e´ um planeta.(Nicolau Cope´rnico)
2. Todos os planetas descrevem o´rbitas em torno do Sol.(Nicolau Cope´rnico)
3. Os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra podem ser usados para
determinar suas o´rbitas.(Johannes Kepler, Tycho Brahe)
4. Sugesta˜o: Vejam o filme Alexandria.
As treˆs leis(emp´ıricas) de Kepler:
1. Cada planeta se move em uma o´rbita el´ıptica, com o Sol ocupando um dos
focos da elipse.
2. A linha que liga o Sol a um planeta varre a´reas iguais em intervalos de
tempos iguais.
3. O per´ıodo de um planeta e´ proporcional a` poteˆncia 3/2 do comprimento do
eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Introduc¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
A palavra planeta vem do grego e significa ‘errante’. Pois, os planetas mudam
constantemente de posic¸a˜o no ce´u em relac¸a˜o ao fundo das estrelas.
Eˆxitos intelectuais dos se´culos XVI e XVII:
1. A Terra tambe´m e´ um planeta.(Nicolau Cope´rnico)
2. Todos os planetas descrevem o´rbitas em torno do Sol.(Nicolau Cope´rnico)
3. Os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra podem ser usados para
determinar suas o´rbitas.(Johannes Kepler, Tycho Brahe)
4. Sugesta˜o: Vejam o filme Alexandria.
As treˆs leis(emp´ıricas) de Kepler:
1. Cada planeta se move em uma o´rbita el´ıptica, com o Sol ocupando um dos
focos da elipse.
2. A linha que liga o Sol a um planeta varre a´reas iguais em intervalos de
tempos iguais.
3. O per´ıodo de um planeta e´ proporcional a` poteˆncia 3/2 do comprimento do
eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Introduc¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
A palavra planeta vem do grego e significa ‘errante’. Pois, os planetas mudam
constantemente de posic¸a˜o no ce´u em relac¸a˜o ao fundo das estrelas.
Eˆxitos intelectuais dos se´culos XVI e XVII:
1. A Terra tambe´m e´ um planeta.(Nicolau Cope´rnico)
2. Todos os planetas descrevem o´rbitas em torno do Sol.(Nicolau Cope´rnico)
3. Os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra podem ser usados paradeterminar suas o´rbitas.(Johannes Kepler, Tycho Brahe)
4. Sugesta˜o: Vejam o filme Alexandria.
As treˆs leis(emp´ıricas) de Kepler:
1. Cada planeta se move em uma o´rbita el´ıptica, com o Sol ocupando um dos
focos da elipse.
2. A linha que liga o Sol a um planeta varre a´reas iguais em intervalos de
tempos iguais.
3. O per´ıodo de um planeta e´ proporcional a` poteˆncia 3/2 do comprimento do
eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Introduc¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
A palavra planeta vem do grego e significa ‘errante’. Pois, os planetas mudam
constantemente de posic¸a˜o no ce´u em relac¸a˜o ao fundo das estrelas.
Eˆxitos intelectuais dos se´culos XVI e XVII:
1. A Terra tambe´m e´ um planeta.(Nicolau Cope´rnico)
2. Todos os planetas descrevem o´rbitas em torno do Sol.(Nicolau Cope´rnico)
3. Os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra podem ser usados para
determinar suas o´rbitas.(Johannes Kepler, Tycho Brahe)
4. Sugesta˜o: Vejam o filme Alexandria.
As treˆs leis(emp´ıricas) de Kepler:
1. Cada planeta se move em uma o´rbita el´ıptica, com o Sol ocupando um dos
focos da elipse.
2. A linha que liga o Sol a um planeta varre a´reas iguais em intervalos de
tempos iguais.
3. O per´ıodo de um planeta e´ proporcional a` poteˆncia 3/2 do comprimento do
eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta.
Kepler na˜o sabia por que os planetas se moviam desse modo.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Introduc¸a˜o
Na natureza existem 4 tipos de forc¸as fundamentais:
I Forc¸as Gravitacionais.
I Forc¸as Eletromagne´ticas.
I Forc¸a Nuclear Forte.
I Forc¸a Nuclear Fraca.
I Por que a Lua na˜o cai sobre a terra?
I Por que os planetas se deslocam no ce´u?
I Por que a Terra na˜o sai voando pelo espac¸o ao inve´s de permanecer em o´rbita
ao redor do Sol?
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Introduc¸a˜o
Na natureza existem 4 tipos de forc¸as fundamentais:
I Forc¸as Gravitacionais.
I Forc¸as Eletromagne´ticas.
I Forc¸a Nuclear Forte.
I Forc¸a Nuclear Fraca.
I Por que a Lua na˜o cai sobre a terra?
I Por que os planetas se deslocam no ce´u?
I Por que a Terra na˜o sai voando pelo espac¸o ao inve´s de permanecer em o´rbita
ao redor do Sol?
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Introduc¸a˜o
Na natureza existem 4 tipos de forc¸as fundamentais:
I Forc¸as Gravitacionais.
I Forc¸as Eletromagne´ticas.
I Forc¸a Nuclear Forte.
I Forc¸a Nuclear Fraca.
I Por que a Lua na˜o cai sobre a terra?
I Por que os planetas se deslocam no ce´u?
I Por que a Terra na˜o sai voando pelo espac¸o ao inve´s de permanecer em o´rbita
ao redor do Sol?
Resposta: → Lei da Gravitac¸a˜o de Newton!
Newton mostrou, que a interac¸a˜o que faz uma mac¸a cair e´ a
mesma que mante´m os planetas em o´rbita ao redor do Sol!
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
O Peso e´ a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
O Peso e´ a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.
A forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional e´ dada pela Lei da Gravitac¸a˜o de Newton, e diz que:
I Cada part´ıcula do universo atrai qualquer outra part´ıcula com uma forc¸a
diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre as part´ıculas.
I Matematicamente: ~F1 = −~F2 = G m1m2r2 rˆ , onde;
I ~F1(~F2) e´ a forc¸a, sentida pelo corpo 1(2) devido ao corpo 2(1), medida em
newtons;
I G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2 e´ a constante gravitacional universal.
I m1 e m2 sa˜o as massas dos corpos, medidas em quilogramas;
I r e´ a distaˆncia entre os dois corpos, medida em metros;
I rˆ = ~r/r o vetor unita´rio(versor) do vetor ~r que liga o corpo 1 ao corpo 2.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
O Peso e´ a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.
A forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional e´ dada pela Lei da Gravitac¸a˜o de Newton, e diz que:
I Cada part´ıcula do universo atrai qualquer outra part´ıcula com uma forc¸a
diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre as part´ıculas.
I Matematicamente: ~F1 = −~F2 = G m1m2r2 rˆ , onde;
I ~F1(~F2) e´ a forc¸a, sentida pelo corpo 1(2) devido ao corpo 2(1), medida em
newtons;
I G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2 e´ a constante gravitacional universal.
I m1 e m2 sa˜o as massas dos corpos, medidas em quilogramas;
I r e´ a distaˆncia entre os dois corpos, medida em metros;
I rˆ = ~r/r o vetor unita´rio(versor) do vetor ~r que liga o corpo 1 ao corpo 2.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
O Peso e´ a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.
A forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional e´ dada pela Lei da Gravitac¸a˜o de Newton, e diz que:
I Cada part´ıcula do universo atrai qualquer outra part´ıcula com uma forc¸a
diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre as part´ıculas.
