ELETROMAGNETISMO - aula1

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Disciplina: Eletromagnetismo
Aula 01: Noções básicas de análise vetorial
Introdução
Do ponto de vista da Engenharia – sobretudo da Elétrica –, o cálculo vetorial é extremamente importante para compreendermos
vários conceitos físicos.
Muitos alunos têm dificuldade de estudar eletromagnetismo, porque não é fácil relacionar o conhecimento da Matemática com
aquilo que é primordial para o desenvolvimento do conteúdo específico da Engenharia.
Pensando nesse obstáculo, iniciaremos esta aula com a análise vetorial, definindo as principais noções que servirão de
ferramentas para o estudo da teoria eletromagnética.
Primeiro, abordaremos as grandezas escalares e vetoriais. Em seguida, as funções e os campos escalares e vetoriais, bem como
as formulações básicas da álgebra vetorial.
Por fim, trabalharemos com o sistema cartesiano de coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas, de modo que possamos
analisar o campo elétrico. Quando entendermos sua aplicação algébrica, conseguiremos calcular esse campo, considerando a
distribuição linear, superficial e volumétrica.
Objetivos
Diferenciar as grandezas escalares e vetoriais;
Recordar a álgebra vetorial a partir de suas principais formulações – base para o estudo do eletromagnetismo;
Descrever os sistemas de coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas com suas respectivas relações algébricas –
ferramenta para análise do campo elétrico.
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Grandezas escalares e vetoriais
O estudo das grandezas escalares e vetoriais é imprescindível para esta disciplina. Para começar, vamos diferenciar esses
conceitos.
Vejamos:
Grandeza escalar
Quantidade completamente caracterizada por sua magnitude, cujo valor pode ser representado por um único
número seguido de sua unidade.
Exemplos
Massa;
Tempo;
Volume;
Densidade;
Pressão;
Resistividade;
Temperatura etc.
Grandeza vetorial
Para ser completamente caracterizada, depende de:
Seu módulo – intensidade ou magnitude;
Sua direção – horizontal ou vertical;
Seu sentido – para cima, para baixo, para a direita ou esquerda.
Além disso, deve ser seguida de sua unidade.
Exemplos
Força;
Velocidade;
Aceleração;
Indução;
Intensidade de campo elétrico etc.
Você já parou para pensar na importância dessa distinção?
Ora, se estamos interessados no estudo de campos escalares e vetoriais , é necessário expor suas características.
Geralmente, é possível associar um fenômeno físico a um campo , como:
A força exercida sobre uma agulha da bússola pelo campo magnético terrestre;
O movimento das partículas de fumaça no campo em que o vetor velocidade do ar o define em determinada região do
espaço.
Assim, tanto o campo escalar quanto o vetorial existem.
1
2
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Em um campo escalar, cada ponto de determinada região pode ser associado a um número (escalar). Em geral, esse
valor é variável com a posição e com o tempo.

Exemplo
Um exemplo clássico é o campo de temperaturas: podemos associar cada ponto da região a certa temperatura. Se
esta não fosse uma grandeza escalar, ficaria difícil determinar a temperatura de uma cidade, considerando que cada
bairro influenciaria seu resultado, mas sabemos que isso não ocorre.
Já em um campo vetorial, uma força aplicada a um ponto de um corpo é um vetor pontual. Entretanto, a velocidade de
determinado gás no interior de um tubo não é um vetor definido em apenas um ponto, e sim em toda a região.
Nesse sentido, estamos diante de um campo de vetores. Este conceito é muito importante no estudo do
eletromagnetismo, pois a maioria das grandezas eletromagnéticas – tais como campo elétrico ou magnético – é vetorial
(BASTOS, 2012).
Álgebra vetorial
Quando você pensa em álgebra vetorial, o que vem a sua mente?
Muitos até sabem que se trata de alguma manipulação formal de equações com vetores, mas não conhecem as
operações para cada condição, quando trabalhamos com:
A soma de vetores;
O produto de escalar por vetores;
O produto de vetor por vetor e pelo conjunto de suas propriedades.
