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Eletromag Aula 7 2015

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Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 1 
Prof. Neri Alves 
 
Eletromagnetismo 2015 
Neri Alves 
06/11/2015 - 7a Aula 
Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos 
 
Mostramos que 
∮ ���⃗ ∙ n�� dA = Q onde �
��⃗ = ��E��⃗ + P��⃗ , mas podemos escrever que Q = ∮ ρdV� Onde há uma 
distribuição volumétirca de carga num volume V. Assim temos que: 
� ���⃗ ∙ n�
�
 dA = � ρdV
�
 
Mas pelo teorema da divergência 
 
� ���⃗ ∙ n�
�
 dA = � ∇ ∙ D��⃗ dV
�
 
Então 
� ∇ ∙ D��⃗ dV = � ρdV
��
 
Ou seja 
 
∇ ∙ D��⃗ = ρ 
Esta é a forma diferencial da Lei de Gauss generalizada (Condutor e dielétricos). 
 
Relação entre ��⃗ e ���⃗ 
 Num meio dielétrico ��⃗ → ���⃗ e quando se aplica E��⃗ induz P��⃗ . Qual a relação entre eles? 
Para um material isotrópico, Vamos admitir que há uma relação linear entre ���⃗ e ��⃗ para baixo 
campos que pode ser escrita como. 
���⃗ ���⃗ � = ����⃗ ���⃗ 
Esta é a relação constitutiva quando o meio é linear (Relação obtida da observação experimental), 
sendo ����⃗ � a denominada suscetibilidade elétrica. 
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Como ���⃗ = ��E��⃗ + P��⃗ então podemos escrever ���⃗ = ��E��⃗ + χE��⃗ ou ���⃗ = (�� + χ)E��⃗ 
Definido 
�� + χ ≡ ε 
Sendo ε a permissividade elétrica do material. Então ���⃗ = εE��⃗ . Quando χ e ε dependem do campo 
temo um meio não linear, cuja abordagem foge ao alcance deste curso. 
 
Mostramos que 
���⃗ = εE��⃗ 
Mas ε também pode ser definido com 
ε = k�� sendo k a constante dielétrica relativa do meio. 
Mas acabamos de ver que 
ε = �� + χ 
Então podemos escrever que 
ε
ε�
=
ε�
ε�
+ 
χ
ε�
 
 
k = 1 + 
χ
ε�
 
 
 
Onde k>1Vacuo k=1 
Ar k=1,00099 
Água k =80,1 
 
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Carga Pontual num dielétrico 
 
Lei de Gauss 
� ���⃗ ∙ n�
�
 dA = q 
Se a carga é pontua a simetria é esférica e então podemos escrever que o vetor deslocamento é dado 
por: 
���⃗ = D r� onde n� = r� de forma que ∮ ���⃗ ∙ n�
�
 dA = ∮ D
�
 dA e considerando uma esfera, temos raio r 
constante e assim na superfície da esfera tem-se D =Cte. Ressalta-se que ���⃗ tem a mesma simetria de E��⃗ 
, pois ���⃗ = εE��⃗ . Daí pode-se escrever 
� ���⃗ ∙ n�
�
 dA = D � dA
�
 
Então 
D =
�
����
 e o vetor ���⃗ =
�
����
r� 
 
Mas 
���⃗ = εE��⃗ = kε�E��⃗ ou E��⃗ =
�
���
���⃗ 
Então 
E��⃗ =
1
k
1
ε�
q
4πr�
r� 
Sabendo que E��⃗ no vácuo é dado por E��⃗ ����� =
�
��
�
����
r� temos que E��⃗ =
�
�
E��⃗ ����� . Portanto o meio 
dielétrico“enfraquece” o campo pelo fator k (constante dielétrica). 
Calculo da polarização P��⃗ 
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P��⃗ = χE��⃗ 
P��⃗ = χ
1
k
1
ε�
q
4πr�
r� 
 
Onde 
 
χ
ε� 
 = k − 1 
E 
P��⃗ =
k − 1
k
q
4πr�
r� 
Porque o campo é menor? 
Há duas contribuições para a carga de polarização. 
σ� = P��⃗ ∙ n� 
ρ� = − ∇
� ∙ P��⃗ 
 
