LISTA 01 cálculo 2

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA – ICTE/UFTM 
 Lista 01 – Cálculo Diferencial e Integral II 
Profa.: LIDIANE SARTINI 
 
1. Calcule os seguintes limites: 
a) ( )2
0
lim 3 7 5
x
x x
→
− − 
b) ( )5 4
1
lim 6 2
x
x x
→−
− + + 
c) 
2
2
5 6lim
2t
t t
t→
+ +
+
 
d) 
2
22
3 10lim
3 5 2x
x x
x x→
+ −
− −
 
e) 
2
5
2
2 3 5lim
2 5t
t t
t→
− −
−
 
f) 
2
24
3 17 20lim
4 25 36x
x x
x x→
− +
− +
 
g) 
2
2
4lim
2x
x
x→
−
−
 
h) 2
1lim
1t
t
t→−∞
+
+
 
i) 
2
2
2 3lim
2 5 3t
t t
t t→∞
− +
+ −
 
j) 
3
3
5 2lim
7 3x
x
x→−∞
− +
+
 
k) 
2
2
10 3 4lim
3 1x
x x
x→+∞
− +
−
 
l) 
3
2
2 1lim
1x
x x
x→−∞
− +
−
 
 
2. Encontre a derivada das funções dadas. 
a) 2( ) 3 6 10f x x x= + − 
b) 2( )f w aw b= + 
c) 31( ) 14
2
f x x−= − 
d) 2( ) (2 1)(3 6)f x x x= + + 
e) 14( ) (5 3) (5 3)
6
f x x x−= − + 
f) 
23 5 1( )
1
t tf t
t
+ −
=
−
 
g) 5 7( )
2 2
xf x
x
+
=
−
 
h) 4 5
3 5( )f x
x x
= + 
i) 4 6
1 2( )
2
f x x
x
= + 
j) 2 10( ) 10(3 7 3)f x x x= + − 
k) ( ) cos
2
f u uπ = − 
 
 
l) ( ) arccos( )f t sent= 
 
3. Calcular as integrais indefinidas. 
a) 3
dx
x∫ 
b) 2
dx
sen x∫ 
c) 4 3( 3 )ax bx c dx+ +∫ 
d) 3x xdx∫ 
 
4. Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição. 
a) 2 10(2 2 3) (2 1)x x x dx+ − +∫ 
b) 
1
3 27( 2)x x dx−∫ 
c) 
5 2 1
x dx
x −∫
 
d) 2sectgx x dx∫ 
 
5. Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. 
a) 5x sen x dx∫ 
b) ln(1 )x dx−∫ 
c) 4tt e dt∫ 
d) cos
2
xe dxπ∫ 
 
6. Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais. 
a) 2 9
dx
x x+∫ 
b) 2 2( 1)( 4)
dx
x x+ +∫ 
c) 2
2 1
2 3 2
x dx
x x
+
+ −∫ 
 
7. Calcule os limites dados, usando as propriedades: 
a) 2 2
( , ) (2,3)
lim (3 2 )
x y
x xy y
→
+ − 
b) 
( , ) (2, 1)
3 2lim
4x y
x y
x y→ −
−
+
 
c) 33
( , ) ( 2,4)
lim 2
x y
y x y
→ −
+ 
d) 
( , ) (0,0)
lim
cos
x y
x y
e e
x seny→
+
+
 
e) 
2 2
2 2( , ) (0,0)
coslim x yx y
sen x y
e e→
+
+
 
f) 
2 2
2 2( , ) (0,0)
lim
2x y
x sen y
x y→
+
+
 
g) 
2 2
2 2( , ) (0,0)
3 5lim
2x y
x y
x y→
− +
+ +
 
h) 2 2
( , ) (3,4)
lim 1
x y
x y
→
+ − 
i) 
( , , ) (1,3,4)
1 1 1lim
x y z x y z→
 
+ + 
 
 
j) 
1( , , ) ( , ,2)4 2
lim ( )
x y z
arctg xyz
π→ −
 
k) 2 2( , , ) (1, 1, 1)
2lim
x y z
xy yz
x z→ − −
+
+
 
l) 2
( , , ) ( ,0,3)
lim cos 2y
x y z
ze x
π
−
→
 
8. Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não 
têm limite quando ( , ) (0,0)x y → . 
a) 
4
4 2( , )
xf x y
x y
=
+
 b) 
4 2
4 2( , )
x yf x y
x y
−
=
+
 
 
9. Calcule ( , )xf x y e ( , )yf x y para a função 
3 2 3 2( , ) 4 (2 )f x y x y sen x y= − e use os resultados 
para determinar (2, 6)xf − e ( 5,3)yf − . 
 
