Eletromag Aula 2 2015

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Notas de aulas de eletromagnetismo 2a Aula- Continuação de “Analise vetorial “ 1 
 
Introdução 
Eletromagnetismo 2015 
Neri Alves 
02/10/2015 - 2a Aula 
 
Fluxo 
 Na linguagem cotidiana a palavra fluxo remete diretamente à ideia de escoamento de 
liquido, de gases, pessoas veículos e etc. No entanto o conceito de fluxo pode ser aplicado para 
qualquer grandeza vetorial. Para iniciar a analise de fluxo considere um vetor genérico �⃗ que cruza 
uma superfície S, tal que em um elemento infinitesimal de área podemos escrever. 
�� = �⃗ ∙��⃗ 
 
 
 
 
 
� = ��⃗ ∙��⃗
�
 
 
A seguir dá-se o exemplo de um caso particular: Considere uma tela plana, uma inclinada em 
relação à horizontal, colocada em uma calha retangular onde há um líquido escoando com uma 
 
 
 
 
�⃗ 
n� 
S 
�� 
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velocidade �⃗. O fluxo do vetor velocidade da água sobre esta tela é dado como mostra o diagrama 
por 	
� = �⃗ ∙�� 
 
Fluxo numa superfície fechada. Quando queremos calcular o fluxo numa superfície fechada, 
devemos integrar o produto escalar �⃗ ∙��⃗ em toda superfície: Assim: temos 
 
 
� = ��⃗ ∙��⃗
�
 
 
Para a eletrostática é de grande relevância o cálculo do fluxo num volume fechado. Este cálculo, 
que vamos desenvolver a seguir, permite enunciar uma importante propriedade do cálculo vetorial e 
uma das leis fundamentais do eletromagnetismo. 
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 Considere o volume infinitesimal �� = ������ e o vetor �⃗. Vamos calcular o fluxo do 
vetor �⃗ neste volume infinitesimal. Ou seja, vamos calcular a integral ∮�⃗ ∙���� no cubo. Para isso 
vamos calcular nas 6 faces. 
 
Calculo na face 1 – Plano xy 
 
�� = −� ̂
�⃗ = �⃗(�,��,�) 
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�� = ���� (Elemento de área da superfície) 
△ �� = � �⃗ ∙����
��
 
�⃗ = ��� +̂ ��� +̂ ���� 
△ �� = � �⃗ ∙�����
��
= 	� ���� +̂ ��� +̂ �����∙[−�]̂����
��
 
△ �� = ∫ �⃗ ∙�������
= 	− ∫ ��������
 onde �� é constante sobre a superfície ��, assim 
△ �� = −��	Δ�	Δz 
 
Face 2 – Plano xz, mas onde � = ���Δy 
△ �� = � �⃗ ∙����� =?
��
 
 
��� = � ̂
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△ �� = � ���� +̂ ��� +̂ �����∙[�]̂����
��
= � ������
��
 
△ �� = ��	(x,y� + Δy,z)Δ�	Δz 
Usando uma aproximação linear de 1a ordem 
��	(x,y� + Δy,z)≅ ��	(x,y�,z)+
∂��
∂y
�
��
Δy+ ⋯ 
 
Assim 
△ �� = ��	(x,y�,z)Δ�	Δz+
∂��
∂y
�
��
ΔxΔyΔz 
e 
△ �� +△ �� = −��	Δ�	Δz+ ��	Δ�	Δz+
∂��
∂y
�
��
ΔxΔyΔz 
 
△ �� +△ �� =
���
��
�
��
ΔxΔyΔz 
 
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E repetindo para as outras faces chega-se à 
△ � = �
∂��
∂x
+
∂��
∂y
+
∂��
∂z
�
������ ��
ΔxΔyΔz 
 
Portanto 
� �⃗ ∙�� ��
�
= �
∂��
∂x
+
∂��
∂y
+
∂��
∂z
�
������ ��
ΔxΔyΔz 
Onde ΔxΔyΔz= ΔV sendo ΔV o volume do cubo. 
Agora vamos analisar o fluxo por unidade de volume quando o volume tende a zero. 
 