Quando trabalhamos com os números naturais, as propriedades básicas de soma, subtração, produto e divisão são muito
importantes. O mesmo vale para a álgebra vetorial: cada associação listada é extremamente relevante.
Vamos, então, estudar cada uma delas?
Soma de vetores
A soma de vetores envolve duas regras fundamentais. São elas:
Regra do triângulo
A soma de dois vetores é determinada graficamente, colocando o início do segundo no final do primeiro. Em geral, o
vetor soma começa no início do primeiro vetor e termina no final do segundo, como mostra a figura 1:
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 Figura 1: Representação da soma dos vetores pelo método do triângulo
Regra do paralelogramo
Para esta regra, colocamos os inícios dos dois vetores juntos e traçamos paralelas a eles, passando por seus finais. O
vetor soma é determinado na diagonal do paralelogramo, como mostra a figura 2:
 Figura 2: Representação da soma dos vetores pelo método do
paralelogramo
Na tabela a seguir, destacamos as propriedades essenciais da álgebra vetorial:
Propriedades Representação algébrica
Comutativa →A +
→
B =
→
B +
→
A
Distributiva
→
A +
→
B +
→
C =
→
A +
→
B +
→
C
Subtração de vetores
→
A -
→
B =
→
A +
→
B
Igualdade de dois vetores
→
A =
→
B ⇒
→
A +
→
B = 0
( ) ( )
( )
( )Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Produto de escalar por vetor →A = 6
→
B
A divisão de um vetor por um escalar é igual ao produto do vetor pelo
inverso do escalar
→
A =
→
B · 1 /5
Propriedades distributivas e comutativas r + s
→
A +
→
B = r
→
A +
→
B + s
→
A +
→
B = r
→
A + r
→
B + s
→
A + s
→
B
Produto de vetor por vetor Produto escalar C =
→
A ·
→
B Produto vetorial 
→
C =
→
A ×
→
B
Produto escalar
O produto escalar é uma operação vetorial, cujo resultado é um valor escalar. Em outros termos, trata-se de uma
grandeza algébrica: um valor numérico precedido de sinal.
Vamos entender melhor esse conceito?
Considere dois vetores: 
→
A e 
→
B
Para determinarmos o produto escalar entre eles, basta definirmos o produto do módulo de 
→
A pelo módulo de 
→
B e pelo
cosseno do ângulo α entre os dois, que resulta em um escalar, conforme a equação 1:
→
A ·
→
B = 
→
A ·
→
B · cos αABEquação 1
A operação é representada por um ponto, e a leitura é realizada da seguinte forma: “A escalar B”.

Dica
Desenhe o ponto de forma bem acentuada para não o esquecer durante os cálculos.
O mesmo procedimento pode ser aplicado para os vetores unitários , que, se forem iguais, gerarão um ângulo α de
0°, caracterizando o resultado final com o valor único, conforme as equações 2:
→
ax·
→
ax = 1; 
→
ay·
→
ay = 1; 
→
az·
→
az = 1; 
→
ax·
→
ay = 0; 
→
ay·
→
az = 0; 
→
az·
→
ax = 0;Equação 2
É possível fazer isso, inclusive, com os vetores unitários diferentes, o que origina um ângulo α de 90° entre eles, gerando
um valor de zero devido ao resultado do cosseno de 90°, como vimos nas equações 2.

Atenção
Aqui, representamos os vetores unitários pela letra a com uma seta em cima (→a), mas, em outras literaturas, você
pode encontrar as letras ê, î , ĵ e k̂, que têm o mesmo significado. Esses vetores ainda podem mudar de acordo com
a coordenada cartesiana adotada. Para não causar confusão, vamos seguir o modelo proposto.
Outra forma de trabalhar com o produto escalar de dois vetores é por meio da decomposição destes em componentes
cartesianas, fazendo as devidas operações.
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
AB
| | | |
3
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Mas o que ocorre com os vetores unitários?
