Cálculo Numérico

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Universidade Estadual De Campinas
Faculdade De Tecnologia
Projeto da disciplina ST468/ST462 Cálculo numérico
Professor: Michael Macedo Diniz
Mário Cesar Mendes Filho RA: 103457
Andreia Aparecida de Castro Aves RA: 116142
Guilherme Dornelas da Costa RA: 106699
1. Erros numéricos
1.1 Representação
Faça um programa para calcular S1 e S2 = 30000 *0.11. Teoricamente os resultados deveriam ser os mesmos, isto é S1 = S2. Na prática isto não é verdade, explique o motivo da diferença entre S1 e S2.
format long %Mostra aproximadamente 15 dígitos significativos 
x = 0.11; 	%Declara a variável x com o valor inicial de 0.11 
S1=0;		%Declara a variável z com o valor inicial de 0
for i=1:30000 %Loop para calcular a soma 30000 vezes
 S1=S1+x;
 
end
 S1 	%mostra o valor da saída
Resultado: S1 = 3.300000000000629e+003; 
S2 = 30000 * 0.11 = 3300; %mostra o valor da saída
Diferença: S1-S2 = 6.284608389250934e-010; 
A diferença de S1 e S2 pode ter ocorrido em função da base utilizada, da forma como os números são armazenados, ou em virtude dos erros cometidos nas operações aritméticas. O conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto, discreto, ou seja não é possível representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a,b]. A representação de um número depende da BASE escolhida e do número máximo de dígitos usados na sua representação.
Questão 1.2
Código 1
clear all; % limpa as variáveis armazenadas
clc; %comando para limpar a tela
 
syms x % cria uma variável simbólica para usar a função de derivada
f(x)=exp(x); % função de e^x
k=0; %inicia a variável k com valor 0
n=20; %variável que define o número de passos do loop “for”
x0=0; %valor do ponto que a série de Taylor será calculada 
x1=2; %valor da variável x da função e^x
 
if n<=170 %condição para verificação de k!
 
for i=1:n+1 %loop que conta de 1 a n+1
g(i)=f(x0); % vetor que recebe os valores da função f(x) e suas respectivas derivadas
y(x)=diff(f(x)); % a variavel y recebe a derivada de f(x)
f(x)=y(x); % f(x)recebe o valor da derivada
t(i)=factorial(i-1); %calcula a fatorial do indice no momento de n=i-1
v(i)=(x1-x0)^(i-1); % v(i) recebe um valor da função
k=k+((g(i)/t(i))*v(i)); % calculo de séries de Taylor da respectiva função
end %fim do loop 'for'
double(k)
else
 disp('overflow de k');
 end
a) Teste seu programa com vários valores de x (x próximo de zero e x distante de zero) e, para cada valor de x, teste o cálculo da série com vários valores de n. Analise os resultados obtidos. Até qual valor de n é possível rodar o programa? Por que o programa não roda para valores de n muito grandes?
R.
	 
	n = 1
	n = 10
	n = 100
	n = 1000
	n = 10000
	x = 1
	2
	2.7183
	2.7183
	overflow
	overflow
	x = 10
	11
	1.2842e+04
	2.2026e+04
	overflow
	overflow
	x = 100
	101
	3.0582e+13
	1.4155e+43
	overflow
	overflow
	x = 1000
	1001
	2.7835e+23
	1.1904e+142
	overflow
	overflow
	x = 10000
	10001
	2.7585e+33
	Inf
	overflow
	overflow
É possível rodar o programa para n até 169. O programa não roda pra valores muito grandes de n, pois n determina o numero de termos da série de Taylor e para valores muito grandes o ocorre overflow da variável k devido ao fato de esta realizar o fatorial de um numero muito grande.
b) O cálculo de k! necessário na série de Taylor pode ser feito de modo a evitar a ocorrência de overflow. Estude e apresente uma maneira de realizar esta operação de modo a evitar que k! estoure.
Código 2
x=10; %valor de x na função exponencial
n=200; %numero loops do for
G=1/2; %variável inicia com valor de 0,5
V=0; %inicialização de variável
 
for i=3:n %loop de 3 a n
Z= G*(1/i); %função que realiza o calculo de k!
K= Z*(x^i); % multiplica k! pelo valor numerador da função
V=V+K; %soma o valor obtido da linha anterior a cada loop em V
G=Z; %atualiza o valor G a cada loop
end %fim do loop 
 