I Matematicamente: ~F1 = −~F2 = G m1m2r2 rˆ , onde;
I ~F1(~F2) e´ a forc¸a, sentida pelo corpo 1(2) devido ao corpo 2(1), medida em
newtons;
I G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2 e´ a constante gravitacional universal.
I m1 e m2 sa˜o as massas dos corpos, medidas em quilogramas;
I r e´ a distaˆncia entre os dois corpos, medida em metros;
I rˆ = ~r/r o vetor unita´rio(versor) do vetor ~r que liga o corpo 1 ao corpo 2.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
O Peso e´ a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.
A forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional e´ dada pela Lei da Gravitac¸a˜o de Newton, e diz que:
I Cada part´ıcula do universo atrai qualquer outra part´ıcula com uma forc¸a
diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre as part´ıculas.
I Matematicamente: ~F1 = −~F2 = G m1m2r2 rˆ , onde;
I ~F1(~F2) e´ a forc¸a, sentida pelo corpo 1(2) devido ao corpo 2(1), medida em
newtons;
I G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2 e´ a constante gravitacional universal.
I m1 e m2 sa˜o as massas dos corpos, medidas em quilogramas;
I r e´ a distaˆncia entre os dois corpos, medida em metros;
I rˆ = ~r/r o vetor unita´rio(versor) do vetor ~r que liga o corpo 1 ao corpo 2.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
O Peso e´ a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.
A forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional e´ dada pela Lei da Gravitac¸a˜o de Newton, e diz que:
I Cada part´ıcula do universo atrai qualquer outra part´ıcula com uma forc¸a
diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre as part´ıculas.
I Matematicamente: ~F1 = −~F2 = G m1m2r2 rˆ , onde;
I ~F1(~F2) e´ a forc¸a, sentida pelo corpo 1(2) devido ao corpo 2(1), medida em
newtons;
I G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2 e´ a constante gravitacional universal.
I m1 e m2 sa˜o as massas dos corpos, medidas em quilogramas;
I r e´ a distaˆncia entre os dois corpos, medida em metros;
I rˆ = ~r/r o vetor unita´rio(versor) do vetor ~r que liga o corpo 1 ao corpo 2.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
O Peso e´ a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.
A forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional e´ dada pela Lei da Gravitac¸a˜o de Newton, e diz que:
I Cada part´ıcula do universoatrai qualquer outra part´ıcula com uma forc¸a
diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre as part´ıculas.
I Matematicamente: ~F1 = −~F2 = G m1m2r2 rˆ , onde;
I ~F1(~F2) e´ a forc¸a, sentida pelo corpo 1(2) devido ao corpo 2(1), medida em
newtons;
I G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2 e´ a constante gravitacional universal.
I m1 e m2 sa˜o as massas dos corpos, medidas em quilogramas;
I r e´ a distaˆncia entre os dois corpos, medida em metros;
I rˆ = ~r/r o vetor unita´rio(versor) do vetor ~r que liga o corpo 1 ao corpo 2.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
O Peso e´ a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.
A forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional e´ dada pela Lei da Gravitac¸a˜o de Newton, e diz que:
I Cada part´ıcula do universo atrai qualquer outra part´ıcula com uma forc¸a
diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre as part´ıculas.
I Matematicamente: ~F1 = −~F2 = G m1m2r2 rˆ , onde;
I ~F1(~F2) e´ a forc¸a, sentida pelo corpo 1(2) devido ao corpo 2(1), medida em
newtons;
I G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2 e´ a constante gravitacional universal.
I m1 e m2 sa˜o as massas dos corpos, medidas em quilogramas;
I r e´ a distaˆncia entre os dois corpos, medida em metros;
I rˆ = ~r/r o vetor unita´rio(versor) do vetor ~r que liga o corpo 1 ao corpo 2.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
O Peso e´ a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.
A forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional e´ dada pela Lei da Gravitac¸a˜o de Newton, e diz que:
I Cada part´ıcula do universo atrai qualquer outra part´ıcula com uma forc¸a
diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre as part´ıculas.
I Matematicamente: ~F1 = −~F2 = G m1m2r2 rˆ , onde;
I ~F1(~F2) e´ a forc¸a, sentida pelo corpo 1(2) devido ao corpo 2(1), medida em
newtons;
I G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2 e´ a constante gravitacional universal.
I m1 e m2 sa˜o as massas dos corpos, medidas em quilogramas;
I r e´ a distaˆncia entre os dois corpos, medida em metros;
I rˆ = ~r/r o vetor unita´rio(versor) do vetor ~r que liga o corpo 1 ao corpo 2.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Determinac¸a˜o do valor de G
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Gravitac¸a˜o e corpos de simetria esfe´rica
I A Lei da gravitac¸a˜o foi enuncianda em termos da interac¸a˜o entre part´ıculas.
I Para dois corpos com distribuic¸a˜o de massa com simetria esfe´rica verifica-se que:
I Suas interac¸o˜es gravitacionais sa˜o iguais a de duas part´ıculas
de mesma massa localizadas no centro geome´trico de cada
corpo.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Gravitac¸a˜o e corpos de simetria esfe´rica
I A Lei da gravitac¸a˜o foi enuncianda em termos da interac¸a˜o entre part´ıculas.
I Para dois corpos com distribuic¸a˜o de massa com simetria esfe´rica verifica-se que:
I Suas interac¸o˜es gravitacionais sa˜o iguais a de duas part´ıculas
de mesma massa localizadas no centro geome´trico de cada
corpo.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Massa e Peso e Campo Gravitacional
I Seja um corpo de massa m na superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
I Seja ~P0 o peso do corpo na altitude zero e
~g0 a acelerac¸a˜o da gravidade.
I Da 2a Lei de Newton:
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Massa e Peso e Campo Gravitacional
I Seja um corpo de massa m na superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
I Seja ~P0 o peso do corpo na altitude zero e
~g0 a acelerac¸a˜o da gravidade.
I Da 2a Lei de Newton:
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Massa e Peso e Campo Gravitacional
I Seja um corpo de massa m na superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
I Seja ~P0 o peso do corpo na altitude zero e
~g0 a acelerac¸a˜o da gravidade.
I Da 2a Lei de Newton:
~Fr = m~a = ~P = −GmM
R2
Rˆ = m~g0
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Massa e Peso e Campo Gravitacional
I Seja um corpo de massa m na superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
I Seja ~P0 o peso do corpo na altitude zero e
~g0 a acelerac¸a˜o da gravidade.
I Da 2a Lei de Newton:
~Fr = m~a = ~P = −GmM
R2
Rˆ = m~g0
~g0 = −GM
R2
Rˆ
I O modulo da gravidade sera´:g = GM
R2
assim:
I Terra: M = 5, 978× 1024kg e R = 6380, 14km ; gT = 9, 91m/s2 PT = 9, 91N.
I Lua: M = 7, 349× 1022kg e R = 174, 4km ; gL = 1.64m/s2 PL = 1, 64N.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Massa e Peso e Campo Gravitacional
I Seja um corpo de massa m na superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
I Seja ~P0 o peso do corpo na altitude zero e
~g0 a acelerac¸a˜o da gravidade.
I Da 2a Lei de Newton:
~Fr = m~a = ~P = −GmM
R2
Rˆ = m~g0
~g0 = −GM
R2
Rˆ
I O modulo da gravidade sera´:g = GM
R2
assim:
I Terra: M = 5, 978× 1024kg e R = 6380, 14km ; gT = 9, 91m/s2 PT = 9, 91N.