Eles seguem a mesma regra do produto escalar entre dois vetores estabelecidos nas equações 2, resultando nas
equações 3:
→
A = Ax ·
→
ax + Ay ·
→
ay + Az ·
→
az; 
→
B = Bx ·
→
ax + By ·
→
ay + Bz ·
→
az;
→
A ·
→
B = Ax ·
→
ax + Ay ·
→
ay + Az ·
→
az · Bx ·
→
ax + By ·
→
ay + Bz·
→
az
→
A ·
→
B = Ax ·
Equação 3
Portanto, lembre-se:
Como regra geral, todo produto escalar não possui vetores unitários.
Produto vetorial
Após definirmos os conceitos e a formulação do produto escalar, chegou o momento de pensarmos no produto de dois
vetores.
Será que o processo algébrico vetorial ocorre da mesma forma?
Vamos descobrir!
Considere o produto vetorial de dois vetores (
→
A e 
→
B) – representado por 
→
A x 
→
B –, como um vetor, cujo módulo é igual ao
produto dos módulos dos dois vetores pelo seno α do menor ângulo entre eles, conforme a equação 4:
→
A ×
→
B = 
→
A ·
→
B · sen αAB 
→
aNEquação 4
O versor →aN representa o vetor unitário resultante, que é normal à superfície.
Nesse sentido, a direção do vetor resultante é perpendicular ao plano que contém os dois vetores. O sentido acaba
coincidindo com aquele do avanço de um parafuso de rosca direita, quando 
→
A é girado para 
→
B , como demonstra a figura
3:
 Figura 3: Representação do sentido do vetor em um produto vetorial
(Adaptado de: Hayt e Buck, 2017.)

Dica
Utilize a regra da mão direita: os quatro dedos mostram o sentido de giro do primeiro vetor para chegar até o
segundo, e o polegar indica o sentido da resultante.
( ) ( )
AB
| | | |
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Como no produto escalar, trabalhar com ângulo espacial entre um vetor e outro não é tarefa fácil, mas podemos
minimizar o problema acrescentando os vetores unitários. Por isso, também preferimos utilizá-los no produto vetorial.
Da mesma forma, é possível usar a definição de vetores unitários no produto de dois vetores para determinar suas
relações algébricas. A tabela a seguir as demonstra:
x a a a
a 0 a -a
a -a 0 a
a a -a 0
Os elementos da coluna vertical representam o primeiro fator, e os da linha horizontal, o segundo.

Dica
Para determinar o vetor resultante a partir da multiplicação dos versores, basta estabelecer o giro nos sentidos
horário e anti-horário. Se você acompanhar o sentido das setas, verá que é mais simples compreender a tabela.
Agora, considere dois vetores (
→
A e 
→
B) em um sistema de coordenadas cartesianas. O produto entre eles nos possibilita
chegar a uma relação algébrica, conforme as equações 5 seguidas de sua respectiva tabela:
→
A = Ax ·
→
ax + Ay ·
→
ay + Az ·
→
az eB = Bx ·
→
ax + By ·
→
ay + Bz ·
→
az
→
A ×
→
B = AyBz - AzBy ·
→
ax + AzBx - AxBz ·
→
ay + AxBy - AyBx ·
→
azEquação
5
→
A ×
→
B =
→
ax
→
ay
→
az
Ax Ay Az
Bx By Bz
Ainda podemos encontrar essa relação por meio do determinante, o que torna mais fácil sua memorização.
x y z
x z y
y z x
z y x
( ) ( ) ( )
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Atividade
1. Agora, vamos praticar!
Considere os seguintes vetores:
→
A = 4 ·
→
ax - 10 ·
→
ay - 8 ·
→
az
→
B = 6 ·
→
ax + 10 ·
→
ay + 4 ·
→
az
Em seguida, determine:
a) O produto escalar entre os vetores.
b) O ângulo formado entre os vetores.
c) A componente escalar do vetor 
→
A na direção de 
→
B.
d) A projeção vetorial de 
→
A na direção de 
→
B.
Sistemas de coordenadas
De tudo o que estudamos até o momento sobre análise vetorial, um dos conteúdos fundamentais que serve de
ferramenta para a teoria eletromagnética é o sistema de coordenadas.