 
 
Tomando somente a dependência em r tempos 
∇ ∙ P��⃗ =
1
��
�
��
(����)̂ 
 
∇ ∙ P��⃗ =
1
��
�
��
���
k − 1
k
q
4πr�
� = 0 
Então ρ� = 0 
σ� está na superfície de contato com a carga (única superfície). 
Se n� = − r� temos que 
σ� = − P. assim a carga é envolvida por uma distribuição de cara com densidade carga –P. O que 
provoca a diminuição do campo no meio dielétrico. 
∇ ∙ A��⃗ =
1
��
�
��
(����)̂+
1
�����
�
��
��������� +
1
�����
����
��
 
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Condições de contorno sobe os vetores Campo elétrico ( ��⃗ ) e deslocamento 
eléerrico e (���⃗ ) na interface entre dois meios. 
 
 
No meios 1 e 2 podem existir cargas reais volumétricas. Na interface existe uma densidade 
superficial de carga σ. 
 
No desenho fazemos ℎ → 0 para garantir que estamos na superfície. 
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�� → 0 (area lateral ≅ 0) não contribuirá para o fluxo. 
O elemento de área ∆� deve ser pequeno o suficiente para que a superfície seja considerada plana. 
Assim a carga dentro da superfície gaussiana é dada por: 
� = �∆� 
� ���⃗ ∙ n�
�
 dA = q = �∆� 
� ���⃗ ∙ n�
�
 dA = � ���⃗ � ∙ n��da
��
+ � ���⃗ � ∙ n��da
��
 
= ���⃗ � ∙ n�� � da
��
+ ���⃗ � ∙ n�� � da
��
 
= ����⃗ � ∙ n�� + ���⃗ � ∙ n���� da
��
 
Onde consideramos a área S1= a área S2 cuja integra é o elemento de área ∆� e 
n�� = − n�� 
= ����⃗ � ∙ (− n��) + ���⃗ � ∙ n���∆� 
� ���⃗ ∙ n�
�
 dA = ����⃗ � + ���⃗ ��∙ n��∆� = �∆� 
Ou 
����⃗ � + ���⃗ ��∙ n�� = � 
Então 
[�� ������ + �� ����� ]= � 
O deslocamento elétrico (componente normal) é descontinuo na interface com carga 
superficial �. 
Vamos analisar a continuidade do campo ���⃗ 
 
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No contorno definido 
� ��⃗ ∙ d�⃗= 0 
Se ℎ → 0 
� ��⃗ ∙ d�⃗= � ��⃗ � ∙ d�⃗�
��
+ � ��⃗ � ∙ d�⃗�
��
 
= ��⃗ � ∙ ∆l− ��⃗ � ∙ ∆�⃗= 0 
= ���⃗ � − ��⃗ �� ∙ ∆�⃗= 0 
Como ��⃗ ∙ ∆�⃗ é a projeção de ��⃗ de na direção de ∙ ∆�⃗ então 
 
�� ���������� = �� ���������� 
Conclusão: Os campos tangenciais são com 
 
Energia Eletrostática 
 
 
 
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�� = � �⃗
�
�
∙ ��⃗= � � ��⃗ ∙ �
�
�
��⃗ 
Sendo 
��⃗ = − ∇� 
�� = � � (− ∇�)∙ ��⃗
�
�
= − � � �� ∙ ��⃗= − �(�� − ��
�
�
 
 
Deve-se lembrar que 
∇� = �̂
��
��
+ �̂
��
��
+ ��
��
��
 
��⃗= ����̂+ ���̂+ ����� 
assim 
∇� ∙ ��⃗= ��̂
��
��
+ �̂
��
��
+ ��
��
��
� ∙ ����̂+ ���̂+ ����� 
Logo 
��
��
�� +
��
��
�� +
��
��
�� = �� 
 