lim
�→ �
1
�
� �⃗ ∙�� ��
�
= lim
�→ �
�
1
�
�
∂���
∂x
+
∂��
∂y
+
∂��
∂z
�
��������
�ΔxΔyΔz 
Onde ΔV = ΔxΔyΔz. Observe que no limite em que V → 0 e pode cancelar ΔV e V. Assim: 
lim
�→ �
1
�
� �⃗ ∙�� ��
�
= �
∂��
∂x
+
∂��
∂y
+
∂��
∂z
� 
Onde 
∂��
∂x
+
∂��
∂y
+
∂��
∂z
≡ ∇ ∙A��⃗ 
O divergente de um vetor é o limite de sua integral de superfície por unidade de volume quando o 
volume encerrado pela superfície tende a zero. 
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� ∙�⃗ = ���	
�→ �
1
�
	� �⃗ ∙�� ��
�
 
∇ ∙	=
�
��
+
�
��
+
�
��
 (operador divergente) 
Exemplo de aplicação do divergente 
Na eletrostática o divergente é uma ferramenta muito poderosa e nos permite concluir se numa 
região do espaço existe fonte, ou sumidouro de carga, ou se não existe carga. Sendo ��⃗ o campo 
elétrico: 
� ∙��⃗ > 0 Fonte, carga positiva 
� ∙��⃗ < 0 Sumidouro, carga negativa 
� ∙��⃗ = 0 Não há cargas 
Esta relação entre cargas e o divergente é expressa pela equação de Poisson, também denominada 
de forma diferencia da Lei de Gauss. 
� ∙��⃗ =
�
��
 
�� ∙� =
�
��
 (Forma diferencia da Lei de Gauss) 
O divergente é uma ferramenta que se aplica nas mais diversas áreas da física. Como por exemplo 
citamos a aplicação em hidrostática. Para um fluido com velocidade ��⃗ a expressão ∮ �	��⃗ ∙�� ��
�
 
será a quantidade de fluido por unidade de tempo que deixa o volume encerrado por S. 
Teorema da Divergência 
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Considere um volume dividido em pequenas células ΔVi. 
 
Vamos supor que o mesmo seja limitado pela superfície S1. É evidente que 
� 		� �⃗ ∙�� ��
���
= � �⃗ ∙�� ��
�
 
O sentido para fora de uma célula é o sentido para dentro da célula adjacente. Todos os termos do 
lado esquerdo se cancelam exceto na superfície. Se tomarmos um número de célula que tende ao 
infinito, cujo volume tende a zero. Temos 
∮ �⃗ ∙�� ��
�
= lim∆��⟶ � ∑ 		�
�
∆��
∮ �⃗ ∙�� ��
��
�� ∆�� 
 
 � �⃗ ∙��⬚ ��
⬚
�⬚
= � � ∙�⃗
⬚
�
�� 
Teorema da divergência 
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O divergente mede o fluxo gerado num ponto. E integrado do divergente ∫ � ∙�⃗
�
�� é igual ao 
fluxo gerado no volume que deve ser igual ao fluxo que atravessa a superfície. 
Integrais de Linha 
A seguir apresentamos alguns exemplos de integrais de linha. São integrais onde o “espaço” de 
integração se dá ao longo de uma linha. 
� �⃗ ∙��⃗
�
�
 
� �⃗		× 	��⃗
�
�
 
� �	��⃗
�
�
 
Resolvendo um exemplo. Calcule a integral de linha de um vetor força �⃗ = ��� ̂que atua numa 
partícula, enquanto se desloca numa trajetória circular de raio R, no plano xy, no primeiro 
quadrante, como demonstra o esquema. 
 
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� = � �⃗ ∙��⃗
�
�
 
Onde 
�⃗ = ��� ̂
��⃗ = ��� +̂ ��� ̂
� = � (���)̂∙(��� +̂ ���)̂
�
�
= 	� (���)̂∙(��� +̂ ���)̂=
�
�
	� ����
�
�
 
