Exemplo 3 Pórtico com Articulação

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Exemplo 3: Pórtico com articulação interna
≔q 10 ――
kN
m
≔p 10 kN
≔lx 6 m
≔ly 4 m
≔E ⋅1.2 10
7
――
kN
m
2
≔A ⋅1.2 10
−2
m
2
≔I ⋅1.2 10
−3
m
4
Caso 0 Solicitação Externa
Caso 0 - Solicitação Externa
≔β10 −10 kN ≔β40 0 kN
≔β20 =―――
⋅⋅5 q lx
8
37.5 kN ≔β50 =―――
⋅⋅3 q lx
8
22.5 kN
≔β30 =――
⋅q lx
2
8
45 ⋅m kN ≔β60 ⋅0 kN m
≔f =
β10
β20
β30
β40
β50
β60
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
−10
37.5
45 m
0
22.5
0 m
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
kN
≔Va0 ⋅0 kN
≔Ha0 ⋅0 kN
≔Ma0 ⋅⋅0 kN m
≔Vb0 ⋅0 kN
≔Hb0 ⋅0 kN
≔Mb0 ⋅⋅0 kN m
Caso 1 Deslocabilidade D1
Caso 1 - Deslocabilidade D1
≔k11 =⋅
⎛
⎜
⎝
+――
⋅E A
lx
―――
⋅⋅12 E I
ly
3
⎞
⎟
⎠
m 26700 kN
≔k21 0 kN
≔k31 =⋅
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅6 E I
ly
2
⎞
⎟
⎠
m 5400 ⋅m kN
≔k41 =⋅
⎛
⎜⎝
―――
⋅−E A
lx
⎞
⎟⎠
m −24000 kN
≔k51 0 kN
≔k61 ⋅0 kN m
≔Va1 ⋅0 kN
≔Ha1 =⋅1 m
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅12 E I
ly
3
⎞
⎟
⎠
2700 kN
≔Ma1 =⋅
⎛
⎜
⎝
−―――
⋅⋅6 E I
ly
2
⎞
⎟
⎠
1 m −5400 ⋅m kN
≔Vb1 ⋅0 kN
≔Hb1 ⋅0 kN
≔Mb1 ⋅⋅0 kN m
Caso 2 Deslocabilidade D2
Caso 2 - Deslocabilidade D2
≔k12 0 kN
≔k22 =⋅
⎛
⎜
⎝
+――
⋅E A
ly
―――
⋅⋅3 E I
lx
3
⎞
⎟
⎠
m 36200 kN
≔k32 =⋅
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅3 E I
lx
2
⎞
⎟
⎠
m 1200 ⋅m kN
≔k42 0 kN
≔k52 =⋅
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅−3 E I
lx
3
⎞
⎟
⎠
m −200 kN
≔k62 ⋅0 kN m
≔Va2 =⋅――
⋅E A
ly
1 m 36000 kN
≔Ha2 ⋅0 kN
≔Ma2 ⋅⋅0 kN m
≔Vb2 ⋅0 kN
≔Hb2 ⋅0 kN
≔Mb2 ⋅⋅0 kN m
Caso 3 Deslocabilidade D3
Caso 3 - Deslocabilidade D3
≔k13 =
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅6 E I
ly
2
⎞
⎟
⎠
5400 kN
≔k23 =
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅3 E I
lx
2
⎞
⎟
⎠
1200 kN
≔k33 =
⎛
⎜⎝
+―――
⋅⋅3 E I
lx
―――
⋅⋅4 E I
ly
⎞
⎟⎠
21600 ⋅m kN
≔k43 0 kN
≔k53 =
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅−3 E I
lx
2
⎞
⎟
⎠
⋅−1.2 10
3
kN
≔k63 ⋅0 kN m ≔Mc2 =―――
⋅⋅3 E I
lx
7200 ⋅m kN
≔Va3 ⋅0 kN ≔Mc2 =―――
⋅⋅4 E I
ly
14400 ⋅m kN
≔Ha3 =
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅6 E I
ly
2
⎞
⎟
⎠
5400 kN
≔Ma3 =
⎛
⎜⎝
−―――
⋅⋅2 E I
ly
⎞
⎟⎠
−7200 ⋅m kN
≔Vb3 ⋅0 kN
≔Hb3 ⋅0 kN
≔Mb3 ⋅⋅0 kN m
Caso 4 - Deslocabilidade D4
≔k14 =⋅
⎛
⎜⎝
―――
⋅−E A
lx
⎞
⎟⎠
m −24000 kN
≔k24 0 kN
≔k34 ⋅0 kN m
≔k44 =⋅
⎛
⎜
⎝
+――
⋅E A
lx
―――
⋅⋅12 E I
ly
3
⎞
⎟
⎠
m 26700 kN
≔k54 0 kN
≔k64 =⋅
