Eletromag Aula 3 2014

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Notas de aulas de eletromagnetismo 3a Aula- “Diferença de potencial “ 1 
Prof. Neri Alves 
 
Campos Eletrostáticos 
Eletromagnetismo 2013 
Neri Alves 
28/11/2014 - 3a Aula 
 
 Nós vivemos imersos em toda sorte de campos elétricos. O domínio dos 
conceitos de campo elétrico permitiu o desenvolvimento da tecnologia moderna. Os 
primeiros conceitos relativos aos fenômenos elétricos tem origem na Grécia antiga, e é 
apresentado aos estudantes desde as séries iniciais do ciclo secundário com o objetivo 
de dar uma formação básica em ciência. Estes conteúdos são repetidos no segundo grau, 
e nas disciplinas de formação básicas dos cursos superiores da área de exatas. Por esta 
razão, para alunos de áreas correlatas das ciências exatas parecem intuitivo conceitos 
como carga, força, campo e potencial elétricos. No entanto, mesmo nos cursos básicos 
de física ou engenharia não há ferramentas matemáticas para a expressão corretas das 
leis física da eletricidade e do magnetismo. Na disciplina de eletromagnetismo é a 
primeira vez que se faz a definição das leis com uso rigoroso e elegante das ferramentas 
matemáticas. 
 Entre a descoberta das cargas elétrica, na Grécia antiga, e as primeiras 
formulações matemáticas das leis da eletricidade e magnetismo decorreram mais de dois 
mil anos. Naquela época não se tinha o domínio dos fenômenos eletrostáticos e 
magnéticos e nem da metodologia para o estudo experimental; ainda não existia o 
método científico. Três eventos próximos entre os anos de 1879 e 1820 foram 
determinantes para a evolução do eletromagnetismo: a invenção da pilha, a experiência 
de Oersted e a descoberta da Lei de Coulomb. O primeiro, a invenção da pilha, foi que 
permitiu criar correntes elétricas constantes e duradouras e com isso foi possível 
correlacionar com a eletricidade com o magnetismo. Esta relação foi descoberta a 
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primeira vez por Oersted iniciando o eletromagnetismo. Já a lei de Coulomb estabelece 
a base fundamental de todo o eletromagnetismo, a constatação de que cargas elétricas se 
repelem ou atraem proporcionalmente ao módulo das cargas e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância entre elas. Pode-se afirmar que todo e qualquer 
efeito do eletromagnetismo tem origem nesta lei e por ela é governado. No entanto, para 
facilitar a descrição dos fenômenos outros conceitos são elaborados, como o de campo 
elétrico, o de potencial elétrico e também divisões são estabelecidas, como a 
eletrostática e a eletrodinâmica. Ressalte-se, a base de todo o eletromagnetismo e a lei 
de coulomb 
Lei de Coulomb 
 
F � ������� em módulo 
k � 	
πε� 
ε� � 8,85x10�	� �� 
F����→�� �
kq	q�
|r�	�|� 		r�	� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q	 
q� 
r�	�
r�	� F����	→	�� 
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		r�	� �? 
 
		r�	� � r�� r�	 
		r�	� � r�	�|r�	�| � 	
!r�� 	r�	"
|!r�� r�	"| 
Assim 
F����→�� �
1
4πε�
q	q�
|r�	�|$ 		r�	� 
 
Exemplo. 
Considere que uma carga q1=3x10-4C está no ponto M(1,2,3) e outra carga q2=-1x10-4C 
está no ponto N(2,0,5) no vácuo. Calcule a força exercida em q2 por q1. 
Resolução 
		r�	� � r�� r�	 
		r�	 � ı̂ ' 2ȷ̂ ' 3k+ 
		r�� � 2ı̂ ' 5k+ 
Logo 
		r�	� � !2 1"ı̂ ' !0 2"ȷ̂ ' !5 3"k+ 
		r�	� � ı̂ 2ȷ̂ ' 2k+ 
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		|r�	�| � ,!1� ' ! 2"� ' 2�"	= √1 ' 4 ' 4 � 3 
		r�	� � r�	�|r�	�| �
ı̂ 2ȷ̂ ' 2k+
3 � 	
1
3 .ı̂ 2ȷ̂ ' 2k+/ 
F����→�� �
1
4πε�
q	q�
|r�	�|� 		r�	� 
F����→�� �
1
4πε�
q	q�
3� 		
1
3 .ı̂ 2ȷ̂ ' 2k+/		 
F����→�� ≅ 9x102 ∙
3x10�
! 1"x10�
3� ∙ 		
1
3 .ı̂ 2ȷ̂ ' 2k+/		 
F����→�� ≅ 10.ı̂ 2ȷ̂ ' 2k+/		 
Sistema de cargas pontuais 
 