U= 1+x+((x^2)/2)+V %formula de Taylor para o exponencial
3. Com a modificação do item anterior, a série de Taylor pode ser calculada com quantos termos se queira. Qual seria um critério de parada para se interromper o cálculo da série?
R. Um critério de parada para o código seria determinar uma precisão mínimas entre as iterações.
2.1 Método da secante e o método da bissecção
Escreva um programa para calcular as raizes de uma função f(x). Inicialmente o programa deverá utilizar o método da bissecção até atingir uma precisão de e = 10^3. Posteriormente o programa deverá utilizar o método da secante para se aproximar da solução com uma precisão e = 10^8.
a) Teste o seu programa com os casos abaixo. Para cada caso apresente o gráfico da função, o valor da raiz encontrado e a quantidade de iterações realizadas.
Primeiro Caso
Função f(x):
function y = func(x) %declaração de função para a f(x) 
y = (x/2) - tan(x) + 0.5; %f(x) 
end
Código:
clear all
clc 
a = -1; %inicio do intervalo onde está a raiz desejada
b = 1; %fim do intervalo onde está a raiz desejada
x= (a+b)/2; %metade do intervalo
E = 10^-3; %precisão para o primeiro método
k = 0; %contador
 
for i=1:100 %loop de 1 a 100
 
 if (b-a)< E && func(x)< E %condição de parada do loop 
 x 
 break 
 else k = k+1; %contando as iterações 
 M=func(a); %atribui a M o valor de f(a) 
 x= (a+b)/2; %divide o intervalo em 2 
 fx = func(x); %atribui a fx o valor de f(x) 
 if M*func(x)>0; %verifica se M vezes f(x) é maior que 0 
 a=x; 
 else
 b=x;
 end 
 
 end 
 
end
 
e = 10^-8; %precisão para o segundo método
 
for i=1:100 %loop de 1 até 100
 
 if abs(func(x))<e %verifica se f(x) é menor que a precisão
 x
 break 
 else 
 x = b -((func(b)*(b-a))/(func(b)-func(a))); % Calcula um x mais próximo da raiz 
 a=b;
 b=x;
 end
 
end
fplot('func(x)',[-1,1]) %plota o gráfico da função no intervalo de -1 a 1
title('Gráfico da função f(x)') %intitula o gráfico
xlabel('x') %nomeia o eixo x
ylabel('f(x)') %nomeia o eixo y
grid %exibe grade no gráfico
Figura 1. Gráfico da f(x) para o intervalo [-1,1]
Resultados:
A raiz para o primeiro método (bissecção) foi 0.7060546875 e levou um total de 11 iterações.
A raiz para o segundo método (secante) foi 0.706328089467140 e levou um total de 3 iterações.
Segundo Caso
Função f(x):
function y = func(x) %declaração de função para a f(x) 
y = 2*cos(x) - (exp(x)/2); %f(x) 
end
Código:
clear all
clc
 
a = 0; %inicio do intervalo onde está a raiz desejada
b = pi; %fim do intervalo onde está a raiz desejada
x= (a+b)/2; %metade do intervalo
E = 10^-3; %precisão para o primeiro método
 
k = 0; %contador
 
for i=1:100 %loop de 1 a 100
 
 if (b-a)< E && func(x)< E %condição de parada do loop 
 x 
 break 
 else k = k+1; %contando as iterações 
 M=func(a); %atribui a M o valor de f(a) 
 x= (a+b)/2; %divide o intervalo em 2 
 fx = func(x); %atribui a fx o valor de f(x) 
 if M*func(x)>0; %verifica se M vezes f(x) é maior que 0 
 a=x; 
 else
 b=x;
 end 
 
 end 
 
end
 
e = 10^-8; %precisão para o segundo método
 
for i=1:100 %loop de 1 até 100
 
 if abs(func(x))<e%verifica se f(x) é menor que a precisão
 x
 break 
 else 
 x = b -((func(b)*(b-a))/(func(b)-func(a))); % Calcula um x mais próximo da raiz 
 a=b;
 b=x;
 end
 
