Lista de exercício de Gravitação

Prévia do material em texto

I - Lista de Exerc´ıcios de Ondas e Termodinaˆmica
As primeiras investigac¸o˜es na a´rea de f´ısica, provavelmente, tenham come¸cado com perguntas que as pessoas faziam a respeito do c´eu noturno. O desenvolvimento da teoria da gravitac¸a˜o newtoniana, na segunda metade do s´eculo XVII, trouxe va´rias respostas para tais perguntas e assinalou o come¸co da mecaˆnica celeste. Hoje, com o conhecimento que se tem de mecaˆnica celeste ´e poss´ıvel colocar um sat´elite artificial em uma ´orbita desejada bem como escolher a trajeto´ria e o momento exato para enviar uma nave espacial a Lua ou a outro planeta. Considere enta˜o uma sonda espacial localizada entre a Terra e a Lua. A que distaˆncia da Terra, medida ao longo da linha que une os centros da Terra e da Lua, ela deve estar para que a forc¸a resultante sobre a mesma seja nula?
No dia 8 de abril de 2014 ocorreu um alinhamento entre o Sol, a Terra e Marte, permitindo que este planeta fosse observado a olho nu da Terra. Nessa ocasi˜ao a distaˆncia entre nosso planeta e Marte era de aproximadamente 9,2
×107 km. Encontre a raza˜o entre as forc¸as gravitacional do Sol sobre a Terra e
a for¸ca que esta sofre de Marte.
A Esta¸c˜ao Espacial Internacional (EEI) constitui um dos maiores projetos de engenharia da histo´ria. Quando estiver totalmente pronta, tera´ uma massa de 454 toneladas e quase 90 m de comprimento por 43 m de altura, isso sem considerar a extens˜ao dos pain´eis solares. A esta¸c˜ao encontra-se em uma o´rbita baixa, entre (350 − 460) km, de altitude. (a) Encontre a velocidade orbital v
1
m´ınima e ma´xima da EEI. (b) Calcule o valor da acelerac¸a˜o da gravidade na sua ´orbita m´edia. (c) Quantas voltas em torno da Terra a esta¸c˜ao completa em um dia? (d) Os jornalistas costumam dizer que os astronautas dentro da EEI esta˜o livres da atrac¸a˜o gravitacional da Terra (ausˆencia de gravidade), discuta essa afirmac¸a˜o. (Para facilitar seus c´alculos considere as o´rbitas circulares).
Sat´elite geoestacion´ario: Considere um sat´elite numa ´orbita equatorial de tal maneira que permanece estaciona´rio para um observador terrestre, qual deve ser a altitude dessa ´orbita? E qual o valor da acelerac¸a˜o da gravidade em um ponto dessa o´rbita?
Comente a seguinte afirmativa: A u´nica raza˜o pela qual um caju cai no sentido da Terra em vez de a Terra subir no sentido do caju ´e que a massa da Terra ´e muito maior do que a massa do caju e, portanto, ela exerce uma atrac¸˜ao muito maior.
Utilizando a lei da gravitac¸a˜o newtoniana, mostre que o quadrado do per´ıodo de revoluc¸a˜o de qualquer planeta em torno Sol ´e proporcional ao cubo do
semi-eixo maior da sua ´orbita. Esse resultado ´e conhecido como terceira lei de Kepler. Considerando agora a distaˆncia Terra-Sol como sendo igual a 1.5 × 108
km e que o ano possui 365.25 dias, fac¸a uma estimativa da massa do Sol. Para simplificar seus c´alculos considere ´orbitas circulares.
O Telesco´pio Espacial Hubble gasta cerca de 95 minutos para efetuar uma volta completa em torno de nosso planeta. Supondo que sua o´rbita seja circular, fa¸ca uma estimativa da altura que ele se encontra da superf´ıcie da Terra e calcule a sua velocidade orbital.
A acelerac¸a˜o gravitacional ag nas imediac¸o˜es da superf´ıcie da Terra ´e levemente diferente da acelerac¸a˜o de queda livre g. Essa diferen¸ca ocorre em decorrˆencia da Terra na˜o ser uma esfera uniforme e esta´ em rotac¸a˜o. Calcule a
diferenc¸a ag − g ocasionada pela rotac¸a˜o da Terra. Considere agora um pulsar, que ´e uma estrela colapsada, com densidade extremamente alta e que gira rapidamente, com massa igual a 1,98 ×1030 kg, raio de apenas 12 km e um per´ıodo de rotac¸a˜o de 0,04 s, calcule a diferenc¸a entre a acelerac¸a˜o gravitacional ag e a acelerac¸˜ao de queda livre g ocasionada em virtude da rotac¸a˜o do pulsar.