Descrevendo o sistema 
Carga Força Vetor distância Vetor unitário 
q	 F����→� 		R���	 � r� r�	 	R5	 � R
���	
6R���	6 
q� F����→� 		R���� � r� r�� 	R5�	 � R
����
6R����6 
q7 F���8→� 		R���7 � r� r�7 	R5 7 � R
���7
6R���76 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
q9 F���:→� 		R���9 � r� r�9 	R59 � R
���9
6R���96 
 
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F��� � F����→� ' F����→� ' F���8→� '⋯'	F���:→� 
F��� � <F����→� � <
1
4πε� q7q	
R5 7
6R���76�
9
7=	
9
7=	
 
F��� � q4πε� 	<q7 	
R5 7
6R���76�
9
7=	
 
Ou 
F��� � �
πε� 	∑ q7 	
?���8
6?���86@
97=	 onde R5 7 � ?���86?���86 
 
Distribuição de Cargas 
 
dF��B�′→� � 14πε�
qdq′
6R���6�
	R5	 
F��� � CdF��B�′→� 
F��� � q4πε�C
dq′
6R���6�
	R5	 
 
Distribuição no volume 
Seja 
ρ � lim∆H→� ∆�∆H ρ Ir′���J �
B�′
BH′ 
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dq′ � ρ Ir′���J dV′ 
Lembre que estamos escrevendo a equação para o ponto definido por r′���. 
Então 
F��� � q4πε�C
ρ.r′���/dV′	
6R���6�
	R5
H
 
 
Distribuição Superficial 
σ � lim∆L→�
∆q
∆A 	� 	
dq
dA 
 
σ Ir′���J � 	 dq′dA′ 
dq′ � 	σ Ir′���J dA′ 
 
F��� � q4πε�C
σ Ir′���J dA′	
6R���6�
	R5
L
 
 
Distribuição Linear 
σ � lim∆N→�
∆q
∆l 	� 	
dq
dl 
λ Ir′���J � dq′dl′ 
dq′ � 	λ Ir′���J dl′ 
F��� � q4πε�C λ Ir
′���J dl′	
6R���6�
	R5
P
 
Se todas as possibilidades estão presentes 
 
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F��� � F���	BQR	SQ�TQR
UV9WXQ7R
' F���	BQ	B7RW�7YX7çãV
N79ZQ�	BZ	SQ�TQR
' F�� �	BQ	B7RW�7YX7çãV	
RXUZ�[7S7QN	BZ	SQ�TQR
' F�� �	BQ	B7RW�7YX7çãV
\VNX�éW�7SQ	BZ	SQ�TQR
 
Campo Elétrico 
 
E���!r�" � lim�→�
F���
q 	 
Para uma distribuição de n cargas pontuais 
E���!r�" � 14πε� 	<q7 	
R5 7
6R���76�
9
7=	
 
Para uma distribuição linear de cargas, contínua. 
 
E���!r�" � 14πε�C λIr
′���J dl′
6R���6�
	
P
R5	 
Para uma distribuição superficial contínua de cargas, 
E���!r�" � 14πε�C
σ Ir′���J dA′	
6R���6�
	R5
L
 
 
Para uma distribuição volumétrica contínua de cargas, 
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E���!r�" = 14πε�C
ρ Ir′���J dV′	
6R���6� 	R5H 
Principio da superposição 
Cada carga produz no ponto P o seu próprio campo e o campo resultante é 
simplesmente a soma vetorial de todos E��� individuais. 
E��� = E���	 + E���� + E���$ +⋯+ E���7 +⋯+	E���9 
 
Linhas de força (Michael Faraday – 1791 -1867) 
Linha curva imaginária traçada de tal forma que sua direção e sentido em qualquer 
ponto sejam os mesmo do campo elétrico naquele ponto. 
 