Para que possamos descrever, de modo rigoroso, um vetor, precisamos conhecer suas características específicas, tais
como:
Direção e sentido;
Ângulo;
Projeções ou componentes.
Para compreender os aspectos dos sistemas em que um vetor pode estar projetado, vamos usar todo o conhecimento já
adquirido até então. Entre esses sistemas estão:
Sistema cartesiano ou retangular (mais simples);
Sistema cilíndrico;
Sistema de coordenadas esféricas.
A seguir, vamos entendê-los detalhadamente!
Coordenadas retangulares
No sistema de coordenadas retangulares, um ponto é obtido pela interseção de três superfícies planas e perpendiculares
entre si: x, y e z.
As coordenadas desse ponto são, respectivamente, a distância do ponto P ao plano, como mostra a Figura 4:
x = 0 y = 0 z = 0
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 Figura 4: Coordenadas retangulares (HAYT; BUCK, 2017)
Os três eixos são perpendiculares, ou seja, estão a 90° entre si, formando o triedro direto (HAYT; BUCK, 2017). Em
outros termos, se girarmos um parafuso comum de x para y, ele avançará na direção z. Mas, se o girarmos de y para z,
ele avançará na direção x, e assim sucessivamente.
Nesse sistema de coordenadas, a base de vetores unitários é conhecida. Eles estão associados a cada uma das variáveis
e são representados por: a , a e a .

Comentário
Às vezes, trabalha-se com outras denominações para esse mesmo vetor unitário: î , ĵ e 
→
k.
Tais vetores têm direção normal à superfície em que a variável associada é constante e apontam para o lado em que a
grandeza vai crescendo. Dessa forma, o vetor unitário a é perpendicular ao plano x constante e aponta para seu lado
crescente.
O mesmo ocorre com os outros dois vetores unitários: a e a .
Vamos supor que um vetor posição liga a origem ao ponto P (x, y, z), em que existe a interseção de três planos
perpendiculares.
Nessa posição, dispomos de um diferencial de distância em cada coordenada, e há um novo ponto P (x + d , y + d , z
+ d ), no qual ocorre a interseção de três outros planos, como mostra a figura 4 (b).
O vetor posição é determinado, de acordo com a diagonal, pela equação 6:
d = √dx2 + dy2 + dz2Equação 6
Observe, na figura 4 (b), que cada face do cubo define um diferencial de superfície, expresso como um vetor, em que o
módulo é a área – a qual aponta para o lado de fora da superfície –, e o vetor unitário é normal.
Podemos, então, determinar cada área correspondente a seu eixo de coordenada x, y e z pelas equações 7, 8 e 9,
respectivamente:
d
→
 Sx = dydz
→
 ax Equação 7
d
→
 Sy = dxdz
→
 ay Equação 8
d
→
 Sz = dxdz
→
 az Equação 9
Em coordenadas retangulares, os elementos de volume determinam, por meio dos seis planos definidos pelos pontos, um
cubo diferencial com volume dv, conforme a equação 10:
x y z
x
y z
1
2 x y
z
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dv = dx · dy · dz Equação 10
Note que, no elemento diferencial de volume, não aplicamos a seta em cima do v por não se tratar de uma grandeza
vetorial.

Dica
Para facilitar a análise e a descrição de um vetor, podemos utilizar suas componentes ou projeções conforme três
direções determinadas. Isso é feito pelo emprego de um método que decompõe um vetor, levando em conta o
sistema cartesiano de coordenadas.
Vamos considerar, agora, um vetor posição 
→
rp, que tem sua origem no ponto O da coordenada retangular e se estende
até o ponto P, como mostra a figura 4 (a).
