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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO 
CAMPUS BAIXADA SANTISTA 
Funções Várias Variáveis 
 FVV II 
Aula 5 
2018 
Profa. Adriana 
 Cálculo Vetorial 
Campos Vetoriais 
Os vetores da Figura 1 representam os vetores velocidade do ar e 
indicam a velocidade escalar, a direção e o sentido do vento em 
pontos a 10 m da superfície. Associado a cada ponto do ar, 
podemos imaginar um vetor velocidade do vento. Este é um 
exemplo de campo vetorial de velocidade. 
 Cálculo Vetorial 
Outro tipo de campo vetorial, chamado campo de força, associa um 
vetor força a cada ponto da região. Um exemplo é o campo de força 
gravitacional. 
Campos Vetoriais 
A melhor maneira de enxergar um 
campo vetorial é desenhar a seta 
representando o vetor F (x, y) 
começando no ponto (x, y). 
Podemos visualizar F fazendo isso 
para alguns pontos representativos 
em D, como na Figura. 
 Cálculo Vetorial 
Uma vez que F (x, y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo 
em termos de suas funções componentes P e Q da seguinte forma: 
 
F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j = P (x, y), Q (x, y) 
 
ou, de forma mais compacta, F = P i + Q j 
Observe que P e Q são funções escalares de duas variáveis e são 
chamadas, algumas vezes, campos escalares para distingui-los dos 
campos vetoriais. 
Campos Vetoriais 
Exemplo 1 
Um campo vetorial em é definido por F (x, y) = –y i + x j. Descreva 
F esboçando alguns dos vetores F (x, y). 
 Cálculo Vetorial 
Campos Vetoriais 
Suponha que uma carga elétrica Q esteja localizada na origem. Pela Lei 
de Coulomb, a força elétrica F(x) exercida por essa carga sobre uma 
carga q localizada no ponto (x, y, z) com vetor posição x = x, y, z é 
 
 
 
onde ε é uma constante (que depende da unidade usada). 
Para cargas de mesmo sinal, temos qQ > 0 e a força é repulsiva; para 
cargas opostas temos qQ < 0 e a força é atrativa. 
Considerando a força por unidade de carga: 
 
 
 
Então E é um campo vetorial em chamado campo elétrico de Q. 
x = x i + y j + z k e | x | = : 
 Cálculo Vetorial 
Uma classe importante dos vetores de campo surgem do processo 
de se encontrar gradientes. Se f é uma função escalar de duas 
variáveis, o seu gradiente f (ou grad f ) é definido por 
 
f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j 
 
Portanto, f é realmente um campo vetorial em e é denominado 
campo vetorial gradiente. Da mesma forma, se f é uma função 
escalar de três variáveis, seu gradiente é um campo vetorial em ℝ3 
dado por 
 
f (x, y, z) = fx (x, y, z) i + fy (x, y, z) j + fz (x, y, z) k 
Campos Gradiente 
 Cálculo Vetorial 
Campos Gradiente 
Exemplo 2 
Determine o campo vetorial gradiente de f (x, y) = x2y – y3. 
Exemplo 3 
 Cálculo Vetorial 
Divergente e Rotacional 
Vamos definir duas operações importantes para o estudo de vetores de campo no 
espaço. O divergente e o rotacional. A origem deles vem do estudo do movimento dos 
fluidos, onde o divergente está relacionado ao fluxo do fluido na direção ou se 
afastando de um ponto e o rotacional se relaciona com as propriedades do fluido 
naquele ponto. 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
Nesta seção, definiremos uma integral que é semelhante à integral 
unidimensional, exceto que, ao invés de integrarmos sobre um 
intervalo [a, b], integraremos sobre uma curva C. Tais integrais são 
chamadas integrais de linha. Elas foram inventadas no começo do 
século XIX para resolver problemas que envolviam escoamento de 
fluidos, forças, eletricidade e magnetismo. 
Exemplo 4 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
Começamos com uma curva plana C dada pelas equações 
paramétricas 
x = x(t) y = y(t) a  t  b 
Se dividirmos o intervalo do 
parâmetro [a, b] em n 
subintervalos [ti – 1, ti] de igual 
tamanho e se fizermos xi = x(ti) e 
yi = y(ti), então os pontos 
correspondentes Pi(xi, yi) 
dividem C em n subarcos 
de comprimentos s1, s2, . . . , 
sn. (veja a Figura ) 
 Cálculo Vetorial 
Fazemos a seguinte definição, por analogia com a integral 
unidimensional: 
Integral de Linha 
Verificamos que o comprimento da curva C é: 
Se f é uma função contínua, então o limite na Definição 2 sempre existe 
e a fórmula seguinte pode ser empregada para calcular a integral de 
linha: 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
O valor da integral de linha não depende da parametrização da curva, 
desde que a curva seja percorrida uma única vez quando t cresce de 
a para b. Se s(t) é o comprimento de C entre r(a) e r(t), então 
 
