Eletromag Aula 2 2014

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Notas de aulas de eletromagnetismo 2a Aula- Continuação de “Analise vetorial “ 1 
Prof. Neri Alves 
 
Introdução 
Eletromagnetismo 2013 
Neri Alves 
21/11/2014 - 2a Aula 
 
Fluxo 
 Na linguagem cotidiana a palavra fluxo remete diretamente à idéia de escoamento de 
liquido, de gases, pessoas veículos e etc. No entanto o conceito de fluxo pode ser aplicado para 
qualquer grandeza vetorial. Para iniciar a analise de fluxo considere um vetor genérico �� que cruza 
uma superfície S, tal que num elemento infinitesimal de área podemos escrever. 
�� � �� ∙ ��� 
 
 
 
 
 
� � � �� ∙ ���
	
 
 
A seguir dá-se o exemplo de um caso particular: Considere uma tela plana, uma inclinada em 
relação à horizontal, colocada em uma calha retangular onde há um líquido escoando com uma 
 
 
 
 
�� 
n� 
S 
�� 
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velocidade ��. O fluxo do vetor velocidade da água sobre esta tela é dado como mostra o diagrama 
por 
� � �� ∙ 
� 
 
Fluxo numa superfície fechada. Quando queremos calcular o fluxo numa superfície fechada, 
devemos integrar o produto escalar �� ∙ ��� em toda superfície: Assim: temos 
 
 
� � ��� ∙ ���
	
 
 
Para a eletrostática é de grande relevância o calculo do fluxo num volume fechado. Este cálculo, 
que vamos desenvolver a seguir, permite enunciar uma importante propriedade do cálculo vetorial e 
uma das leis fundamentais do eletromagnetismo. 
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 Considere o volume infinitesimal �� � ������ e o vetor ��. Vamos calcular o fluxo do 
vetor �� neste volume infinitesimal. Ou seja, vamos calcular a integral ∮ �� ∙ 
��� no cubo. Para isso 
vamos calcular nas 6 faces. 
 
Calculo na face 1 – Plano xy 
 
� � ��̂ 
�� � ����, ��, �� 
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�� � ���� (Elemento de área da superfície) 
� �� � � �� ∙ 
���	� 
�� � ���̂ �!�̂ �"#$ 
� �� � � �� ∙ 
����	� � 	� %���̂ �!�̂ �"#
$& ∙ '��̂(����
	�
 
� �� � ) �� ∙ 
����	� �	�) �!����	� onde �! é constante sobre a superfície *�, assim 
� �� � ��!	∆�	∆z 
 
Face 2 – Plano xz, mas onde � � ��,∆y 
� �. � � �� ∙ 
�.�� �?	0 
 
�. � �̂ 
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� �. � � %���̂ �!�̂ �"#$& ∙ '�̂(����	� � � �!����	� 
� �. � �!	�x, y� ∆y, z�∆�	∆z 
Usando uma aproximação linear de 1a ordem 
�!	�x, y� ∆y, z� ≅ �!	�x, y�, z� ∂�!∂y 456
∆y ⋯ 
 
Assim 
� �. � �!	�x, y�, z�∆�	∆z ∂�!∂y 456
∆x∆y∆z 
e 
� �� � �. � ��!	∆�	∆z �!	∆�	∆z ∂�!∂y 456
∆x∆y∆z 
 
� �� � �. � 89:85 ;56 ∆x∆y∆z 
 
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E repetindo para as outras faces chega-se à 
� � � <∂��∂x 
∂�!∂y 
∂�"∂z 4�=>:=>?=
∆x∆y∆z 
 
Portanto 
� �� ∙ 
� ��	 = <
∂��∂x + ∂�!∂y + ∂�"∂z 4�=>:=>?= ∆x∆y∆z 
Onde ∆x∆y∆z = ∆V sendo ∆V o volume do cubo. 
Agora vamos analisar o fluxo por unidade de volume quando o volume tende a zero. 
 