10. A temperatura (graus Celsius) em qualquer ponto (x, y) de um placa de aço é dada por 
2 2500 0,6 1,5T x y= − − , onde x e y são medidos em metros. Determine as taxas de variação 
da temperatura com a distância ao longo dos eixos x e y no ponto (2, 3). 
 
11. Calcule , ex y zf f f para 
2 3 6( , , ) 5 3f x y z x y z xyz= − . 
 
12. Seja a função 4 3( , ) 5 2f x y x y xy= + . Calcule as derivadas parciais de segunda ordem: 
, , exx xy yx yyf f f f 
 
13. Determine ( , )xf x y e ( , )yf x y para a função 
5 3( , ) 3 7f x y x y x y= − . 
 
14. Calcule , ex y zf f f para ( )2( , , ) ln cos( )f x y z z x y z= 
 
15. Seja 2 4 5( , ) 4 2 7f x y x y x y= − + . Determine: , , exx xy yx yyf f f f 
 
16. Encontre as derivadas parciais , , ,f f f f
v w x y
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
 para a função 2 3 4 5( , , , ) 4f v w x y v w x y= 
 
17. Suponha que uma função ( , , )f x y z seja diferençável no ponto ( )1,2,3 com 
(1,2,3) 1 , (1, 2,3) 2 e (1, 2,3) 3x y zf f f= = = . Se (1,2,3) 4f = , estime o valor de 
( )1,01;2,02;3,03f . 
 
18. Encontre ,f f fe
x y z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
. 
a) 2( , ) 2 3 4f x y x y= − − 
b) 2 2( , ) 5 7 3 6 2f x y xy x y x y= − − + − + 
c) 2 2( , )f x y x y= + 
d) ( )3( , ) 2 3f x y x y= − 
e) 2( , ) ( 3 )f x y sen x y= − 
f) 2 2( , ) cos (3 )f x y x y= − 
g) ( , ) yf x y arctg
x
 =  
 
 
h) 2 2( , , )f x y z x y z= − + 
i) ( )
1
2 2 2 2( , , )f x y z x y z
−
= + + 
j) ( )( , , ) ln 2 3f x y z x y z= + + 
 
19. Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções: 
 
a) ( , )f x y x y xy= + + 
b) 2( , ) cosg x y x y y ysenx= + + 
c) ( , ) 1yh x y xe y= + + 
 
20. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. 
 
a) 2 24 2 , ( 1,2,4)z x y y= − + − b) 2 29 6 3 5, (1,2,18)z x y x y= + + − + 
 
 
21. Utilizando a definição, encontre uD f no ponto e direção indicados. 
 
a) 2 2( , ) ; (1, 2); 2 2f x y x y P u i j= − = +

 
b) 2 3 4( , ) ; (4,0);
5 5
xyf x y e P u i j= = − + 
c) 5 2 3 1 2 2( , , ) 3 ; (2, 1,1);
3 3 3
f x y z x y z P u i j k= − = + − 
 
 
22. Encontre o gradiente de f no ponto indicado. 
 
a) 2 3( , ) ( ) ; ( 1, 1)f x y x xy= + − − 
b) 
1
2 2 2( , ) ( ) ; (3, 4)f x y x y
−
= + 
c) ( , , ) ln( ); ( 3, 4,0)f x y z y x y z= + + − 
d) 2 3( , , ) ( ); ( , 3,1)4f x y z y ztg x
π= − 
 
23. Encontre uD f em P. 
 
d) 
3
2 1 1( , ) (1 ) ; (3,1);
2 2
f x y xy P u i j= + = + 
e) 2 3 4( , ) ; (4,0);
5 5
xyf x y e P u i j= = − + 
f) 2 1 1( , ) ln(1 ); (0,0);
10 10
f x y x y P u i j= + + = − − 
g) 5 2 3 1 2 2( , , ) 3 ; (2, 1,1);
3 3 3
f x y z x y z P u i j k= − = + − 
h) 2 2 3 6( , , ) ; (0, 2,3);
7 7 7
xyf x y z ye z P u i j k= + = − + 
 
24. Use a regra da cadeia para determinar w
t
∂
∂
. 
a) 2 2; ,t tw x y x e y e−= + = = 
b) sec ; ,tw x y x e y tπ= = = − 
c) 2 2 2; cos , ,t t tw x y z x e t y e sent z e= + + = = = 
d) ( )2 2 2ln ; cos , , 4 ; 3w x y z x t y sent z t t= + + = = = = 
 
25. Calcule z ze
x y
∂ ∂
∂ ∂
 usando a diferenciação implícita. 
 
a) ( )
3
2 2 2 2 1x y z+ + = 
b) 2 ( ) 0x ysen xyz+ = 
 
 
 
26. Pausa para o Lanche!!!!