Esse vetor posição pode ser determinado pela soma vetorial das componentes →x, →ye →z, que representam as projeções
sobre os respectivos eixos, conforme a equação 11:
→
rp =
→
x + →y + →z Equação 11
Observe, na figura 4 (a), que cada componente está sobre um eixo e pode ser descrito como o produto de seu módulo
pelo vetor unitário naquela direção, conforme a equação 12:
→
rp = rx 
→
ax + ry 
→
ay + rz 
→
az Equação 12
É possível, então, determinar facilmente o módulo do vetor por meio do teorema de Pitágoras, aplicado às componentes
ortogonais, conforme a equação 13:
rp = r2x + r2y + r2z Equação 13
Tendo estabelecido a relação do vetor em determinada coordenada e seu módulo, também podemos obter, de forma
simples, seu versor em certa direção por meio da divisão entre vetor e módulo.
Nesse sentido, o vetor unitário do ponto r é dado pela relação apresentada na equação 14:
→
ar =
→
r
| r | = 
rx
→
ax + ry
→
ay + rz
→
az
r2x+ r2y+ r2z
 Equação 14
Vamos ver um exemplo de aplicação deste cálculo?

Exemplo
| | √
p
√
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Para determinar o vetor unitário de uma grandeza vetorial, definimos a força elétrica por meio da Lei deCoulomb,
que estudaremos na próxima aula. A força é uma grandeza vetorial e, como tal, carrega seu versor, que a orienta no
sistema de coordenadas.
Coordenadas cilíndricas
Geralmente, o sistema cartesiano de coordenadas é aquele com que os estudantes de Engenharia mais preferem
trabalhar em qualquer problema. Entretanto, isso implica resoluções complexas, pois o sistema possui simetria que exige
tratamento adequado.
Para resolver futuras questões complicadas que envolvam essa configuração simétrica, é necessário definir os conceitos
do sistema de coordenadas cilíndricas . e esféricas. Por hora, vamos explicar o primeiro.
Nas coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é definido pela interseção de três superfícies perpendiculares,
consideradas uma casca cilíndrica de:
Raio ρ constante;
Semiplano vertical ϕ constante;
Plano horizontal z constante.
A figura 5 apresenta essas superfícies:
 Figura 5: Representação das três superfícies mutuamente perpendiculares
de um sistema de coordenadas cilíndricas circulares (HAYT; BUCK, 2017)
Nesse sistema, também definimos os próprios versores para cada coordenada, de maneira que sejam perpendiculares às
superfícies, em que a respectiva coordenada é constante e aponta para seu lado crescente.
A figura 6 mostra essas coordenadas:
4
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 Figura 6: Coordenadas cilíndricas com os respectivos versores (HAYT;
BUCK, 2017)
Vamos conhecer, a seguir, cada versor →aρ , 
→
aφ e 
→
az , caracterizando os vetores unitários nesse tipo de coordenada:
Os vetores unitários →aρ , 
→
aφ e 
→
az são perpendiculares entre si e formam um triedro positivo, de modo que podemos
estabelecer as seguintes relações:
→
aρ × 
→
aϕ = 
→
az
→
aϕ × 
→
az = 
→
aρ
→
az × 
→
aρ = 
→
aϕ
→
aϕ × 
→
aρ = - 
→
az
→
az × 
→
aϕ = - 
→
aρ
→
aρ × 
→
az = - 
→
aϕ
Agora, vamos identificar os componentes do sistema de coordenadas cilíndricas, destacando o elemento de área e
volume.
Para isso, consideremos o elemento diferencial em forma de um paralelepípedo delimitado pelas arestas dρ, ρdϕ e dz,
como mostra a figura 7:
 Figura 7: Volume diferencial de um sistema de coordenadas cilíndricas com
os respectivos elementos de comprimento (HAYT; BUCK, 2017)
Sua área referente às faces é determinada pelas equações 15, 16 e 17 com seus respectivos versores:
d
→
sρ = ρdϕ · dz
→
aρ Equação 15
d
→
sϕ = dρ · dz 
→
aφ Equação 16
( )
( )
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d
→
sz = ρdϕ · dρ 
→
az Equação 17
E seu elemento diferencial de volume é determinado pela equação 18:
dV = dρ · ρdϕ · dz Equação 18
Para finalizarmos nossa análise desse sistema de coordenadas, precisamos estabelecer a relação entre as variáveis
cartesianas e cilíndricas. Afinal, apesar de trabalharmos com o sistema simétrico cilíndrico, ele está disposto em um
sistema que possui coordenadas x, y e z.
