LISTA 01 Calculo 2

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CURSO DE ENGENHARIAS 
 Lista 01 – Cálculo Diferencial e Integral II 
Profa.: LIDIANE SARTINI 
 
LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS DE UMA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL, 
LIMITES E DERIVADAS DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
 
1. Calcule os seguintes limites: 
a) 
 2
0
lim 3 7 5
x
x x

 
 
b) 
 5 4
1
lim 6 2
x
x x

  
 
c) 2
2
5 6
lim
2t
t t
t
 

 
d) 2
22
3 10
lim
3 5 2x
x x
x x
 
 
 
e) 2
5
2
2 3 5
lim
2 5t
t t
t
 

 
f) 2
24
3 17 20
lim
4 25 36x
x x
x x
 
 
 
g) 2
2
4
lim
2x
x
x


 
h) 
2
1
lim
1t
t
t


 
i) 2
2
2 3
lim
2 5 3t
t t
t t
 
 
 
j) 3
3
5 2
lim
7 3x
x
x
 

 
k) 2
2
10 3 4
lim
3 1x
x x
x
 

 
l) 3
2
2 1
lim
1x
x x
x
 

 
 
2. Encontre a derivada das funções dadas. 
a) 
2( ) 3 6 10f x x x  
 
b) 
2( )f w aw b 
 
c) 
31( ) 14
2
f x x 
 
d) 
2( ) (2 1)(3 6)f x x x  
 
e) 
14( ) (5 3) (5 3)
6
f x x x  
 
f) 23 5 1
( )
1
t t
f t
t
 


 
g) 
5 7
( )
2 2
x
f x
x



 
h) 
4 5
3 5
( )f x
x x
 
 
i) 
4
6
1 2
( )
2
f x x
x
 
 
j) 
2 10( ) 10(3 7 3)f x x x  
 
k) 
( ) cos
2
f u u
 
  
 
 
l) 
( ) arccos( )f t sent
 
 
3. Calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
a) 
43 2 5y x x n  
 
b) 
2 1 3xy e n 
 
c) 
2cos 5
2
x
y n  
 
 
4. Calcular as integrais indefinidas. 
a) 
3
dx
x
 
b) 
2
dx
sen x
 
c) 
4 3( 3 )ax bx c dx 
 
d) 
3x xdx
 
 
5. Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição. 
a) 
2 10(2 2 3) (2 1)x x x dx  
 
b) 1
3 27( 2)x x dx
 
c) 
5 2 1
x
dx
x 

 
d) 
2sectgx xdx
 
 
6. Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. 
a) 
5x sen xdx
 
b) 
ln(1 )x dx
 
c) 
4tt e dt
 
d) 
cos
2
xe dx


 
 
7. Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais. 
a) 
2 9
dx
x x
 
b) 
2 2( 1)( 4)
dx
x x 
 
c) 
2
2 1
2 3 2
x
dx
x x

 
 
 
8. Calcule os limite dado, usando as propriedades: 
a) 
2 2
( , ) (2,3)
lim (3 2 )
x y
x xy y

 
 
b) 
( , ) (2, 1)
3 2
lim
4x y
x y
x y 


 
c) 
33
( , ) ( 2,4)
lim 2
x y
y x y
 

 
d) 
( , ) (0,0)
lim
cos
x y
x y
e e
x seny


 
e) 2 2
2 2( , ) (0,0)
cos
lim
x yx y
sen x y
e e


 
f) 2 2
2 2( , ) (0,0)
lim
2x y
x sen y
x y


 
g) 2 2
2 2( , ) (0,0)
3 5
lim
2x y
x y
x y
 
 
 
h) 
2 2
( , ) (3,4)
lim 1
x y
x y

 
 
i) 
( , , ) (1,3,4)
1 1 1
lim
x y z x y z
 
  
 
 
j) 
1( , , ) ( , ,2)
4 2
lim ( )
x y z
arctg xyz 
 
k) 
2 2( , , ) (1, 1, 1)
2
lim
x y z
xy yz
x z  


 
l) 
2
( , , ) ( ,0,3)
lim cos2y
x y z
ze x



 
9. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não 
têm limite quando 
( , ) (0,0)x y 
. 
a) 4
4 2
( , )
x
f x y
x y


 b) 4 2
4 2
( , )
x y
f x y
x y



 
 
10. Calcule 
( , )xf x y
 e 
( , )yf x y
 para a função 
3 2 3( , ) 4 (2 )f x y x y sen xy 
e use os resultados 
para determinar 
(3, 4)xf 
 e 
( 3,2)yf 
. 
 