I Lua: M = 7, 349× 1022kg e R = 174, 4km ; gL = 1.64m/s2 PL = 1, 64N.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Massa e Peso e Campo Gravitacional
I Seja um corpo de massa m na superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
I Seja ~P0 o peso do corpo na altitude zero e
~g0 a acelerac¸a˜o da gravidade.
I Da 2a Lei de Newton:
~Fr = m~a = ~P = −GmM
R2
Rˆ = m~g0
~g0 = −GM
R2
Rˆ
I O modulo da gravidade sera´:g = GM
R2
assim:
I Terra: M = 5, 978× 1024kg e R = 6380, 14km ; gT = 9, 91m/s2 PT = 9, 91N.
I Lua: M = 7, 349× 1022kg e R = 174, 4km ; gL = 1.64m/s2 PL = 1, 64N.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Massa e Peso e Campo Gravitacional
I Seja um corpo de massa m na superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
I Seja ~P0 o peso do corpo na altitude zero e
~g0 a acelerac¸a˜o da gravidade.
I Da 2a Lei de Newton:
~Fr = m~a = ~P = −GmM
R2
Rˆ = m~g0
~g0 = −GM
R2
Rˆ
I O modulo da gravidade sera´:g = GM
R2
assim:
I Terra: M = 5, 978× 1024kg e R = 6380, 14km ; gT = 9, 91m/s2 PT = 9, 91N.
I Lua: M = 7, 349× 1022kg e R = 174, 4km ; gL = 1.64m/s2 PL = 1, 64N.
I Note que a massa de um corpo na˜o muda de um planeta para outro.
I O que muda e´ peso deste corpo.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de acelerac¸a˜o da gravidade ~g com o local.
Acelerac¸a˜o da gravidade, ~g , em um ponto, e´ a intensidade do campo gravitacional
neste ponto.
A acelerac¸a˜o da gravidade na Terra varia principalmente:
1. com a altitude;
2. com a latitude;
3. com a forma da Terra(Elipse);
4. com a variac¸a˜o da densidade da Terra.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de acelerac¸a˜o da gravidade ~g com o local.
Acelerac¸a˜o da gravidade, ~g , em um ponto, e´ a intensidade do campo gravitacional
neste ponto.
A acelerac¸a˜o da gravidade na Terra varia principalmente:
1. com a altitude;
2. com a latitude;
3. com a forma da Terra(Elipse);
4. com a variac¸a˜o da densidade da Terra.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de acelerac¸a˜o da gravidade ~g com o local.
Acelerac¸a˜o da gravidade, ~g , em um ponto, e´ a intensidade do campo gravitacional
neste ponto.
A acelerac¸a˜o da gravidade na Terra varia principalmente:
1. com a altitude;
2. com a latitude;
3. com a forma da Terra(Elipse);
4. com a variac¸a˜o da densidade da Terra.
~g = −GM
r2
rˆ
I ~r e´ o vetor que liga o centro do planeta ate´ o ponto onde se quer calcularo
campo gravitacional.
I M e´ a massa do planeta.
I O campo e´ uma propriedade do espac¸o. Ou seja, a massa altera as
propriedades do espac¸o em torno dela.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de ~g com a altitude.
Para um ponto a` altura h acima da superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
~g = − GM
(R + h)2
rˆ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de ~g com a altitude.
Para um ponto a` altura h acima da superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
~g = − GM
(R + h)2
rˆ
Vimos que, g0 = GM/R2 a acelerac¸a˜o da gravidade
na superf´ıcie do planeta, assim:
g
g0
=
R2
(R + h)2
= (1 + h/R)−2
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de ~g com a altitude.
Para um ponto a` altura h acima da superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
~g = − GM
(R + h)2
rˆ
Vimos que, g0 = GM/R2 a acelerac¸a˜o da gravidade
na superf´ıcie do planeta, assim:
g
g0
=
R2
(R + h)2
= (1 + h/R)−2
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de ~g com a altitude.
Para um ponto a` altura h acima da superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
~g = − GM
(R + h)2
rˆ
Vimos que, g0 = GM/R2 a acelerac¸a˜o da gravidade
na superf´ıcie do planeta, assim:
g
g0
=
R2
(R + h)2
= (1 + h/R)−2
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de ~g com a altitude.
Para um ponto a` altura h acima da superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
~g = − GM
(R + h)2
rˆ
Vimos que, g0 = GM/R2 a acelerac¸a˜o da gravidade
na superf´ıcie do planeta, assim:
g
g0
=
R2
(R + h)2
= (1 + h/R)−2
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de ~g com a altitude.
Para um ponto a` altura h acima da superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
~g = − GM
(R + h)2
rˆ
Vimos que, g0 = GM/R2 a acelerac¸a˜o da gravidade
na superf´ıcie do planeta, assim:
g
g0
=
R2
(R + h)2
= (1 + h/R)−2
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de ~g com a altitude.
Para um ponto a` altura h acima da superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
~g = − GM
(R + h)2
rˆ
Vimos que, g0 = GM/R2 a acelerac¸a˜o da gravidade
na superf´ıcie do planeta, assim:
g
g0
=
R2
(R + h)2
= (1 + h/R)−2
Para distancias h� R a gravidade varia aproximadamente liner com h, da forma:
g
g0
≈ (1− 2h/R).
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Variac¸a˜o de ~g com a altitude.
Para um ponto a` altura h acima da superf´ıcie de
um planeta de massa M e raio R.
~g = − GM
(R + h)2
rˆ
Vimos que, g0 = GM/R2 a acelerac¸a˜o da gravidade
na superf´ıcie do planeta, assim:
g
g0
=
R2
(R + h)2
= (1 + h/R)−2
Para distancias h� R a gravidade varia aproximadamente liner com h, da forma:
g
g0
≈ (1− 2h/R).
A mudanc¸a percentual da gravidade e´ dada por, ∆g
g0
= g−g0
g0
= (2h/R) ∗ 100%.
Para h = 8, 848km (Altura do Monte) ∆g
g0
= 0, 00028%. Podemos com boa
aproximac¸a˜o considerar g = Const. para fenoˆmenos na superf´ıcie da terra.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Lei de Newton da gravitac¸a˜o
Princ´ıpio da Superposic¸a˜o de Forc¸as
O efeito sobre o movimento de um corpo produzido de um nu´mero
(N) de forc¸as e´ o mesmo efeito produzido por uma u´nica forc¸a
igual a soma vetorial de todas as (N) forc¸as.
~FR =
N∑
i=1
~Fi = ~F1 + ~F2 + ... + ~FN
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Energia potencial gravitacional
Em F´ısica 1 vimos que para uma forc¸a gravitacional dada por, ~Fg = m~g , com ~g sendo
uma constante, a energia potencial podia ser escrita por:U = mgh.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Energia potencial gravitacional
Em F´ısica 1 vimos que para uma forc¸a gravitacional dada por, ~Fg = m~g , com ~g sendo
uma constante, a energia potencial podia ser escrita por:U = mgh.
Sabemos agora que a forc¸a gravitacional e´ dada por, ~Fg = −GmmTr2 rˆ .
Qual sera´ a expressa˜o para a energia potencial?.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Energia potencial gravitacional
Em F´ısica 1 vimos que para uma forc¸a gravitacional dada por, ~Fg = m~g , com ~g sendo
uma constante, a energia potencial podia ser escrita por:U = mgh.
Sabemos agora que a forc¸a gravitacional e´ dada por, ~Fg = −GmmTr2 rˆ .