limD→� 1�� �� ∙ 
� ��	 = limD→� G
1� <∂��!∂x + ∂�!∂y + ∂�"∂z 4�=>:=>?=H∆x∆y∆z 
Onde ∆V = ∆x∆y∆z. Observe que no limite em que V → 0 e pode cancelar ∆V e V. Assim: 
limD→� 1�� �� ∙ 
� ��	 = <
∂��∂x + ∂�!∂y + ∂�"∂z 4 
Onde 
∂��∂x + ∂�!∂y + ∂�"∂z ≡ ∇ ∙ AMM� 
O divergente de um vetor é o limite de sua integral de superfície por unidade de volume quando o 
volume encerrado pela superfície tende a zero. 
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N ∙ �� = OPQ	D→� 1�	� �� ∙ 
� ��	 
∇ ∙	= 88R+ 885+ 88S (operador divergente) 
Exemplo de aplicação do divergente 
Na eletrostática o divergente é uma ferramenta muito poderosa e nos permite concluir se numa 
região do espaço existe fonte, ou sumidouro de carga, ou se não existe carga. Sendo TM� o campo 
elétrico: 
N ∙ TM� > 0 Fonte, carga positiva 
N ∙ TM� < 0 Sumidouro, carga negativa 
N ∙ TM� = 0 Não há cargas 
Esta relação entre cargas e o divergente é expressa pela equação de Poisson, também denominada 
de forma diferencia da Lei de Gauss. 
N ∙ TM� = WX� 
N. ∙ Y = Z[6 (Forma diferencia da Lei de Gauss) 
O divergente é uma ferramenta que se aplica nas mais diversas áreas da física. Como por exemplo 
citamos a aplicação em hidrostática. Para um fluido com velocidade �M� a expressão ∮ W	�M� ∙ 
� ��	 
será a quantidade de fluido por unidade de tempo que deixa o volume encerrado por S. 
Teorema da Divergência 
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Considere um volume dividido em pequenas células ∆Vi. 
 
Vamos supor que o mesmo seja limitado pela superfície S1. É evidente que 
\ 		� �� ∙ 
� ��
	]^
� � �� ∙ 
� ��
	
 
O sentido para fora de uma célula é o sentido para dentro da célula adjacente. Todos os termos do 
lado esquerdo se cancelam exceto na superfície. Se tomarmos um número de célula que tende ao 
infinito, cujo volume tende a zero. Temos 
∮ �� ∙ 
� ��	 � lim∆D]⟶� ∑ 		b �∆D] ∮ �� ∙ 
� ��	] c^ ∆�^ 
 
 
� �� ∙ 
�d��
d
	d
� � N ∙ ��d
D
�� 
Teorema da divergência 
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O divergente mede o fluxo gerado num ponto. E integrado do divergente ) N ∙ ��D �� é igual ao 
fluxo gerado no volume que deve ser igual ao fluxo que atravessa a superfície. 
Integrais de Linha 
A seguir apresentamos alguns exemplos de integrais de linha. São integrais onde o “espaço” de 
integração se dá ao longo de uma linha. 
� �� ∙ �O�e
f
 
� �� 		g 	�O�ef 
� h	�O�ef 
Resolvendo um exemplo. Calcule a integral de linha de um vetor força i� = #��̂ que atua numa 
partícula, enquanto se desloca numa trajetória circular de raio R, no plano xy, no primeiro 
quadrante, como demonstra o esquema. 
 