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅6 E I
ly
2
⎞
⎟
⎠
m 5400 ⋅m kN
≔Va4 ⋅0 kN
≔Ha4 ⋅0 kN
≔Ma4 ⋅⋅0 kN m
≔Vb4 ⋅0 kN
≔Hb4 =⋅
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅12 E I
ly
3
⎞
⎟
⎠
1 m 2700 kN
≔Mb4 =⋅−―――
⋅⋅6 E I
ly
2
1 m −5400 ⋅m kN
Caso 5 - Deslocabilidade D5
≔k15 0 kN
≔k25 =⋅⋅−
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅3 E I
lx
3
⎞
⎟
⎠
1 m −200 kN
≔k35 =⋅⋅−
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅3 E I
lx
2
⎞
⎟
⎠
1 m −1200 ⋅m kN
≔k45 0 kN
≔k55 =⋅⋅
⎛
⎜
⎝
+―――
⋅⋅3 E I
lx
3
――
⋅E A
ly
⎞
⎟
⎠
1 m 36200 kN
≔k65 ⋅0 kN m
≔Va5 0 kN
≔Ha5 ⋅0 kN
≔Ma5 ⋅⋅0 kN m
≔Vb5 =⋅――
⋅E A
ly
1 m 36000 kN
≔Hb5 ⋅0 kN
≔Mb5 ⋅⋅0 kN m
Caso 6 - Deslocabilidade D6
≔k16 0 kN
≔k26 0 kN
≔k36 ⋅0 kN m
≔k46 =
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅6 E I
ly
2
⎞
⎟
⎠
5400 kN
≔k56 0 kN
≔k66 =
⎛
⎜⎝
―――
⋅⋅4 E I
ly
⎞
⎟⎠
14400 ⋅m kN
≔Va6 0 kN
≔Ha6 ⋅0 kN
≔Ma6 ⋅⋅0 kN m
≔Vb6 ⋅0 kN
≔Hb6 =
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅6 E I
ly
2
⎞
⎟
⎠
5400 kN
≔Mb6 =−―――
⋅⋅2 E I
ly
−7200 ⋅m kN
≔K =
k11 k12 k13 k14 k15 k16
k21 k22 k23 k24 k25 k26
k31 k32 k33 k34 k35 k36
k41 k42 k43 k44 k45 k46
k51 k52 k53 k54 k55 k56
k61 k62 k63 k64 k65 k66
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
26700 0 5400 −24000 0 0
0 36200 1200 0 −200 0
5400 m 1200 m 21600 m 0 m −1200 m 0 m
−24000 0 0 26700 0 5400
0 −200 −1200 0 36200 0
0 m 0 m 0 m 5400 m 0 m 14400 m
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
kN
=f
−10
37.5
45 m
0
22.5
0 m
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
kN
≔d =lsolve(( ,K −f))
0.01058
−0.00088
−0.00472
0.01029
−0.00078
−0.00386
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
≔Va =++++++Va0 ⋅Va1 d
0
⋅Va2 d
1
⋅Va3 d
2
⋅Va4 d
3
⋅Va5 d
4
⋅Va6 d
5
−31.81 kN
≔Ha =++++++Ha0 ⋅Ha1 d
0
⋅Ha2 d
1
⋅Ha3 d
2
⋅Ha4 d
3
⋅Ha5 d
4
⋅Ha6 d
5
3.06 kN
≔Ma =++++++Ma0 ⋅Ma1 d
0
⋅Ma2 d
1
⋅Ma3 d
2
⋅Ma4 d
3
⋅Ma5 d
4
⋅Ma6 d
5
−23.11 ⋅m kN
≔Vb =++++++Vb0 ⋅Vb1 d
0
⋅Vb2 d
1
⋅Vb3 d
2
⋅Vb4 d
3
⋅Vb5 d
4
⋅Vb6 d
5
−28.19 kN
≔Hb =++++++Hb0 ⋅Hb1 d
0
⋅Hb2 d
1
⋅Hb3 d
2
⋅Hb4 d
3
⋅Hb5 d
4
⋅Hb6 d
5
6.94 kN
≔Mb =++++++Mb0 ⋅Mb1 d
0
⋅Mb2 d
1
⋅Mb3 d
2
⋅Mb4 d
3
⋅Mb5 d
4
⋅Mb6 d
5
−27.77 ⋅m kN
OBS.: d0 é o valor da primeira linha do vetor "d" e d5 é o último. É 
convenção do programa e por isso ficou assim. mas em relação a 
deslocabilidade estabelecida no inicio da questão, d0 se refere à 
deslocabilidade D1 e assim por diante.