A crosta exterior terrestre tem uma profundidade y. Supondo que a
densidade da crosta terrestre seja uniforme, encontre a acelerac¸a˜o da gravidade a essa profundidade. Expresse seu resultado em termos da gravidade da superf´ıcie ags, de y e do raio da Terra. Considerando y c 25 km e ags c 9, 83 m/s2, qual o valor de ag a essa profundidade?
A densidade da Terra na˜o ´e uniforme. Ela ´e mais densa em seu centro e menos densa na superf´ıcie. O perfil de densidade da Terra pode ser aproximadamente dado por ρ(r) = A − Br, onde A = 12700 kg/m3 e
B = 1.5 × 10−3 kg/m4. Considerando a Terra como sendo uma esfera de raio R
= 6, 37 × 106 m, encontre a massa da Terra. Mostre que para esse perfil de densidade a gravidade no interior da Terra varia de acordo com
g(r) = (4/3)πGr[A − (3/4)Br]. Qual o valor de r para o qual a gravidade atinge valor m´aximo?
Estrela que encolhe: As estrelas se formam a partir do colapso de uma grande nuvem de g´as. Esse mecanismo faz com que a temperatura do centro aumente, e quando o centro da mesma atinge uma temperatura muito alta, come¸ca a ocorrer reac¸o˜es de fusa˜o nuclear. Parte da energia liberada nesse processo gera pressa˜o suficiente para contrabalancear o colapso gravitacional e a estrela permanece durante um longo per´ıodo em equil´ıbrio hidrosta´tico. Depois que ela queima todo o seu combust´ıvel no nu´cleo, na˜o ha´ mais pressa˜o suficiente para contrabalancear o colapso e as camadas externas caem sobre as internas.
Se a massa da estrela exceder um valor limite, a estrela passa por uma fase de supernova, onde ejeta grande parte de sua massa para o meio interestelar.
Considere uma estrela de massa Me, Re = 7 × 105 km e com per´ıodo de rotac¸a˜o
igual igual a 30 d; suponha que a estrela em sua fase de supernova libere cerca de 90% de seu conteu´do para o meio interestelar, e depois dessa fase seu raio diminua para apenas 10 km, qual o seu novo per´ıodo de rotac¸˜ao? Fa¸ca uma estimativa da massa m´ınima da estrela Me para que o nu´cleo remanescente se torne um buraco negro.
E´ bem conhecido que alguns planetas do sistema solar, como Ju´pter,
Saturno e Urano, possuem an´eis quase circulares a` sua volta. Para um anel homogˆeneo de massa M e raio R, determine: (a) A intensidade da for¸ca que ele exerce sobre uma part´ıcula de massa m que est´a localizada a uma distaˆncia z de seu centro, medida ao longo de seu eixo de simetria. (b) Calcule a energia potencial gravitacional do sistema. (c) O que acontece com F e U quando
z >> R?
A Via La´ctea possui alguns componentes importantes como o disco, que ´e a parte mais vis´ıvel da nossa gala´xia. Para um disco homogˆeneo de massa M e raio R, qual deve ser a intensidade da for¸ca gravitacional que ele exerce sobre uma part´ıcula de massa m localizada a uma distaˆncia z acima do centro do disco, medida ao longo de seu eixo de simetria? O que acontece quando
z >> R?
A velocidade de escape n˜ao depende da massa do corpo que ´e lanc¸ado, entretanto, quanto maior for a massa de uma sonda espacial mais caro sera´ para coloc´a-la no espa¸co. Por quˆe?
O princ´ıpio antro´pico indica que as leis da f´ısica devem de alguma forma incluir condi¸c˜oes para a existˆencia de um observador inteligente, ou
equivalentemente, as constantes fundamentais devem possuir somente certos valores para favorecer a nossa existˆencia. Discuta qualitativamente como deveria ser as situac¸˜oes listadas a seguir, se a constante gravitacional, G, fosse 10 vezes menor ou 10 vezes maior: (a) Caminhar sobre a superf´ıcie da Terra. (b) Lanc¸ar um sat´elite de telecomunicac¸a˜o e (c) Erguer objetos da superf´ıcie da Terra.