end
fplot('func(x)',[0,pi]) %plota o gráfico da função no intervalo de 0 a pi
title('Gráfico da função f(x)') %intitula o gráfico
xlabel('x') %nomeia o eixo x
ylabel('f(x)') %nomeia o eixo y
grid %exibe grade no gráfico
Figura 2 Gráfico e f(x) para o intervalo [0,pi]
Resultados:
A raiz para o primeiro método (bissecção) foi 0.904665169655557 e levou um total de 13 iterações.
A raiz para o segundo método (secante) foi 0.904788217871403 e levou um total de 3 iterações.
2.2 Sequências oscilantes
Analise algebricamente e geometricamente e encontre justificativas para o comportamento do método de Newton quando aplicado à equação P3(x) = -0,5x^3 +2,5x = 0 nos casos onde x0 = 1 e x0 = -1. Dica: Plote o gráfico da função f(x) para entender o comportamento do método de Newton para este caso.
Código:
Função da derivada de f(x):
function z = dev(x) %declaração de função para derivada de f(x)
 
z = -1.5*x^2 + 2.5; %derivada de f(x)
 
end
Função f(x):
function y = func(x) %declaração de função para a f(x)
 
y = -0.5*x^3 + 2.5*x; %f(x)
 
end
Método de Newton:
clear all %limpa todas as variáveis
clc %limpa a janela de comando
 
x0 = 1; %inicializa um valor próximo a raiz
e = 10^-4; %defini uma variável para a precisão
 
for i=1:100 %inicio do loop de 1 a 100 iterações
 
 if abs(func(x0)) < e && abs(x1-x0) < e %condição de parada para o loop
 x0
 break
 else
 x1 = x0 - (func(x0)/dev(x0)); %é atribuído o valor de x0 menos o
 %valor da função em x0 dividido pela derivada em x0 a variavel x1
 
 x0=x1; %é atribuído o valor de x1 a x0
 
 end
 
end
 
fplot('func(x)', [-3,3]) %plota o gráfico da função no intervalo de -3 a 3
title('Gráfico da função f(x)') %intitula o gráfico
xlabel('x') %nomeia o eixo x
ylabel('f(x)') %nomeia o eixo y
grid %exibe grade no gráfico
Figura 3. Gráfico de f(x) para o intervalo (-3,3).
3.1 Fatoração LU
clear all; % limpa os valores das variaveis
clc;% limpa a tela
 
A= [3 2 4; 1 1 2; 4 3 -2]; %valores da matriz A
B= [1;2;3]; % valor da coluna dos coeficientes
 
U=[A,B];% U recebe a matriz aumentada da concatenação de A e B
[L,C]= size(U); %indices contendo os valores de quantas linhas e colunas que U possui
 
for k=1:L-1 %laço for de indice k de 1 até L-1
 for i=k+1:L %laço for de indice i de 1+k até L-1
 m(i,k)=(U(i,k)/U(k,k)); % valores dos fatores m(i,k)
 U(i,k:C)= U(i,k:C)-(U(i,k)/U(k,k))*U(k,k:C); %algoritmo da eliminação de Gauss
 end
end
 
U(:,C)=[]; %retira a ultima coluna de U
V= eye(size(A))+[m,zeros(size(B))]; %Concatenação de uma matriz diagonal do tamanho de A com os valores da matriz m
 
Y=zeros (size(B)); % criação dos coeficientes de Y com valores iniciais = 0 do tamanho de B, criando assim L
V=[V,B]; % concatenação da matriz L com B
Y(1)= V(1,C)/V(1,1); %valor da posição de Y(1)
 
for i= 2:size(B) %laço for de indice i de 1 até o tamanho do vetor de B
 Y(i)= (V(i,C)-V(i,1:i)*Y(1:i))/V(i,i); %algoritmo para calculo dos valores restantes de Y
end
 
X=zeros (size(B)); %criação dos coefiecientes da incógnita X com tamanho de B
U=[U,Y]; %concatenação de U com Y
X(L)= U(L,C)/U(L,L); %valor da posição de Y(L)
 
for i= L-1:-1:1 %laço for de indice i de L-1 até 1 com contagem decrescente
 X(i)=(U(i,C)-U(i,i:L)*X(i:L))/U(i,i); %algoritmo para calculo dos valores restantes de X
end
3.2 Métodos Iterativos
Implemente o método de Gauss-Seidel através de um programa computacional.
clear all;
clc;
 