Qual energia é armazenada quando coloca-se várias cargas juntas. Suponha que inicialmente nõa há 
carga numa dada região do espaço. O trabalho para trazer a primeira carga com velocidade constate é 
nulo, pois não há outras cargas para interagir (não existe campo elétrico). 
1) �� = 0 
2) O trabalho da força 
externa para trazer a carga q2 do infinito até a distância �⃗��é 
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�� = ���� 
Onde �� é o potencial da carga �� na posição em que foi colocada a carga �� que é escrito 
como 
�� =
��
4������
 
�� =
1
4���
����
���
 
 
3) Para trazer a terceira carga até �⃗�� o trabalho 
�� = ��(�� + ��) 
�� =
��
4���
�
��
���
+
��
���
� 
 
 
4) E para trazer a quarta carga 
�� = ��(�� + �� + ��) 
�� =
��
4���
�
��
���
+
��
���
+
��
���
� 
 
... e assim por diante. 
 
Organizando 
 
�� = 0 
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�� =
1
4���
����
���
 
�� =
��
4���
�
��
���
+
��
���
� 
�� =
��
4���
�
��
���
+
��
���
+
�����
� 
 
 
Ou ainda 
�� = 0 
�� =
��
4���
��
���
 
�� =
��
4���
�
��
���
�
���
 
�� =
��
4���
�
��
���
�
���
 
 
E para a enésima carga temos 
�� =
��
4���
�
��
���
���
���
 
Então qual o trabalho pra juntar m cargas° 
Será a somatória dos trabalhos para trazer cada carga. 
������ = � ��
�
���
 
Ou seja 
������ = 0 +
���
4���
�
��
���
�
���
+
��
4���
�
��
���
�
���
+
��
4���
�
��
���
�
���
+ ⋯ . . +
��
4���
�
��
���
���
���
 
Então 
������ = � ��
��
4���
��
���
���
���
�
�
���
 
Então 
������ = � �
���
���
�
���
 
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O que pode ser escrito como 
� =
1
2
� � ���
�
���
�
���
 
Pois 
��� = 0 ou ��� = 0 e ��� = ��� 
De outra forma 
������ = �� + �� + �� + �� + ⋯ … … … … . . + �� 
������ = 
��
4���
� 0 + 
��
���
 + 
��
���
 + 
��
���
 + ⋯ … … … . +
��
���
� 
 = 
��
4���
� 0 + 0 + 
��
���
 + 
��
���
 + ⋯ … … … . +
��
���
� 
 = 
��
4���
� 0 + 0 + 0 + 
��
���
 + ⋯ … … … . +
��
���
� 
 = 
��
4���
� 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ … … … . +
��
���
� 
................................................................................................................................................... 
.................................................................................................................................................. 
 = 
��
4���
[ 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ … … … . + 0] 
 
� =
1
2
� � ���
�
���
�
���
 
 
Onde 
��� = 
��
4���
��
���
 
Logo 
� =
1
2
� �
��
4���
��
���
�
���
�
���
 
Onde 
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�� = �
��
4���
��
���
�
���
 
E assim 
� =
1
2
� ��
�
���
�� 
O cálculo foi feito para uma distribuição de cargas pontuais. Para uma distribuição contínua, temos 
os elementos de volume que possuem carga ∆�� = �∆�� e de superfície ∆�� = �∆�� 
 
 
� ≅
1
2
� ∆����
�
 
� ≅
1
2
�� �∆��
���
�
+ � �∆��
���
�
� 
No limite quando∆�� → 0 e ∆�� → 0 temos 
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� ≅ lim
∆�� → � 
1
2
� �∆��
���
�
+ lim
∆�� → � 
1
2
� �∆��
���
�
 
 
� =
1
2
� �����
�
+
1
2
� �����
�
 
Ou melhor 
 
� =
1
2
� �(�⃗)�(�⃗)���
�
+
1
2
� �(�⃗)�(�⃗)���
�
 
Onde V é o volume ocupado pelas cargas volumétricas, S é a superfície em que há cargas de 
superfícies (Ex. Sup dos condutores) e � é o potencial das cargas. Deve ser conhecido o potenciala 
no espaço onde as cargas estão distribuídas. A integral não necessita ser restrita ao espaço das cargas 
pois fora dela a distribuição de � e de � são nulas. 
 