Para isso, definimos as seguintes relações algébricas:
x = ρ · cosϕ, y = ρ · sen ϕ, z = z e ρ = √x2 + y2, ϕ = arctan
y
z
, z = z Equação 18

Atenção
Ainda que ρ seja uma variável positiva, o determinado quadrante em que o ângulo se localiza é definido pela análise
dos sinais de x e y.
Para escalares, essas relações são suficientes. No entanto, para funções vetoriais, mais informações são necessárias.
Agora, considere um vetor expresso em coordenadas cartesianas, em que as componentes B , B e B são funções das
variáveis x, y e z, conforme a equação 19:
→
B = Bx ·
→
ax + By ·
→
ay + Bz ·
→
az Equação 19
Por meio dessa relação, podemos encontrar um vetor expresso em coordenadas cilíndricas, em que as componentes são
funções de ρ, ϕ e z. Para isso, estabelecemos o vetor correspondente na equação 20:
→
B = Bρ · aρ + Bϕ · aϕ + Bz · az Equação 20
Vamos empregar novamente a ideia do produto escalar e utilizá-lo para obter uma componente de um vetor em
determinada direção. Dessa forma, é possível definir o produto escalar desse vetor pelo vetor unitário na direção que
desejamos.
Assim, estipulamos as relações para cada versor (
→
aρ , 
→
aϕ e 
→
az), conforme a equação 21:
Bρ = 
→
B · 
→
aρ ; Bϕ = 
→
B · 
→
aϕ ; Bz = 
→
B · 
→
az Equação 21
Após indicarmos a relação do produto escalar entre um vetor e um vetor unitário, podemos determinar os resultados
correspondentes a cada relação e encontrar as equações 22, 23 e 24 para os versores 
→
ax , 
→
ay e 
→
az em coordenadas
retangulares:
Bρ = Bx ·
→
ax + By ·
→
ay + Bz ·
→
az · 
→
aρ Equação 22
Bϕ = Bx ·
→
ax + By ·
→
ay + Bz ·
→
az · 
→
aϕ Equação 23
x y z
( )
( )
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Bz = Bx ·
→
ax + By ·
→
ay + Bz ·
→
az · 
→
az = Bz ·
→
az ·
→
az = Bz Equação 24
A relação estabelecida para a determinação de produtos escalares, quando há um ângulo de 90°, repete-se aqui. Logo,
se existem dois versores perpendiculares, certamente, encontramos:
→
az ·
→
aρ =
→
az ·
→
aρ = 0
Há, ainda, outros produtos escalares entre os vetores unitários iguais aos cossenos dos ângulos entre eles, tendo em
vista que seus módulos são unitários.

Exemplo
→
ax ·
→
aρ = cosφ ; 
→
ay ·
→
aρ = cos 90 - φ = senφ
(HAYT; BUCK, 2017)
Coordenadas esféricas
Completando nosso estudo de análise vetorial, chegamos ao sistema de coordenadas esféricas, que contém três variáveis
semelhantes àquelas do sistema de localização no globo terrestre: altura, longitude e latitude (HAYT; BUCK, 2017).
Essas coordenadas também possuem como característica de seu eixo três sistemas. São eles:
Na figura 8, destacamos cada um desses sistemas para orientar você no espaço tridimensional:
 Figura 8: Representação de três coordenadas esféricas (HAYT; BUCK, 2017)
( )
( )
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
Comentário
No sistema de coordenadas cilíndricas, ρ é constante e representa a casca cilíndrica. No sistema esférico, r também
é constante e representa a casca esférica. Então, r e ρ possuem o mesmo sentido, mas cada um caracteriza um
sistema de coordenadas específico.
As letras para representar o raio foram justamente trocadas, a fim de facilitar a identificação em cada sistema e não
causar confusão futura.
A superfície em que se encontra o ângulo ϕ é constante e representa um semiplano vertical que contém o eixo z. Na
interseção com a esfera, esse semiplano determina um meridiano (HAYT; BUCK, 2017).