A= [10 1 1;1 10 1;1 1 10];%valores da matriz A
B= [12;12;12];% valor matriz coluna
 
ab=[-A,B];% ab recebe a matriz aumentada da concatenação de -A e B
[L,C]= size(ab);%indices contendo os valores do tamanho de ab
 X= [0 0 0]; %inicialização de X
 X=[X,1]; %concatena X com 1
 Y= zeros(size(B)); % cria um vetor Y do tamanho de B contendo zeros
 X=X'; %transposta de X
 n=0; 
 v=0; 
 k=0; 
 
while(v==0) %enquanto a v é zero
 if (n >= 1) %se n for maior ou igual a 1
if X(1:C-1)== Y; %se o vetor X for igual ao vetor Y
 v=v+1; %incrementa v
else 
 k=k+1; % contador aumenta 1
 Y=X(1:C-1); % vetor Y recebe os valores de X
 for i= 1:L %enlace de 1 até L
 p = -ab(i,i); %variavel p recebe os valores de ab
 X(i)=0; %zera os valores de X a cada loop
 X(i)=(ab(i,1:C)*X)/(p); %algoritmo de Gauss Seidel
 end 
end 
 else 
 n=n+1; 
 
 for i= 1:L %Loop de 1 até L
 p = -ab(i,i);%variavel p recebe os valores de ab
 X(i)=0;%zera os valores de X a cada loop
 X(i)=(ab(i,1:C)*X)/(p); %algoritmo de Gauss Seidel
 end
 end
end
 
X
Resultado:
X =
 1
 1
 1
 
Segundo Caso
clear all; % limpa os valores das variaveis
clc;% limpa a tela
 
 
A= [4 -1 0 0;-1 4 -1 0;0 -1 4 -1; 0 0 -1 4];%valores da matriz A
B= [1;1;1;1];% valor matriz coluna
 
ab=[-A,B];% ab recebe a matriz aumentada da concatenação de -A e B
[L,C]= size(ab);%indices contendo os valores do tamanho de ab
 X= [0 0 0 0]; %inicialização de X
 X=[X,1]; %concatena X com 1
 Y= zeros(size(B)); % cria um vetor Y do tamanho de B contendo zeros
 X=X'; %transposta de X
 n=0; 
 v=0; 
 k=0; 
 
while(v==0) %enquanto a v é zero
 if (n >= 1) %se n for maior ou igual a 1
if X(1:C-1)== Y; %se o vetor X for igual ao vetor Y
 v=v+1; %incrementa v
else 
 k=k+1; % contador aumenta 1
 Y=X(1:C-1); % vetor Y recebe os valores de X
 for i= 1:L %enlace de 1 até L
 p = -ab(i,i); %variavel p recebe os valores de ab
 X(i)=0; %zera os valores de X a cada loop
 X(i)=(ab(i,1:C)*X)/(p); %algoritmo de Gauss Seidel
 end 
end 
 else 
 n=n+1; 
 
 for i= 1:L %Loop de 1 até L
 p = -ab(i,i);%variavel p recebe os valores de ab
 X(i)=0;%zera os valores de X a cada loop
 X(i)=(ab(i,1:C)*X)/(p); %algoritmo de Gauss Seidel
 end
 end
end
 
X
Resultado:
X =
 0.3636
 0.4545
 0.4545
 0.3636
4.1 Interpolação
Calcule o valor aproximado de x tal que f(g(x)) = 0,6, usando polinômios interpolantes de grau 2.
Código:
clear all
clc
 
w=[0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 0.9]; %vetor w
fw=[0.905 0.819 0.67 0.549 0.449 0.407]; % vetor f(w)
a=0; %inicialização de variável
a2=0; %inicialização de variável
a3=0; %inicialização de variável
fgx=0.6; %valor de f(g(x))
 
 
for k=3:5 %primeiro loop de 3 a 5
 a1=1; %variavel a1 recebe valor 1
 for i=3:5 %segundo loop de 3 a 5
 if i~= k %verifica se i é diferente de k
 a=a1*(fgx-fw(i))/(fw(k)-fw(i)); %principal linha do algoritmo de Lagrange
 a1=a; %a1 recebe o valor de a
 end
 