Qual sera´ a expressa˜o para a energia potencial?.
Sabemos que:
Wgrav =
∫ ~r2
~r1
~Fg · d~r = −GmmT
∫ r2
r1
r−2dr
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Energia potencial gravitacional
Em F´ısica 1 vimos que para uma forc¸a gravitacional dada por, ~Fg = m~g , com ~g sendo
uma constante, a energia potencial podia ser escrita por:U = mgh.
Sabemos agora que a forc¸a gravitacional e´ dada por, ~Fg = −GmmTr2 rˆ .
Qual sera´ a expressa˜o para a energia potencial?.
Sabemos que:
Wgrav =
∫ ~r2
~r1
~Fg · d~r = −GmmT
∫ r2
r1
r−2dr
Wgrav =
GmmT
r2
− GmmT
r1
= −∆U = −(U2 − U1)
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Energia potencial gravitacional
Em F´ısica 1 vimos que para uma forc¸a gravitacional dada por, ~Fg = m~g , com ~g sendo
uma constante, a energia potencial podia ser escrita por:U = mgh.
Sabemos agora que a forc¸a gravitacional e´ dada por, ~Fg = −GmmTr2 rˆ .
Qual sera´ a expressa˜o para a energia potencial?.
Sabemos que:
Wgrav =
∫ ~r2
~r1
~Fg · d~r = −GmmT
∫ r2
r1
r−2dr
Wgrav =
GmmT
r2
− GmmT
r1
= −∆U = −(U2 − U1)
Ugrav = −GmmT
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Energia potencial gravitacional
Em F´ısica 1 vimos que para uma forc¸a gravitacional dada por, ~Fg = m~g , com ~g sendo
uma constante, a energia potencial podia ser escrita por:U = mgh.
Sabemos agora que a forc¸a gravitacional e´ dada por, ~Fg = −GmmTr2 rˆ .
Qual sera´ a expressa˜o para a energia potencial?.
Sabemos que:
Wgrav =
∫ ~r2
~r1
~Fg · d~r = −GmmT
∫ r2
r1
r−2dr
Wgrav =
GmmT
r2
− GmmT
r1
= −∆U = −(U2 − U1)
Ugrav = −GmmT
r
~Fg = −∇Ugrav = GmmT∇(r−1)
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Energia potencial gravitacional
Em F´ısica 1 vimos que para uma forc¸a gravitacional dada por, ~Fg = m~g , com ~g sendo
uma constante, a energia potencial podia ser escrita por:U = mgh.
Sabemos agora que a forc¸a gravitacional e´ dada por, ~Fg = −GmmTr2 rˆ .
Qual sera´ a expressa˜o para a energia potencial?.
Sabemos que:
Wgrav =
∫ ~r2
~r1
~Fg · d~r = −GmmT
∫ r2
r1
r−2dr
Wgrav =
GmmT
r2
− GmmT
r1
= −∆U = −(U2 − U1)
Ugrav = −GmmT
r
~Fg = −∇Ugrav = GmmT∇(r−1)
~Fg = −GmmT r−2∇r
~Fg = −GmmT
r2
rˆ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Velocidade de escape
Para lanc¸armos um corpo para fora de um planeta ou para outro planeta, precisamos
saber que a velocidade m´ınima de lanc¸amento do corpo.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Velocidade de escape
Para lanc¸armos um corpo para fora de um planeta ou para outro planeta, precisamos
saber que a velocidade m´ınima de lanc¸amento do corpo.
Considerando a forc¸a gravitacional como sendo a u´nica forc¸a que atua no corpo temos:
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Velocidade de escape
Para lanc¸armos um corpo para fora de um planeta ou para outro planeta, precisamos
saber que a velocidade m´ınima de lanc¸amento do corpo.
Considerando a forc¸a gravitacional como sendo a u´nica forc¸a que atua no corpo temos:
Wgrav =
GmmT
r2
−GmmT
r1
= −∆U = ∆K ⇒ K2−K1 = −U2+U1
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜oEnergia potencial gravitacional
Velocidade de escape
Para lanc¸armos um corpo para fora de um planeta ou para outro planeta, precisamos
saber que a velocidade m´ınima de lanc¸amento do corpo.
Considerando a forc¸a gravitacional como sendo a u´nica forc¸a que atua no corpo temos:
Wgrav =
GmmT
r2
−GmmT
r1
= −∆U = ∆K ⇒ K2−K1 = −U2+U1
K1+U1 = K2+U2 ⇒ 1
2
mv21−
GmmT
RT
=
1
2
mv22−
GmmT
r2
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Velocidade de escape
Para lanc¸armos um corpo para fora de um planeta ou para outro planeta, precisamos
saber que a velocidade m´ınima de lanc¸amento do corpo.
Considerando a forc¸a gravitacional como sendo a u´nica forc¸a que atua no corpo temos:
Wgrav =
GmmT
r2
−GmmT
r1
= −∆U = ∆K ⇒ K2−K1 = −U2+U1
K1+U1 = K2+U2 ⇒ 1
2
mv21−
GmmT
RT
=
1
2
mv22−
GmmT
r2
Considerando que em r2 =∞⇒ ~v2 = 0
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Energia potencial gravitacional
Velocidade de escape
Para lanc¸armos um corpo para fora de um planeta ou para outro planeta, precisamos
saber que a velocidade m´ınima de lanc¸amento do corpo.
Considerando a forc¸a gravitacional como sendo a u´nica forc¸a que atua no corpo temos:
Wgrav =
GmmT
r2
−GmmT
r1
= −∆U = ∆K ⇒ K2−K1 = −U2+U1
K1+U1 = K2+U2 ⇒ 1
2
mv21−
GmmT
RT
=
1
2
mv22−
GmmT
r2
Considerando que em r2 =∞⇒ ~v2 = 0
v1 =
√
2GmT
RT
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Movimento de Sate´lites
Movimento de Sate´lites
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Movimento de Sate´lites
Movimento de Sate´lites
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Movimento de Sate´lites
Sate´lites:Orbitas circulares
Do movimento circular uniforme sabemos que:
v = ωr =
2pi
T
; T =
2pi
ω
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Movimento de Sate´lites
Sate´lites:Orbitas circulares
Do movimento circular uniforme sabemos que:
v = ωr =
2pi
T
; T =
2pi
ω
Como a u´nica forc¸a que atua em um sate´lite e´ a
forc¸a gravitacional esta´ e´ a forc¸a centr´ıpeta que
mante´m o movimento circular uniforme, assim:
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Movimento de Sate´lites
Sate´lites:Orbitas circulares
Do movimento circular uniforme sabemos que:
v = ωr =
2pi
T
; T =
2pi
ω
Como a u´nica forc¸a que atua em um sate´lite e´ a
forc¸a gravitacional esta´ e´ a forc¸a centr´ıpeta que
mante´m o movimento circular uniforme, assim:
GmmT
r2
=
mv2
r
⇒ v =
√
GmT
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Movimento de Sate´lites
Do movimento circular uniforme sabemos que:
v = ωr =
2pi
T
; T =
2pi
ω
Como a u´nica forc¸a que atua em um sate´lite e´ a
forc¸a gravitacional esta´ e´ a forc¸a centr´ıpeta que
mante´m o movimento circular uniforme, assim:
GmmT
r2
=
mv2
r
⇒ v =
√
GmT
r
Obtemos enta˜o que o per´ıodo de um sate´lite em
o´rbita circular e´ dado por:
T =
2pir
v
= 2pir
√
r
GmT
⇒ T = 2pir
3/2
√
GmT
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Movimento de Sate´lites
Como a u´nica forc¸a que atua em um sate´lite e´ a
forc¸a gravitacional esta´ e´ a forc¸a centr´ıpeta que
mante´m o movimento circular uniforme, assim:
GmmT
r2
=
mv2
r
⇒ v =
√
GmT
r
Obtemos enta˜o que o per´ıodo de um sate´lite em
o´rbita circular e´ dado por:
T =
2pir
v
= 2pir
√
r
GmT
⇒ T = 2pir
3/2
√
GmT
Por u´ltimo a energia total do sate´lite sera´:
ETot = K+U =
mv2
2
−GmmT
r
=
m
2
GmT
r
−GmmT
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Movimento de Sate´lites
Como a u´nica forc¸a que atua em um sate´lite e´ a
forc¸a gravitacional esta´ e´ a forc¸a centr´ıpeta que
mante´m o movimento circular uniforme, assim:
GmmT
r2
=
mv2
r
⇒ v =
√
GmT
r
Obtemos enta˜o que o per´ıodo de um sate´lite em
o´rbita circular e´ dado por:
T =
2pir
v
= 2pir
√
r
GmT
⇒ T = 2pir
3/2
√
GmT
Por u´ltimo a energia total do sate´lite sera´:
ETot = K+U =
mv2
2
−GmmT
r
=
m
2
GmT
r
−GmmT
r
ETot = −
GmmT
2r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
As leis de Kepler do movimento de planetas
Iremos mostrar agora como as leis de kepler podem ser mostradas a partir da Lei da
gravitac¸a˜o de Newton.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
As leis de Kepler do movimento de planetas
Iremos mostrar agora como as leis de kepler podem ser mostradas a partir da Lei da
gravitac¸a˜o de Newton.