Observe, na figura 9, um ponto P (r, θ, ϕ) definido pela interseção das três superfícies que formam um ângulo de 90°
entre si:
 Figura 9: Sistema de coordenadas esféricas (HAYT; BUCK, 2017)
Um ponto sempre é determinado pelo encontro das três superfícies perpendiculares entre si no momento em que se
cruzam (ponto P), respeitando a ordem de coordenadas (r, θ e ϕ).
Os vetores unitários também são sempre perpendiculares à superfície em que a coordenada é constante e possuem o
sentido coincidente com o crescimento dela.
Da mesma forma que fizemos antes, agora, vamos caracterizar os respectivos versores que pertencem às coordenadas
esféricas, de modo que você se acostume com as representações dos vetores unitários desse sistema.
A figura 10 mostra a projeção de tais versores no eixo tridimensional em que a esfera se encontra:
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 Figura 10: Três vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas
(HAYT; BUCK, 2017)
Já podemos adiantar que esses versores formam um triedro direto. Assim, temos:
→
ar × 
→
aθ =
→
aφ
Onde:
→
ar = vetor unitário orientado radialmente para fora da esfera, que possui um raio constante e pertence ao cone ϕ
constante, bem como ao plano ϕ também constante;
→
aθ = vetor unitário normal ao cone θ constante, que pertence ao plano ϕ constante, é tangente à esfera com o r
constante e orientado no sentido de crescimento de θ (para baixo);
→
aφ = vetor unitário normal ao plano ϕ constante, orientado para leste no sentido anti-horárioe tangente ao cone θ
constante, bem como à esfera com r constante.
A figura 11 mostra um paralelepípedo infinitesimal com as seguintes arestas:
Radial (dr);
Vertical (r.dθ);
Horizontal (r.senθ.dϕ).
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 Figura 11: Elemento diferencial de volume em um sistema de coordenadas
esféricas (HAYT; BUCK, 2017)
Levando em conta essas superfícies laterais, é possível determinar, pelas equações 25, 26 e 27, o elemento de superfície
nas coordenadas esféricas, considerando seus respectivos versores:
d
→
Sφ = dr · rdθ ·
→
aφ Equação 25
d
→
Sθ = dr · rsenθ dφ ·
→
aθ Equação 26
d
→
Sr = rdθ · rsenθ dφ ·
→
ar Equação 27
Seu elemento diferencial de volume é definido conforme a equação 28:
dv = dr · rdθ · r senθ dϕ Equação 28
Como na análise do sistema de coordenadas cilíndricas, aqui, também podemos relacionar o sistema esférico (r, θ e ϕ)
com o sistema de coordenadas retangulares (x, y e z) da seguinte forma:
x = r sen θ . cos ϕ
y = r sen θ . sen ϕ
z = r cos θ
De maneira contrária, obtemos r, θ e ϕ:
r = x2 + y2  
Para finalizar nosso estudo, vamos relacionar a componente de um vetor em determinada direção, a fim de definirmos
seu produto escalar em coordenadas esféricas por seu respectivo vetor unitário.
Assim, obtemos as seguintes relações:
ar→ ·az→ = az→ ·ar→ = cosθ;aθ→ ·az→ = az→ ·aθ→ = senθ;aφ→ ·az→ = az→ ·aφ→ = 0

Comentário
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Os produtos escalares que envolvem ax→ e ay→ necessitam que o vetor unitário esférico seja projetado sobre o
plano xy, produzindo senθ ou cosθ, e, posteriormente, sobre o eixo desejado.
A seguir, vamos praticar mais um pouco.
Atividade
2. Considere as arestas de um paralelepípedo regular em uma coordenada esférica, como mostra a figura 12:
Considere os seguintes vetores:
 Figura 12: Coordenada esférica
Em seguida, determine a área e o volume dessa esfera.
3. Imagine que um estudante curioso analisa uma superfície condutora que possui um campo dado por:
E→=800·ax→ - 580·ay→ +680·az→ V/m
Sobre essa superfície, há um ponto A com as seguintes coordenadas:
x = -2;
y = 4;
z = 1.