� =
���
2
 
Caso mais Geral de uma integral de linha. 
 A seguir será resolvido o caso geral de uma integral de linha com o objetivo de mostrar 
outra propriedade do cálculo vetorial também de grande importância para o eletromagnetismo: o 
rotacional de um vetor. Para iniciar o cálculo considere um deslocamento infinitesimal no plano 
xy 
�⃗ ∙��⃗ = ���� + ���� 
Assim para um caminho fechado no plano xy e para qualquer vetor �⃗ a integral de linha do produto 
escalar �⃗ ∙��⃗ é dada por: 
��⃗ ∙��⃗ = ����� + ����� 
Vamos considerar o caminho infinitesimal em torno do ponto P(x,y,0) 
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Qual a integral ∮���� ? 
Para fazer esta integral vamos analisar cada segmento mostrado na figura. A integral fechada, em 
torno do ponto P, pode ser reescrita como a soma das integrais nos quatro segmentos lineares, de 4 a 
1, de 1 a 2, de 2 a 3 e de 3 a 4, da seguinte forma 
������ ����
�
�
+ � ����
�
�
� ����
�
�
+ � ����
�
�
 
Nos segmentos verticais de 1 a 2 e de 3 a 4 as integral são nulaspois x é constante e não há variação 
de dx. Portanto resta analisar os segmentos horizontais que vai do ponto 4 ao ponto 1 temos: 
�� ��,� −
∆�
�
,��, que é a projeção do vetor �⃗ sobre o eixo x. Como estamos restritos ao plano xy 
temos que z= 0 e como estamos no segmento horizontal do ponto 4 ao ponto 1 temos que � −
∆�
�
 é 
constante. Da mesma forma no segmento horizontal que vai do ponto 2 ao ponto 3, temos que a 
projeção do vetor �⃗ é dada por �� ��,� +
∆�
�
,�� . Onde pelas mesmas razões z=0 e � +
∆�
�
 é 
constante. Então reescrevendo, e usando uma aproximação linear, temos 
�� ��,� −
∆�
2
� = �� −
���
��
∆�
2
 
e 
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�� ��,� +
∆�
2
� = �� +
���
��
∆�
2
 
para os segmento horizontais de 4 até 1 e de 2 até 3, respectivamente. E assim temos que no plano 
xy 
� ����
��
= ��� −
���
��
∆�
2
�∆� − ��� +
���
��
∆�
2
� ∆� 
De onde obtemos: 
� ����
��
= −
���
��
∆�∆� 
O valor da integral ∮ ���� pode se obtido de forma similar, resultando em 
� ����
��
=
���
��
∆�∆� 
Logo a integral de linha de �⃗ ∙��⃗ no plano xy é 
∮ �⃗ ∙��⃗
��
= �
���
��
− 	
���
��
� ∆�∆� 
onde o ∆�∆� = ∆� e, para simplificar a analise vamos denominar o termo 
���
��
− 	
���
��
 
simplesmente de “coeficiente” C3. Fazendo a mesma coisa nos planos xz e yz, chega-se a resultados 
similares 
� �⃗ ∙��⃗
��
= �
���
��
− 	
���
��
�∆� 
� �⃗ ∙��⃗
��
= �
���
��
− 	
���
��
�∆� 
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Para os planos xz e yz respectivamente. E redenominando as derivadas parciais podemos escrever: 
�� = �
���
��
− 	
���
��
� e �� = �
���
��
− 	
���
��
�. Os coeficientes C1, C2 e C3 podem ser associados aos 
componentes de um vetor dado por ��� +̂ ��� +̂ ����. Ou seja, o resultado da integral acima pode ser 
expressa como um vetor, que é denominado rotacional de �⃗. Desta forma o rotacional do vetor A, 
representado por � × 	�⃗, pode ser expresso como 
� × 	�⃗	= �
���
��
− 	
���
��
� � +̂ �
���
��
− 	
���
��
� � +̂ �
���
��
− 	
���
��
���.		 
ou 
� × 	�⃗ = ��
�̂ �̂ ��
�
��
�
��
�
��
�� �� ��
�� 
 
 O rotacional de um vetor representa o “giro” dos vetores numa região. Se o vetor velocidade 
de escoamento de liquido tiver um rotacional diferente de zero, significa que se colocar neste 
liquido uma roda de pás, ela girará e se o rotacional for zero, não girará. 
Exemplo. Calcule o rotacional para o vetor �⃗, num considerando a situação particular em que, 
��⃗ = 	��	�� . Isto é, estamos olhando para um elemento de área que está no plano o xy. 
 