Potencial Elétrico 
Primeiramente vamos reescrever o modulo do vetor R��� usado anteriormente. 
r� = x	ı̂ + y	ȷ̂ + z	k+ 
r′��� = x′	ı̂ + y′	ȷ̂ + z′	k+ 
R��� = r� − r′��� 
então 
R = 6R���6 = `!x − x′"� + !y − y′"� + !z − z′"�a	� 
Assim podemos provar que 
∇6R���6 = ?���6?���6 = R5 
e que 
∇ 16R���6 = − R56R���6� 
 
Usando notação simplificada. 
∇	R = R���R = R5 
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∇ 1R = − R5R� 
Considere que 
∇!u + v" = ∇u + ∇v 
Seja 
E���!r�" = 14πε� 	<q7 	 R5 76R���76�
9
7=	 
Então 
E���!r�" = − 14πε� 	<q7	∇ e 16R���76f
9
7=	 
E���!r�" = −∇ g 14πε� 	<e q	76R���76f
9
7=	 h 
Onde 
6R���76 = |r� − r�7| 
 
Fazendo 
φ!r�" = 14πε� 	< 	e q76R���76f
9
7=	 
Temos 
E���!r�" = −∇φ!r�" 
Então 
∇ × E��� = 0∇ × ∇k = 0 
Se o rotacional de um vetor se anula o vetor pode ser 
expresso como a gradiente de um escalar. 
Se ∇ × A��� = 0 A��� = ∇k 
e 
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Mas se 
 
∇ × E��� = 0 
 
l E��� ∙ dm� =n 0 
 
 
 
 
 
 
Como consequência do teorema de Stokes temos que o campo elétrico é conservativo. 
Vamos mostrar que 
∇ × E��� = 0 
Seja o campo produzido por uma distribuição volumétrica de cargas num ponto P fora 
do volume. 
E���!r�" = 14πε�C ρ Ir′���J R56R���6�	H 	dV′ 
É conveniente reescrever a expressão como 
E��� Ir′���J = 14πε�C ρ Ir′���J .r� − r′���/6.r� − r′���/6$	H 	dV′ 
Onde 
R5 = R���6R���6 = .r� − r′���/6.r� − r′���/6 
 
Assim 
l A��� ∙ dm� =⬚n C ∇ ×
⬚
p
A��� ∙ q�rs 
Pois o teorema de Stokes diz que 
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∇ × E��� Ir′���J = 14πε� ∇ × tC ρ Ir′���J .r� − r′���/6.r� − r′���/6$	H 	dV′u 
 
A aplicação do rotacional implica na diferenciação no ponto dado pelo vetor r�. Então, 
basta provar que ∇ × .�����′���/6.�����′���/6@ = 0. Veja que nesta expressão o numerador é um vetor e 
mas p denominador não é vetor. 
Lembrando que 
 
 
 
∇ × .r� − r′���/6.r� − r′���/6$ = t∇v 16.r� − r′���/6$wu × .r� − r′���/ + 16.r� − r′���/6$ 	x∇ × .r� − r′���/y 
Primeira parte 
∇ × Ir� − r′���J = 0 ∇ × r� = 0 e como r� e 	r′��� são independentes ∇ × Ir� − r′���J = 0 
 
 
Segunda parte 
 
t∇v 16.r� − r′���/6$wu × .r� − r′���/ =? 
 
 
∇ g 16.r� − r′���/6$h =? 
 
∇ × .kA���/ = !∇k" × A��� + k.∇ × A���/	 
Inserção 
 
 
Fim da inserção 
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Lembrem-se que está é uma função que só depende da distância r� = |r�| = 		 r�	� =`x − y + za�� e para uma função que só depende da posição temos 
∇k!z" = ẑ 	rk!z"rz 
Então 
∇ g 16.r� − r′���/6$h =
.r� − r′���/6.r� − r′���/6 36.r� − r′���/6
 =
3.r� − r′���/
6.r� − r′���/6{ 
 
Mas queremos 
|∇ e 	6.�����′���/6@f} × .r� − r′���/ = $.�����′���/6.�����′���/6~ × .r� − r′���/	= 0 
Esta expressão é igual a zero, pois 3.r� − r′���/	e .r� − r′���/ são vetores paralelos. 
Finalmente mostramos que ∇ × .�����′���/6.�����′���/6@ = 0 e consequentemente 
 