 end
 a2=w(k)*(a)+a3; %a2 recebe o valor da operação no loop
 a3=a2; %a3 recebe o valor de a2
end
 
a3
 
x=[1 1.2 1.4 1.7 1.8]; %vetor x
gx=[0.210 0.320 0.480 0.560 0.780]; %vetor g(x)
b=0; %inicialização de variável
b2=0; %inicialização de variável
b3=0; %inicialização de variável
 
 
for k=3:5 %primeiro loop de 3 a 5
 b1=1; %variavel b1 recebe valor 1
 for i=3:5 %segundo loop de 3 a 5
 if i~= k %verifica se i é diferente de k
 b=b1*(a3-gx(i))/(gx(k)-gx(i)); %principal linha do algoritmo de Lagrange
 b1=b; %b1 recebe o valor de b
 end
 
 end
 b2=x(k)*(b)+b3; %b2 recebe o valor da operação no loop
 b3=b2; %b3 recebe o valor de b2
end
 
b3
Resultados:
a3 = 0.5101
b3 = 1.5294
Onde a3 é igual a g(x) e b3 é igual a x.
4.2 Método dos quadrados mínimos
Código:
clear all
clc
 
%% Entrada de dados
syms x
x1= [158 163 163 168 173 178 183 188 193]; %altura
y= [61 63 71 70 69 7379 81 79]; % peso
C= size(x1,2);
z=[];
z1=[];
f1(x)=x;
f2=1;
aux=0;
aux1=0;
aux2=0;
 
%% Algoritmo (metodo dos quadrados minimos)
for i=1:2
 for j=1:2
 
 if i==1 && j==1 
 for k=1:C
 z(i,j)=(f1(y(k))* f1(y(k)))+aux;
 aux=z(i,j);
 
 z1(i,j)= (x1(k)*f1(y(k)))+ aux1;
 z1(i+1,j)= (x1(k)*f2)+ aux2;
 aux2= z1(i+1,j);
 aux1=z1(i,j); 
 end 
 end
 aux=0;
 k=0;
 
 if i==1 && j==2 || i==2 && j==1 
 for k=1:C
 z(i,j)=(f1(y(k))*f2)+aux;
 aux=z(i,j);
 end 
 end
 k=0;
 aux=0;
 
 if i==2 && j==2 
 for k=1:C
 z(i,j)=(f2*f2)+aux;
 aux=z(i,j);
 end 
 end
 k=0;
 aux=0;
 
 end
end
 
z3= [z,z1];
[L,C]= size(z3); %indices contendo os valores de quantas linhas e colunas que U possui
 
for k=1:L-1 %laço for de indice k de 1 até L-1
 for i=k+1:L %laço for de indice i de 1+k até L-1
 m(i,k)=(z3(i,k)/z3(k,k)); % valores dos fatores m(i,k)
 z3(i,k:C)= z3(i,k:C)-(z3(i,k)/z3(k,k))*z3(k,k:C); %algoritmo da eliminação de Gauss
 end
end
 
X=zeros (size(z1)); %criação dos coefiecientes da incógnita X com tamanho de B
X(L)= z3(L,C)/z3(L,L); %valor da posição de Y(L)
 
i=0;
for i= L-1:-1:1 %laço for de indice i de L-1 até 1 com contagem decrescente
 X(i)=(z3(i,C)-z3(i,i:L)*X(i:L))/z3(i,i); %algoritmo para calculo dos valores restantes de X
end
 
f3(x)= X(1)*x + X(2);
x = (175-X(2))/X(1)
z = (80*X(1)) + X(2)
double (f3(y));
 
%% Diagrama de Dispersão 
plot( y,f3(y))
hold on
plot (y,x1,'o')
legend('Interpolação' ,'Dispersão')
grid
Resultados:
x = 72.3384 z = 187.1489
O peso estimado de um funcionário de 175 cm é 72,3384 Kg e a altura estimada de um funcionário de 80 Kg é 187,1489 cm.
Figura 4 Gráfico do ajuste de curva
5. Método de Simpson e método dos Trapézios
a) Calcular usando o método dos trapézios.
Função f(x):
function y = funcao(x) %declaração de função para a f(x)
 y =1/(1+x); %f(x)
end
clear all;
clc;
 