Sabendo que o estudante considerou o condutor situado no vácuo, o módulo da componente do vetor normal à
superfície (E ) é de:
 a) 1360 V/m
 b) 920 V/m
 c) 1167 V/m
 d) 1176 V/m
 e) 1716 V/m
N
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4. Suponha que um corpo esteja sofrendo a ação de uma força central, dada pela seguinte relação:
F →=-2βr3ar→ , (β>0)
Onde: r = distância radial quanto a sua origem em um sistema de coordenadas. 
 
Assinale a opção que representa o trabalho realizado pela força sobre o corpo no deslocamento de R para R (R >
R ):
 a) W=β 1/R12 -1/R22;
 b) W=β 1/R22 -1/R12;
 c) W=β 1/R1 -1/R2;
 d) W=β 1/R2 -1/R1;
 e) W=2β 1/R12 -1/R22;
5. Para determinar um campo elétrico que flui radialmente para fora de uma esfera condutora – representada pela
seta em destaque na figura 13 –, é necessário estabelecer sua área infinitesimal. Vejamos:
 Figura 13: Coordenadas esféricas
Ao tentar desenvolver os cálculos, um aluno percebeu que cometeu um equívoco e que havia considerado a área
infinitesimal do cilindro, gerando um resultado incorreto.
Para tentar ajudá-lo, assinale a opção que apresenta a área infinitesimal correta por onde flui o campo elétrico:
 a) dS→=r·dr·dθ·dφ·aφ→
 b) dS→=r2·senθ·dr ·dθ·dφ· ar→
 c) dS→=r·dr·dφ· ar→
 d) dS→=r2·senθ dθ ·dφ·ar→
 e) dS→=r·senθ·dr·dθ·dφ· aθ→
Notas
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Campos escalares e vetoriais 
Funções algébricas de vetores – representados por uma letra com uma seta em cima ( ) ou por uma letra em negrito (B) – que
ligam uma origem arbitrária a um ponto genérico no espaço.
Campo 
Região do espaço ou domínio em que ocorre determinado fenômeno. Muitas vezes, seu sentido pode ser compreendido a partir
da própria formulação que descreve o fenômeno (HAYT; BUCK, 2017).
Vetores unitários 
Também denominados versores.
Sistema de coordenadas cilíndricas 
Versão tridimensional do sistema de coordenadas polares no plano, quando lidamos com geometria analítica.
Referências
BARCELOS NETO, J. Teoria eletromagnética – parte clássica. 1. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2015.
BASTOS, J. P. A. Eletromagnetismo para Engenharia Estática e quase estática. 3. ed. Florianópolis: UFSC, 2012.
CARDOSO, J. R. Engenharia Eletromagnética. São Paulo: Elsevier, 2011.
HAYT, W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. 8. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2017.
SILVA, C. E. da et al. Eletromagnetismo – fundamentos e simulações. São Paulo: Pearson, 2014.
Próximos Passos
Lei experimental de Coulomb;
Determinação do campo elétrico;
Campo elétrico de distribuição discreta de cargas pontuais;
Campo elétrico de distribuição contínua de carga com base em uma linha e uma superfície plana;
Distribuição volumétrica de carga.
Explore mais
Visite os canais a seguir e assista aos vídeos correspondentes.
Universidade Virtual do Estado de São Paulo (UNIVESP) – professor Cláudio Possani: Coordenadas esféricas
<https://www.youtube.com/watch?v=MO_Ls3uQTWs> .
Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) – professor Eduardo Fontana, do curso de Graduação em Engenharia
Eletrônica e Engenharia da Computação: Introdução à álgebra vetorial <https://www.youtube.com/watch?
v=aJjyfodDK9o> .
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) – professor Rafael C. Beltrame:
Álgebra vetorial; <https://www.youtube.com/watch?v=lQzCdJYI8hA&list=PLG6_pwoB-
e_zmFoopZAp_YlxLyzucydlf>
Sistemas e transformação de coordenadas <https://www.youtube.com/watch?v=CKwnPjfP7tE> .
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