As treˆs leis(emp´ıricas) de Kepler:
1. Cada planeta se move em uma o´rbita el´ıptica, com o Sol ocupando um dos
focos da elipse.
2. A linha que liga o Sol a um planeta varre a´reas iguais em intervalos de
tempos iguais.
3. O per´ıodo de um planeta e´ proporcional a` poteˆncia 3/2 do comprimento do
eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
As leis de Kepler do movimento de planetas
Iremos mostrar agora como as leis de kepler podem ser mostradas a partir da Lei da
gravitac¸a˜o de Newton.
As treˆs leis(emp´ıricas) de Kepler:
1. Cada planeta se move em uma o´rbita el´ıptica, com o Sol ocupando um dos
focos da elipse.
2. A linha que liga o Sol a um planeta varre a´reas iguais em intervalos de
tempos iguais.
3. O per´ıodo de um planeta e´ proporcional a` poteˆncia 3/2 do comprimento do
eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
As leis de Kepler do movimento de planetas
Iremos mostrar agora como as leis de kepler podem ser mostradas a partir da Lei da
gravitac¸a˜o de Newton.
As treˆs leis(emp´ıricas) de Kepler:
1. Cada planeta se move em uma o´rbita el´ıptica, com o Sol ocupando um dos
focos da elipse.
2. A linha que liga o Sol a um planeta varre a´reas iguais em intervalos de
tempos iguais.
3. O per´ıodo de um planeta e´ proporcional a` poteˆncia 3/2 do comprimento do
eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Primeira lei de Kepler
I Maior dimensa˜o → eixo maior → Semi-eixo
maior. a e´ a metade do eixo maior.
I D(SP)+D(S ′P)= constante para todos os
pontos sobre a curva.
I Os pontos S e S ′ sa˜o os focos.
I O Sol esta´ em S e o planeta esta´ em P.
I Na˜o existe nada no ponto S ′ .
I A distaˆncia do foco ate´ o centro e´ ea onde e
e´ a excentricidade da elipse {0, 1}.
I O perie´lio e´ o ponto mais perto e afe´lio e´ o
ponto mais afastado do Sol na o´rbita do
planeta.
I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,
eMercurio = 0, 206.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Primeira lei de Kepler
I Maior dimensa˜o → eixo maior → Semi-eixo
maior. a e´ a metade do eixo maior.
I D(SP)+D(S ′P)= constante para todos os
pontos sobre a curva.
I Os pontos S e S ′ sa˜o os focos.
I O Sol esta´ em S e o planeta esta´ em P.
I Na˜o existe nada no ponto S ′ .
I A distaˆncia do foco ate´ o centro e´ ea onde e
e´ a excentricidade da elipse {0, 1}.
I O perie´lio e´ o ponto mais perto e afe´lio e´ o
ponto mais afastado do Sol na o´rbita do
planeta.
I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,
eMercurio = 0, 206.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Primeira lei de Kepler
I Maior dimensa˜o → eixo maior → Semi-eixo
maior. a e´ a metade do eixo maior.
I D(SP)+D(S ′P)= constante para todos os
pontos sobre a curva.
I Os pontos S e S ′ sa˜o os focos.
I O Sol esta´ em S e o planeta esta´ em P.
I Na˜o existe nada no ponto S ′ .
I A distaˆncia do foco ate´ o centro e´ ea onde e
e´ a excentricidade da elipse {0, 1}.
I O perie´lio e´ o ponto mais pertoe afe´lio e´ o
ponto mais afastado do Sol na o´rbita do
planeta.
I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,
eMercurio = 0, 206.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Primeira lei de Kepler
I Maior dimensa˜o → eixo maior → Semi-eixo
maior. a e´ a metade do eixo maior.
I D(SP)+D(S ′P)= constante para todos os
pontos sobre a curva.
I Os pontos S e S ′ sa˜o os focos.
I O Sol esta´ em S e o planeta esta´ em P.
I Na˜o existe nada no ponto S ′ .
I A distaˆncia do foco ate´ o centro e´ ea onde e
e´ a excentricidade da elipse {0, 1}.
I O perie´lio e´ o ponto mais perto e afe´lio e´ o
ponto mais afastado do Sol na o´rbita do
planeta.
I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,
eMercurio = 0, 206.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Primeira lei de Kepler
I Maior dimensa˜o → eixo maior → Semi-eixo
maior. a e´ a metade do eixo maior.
I D(SP)+D(S ′P)= constante para todos os
pontos sobre a curva.
I Os pontos S e S ′ sa˜o os focos.
I O Sol esta´ em S e o planeta esta´ em P.
I Na˜o existe nada no ponto S ′ .
I A distaˆncia do foco ate´ o centro e´ ea onde e
e´ a excentricidade da elipse {0, 1}.
I O perie´lio e´ o ponto mais perto e afe´lio e´ o
ponto mais afastado do Sol na o´rbita do
planeta.
I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,
eMercurio = 0, 206.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Primeira lei de Kepler
I Maior dimensa˜o → eixo maior → Semi-eixo
maior. a e´ a metade do eixo maior.
I D(SP)+D(S ′P)= constante para todos os
pontos sobre a curva.
I Os pontos S e S ′ sa˜o os focos.
I O Sol esta´ em S e o planeta esta´ em P.
I Na˜o existe nada no ponto S ′ .
I A distaˆncia do foco ate´ o centro e´ ea onde e
e´ a excentricidade da elipse {0, 1}.
I O perie´lio e´ o ponto mais perto e afe´lio e´ o
ponto mais afastado do Sol na o´rbita do
planeta.
I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,
eMercurio = 0, 206.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Primeira lei de Kepler
I Maior dimensa˜o → eixo maior → Semi-eixo
maior. a e´ a metade do eixo maior.