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Qual ∮�⃗ ∙��⃗ a neste caso? Vamos começar pelo cálculo do rotacional. 
� × 	�⃗	= �
���
��
− 	
���
��
� � +̂ �
���
��
− 	
���
��
� � +̂ �
���
��
− 	
���
��
� ��.		onde os termos em � ̂e � ̂são zero pois z 
é constante, logo: 
� × 	�⃗	= �
���
��
− 	
���
��
� ��		 
Assim podemos fazer 
� × 	�⃗ ∙d�⃗ 	= �
���
��
− 	
���
��
� �� ∙��⃗ = �
���
��
− 	
���
��
� ��, pois ��⃗ = 	��	�� e está sobre k. Ou seja, foi 
o que calculamos anteriormente para o plano xy, no caso geral. Então 
� × 	�⃗ ∙d�⃗ 	= � �⃗ ∙��⃗
��
 
Mas neste caso particular podemos reescrever como 
�� × 	�⃗	�d� = � �⃗ ∙��⃗
��
 
Pois como propomos inicialmente d�⃗ = ����, e, portanto, é só sobre k que se aplica o rotacional. E 
no limite em que da tende para zero (da→ 0), ou seja, a área tende para um ponto, o comprimento do 
contorno (S) desta área também tende para zero ( S → 0) 
�� × 	�⃗�������	�
��
	= lim
�→ �
		
1
�
� �⃗ ∙��⃗ 
Daí, a componente do � × 	�⃗ na direção normal á uma superfície é igual ao limite da integral de 
linha do vetor �⃗ ao longo do contorno S dividido pelo valor de S quando a área do contorno tender 
a zero. 
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 O rotacional de um campo vetorial (�⃗(�⃗)), rot �⃗(�⃗) ou �� × 		�⃗(�⃗)	�, nos fornece como 
resultado um vetor cujas componentes x, y e z mede o resultado da circulação, no ponto em questão, 
desse campo vetorial por unidade de área, respectivamente, nos planos normais a esses 
componentes. 
Nas figuras abaixo, campos vetoriais cujo rotacional é zero 
 
E nas figuras a seguir mostram campos vetoriais que tem um rotacional diferente de zero na direção 
z, conforme pode ser visto pela regra da mão direita. 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 2a Aula- Continuação de “Analise vetorial “ 16 
 
 
Teorema de Stokes (Caso particular do /Teorema de Green). É um teorema fundamental para o 
rotacional. 
� �⃗ ∙��⃗
�
= � 	� × 	�⃗ ∙d�⃗
�
 
 
 O teorema de Stokes nos diz que a integral de linha do produto escalar de um vetor pelo 
deslocamento, num dado contorno, é igual a integral do rotacional sobre qualquer superfície 
delimitada por este contorno. 
Exercícios 
1. Calcule o gradiente da função	f = x− xy+ 3z� 
2. Faça o esboço de uma função escalar e indique vetor o seu gradiente. Dê um exemplo 
prático. 
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3. Demonstre o teorema da divergência. 
4. Faça um esboço de campos vetoriais que tenha divergente zero e diferente de zero. Cite 
exemplos. 
5. Faça o esboço de um campo vetorial que tenha rotacional diferente de zero. Discuta um 
exemplo. 
6. Encontre o divergente e o rotacional do vetor 
�⃗ = (�� + ��)� +̂ (�� + ��)� +̂ (�� + ��)�� 
7. Se �⃗ for um vetor que vai desde a origem até o ponto (x,y,z), demonstre que 
∇ ∙r⃗ = 3 , ∇ × r⃗ = 0 e (u� ∙∇)r⃗ = u� 
8. Se � for o modulo do vetor que vai desde a origem até o ponto (x,y,z) e f(r) for uma função 
arbitraria de r, prove que 
∇f(r)=
�⃗
�
df
��
 
9. . Prove que 
∇. F�⃗ (r)=
�⃗
�
dF�⃗ (r)
��
 
10. Calcule o divergente de 
v�⃗ =
�̂
��
 
11. Considerando a situação particular onde ��⃗ = 	��	�� demonstre o teorema de Stookes. 
12. Calcule o rotacional para o vetor �⃗ considerando a situação particular em que ��⃗ = 	��	�� .