 
 
Um modo de memorizar a Fórmula 3 é escrever tudo em termos do 
parâmetro t: Use a parametrização para exprimir x e y em termos de 
t e escreva ds como: 
 
Calcule C (2 + x
2y) ds, onde C é a metade superior do círculo unitário 
x2 + y2 = 1. 
Exemplo 5 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
Exemplo 6 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
Exemplo 7 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
Exemplo 8 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
As respostas em (a) e (b) no exercício anterior foram diferentes, 
apesar de as curvas terem as mesmas extremidades. O valor de 
uma integral de linha, geralmente, depende das extremidades e 
também da própria trajetória. (Já veremos um caso em que a 
integral independe do caminho). As respostas também 
dependem da orientação ou sentido ao percorrer a curva. Se 
invertermos o caminho na parte 1 temos –C1 e o segmento vai 
de (0,2) para (-5,-3). Refaçam e verifiquem o valor. 
Em geral, dada a parametrização x = x(t), y = y(t), a  t  b, esta 
determina-se uma orientação da curva C, com a orientação 
positiva correspondendo aos valores crescentes do parâmetro t 
(veja a Figura, onde o ponto inicial A corresponde ao valor do 
parâmetro a e o ponto terminal B corresponde a t = b.) 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha 
Se –C denota a curva constituída pelos mesmos pontos que C, 
mas com orientação contrária (do ponto inicial B para o ponto 
terminal A na Figura 8), então temos 
–C f (x, y) dx = – C f (x, y) dx –C f (x, y) dy = – C f (x, y) dy 
 
Mas, se integrarmos em relação ao comprimento de arco, o valor 
da integral de linha não se altera ao revertermos a orientação da 
curva: 
 –C f (x, y) ds = C f (x, y) ds 
 
Isso ocorre porque si é sempre positivo, enquanto xi e yi 
mudam de sinal quando invertemos a orientação de C. 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha no espaço 
Suponhamos agora que C seja uma curva espacial suave dada 
pelas equações paramétricas 
 
x = x(t) y = y(t) z = z(t) a  t  b 
 
ou por uma equação vetorial r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. Se f é 
uma função de três variáveis que é contínua em alguma região 
contendo C, então definimos a integral de linha de f ao longo de 
C (com relação ao comprimento de arco) de modo semelhante 
ao feito nas curvas planas: 
 
 
 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha no espaço 
Calculamos essa integral utilizando uma fórmula análoga à 
anterior: 
 
 
Observe que as integrais das Equações podem ser escritas de 
modo mais compacto pela notação vetorial 
 
 
Para o caso especial em que f (x, y, z) = 1, obtemos 
 
 
onde L é o comprimento da curva C. 
 Cálculo Vetorial 
Integral de Linha no espaço 
Exemplo 9 
Calcule C y sen z ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações 
x = cos t, y = sen t, z = t, 0  t  2. 
Exemplo 10