Exemplos 
1) Calcule a energia num condutor carregado com uma carga QC. 
 
 
� =
1
2
� �����
�
+
1
2
� �����
�
 
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A primeira integral é nula, e a superfície do condutor é uma equipontencial de valor�� Então 
� =
1
2
� � ����
�
 
Onde ∫ ����
�
= �� e então, 
 
� =
1
2
���� 
2) Calcule a energia potencial de uma casca esférica carregada com densidade superficial �. 
 
Como se trata de uma casca esférica, não tem cargas distribuídas no volume, logo 
� =
1
2
� � ����
�
 
Primeiro vamos calcular ��⃗ fora da esfera. 
 
� ��⃗ ∙ ���� =
�
��
 
4���� =
�
��
 
Mas 
� =
�
4���
 
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Logo 
4���� =
�4���
��
 
Ou seja 
� =
�
��
��
��
 
Esta é a relação para o módulo, como a simetria é radial e o campo é radial, temos que o vetor campo 
elétrico é dado por 
��⃗ (�⃗) =
�
��
��
��
� ̂
Esta solução vale para r>R, ou seja, fora da esfera. 
��⃗ ���� = − ∇����� 
�
��
��
��
� =̂ −
��
��
� ̂
 
����� =
�
��
��
�
+ � 
Se ��→ � = 0 então a constante C=0 
Logo 
����� =
���
��
1
�
 
Agora vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera. 
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� ��⃗ ∙ ���� = 0 
��⃗ = 0 e portanto temos que ��⃗ = ��������� Na superfície ����������� = �(� = �)=
��
��
, pois r=R 
e na casca �(�)���� = �(�)������. Ou seja o potencial é continuo na casca. Portanto o potencial 
dentro da esfera é constante é vale 
������� =
��
��
 
Agora podemos calcular a energia potencial 
� =
1
2
� �
��
��
���
�
= 
1
2
��
�
��
� ���
�
 
� = 
1
2
��
�
��
4��� 
 
Finalmente; 
� = 
2�����
��
 
 
 
Densidade de energia no Campo Elétrico 
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Vamos apresentar uma forma alternativa de avaliar a energia potencial elétrica em termo de ��⃗ e ���⃗ . 
Na figura mostram-se três condutores imersos num dielétrico 
 
Como ∇ ∙ ���⃗ = � temos que ���⃗ ∙ �� = �, pois num condutor temos que ����⃗ � − ���⃗ �� ∙ �� = �, mas ���⃗ � = 0 
 
� =
1
2
� �����
�
+
1
2
� �����
�
 
Onde a primeira integral é no volume externo aos condutores onde ∇ ∙ ���⃗ ≠ 0. Esta integral engloba 
todas as distribuições. A segunda integral é na superfice dos condutores. 
� =
1
2
� �∇ ∙ ���⃗ ���
�
+
1
2
� ����⃗ ∙ �����
�
 
Usando 
∇ ∙ �����⃗ � = �∇ ∙ ���⃗ + ���⃗ ∙ ∇� 
Ou 
�∇ ∙ ���⃗ = ∇ ∙ �����⃗ � − ���⃗ ∙ ∇� 
� =
1
2
� ∇ ∙ (����⃗ )���
�
−
1
2
� ���⃗ ∙ ∇� ���
�
+ 
1
2
� ����⃗ ∙ �����
�
 
Mas ��⃗ = − ∇� e usando o teorema da divergência temos 
� ∇ ∙ (����⃗ )���
�
= � ����⃗ ∙ �����
�
 
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� =
1
2
� ����⃗ ∙ �����
����
−
1
2
� ���⃗ ∙ ��⃗ ���
�
+ 
1
2
� ����⃗ ∙ �����
�
 
Onde S é a superfície dos condutores e S’ é a superfície que define o volume V’. 
� =
1
2
� ����⃗ ∙ �����
�
+ � ����⃗ ∙ �����
��
−
1
2
� ���⃗ ∙ ��⃗ ���
�
+ 
1
2
� ����⃗ ∙ �����
�
 