I D(SP)+D(S ′P)= constante para todos os
pontos sobre a curva.
I Os pontos S e S ′ sa˜o os focos.
I O Sol esta´ em S e o planeta esta´ em P.
I Na˜o existe nada no ponto S ′ .
I A distaˆncia do foco ate´ o centro e´ ea onde e
e´ a excentricidade da elipse {0, 1}.
I O perie´lio e´ o ponto mais perto e afe´lio e´ o
ponto mais afastado do Sol na o´rbita do
planeta.
I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,
eMercurio = 0, 206.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Primeira lei de Kepler
I Maior dimensa˜o → eixo maior → Semi-eixo
maior. a e´ a metade do eixo maior.
I D(SP)+D(S ′P)= constante para todos os
pontos sobre a curva.
I Os pontos S e S ′ sa˜o os focos.
I O Sol esta´ em S e o planeta esta´ em P.
I Na˜o existe nada no ponto S ′ .
I A distaˆncia do foco ate´ o centro e´ ea onde e
e´ a excentricidade da elipse {0, 1}.
I O perie´lio e´ o ponto mais perto e afe´lio e´ o
ponto mais afastado do Sol na o´rbita do
planeta.
I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,
eMercurio = 0, 206.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
A energia total e´ dada por:
ETot =
mpv2
2
− GmpMS
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
A energia total e´ dada por:
ETot =
mpv2
2
− GmpMS
r
Podemos escrever ~v como:
~v =
dr
dt
eˆr + rωeˆθ = vr eˆr + rωeˆθ
v2 = v2r + r
2ω2
eˆr = cos(θ(t))ˆi + sin(θ(t))ˆj
eˆθ = − sin(θ(t))ˆi + cos(θ(t))ˆj
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
A energia total e´ dada por:
ETot =
mpv2
2
− GmpMS
r
Podemos escrever ~v como:
~v =
dr
dt
eˆr + rωeˆθ = vr eˆr + rωeˆθ
v2 = v2r + r
2ω2
eˆr = cos(θ(t))ˆi + sin(θ(t))ˆj
eˆθ = − sin(θ(t))ˆi + cos(θ(t))ˆj
Assim a energia total pode ser escrita por,
ETot =
mpv2r
2
+
L2
mpr2
− GmpMS
r
=
mpv2r
2
+ Veff (r)
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Podemos escrever ~v como:
~v =
dr
dt
eˆr + rωeˆθ = vr eˆr + rωeˆθ
v2 = v2r + r
2ω2
eˆr = cos(θ(t))ˆi + sin(θ(t))ˆj
eˆθ = − sin(θ(t))ˆi + cos(θ(t))ˆj
Assim a energia total pode ser escrita por,
ETot =
mpv2r
2
+
L2
mpr2
− GmpMS
r
=
mpv2r
2
+ Veff (r)
Isolando vr da equac¸a˜o acima temos,
vr =
√
2(ETot − Veff )
m
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Podemos escrever ~v como:
~v =
dr
dt
eˆr + rωeˆθ = vr eˆr + rωeˆθ
v2 = v2r + r
2ω2
eˆr = cos(θ(t))ˆi + sin(θ(t))ˆj
eˆθ = − sin(θ(t))ˆi + cos(θ(t))ˆj
Assim a energia total pode ser escrita por,
ETot =
mpv2r
2
+
L2
mpr2
− GmpMS
r
=
mpv2r
2
+ Veff (r)
Isolando vr da equac¸a˜o acima temos,
vr =
√
2(ETot − Veff )
m
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Segunda lei de Kepler
Em um intervalo dt o planeta anda um aˆngulo dθ a
a´rea varrida e´:
dA =
1
2
r2dθ → dA
dt
=
1
2
r2
dθ
dt
=
1
2
r2ω
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Segunda lei de Kepler
Em um intervalo dt o planeta anda um aˆngulo dθ a
a´rea varrida e´:
dA =
1
2
r2dθ → dA
dt
=
1
2
r2
dθ
dt
=
1
2
r2ω
A componente perpendicular da velocidade e´ dada
por:v⊥ = v sinφ = rω. Assim,
dA
dt
=
1
2
rv sinφ =
1
2m
|~r×(m~v)| = L
2m
= Constante
onde, ~L = ~r × (m~v). Temos de mostrar que L e´
constante. Assim,
d~L
dt
= ~τ = ~r × ~F = −GmpMS
r
rˆ × rˆ = 0
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Segunda lei de Kepler
Em um intervalo dt o planeta anda um aˆngulo dθ a
a´rea varrida e´:
dA =
1
2
r2dθ → dA
dt
=
1
2
r2
dθ
dt
=
1
2
r2ω
A componente perpendicular da velocidade e´ dada
por:v⊥ = v sinφ = rω. Assim,
dA
dt
=
1
2
rv sinφ =
1
2m
|~r×(m~v)| = L
2m
= Constante
onde, ~L = ~r × (m~v). Temos de mostrar que L e´
constante. Assim,
d~L
dt
= ~τ = ~r × ~F = −GmpMS
r
rˆ × rˆ = 0
Isso mostra que, d
~L
dt
= 0→ ~L = Constante .
O momento angular se conserva para qualquer
forc¸a central.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Terceira lei de Kepler
Newton mostrou que o per´ıodo da o´rbita el´ıptica do planeta pode ser dada por:
T =
2pia3/2√
GmS
onde a e´ o semi-eixo maior.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
As leis de Kepler do movimento de planetas
Movimento planeta´rio e o centro de massa.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Distribuic¸a˜o cont´ınua de massa.
ρmed =
MT
VT
σmed =
MT
AT
λmed =
MT
LT
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Distribuic¸a˜o cont´ınua de massa.
ρmed =
MT
VT
ρ(~r) =
dM(~r)
dV
σmed =
MT
AT
σ(~r) =
dM(~r)
dA
λmed =
MT
LT
λ(~r) =
dM(~r)
dL
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Distribuic¸a˜o cont´ınua de massa.
ρmed =
MT
VT
ρ(~r) =
dM(~r)
dV
dM(~r) = ρ(~r)dV
σmed =
MT
AT
σ(~r) =
dM(~r)
dA
dM(~r) = σ(~r)dA
λmed =
MT
LT
λ(~r) =
dM(~r)
dL
dM(~r) = λ(~r)dL
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Distribuic¸a˜o cont´ınua de massa.
ρmed =
MT
VT
ρ(~r) =
dM(~r)
dV
dM(~r) = ρ(~r)dV
MT =
∫
ρ(~r)dV
σmed =
MT
AT
σ(~r) =
dM(~r)
dA
dM(~r) = σ(~r)dA
MT =
∫
σ(~r)dA
λmed =
MT
LT
λ(~r) =
dM(~r)
dL
dM(~r) = λ(~r)dLMT =
∫
λ(~r)dL
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Distribuic¸a˜o cont´ınua de massa.
ρmed =
MT
VT
ρ(~r) =
dM(~r)
dV
dM(~r) = ρ(~r)dV
MT =
∫
ρ(~r)dV
d~Fg = −GmdM(~r)
r2
rˆ
σmed =
MT
AT
σ(~r) =
dM(~r)
dA
dM(~r) = σ(~r)dA
MT =
∫
σ(~r)dA
d~g = −GdM(~r)
r2
rˆ
λmed =
MT
LT
λ(~r) =
dM(~r)
dL
dM(~r) = λ(~r)dL
MT =
∫
λ(~r)dL
dU = −GmdM(~r)
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Distribuic¸a˜o cont´ınua de massa.