x=[]; %inicia vetor x vazio
a=0.6; %limite superior da integral
b=0; %limite inferior da integral
n=12; %numero de trapézios
z=0; %variável auxiliar
h=(a-b)/n; %altura dos trapézios
 
 
for i=1:1:n+1 %loop de 1 até n+1
 x(i) = ((a-b)/n) *z; %preenche o vetor x
 z=i; %z recebe o valor de i a cada enlace
end
 
i=0;
z=0;
 
for i=1:1:n %loop de 1 até n
 
 y = ((funcao(x(i))+funcao(x(i+1)))*0.5*h) +z; %operação que calcula as áreas dos trapézios
 z = y; %z recebe o valor de y a cada enlace
 
end
 
z
Resultado:
 = 0.4701
b) Calcular usando o método de Simpson
Função f(x):
function y = funcao(x) %declaração de função para a f(x)
 y =1/(1+x); %f(x)
end
clear all
clc
 
x=[]; %inicializa vetor x vazio
a=0.6; %limite superior da integral
b=0; %limite inferior da integral
n=6; %numero de subintervalos 
h=(a-b)/n; %distancia dos subintervalos
 
%laço que preenche o vetor x com os valores da função para cada
%subintervalo
for i=1:1:n
 x(i)= funcao(i*h);
 
end
 
i=0;
w=0;
 
%laço que soma os índices pares do vetor x 
for i=2:2:n-1 
 y1= (x(i)) +w;
 w=y1;
 
end
 
i=0;
k=0;
 
 %laço que soma os índices ímpares do vetor x 
for i=1:2:n-1
 y2=(x(i)) +k;
 k=y2;
 
end
%Equação geral que nos fornece a integral pela Regra de Simpson
I = (h/3)*(2*w + 4*k + funcao(a)+ funcao(b))
Resultado:
 = 0.4700
c) Calcular usando o método dos trapézios.
Função f(x):
function y = funcao(x) %declaração de função para a f(x)
 y =exp(sin(x)); %f(x)
end
clear all;
clc;
 
x=[]; %inicia vetor x vazio
a=pi; %limite superior da integral
b=0; %limite inferior da integral
n=50; %numero de trapézios
z=0; %variável auxiliar
h=(a-b)/n; %altura dos trapézios
 
 
for i=1:1:n+1 %loop de 1 até n+1
 x(i) = ((a-b)/n) *z; %preenche o vetor x
 z=i; %z recebe o valor de i a cada enlace
end
 
i=0;
z=0;
 
for i=1:1:n %loop de 1 até n
 
 y = ((funcao(x(i))+funcao(x(i+1)))*0.5*h) +z; %operação que calcula as áreas dos trapézios
 z = y; %z recebe o valor de y a cada enlace
 
end
 
z
Resultado:
 = 6.2081
c) Calcular usando o método de Simpson
Função f(x):
function y = funcao(x) %declaração de função para a f(x)
 y =exp(sin(x)); %f(x)
end
clear all
clc
 
x=[]; %inicializa vetor x vazio
a=pi; %limite superior da integral
b=0; %limite inferior da integral
n=6; %numero de subintervalos 
h=(a-b)/n; %distancia dos subintervalos
 
%laço que preenche o vetor x com os valores da função para cada
%subintervalo
for i=1:1:n
 x(i)= funcao(i*h);
 
end
 
i=0;
w=0;
 
%laço que soma os índices pares do vetor x 
for i=2:2:n-1 
 y1= (x(i)) +w;
 w=y1;
 
end
 
i=0;
k=0;
 
 %laço que soma os índices ímpares do vetor x 
for i=1:2:n-1
 y2=(x(i)) +k;
 k=y2;
 
end
%Equação geral que nos fornece a integral pela Regra de Simpson
I = (h/3)*(2*w + 4*k + funcao(a)+ funcao(b))
Resultado:
 = 6.2086
Conclusão:
Através dos conhecimentos que adquirimos em sala de aula percebemos a importância dos métodos numéricos para se resolver problemas, que até então não tinham soluções analíticas, o que nos mostra o grande avanço que o cálculo numérico proporciona em nossas vidas. Ao implementarmos códigos como esses, vimos como os métodos numéricos facilitam a resolução de problemas difíceis, mas comuns no cotidiano da engenharia e matemática, que por consequência afetam a vida de todos através de suas aplicações tecnológicas.