11. A temperatura (graus Celsius) em qualquer ponto (x, y) de um placa de aço é dada por 
2 2500 0,6 1,5T x y  
, onde x e y são medidos em metros. Determine as taxas de variação 
da temperatura com a distância ao longo dos eixos x e y no ponto (2, 3). 
 
12. Calcule 
, ex y zf f f
 para 
2 3 6( , , ) 5 3f x y z x y z xyz 
. 
 
13. Seja a função 
4 3( , ) 5 2f x y x y xy 
. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem: 
, , exx xy yx yyf f f f
 
 
14. Determine 
( , )xf x y
 e 
( , )yf x y
 para a função 
5 3( , ) 3 7f x y x y x y 
. 
 
15. Calcule 
, ex y zf f f
 para 
 2( , , ) ln cos( )f x y z z x y z
 
 
16. Seja 
2 4 5( , ) 4 2 7f x y x y x y  
. Determine: 
, , exx xy yx yyf f f f
 
 
17. Encontre as derivadas parciais 
, , ,
f f f f
v w x y
   
   
 para a função 
2 3 4 5( , , , ) 4f v w x y v w x y
 
 
18. Suponha que uma função
( , , )f x y z
 seja diferençável no ponto 
 1,2,3
 com 
(1,2,3) 1 , (1,2,3) 2 e (1,2,3) 3x y zf f f  
. Se
(1,2,3) 4f 
, estime o valor de 
 1,01;2,02;3,03f
. 
 
19. Encontre 
,
f f f
e
x y z
  
  
. 
a) 
2( , ) 2 3 4f x y x y  
 
b) 
2 2( , ) 5 7 3 6 2f x y xy x y x y     
 
c) 
2 2( , )f x y x y 
 
d) 
 
3
( , ) 2 3f x y x y 
 
e) 
2( , ) ( 3 )f x y sen x y 
 
f) 
2 2( , ) cos (3 )f x y x y 
 
g) 
( , )
y
f x y arctg
x
 
  
 
 
h) 
2 2( , , )f x y z x y z  
 
i) 
 
1
2 2 2 2( , , )f x y z x y z

  
 
j) 
 ( , , ) ln 2 3f x y z x y z  
 
 
20. Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções: 
 
a) 
( , )f x y x y xy  
 
b) 
2( , ) cosg x y x y y ysenx  
 
c) 
( , ) 1yh x y xe y  
 
 
21. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. 
 
a) 
2 24 2 , ( 1,2,4)z x y y   
 b) 
2 29 6 3 5, (1,2,18)z x y x y    
 
 
22. Encontre 
uD f
 em P. 
 
a) 3
2
1 1
( , ) (1 ) ; (3,1);
2 2
f x y xy P u i j   
 
b) 
2 3 4( , ) ; (4,0);
5 5
xyf x y e P u i j   
 
c) 
2 1 1( , ) ln(1 ); (0,0);
10 10
f x y x y P u i j     
 
d) 
5 2 3 1 2 2( , , ) 3 ; (2, 1,1);
3 3 3
f x y z x y z P u i j k    
 
e) 
2 2 3 6( , , ) ; (0,2,3);
7 7 7
xyf x y z ye z P u i j k    
 
 
 
23. Encontre o gradiente de f no ponto indicado. 
 
a) 
2 3( , ) ( ) ; ( 1, 1)f x y x xy   
 
b) 1
2 2 2( , ) ( ) ; (3,4)f x y x y

 
 
c) 
( , , ) ln( ); ( 3,4,0)f x y z y x y z   
 
d) 
2 3( , , ) ( ); ( , 3,1)
4
f x y z y ztg x  
 
 
24. Use a regra da cadeia para determinar 
w
t


. 
a) 
2 2; ,t tw x y x e y e   
 
b) 
sec ; ,tw x y x e y t    
c) 
2 2 2; cos , ,t t tw x y z x e t y e sent z e     
 
d) 
 2 2 2ln ; cos , , 4 ; 3w x y z x t y sent z t t      
 
 
25. Calcule 
z z
e
x y
 
 
 usando a diferenciação implícita. 
 
a) 
 
3
2 2 2 2 1x y z  
 
b) 
2 ( ) 0x ysen xyz 
 
 
 
 
26. Pausa para o Lanche!!!!