ρ(~r) =
dM(~r)
dV
dM(~r) = ρ(~r)dV
MT =
∫
ρ(~r)dV
~Fg = −Gm
∫
ρ(~r)dV
r2
rˆ
d~Fg = −GmdM(~r)
r2
rˆ
σ(~r) =
dM(~r)
dA
dM(~r) = σ(~r)dA
MT =
∫
σ(~r)dA
~Fg = −Gm
∫
σ(~r)dA
r2
rˆ
d~g = −GdM(~r)
r2
rˆ
λ(~r) =
dM(~r)
dL
dM(~r) = λ(~r)dL
MT =
∫
λ(~r)dL
~Fg = −Gm
∫
λ(~r)dL
r2
rˆ
dU = −GmdM(~r)
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Distribuic¸a˜o cont´ınua de massa.
dM(~r) = ρ(~r)dV
MT =
∫
ρ(~r)dV
~Fg = −Gm
∫
ρ(~r)dV
r2
rˆ
~g = −G
∫
ρ(~r)dV
r2
rˆ
d~Fg = −GmdM(~r)
r2
rˆ
dM(~r) = σ(~r)dA
MT =
∫
σ(~r)dA
~Fg = −Gm
∫
σ(~r)dA
r2
rˆ
~g = −G
∫
σ(~r)dA
r2
rˆ
d~g = −GdM(~r)
r2
rˆ
dM(~r) = λ(~r)dL
MT =
∫
λ(~r)dL
~Fg = −Gm
∫
λ(~r)dL
r2
rˆ
~g = −G
∫
λ(~r)dL
r2
rˆ
dU = −GmdM(~r)
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Distribuic¸a˜o cont´ınua de massa.
dM(~r) = ρ(~r)dV
MT =
∫
ρ(~r)dV
~Fg = −Gm
∫
ρ(~r)dV
r2
rˆ
~g = −G
∫
ρ(~r)dV
r2
rˆ
U = −Gm
∫
ρ(~r)dV
r
d~Fg = −GmdM(~r)
r2
rˆ
dM(~r) = σ(~r)dA
MT =
∫
σ(~r)dA
~Fg = −Gm
∫
σ(~r)dA
r2
rˆ
~g = −G
∫
σ(~r)dA
r2
rˆ
U = −Gm
∫
σ(~r)dA
r
d~g = −GdM(~r)
r2
rˆ
dM(~r) = λ(~r)dL
MT =
∫
λ(~r)dL
~Fg = −Gm
∫
λ(~r)dL
r2
rˆ
~g = −G
∫
λ(~r)dL
r2
rˆ
U = −Gm
∫
λ(~r)dL
r
dU = −GmdM(~r)
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
Seja um anel na superf´ıcie da casca esfe´rica,
composto de massas infinitesimais dM.
A energia potencial de uma massa m, localizada a
uma distaˆncia s de uma das massas e´ dada por,
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
Seja um anel na superf´ıcie da casca esfe´rica,
composto de massas infinitesimais dM.
A energia potencial de uma massa m, localizada a
uma distaˆncia s de uma das massas e´ dada por,
dU = −Gm
s
dM
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
Seja um anel na superf´ıcie da casca esfe´rica,
composto de massas infinitesimais dM.
A energia potencial de uma massa m, localizada a
uma distaˆncia s de uma das massas e´ dada por,
dU = −Gm
s
dM
A massa do anel sera´, dM = σdA onde
σ = M/A = M/(4piR2), e dA e´ o elemento de a´rea
do anel. Pela geometria,
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
dU = −Gm
s
dM
A massa do anel sera´, dM = σdA onde
σ = M/A = M/(4piR2), e dA e´ o elemento de a´rea
do anel. Pela geometria,
dA = (2piR sinφ)(Rdφ) = 2piR2 sinφdφ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
dU = −Gm
s
dM
A massa do anel sera´, dM = σdA onde
σ = M/A = M/(4piR2), e dA e´ o elemento de a´rea
do anel. Pela geometria,
dA = (2piR sinφ)(Rdφ) = 2piR2 sinφdφ
s2 = (r − R cosφ)2 + (R sinφ)2
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
dU = −Gm
s
dM
A massa do anel sera´, dM = σdA onde
σ = M/A = M/(4piR2), e dA e´ o elemento de a´rea
do anel. Pela geometria,
dA = (2piR sinφ)(Rdφ) = 2piR2 sinφdφ
s2 = (r − R cosφ)2 + (R sinφ)2
s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
A massa do anel sera´, dM = σdA onde
σ = M/A = M/(4piR2), e dA e´ o elemento de a´rea
do anel. Pela geometria,
dA = (2piR sinφ)(Rdφ) = 2piR2 sinφdφ
s2 = (r − R cosφ)2 + (R sinφ)2
s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ
d(s2) = 2sds = 2rR sinφdφ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
A massa do anel sera´, dM = σdA onde
σ = M/A = M/(4piR2), e dA e´ o elemento de a´rea
do anel. Pela geometria,
dA = (2piR sinφ)(Rdφ) = 2piR2 sinφdφ
s2 = (r − R cosφ)2 + (R sinφ)2
s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ
d(s2) = 2sds = 2rR sinφdφ
dM
M
=
σdA
σA
=
2piR2 sinφdφ
4piR2
=
1
2
sinφdφ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
A massa do anel sera´, dM = σdA onde
σ = M/A = M/(4piR2), e dA e´ o elemento de a´rea
do anel. Pela geometria,
dA = (2piR sinφ)(Rdφ) = 2piR2 sinφdφ
s2 = (r − R cosφ)2 + (R sinφ)2
s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ
d(s2) = 2sds = 2rR sinφdφ
dM
M
=
σdA
σA
=
2piR2 sinφdφ
4piR2
=
1
2
sinφdφ
dU = −GMm
2rR
ds
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
A massa do anel sera´, dM = σdA onde
σ = M/A = M/(4piR2), e dA e´ o elemento de a´rea
do anel. Pela geometria,
dA = (2piR sinφ)(Rdφ) = 2piR2 sinφdφ
s2 = (r − R cosφ)2 + (R sinφ)2
s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ
d(s2) = 2sds = 2rR sinφdφ
dM
M
=
σdA
σA
=
2piR2 sinφdφ
4piR2
=
1
2
sinφdφ
dU = −GMm
2rR
ds
U = −GMm
2rR
∫ r+R
r−R
ds
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Uma massa pontual no exterior de uma casca esfe´rica
A massa do anel sera´, dM = σdA onde
σ = M/A = M/(4piR2), e dA e´ o elemento de a´rea
do anel. Pela geometria,
dA = (2piR sinφ)(Rdφ) = 2piR2 sinφdφ
s2 = (r − R cosφ)2 + (R sinφ)2
s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ
d(s2) = 2sds = 2rR sinφdφ
dM
M
=
σdA
σA
=
2piR2 sinφdφ
4piR2
=
1
2
sinφdφ
dU = −GMm
2rR
ds
U = −GMm
2rR
∫ r+R
r−R
ds
U = −GMm
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Massa pontual no interior de uma casca esfe´rica
Em relac¸a˜o a` massa, m, fora da casca esfe´rica a
u´nica mudanc¸a sa˜o os limites de integrac¸a˜o da
integral, logo:
U = −GMm
2rR
∫ R+r
R−r
ds
U = −GMm
2rR
[(R + r)− (R − r)]
U = −GMm
R
(1)
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Massa pontual no interior de uma casca esfe´rica
Em relac¸a˜o a` massa, m, fora da casca esfe´rica a
u´nica mudanc¸a sa˜o os limites de integrac¸a˜o da
integral, logo:
U = −GMm
2rR
∫ R+r
R−r
ds
U = −GMm
2rR
[(R + r)− (R − r)]
U = −GMm
R
(1)
A forc¸a e´ obtida do potencial pela relac¸a˜o
~Fg = −∇U, como U e´ independente de r temos
que,
~Fg = −∇(−GMm
R
) = 0 (2)
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Viagem ao centro da Terra