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j � � i� ∙ �O�ef 
Onde 
i� = #��̂ 
�O� = ���̂ + ���̂ 
j = � �#��̂� ∙ ����̂ + ���̂�k� =	� �#��̂� ∙ ����̂ + ���̂� =k� 	� #���k� 
j = #l.2 
Caso mais Geral de uma integral de linha. 
 A seguir será resolvido o caso geral de uma integral de linha com o objetivo de mostrar 
outra propriedade do calculo vetorial também de grande importância para o eletromagnetismo: o 
rotacional de um vetor. Para iniciar o cálculo considere um deslocamento infinitesimal no plano 
xy 
�� ∙ �O� = ���� + �!�� 
Assim para um caminho fechado no plano xy e para qualquer vetor �� a integral de linha do produto 
escalar �� ∙ �O� é dada por: 
��� ∙ �O� = ����� + ��!�� 
Vamos considerar o caminho infinitesimal em torno do ponto P(x,y,0) 
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Qual a integral ∮ ���� ? 
Para fazer esta integral vamos analisar cada segmento mostrado na figura. A integral fechada, em 
torno do ponto P, pode ser reescrita como a soma das integrais nos quatro segmentos lineares, de 4 a 
1, de 1 a 2, de 2 a 3 e de 3 a 4, da seguinte forma 
� ���� � ����
.
�
 � ����
n
.
� ����
o
n
 � ����
�
o
 
Nos segmentos verticais de 1 a 2 e de 3 a 4 as integral são nulas pois x é constante e não há variação 
de dx. Portanto resta analisar os segmentos horizontais que vai do ponto 4 ao ponto 1 temos: 
�� p�, � � ∆!. , �;, que é a projeçãodo vetor �� sobre o eixo x. Como estamos restritos ao plano xy 
temos que z= 0 e como estamos no segmento horizontal do ponto 4 ao ponto 1 temos que � � ∆!. é 
constante. Da mesma forma no segmento horizontal que vai do ponto 2 ao ponto 3, temos que a 
projeção do vetor �� é dada por �� p�, � ∆!. , �; . Onde pelas mesmas razões z=0 e � ∆!. é 
constante. Então reescrevendo, e usando uma aproximação linear, temos 
�� q�, � � ∆�2 r � �� �
s��s�
∆�
2 
e 
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�� q�, � + ∆�2 r � �� s��s� ∆�2 
para os segmento horizontais de 4 até 1 e de 2 até 3, respectivamente. E assim temos que no plano 
xy 
� �����! � q�� �
s��s�
∆�
2 r∆� � q�� 
s��s�
∆�
2 r∆� 
De onde obtemos 
� �����! � �
s��s� ∆�∆� 
O valor da integral ∮ �!�� pode se obtido de forma similar, resultando em 
� �!���! �
s�!s� ∆�∆� 
Logo a integral de linha de �� ∙ �O� no plano xy é 
∮ �� ∙ �O��! = pt9:t� −	t9ut! ;∆�∆� 
onde o ∆�∆� � ∆� e, para simplificar a analise vamos denominar o termo t9:t� �	t9ut� 
simplesmente de “coeficiente” C3. Fazendo a mesma coisa nos planos xz e yz, chega-se a resultados 
similares 
� �� ∙ �O��" = qs��s� −	s�"s� r∆� 
� �� ∙ �O�!" = <s�"s� −	s�!s� 4∆� 
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Para os planos xz e yz respectivamente. E redenominando as derivadas parciais podemos escrever: 
v. � pt9ut" � 	t9?t� ; e v� = pt9?t! −	t9:t� ;. Os coeficientes C1, C2 e C3 podem ser associados aos 
componentes de um vetor dado por v��̂ + v.�̂ + vn#$. Ou seja, o resultado da integral acima pode ser 
expressa como um vetor, que é denominado rotacional de ��. Desta forma o rotacional do vetor A, 
representado por N g	��, pode ser expresso como 
N g	�� 	= <s�"s� −	s�!s� 4 �̂ + qs��s� −	s�"s� r �̂ + <s�!s� −	s��s� 4#$.		 
ou 
N g	�� = xx
�̂ �̂ #$ss� ss� ss��� �! �"x
x
 
 
 O rotacional de um vetor representa o “giro” dos vetores numa região. Se o vetor velocidade 
de escoamento de liquido tiver um rotacional diferente de zero, significa que se colocar neste 
liquido uma roda de pás, ela girará e se o rotacional for zero, não girará. 
Exemplo. Calcule o rotacional para o vetor ��, num considerando a situação particular em que, 
��� = 	��	#y . Isto é, estamos olhando para um elemento de área que está no plano o xy. 
 