Observe que a primeira integral é sobre as superfícies dos condutores e sobre S’. Na Primeira integral 
�� é saindo do volume V’. Isto é, é para dentro do condutor e na última �� é saindo do condutor. Então 
a primeira e a ultima integral se cancelam. 
� =
1
2
� ����⃗ ∙ �����
��
−
1
2
� ���⃗ ∙ ��⃗ ���
�
 
Na primeira integral, em S’, temos que � ∝
�
�
 e � ∝
�
��
, assim �� ∝
�
��
, mas o elementode área 
�� ∝ ��. Portanto o integrando é proporcional a 
�
�
. Assim, se a superfície S’ se deslocar para o 
infinito, a contribuição da integral sobre S’ vai para zero, pois o Integrando tende a um valou nulo no 
infinito. Daíi: 
� =
1
2
� ���⃗ ∙ ��⃗ ���
�
 
Onde V é o volume que se estende até o infinito. 
 
Seja � =
�
�
���⃗ ∙ ��⃗ 
 
Então 
� =
1
2
� � ���
�
 
Se ���⃗ = ���⃗ , então 
� =
1
2
��� =
1
2
��
�
 
 
Exemplo 
Energia numa casca esfercia com densidade de cargas �. 
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Vimos que ��⃗ ������ = 0 e ��⃗���� =
���
��
�
�
� ̂e no vácuo ���⃗ = ����⃗ 
� =
��
�
∫ �� ��� =
��
�
∫ �
���
��
�
�
�
�
 ��� =
��
�
∫
����
��
�
�
��
 4������
���
 a integral é em todo o volume, mas 
dentro da casca ��⃗ = 0, logo 
� =
2�����
��
 �
1
∞
−
1
�
� 
� =
2���
��
 �� 
 
 
Exercício. 
 
1. Sejam dois meios dielétricos de constantes dielétricas 1 e 
2 e a interface deles possui uma densidade superficial de 
cargas  (veja a figura). Usando a lei de Gauss em meios 
dielétricos mostre que a vale a condição de contorno:
  nn EE 1122 onde o índice n representa a 
componente normal do elétrico campo na interface. 
2. Sejam dois meios dielétricos de constantes dielétricas 1 e 2 em que a interface deles possui uma 
densidade superficial de cargas . Usando a lei de Gauss em meios dielétricos mostre que vale a 
condição de contorno:   nn DD 1122 onde o índice n representa a componente normal do elétrico 
campo na interface. Ou seja mostre que componente normal do vetro deslocamento elétrico ���⃗ é 
descontinua na interface. 
3. Mostre que o campo elétrico tangencial é contínuo através da interface entre dois meios dielétricos. 
4. Dada uma distribuição de carga esférica de raio R, com uma densidade de carga constante 0 , 
determine a auto-energia dessa distribuição usando a integral:  dvEU
2
0
2
1
 e mostre que seu 
valor é 
0
52
0
15
4

 R
U  . 
5. Dada uma casca esférica de carga, de raio R, com densidade de carga superficial uniforme σo, 
determine a energia potencial da distribuição distribuição. Sugestão faça a integração da 
expressão 
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 
V S
darrdvrrU )()(
2
1
)()(
2
1 

 
avalie )(r

 , calcule a densidade de carga σ na superfície da esfera e considere o potencial
)(r

 adequadamente fora e dentro da esfera. 
6. Dada uma casca esférica de carga, de raio R, com densidade de carga superficial uniforme . 
Determine a energia dessa distribuição de cargas (auto energia) usando a integral  V dvEU
20
2

. 
7. Demonstre a Lei de Gauss para dielétrico a forma diferencial. 
8. Mostre a relação entre a susceptibilidade (�) e a constante dielétrica relativa (�). 
9. Calcule o deslocamento elétrico e o campo elétrico para uma carga pontual em um meio dielétrico. 
Compare com o campo produzido por uma carga pontual no vácuo. 
10. Por que o campo elétrico em meio dielétrico é reduzido em (1/�) quando comparado ao campo 
elétrico no vácuo? Demonstre utilizando as densidades superficial e volumétrica de carga de 
polarização.

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