 
 
Uma vez que todas as distribuições de campo apresenta uma dependência semelhante, 
com o termo 
.�����′���/6.�����′���/6@ podeos generalizar e considerar que ∇ × E��� = 0 em qualquer 
condição. 
Então pode categoricamente afirmar que 
E���!r�" = −∇φ!r�" onde φ é o potencial elétrico 
 
O potencial gerado por uma carga pontual Q. 
φ!r�" = 14πε� 	QR 
onde 
R = 6R���6 = 6.r� − r′���/6 
∇ × E��� = 0 
Primeira lei de Maxwel da eletrostática 
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E���!r�" � bφ!r�" 
E���!r�" � b€ 14πε� 	
Q
R 
E���!r�" � 14πε� Qb€	
1
R 
 
b €	1R � 
R5
R� � 
R���
6R���6$
	 
 
E���!r�" � 14πε� Q
R���
6R���6$
 
Que é o campo de uma carga pontual. 
 
Exercícios 
1) Ache a força F�� entre duas cargas q e Q =1C separadas por r=1m. Discuta 
apropriadamente sobre o valor encontrado. 
2) Duas pequenas esferas condutoras, idênticas possuem cargas de 2,0 x 10-9C e -
0,5x10-9C respectivamente. Quando estiverem separadas por 4cm, qual será a 
força entre elas? Se forem postas em contato e então separadas por 4 cm, qual será 
a força entre elas? 
3) Suponha que há três cargas localizadas como descrito a seguir: uma carga de 1µC 
que está localizada na origem; uma carga -2 µC que está localizada no eixo dos x 
em x=4cm e uma carga de 3 µC localizada no eixo dos y em y=5cm. A) Ache a 
força na carga de 3 µC; b) Ache o campo na posição onde está localizada a carga 
de 3µC. 
4) Duas partículas, cada uma de massa m e com carga q, estão suspensas de um 
ponto comum, por cordas de comprimento l. Determine o ângulo θ que a corda 
forma com a vertical. 
5) (a)Ache o campo elétrico (magnitude e direção) 
a uma distância z, acima do ponto médio entre 
duas cargas iguais, conforme mostra a figura. 
Confira se os resultados levam ao valor esperado 
quando z>>d. (b) Ache o campo elétrico a uma 
distância z, acima do ponto médio entre duas 
cargas iguais, considerando agora que a carga q 
do lado direito foi trocada por uma carga –q. 
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6) Cargas pontuais de 3x10-9C estão situadas em três vértices de um quadrado de 
15 cm de lado. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no 
vértice vazio do quadrado. 
7) Mostre que ∇6R���6 = ?���6?���6 = R5 . 
8) Mostre que ∇ 	6?���6 = − ?56?���6�. 
9) Mostre que dr
)r(Fd
r
r)r(F
rr
r
•=•∇
. 
10) É dada uma linha de carga infinitamente longa, com densidade uniforme de carga 
λ por unidade de comprimento. Por integração direta, determine o campo elétrico 
a uma distância r da linha. 
11) Uma linha de carga com densidade uniforme de carga λ por unidade de 
comprimento se estende ao longo do eixo dos x positivos. Por integração direta, 
determine o campo elétrico a numa posição a no eixo positivo. 
12) O campo elétrico, )r(E
rr
, de uma distribuição de carga )'r(
rρ
, é proporcional a 
'dv
'rr
)'rr)('r(
V
∫
−
−
3rr
rrrρ
. Usando a(s) relação(ões) adequada(s) de operadores 
demonstrar que 0=×∇ E
r
, onde V é o volume ocupado pelas cargas. 
13) Uma linha de carga de densidade linear de carga, constante, λ, (coulombs/metros) 
se estende ao longo do eixo dos y de 0 até L. Ache o campo na posição ao longo 
do eixo de x positivo. 
14) Uma linha semi-infinita com densidade linear de carga λ se estende ao longo do 
eixo y positivo. Ache o campo elétrico na posição ao longo do eixo x. 
15) Repita o calculo do problema anterior para o caso em que a linha de carga se 
estende de -∞ até +∞ no eixo y.