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Qual ∮ �� ∙ �O� a neste caso? Vamos começar pelo calculo do rotacional. 
N g	�� 	= pt9?t! −	t9:t" ; �̂ + pt9ut" −	t9?t� ; �̂ + pt9:t� −	t9ut! ; #$ .		onde os termos em � ̂e �̂ são zero pois z 
é constante, logo: 
N g	�� 	= pt9:t� −	t9ut! ; #$		 
Assim podemos fazer 
N g	�� ∙ d�� 	= pt9:t� −	t9ut! ; #$ ∙ ��� = pt9:t� −	t9ut! ;��, pois ��� = 	��	#y e está sobre k. Ou seja, foi 
o que calculamos anteriormente para o plano xy, no caso geral. Então 
N g	�� ∙ d�� 	= � �� ∙ �O��! 
Mas neste caso particular podemos reescrever como 
{N g	��	{d� = � �� ∙ �O��! 
Pois como propomos inicialmente d�� = ��#$, e, portanto, é só sobre k que se aplica o rotacional. E 
no limite em que da tende para zero (da→0), ou seja, a área tende para um ponto, o comprimento do 
contorno (S) desta área também tende para zero ( S →0) 
|N g	��}~€f‚	f
ဃf 	= lim	→�		 1* ��� ∙ �O� 
Daí, a componente do N g	�� na direção normal á uma superfície é igual ao limite da integral de 
linha do vetor �� ao longo do contorno S dividido pelo valor de S quando a área do contorno tender 
a zero. 
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 O rotacional de um campo vetorial (���„��), rot ���„�� ou |N g 		���„��	}, nos fornece como 
resultado um vetor cujas componentes x, y e z mede o resultado da circulação, no ponto em questão, 
desse campo vetorial por unidade de área, respectivamente, nos planos normais a esses 
componentes. 
Nas figuras abaixo, campos vetoriais cujo rotacional é zero 
 
E nas figuras a seguir mostram campos vetoriais que tem um rotacional diferente de zero na direção 
z, conforme pode ser visto pela regra da mão direita. 
 
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Teorema de Stokes (Caso particular do /Teorema de Green). É um teorema fundamental para o 
rotacional. 
� �� ∙ �O�
…
� � 	N g	�� ∙ d��
	
 
 
 O teorema de Stokes nos diz que a integral de linha do produto escalar de um vetor pelo 
deslocamento, num dado contorno, é igual a integral do rotacional sobre qualquer superfície 
delimitada por este contorno. 
Exercícios 
1. Calcule o gradiente da função	f = x � xy 3z. 
2. Faça o esboço de uma função escalar e indique vetor o seu gradiente. Dê um exemplo 
prático. 
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3. Demonstre o teorema da divergência. 
4. Faça um esboço de campos vetoriais que tenha divergente zero e diferente de zero. Cite 
exemplos. 
5. Faça o esboço de um campo vetorial que tenha rotacional diferente de zero. Discuta um 
exemplo. 
6. Encontre o divergente e o rotacional do vetor 
�� � ��. ����̂ ��. ����̂ ��. ���#$ 
7. Se „� for um vetor que vai desde a origem até o ponto (x,y,z), demonstre que 
∇ ∙ r� = 3 , ∇ g r� = 0 e �u� ∙ ∇�r� = u� 
8. Se „ for o modulo do vetor que vai desde a origem até o ponto (x,y,z) e f(r) for uma função 
arbitraria de r, prove que 
∇f�r� � „�„ df�„ 
9. . Prove que 
∇. FM��r� � „�„
dFM��r�
�„ 
10. Calcule o divergente de 
vM� � „̂„. 
11. Considerando a situação particular onde ��� � 	��	#y demonstre o teorema de Stookes. 
12. Calcule o rotacional para o vetor �� considerando a situação particular em que ��� � 	��	#y .