Se a densidade da Terra fosse constante,
ρ = Const., enta˜o a massa da Terra que contribui
para a forc¸a gravitacional atuando em m e´ a massa,
M, interna ao raio r . Assim,
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Viagem ao centro da Terra
Se a densidade da Terra fosse constante,
ρ = Const., enta˜o a massa da Terra que contribui
para a forc¸a gravitacional atuando em m e´ a massa,
M, interna ao raio r . Assim,
M
mT
=
∫ r
0 ρ4pir
2dr∫ R
0 ρ4pir
2dr
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜oesfe´rica de massa
Viagem ao centro da Terra
Se a densidade da Terra fosse constante,
ρ = Const., enta˜o a massa da Terra que contribui
para a forc¸a gravitacional atuando em m e´ a massa,
M, interna ao raio r . Assim,
M
mT
=
∫ r
0 ρ4pir
2dr∫ R
0 ρ4pir
2dr
M
mT
=
ρ 4
3
pir3
ρ 4
3
piR3T
=
r3
R3T
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Viagem ao centro da Terra
Se a densidade da Terra fosse constante,
ρ = Const., enta˜o a massa da Terra que contribui
para a forc¸a gravitacional atuando em m e´ a massa,
M, interna ao raio r . Assim,
M
mT
=
∫ r
0 ρ4pir
2dr∫ R
0 ρ4pir
2dr
M
mT
=
ρ 4
3
pir3
ρ 4
3
piR3T
=
r3
R3T
M = mT
r3
R3T
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Distribuic¸a˜o esfe´rica de massa
Viagem ao centro da Terra
Se a densidade da Terra fosse constante,
ρ = Const., enta˜o a massa da Terra que contribui
para a forc¸a gravitacional atuando em m e´ a massa,
M, interna ao raio r . Assim,
M
mT
=
∫ r
0 ρ4pir
2dr∫ R
0 ρ4pir
2dr
M
mT
=
ρ 4
3
pir3
ρ 4
3
piR3T
=
r3
R3T
M = mT
r3
R3T
O mo´dulo da forc¸a gravitacional em m, sera´:
Fg =
GMm
r2
=
Gm
r2
(mT
r3
R3T
)
Fg =
GmT m
R3T
r
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
I Devido ao movimento de rotac¸a˜o
da Terra, o peso aparente de um
corpo sobre a Terra na˜o e´
exatamente igual a` atrac¸a˜o
gravitacional da terra, a qual
chamamos de ~p0.
I O peso aparente ~p medido por uma
balanc¸a em uma dada latitude da
terra sera´ aproximadamente,
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
I Devido ao movimento de rotac¸a˜o
da Terra, o peso aparente de um
corpo sobre a Terra na˜o e´
exatamente igual a` atrac¸a˜o
gravitacional da terra, a qual
chamamos de ~p0.
I O peso aparente ~p medido por uma
balanc¸a em uma dada latitude da
terra sera´ aproximadamente,
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
I Devido ao movimento de rotac¸a˜o
da Terra, o peso aparente de um
corpo sobre a Terra na˜o e´
exatamente igual a` atrac¸a˜o
gravitacional da terra, a qual
chamamos de ~p0.
I O peso aparente ~p medido por uma
balanc¸a em uma dada latitude da
terra sera´ aproximadamente,
− p0 + F = −Fc cos θ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
I Devido ao movimento de rotac¸a˜o
da Terra, o peso aparente de um
corpo sobre a Terra na˜o e´
exatamente igual a` atrac¸a˜o
gravitacional da terra, a qual
chamamos de ~p0.
I O peso aparente ~p medido por uma
balanc¸a em uma dada latitude da
terra sera´ aproximadamente,
− p0 + F = −Fc cos θ
p0 − p = mv
2
r
cos θ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
I Devido ao movimento de rotac¸a˜o
da Terra, o peso aparente de um
corpo sobre a Terra na˜o e´
exatamente igual a` atrac¸a˜o
gravitacional da terra, a qual
chamamos de ~p0.
I O peso aparente ~p medido por uma
balanc¸a em uma dada latitude da
terra sera´ aproximadamente,
− p0 + F = −Fc cos θ
p0 − p = mv
2
r
cos θ
p = p0 −mω2r cos θ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
I Devido ao movimento de rotac¸a˜o
da Terra, o peso aparente de um
corpo sobre a Terra na˜o e´
exatamente igual a` atrac¸a˜o
gravitacional da terra, a qual
chamamos de ~p0.
I O peso aparente ~p medido por uma
balanc¸a em uma dada latitude da
terra sera´ aproximadamente,
− p0 + F = −Fc cos θ
p0 − p = mv
2
r
cos θ
p = p0 −mω2r cos θ
g = g0 − ω2R cos2 θ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
− p0 + F = −Fc cos θ
p0 − p = mv
2
r
cos θ
p = p0 −mω2r cos θ
g = g0 − ω2R cos2 θ
g =
GMT
R2
− 4pi
2R
T 2
cos2 θ
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
− p0 + F = −Fc cos θ
p0 − p = mv
2
r
cos θ
p = p0 −mω2r cos θ
g = g0 − ω2R cos2 θ
g =
GMT
R2
− 4pi
2R
T 2
cos2 θ
Se θ = 90o → g = g0
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
Peso aparente e rotac¸a˜o da terra
− p0 + F = −Fc cos θ
p0 − p = mv
2
r
cos θ
p = p0 −mω2r cos θ
g = g0 − ω2R cos2 θ
g =
GMT
R2
− 4pi
2R
T 2
cos2 θ
Se θ = 90o → g = g0
Se θ = 0o → g = g0 − 4pi
2R
T 2
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Buraco Negro
Velocidade de escape de uma estrela
A massa do sol e´ M = 1, 99× 1030kg e o raio do Sol e´ R = 6, 96× 108m. Assim a
densidade do sol sera´:
ρ =
M
V
=
M
4
3
piR3
= 1410kg/m3
v =
√
2GM
Rs
=
√
8piGρ
3
R = 6, 185m/s ∼ c
500
Se um corpo tiver a mesma densidade do sol e um raio aproximadamente 500× RS
enta˜o v > c e assim, toda luz emitida por esse corpo sera´ atra´ıda para seu interior.
Cap´ıtulo 12 - Gravitac¸a˜o
Buraco Negro
Buraco negro, raio de Schwarzschild e horizontes de eventos
A superf´ıcie da esfera de raio Rs que cerca o buraco negro e´ chamada de horizonte de
eventos, pois, na˜o podemos ver nenhuma luz que escapa deste raio ma´ximo.
c =
√
2GM
Rs
→ Rs = 2GM
c2
	Introdução
	Lei de Newton da gravitação
	Energia potencial gravitacional
	Movimento de Satélites
	As leis de Kepler do movimento de planetas
	Distribuição esférica de massa
	Peso aparente e rotação da terra
	Buraco Negro