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Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 1 Prof. Neri Alves Eletromagnetismo 2015 Neri Alves 06/11/2015 - 7a Aula Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos Mostramos que ∮ ���⃗ ∙ n�� dA = Q onde � ��⃗ = ��E��⃗ + P��⃗ , mas podemos escrever que Q = ∮ ρdV� Onde há uma distribuição volumétirca de carga num volume V. Assim temos que: � ���⃗ ∙ n� � dA = � ρdV � Mas pelo teorema da divergência � ���⃗ ∙ n� � dA = � ∇ ∙ D��⃗ dV � Então � ∇ ∙ D��⃗ dV = � ρdV �� Ou seja ∇ ∙ D��⃗ = ρ Esta é a forma diferencial da Lei de Gauss generalizada (Condutor e dielétricos). Relação entre ��⃗ e ���⃗ Num meio dielétrico ��⃗ → ���⃗ e quando se aplica E��⃗ induz P��⃗ . Qual a relação entre eles? Para um material isotrópico, Vamos admitir que há uma relação linear entre ���⃗ e ��⃗ para baixo campos que pode ser escrita como. ���⃗ ���⃗ � = ����⃗ ���⃗ Esta é a relação constitutiva quando o meio é linear (Relação obtida da observação experimental), sendo ����⃗ � a denominada suscetibilidade elétrica. Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 2 Prof. Neri Alves Como ���⃗ = ��E��⃗ + P��⃗ então podemos escrever ���⃗ = ��E��⃗ + χE��⃗ ou ���⃗ = (�� + χ)E��⃗ Definido �� + χ ≡ ε Sendo ε a permissividade elétrica do material. Então ���⃗ = εE��⃗ . Quando χ e ε dependem do campo temo um meio não linear, cuja abordagem foge ao alcance deste curso. Mostramos que ���⃗ = εE��⃗ Mas ε também pode ser definido com ε = k�� sendo k a constante dielétrica relativa do meio. Mas acabamos de ver que ε = �� + χ Então podemos escrever que ε ε� = ε� ε� + χ ε� k = 1 + χ ε� Onde k>1Vacuo k=1 Ar k=1,00099 Água k =80,1 Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 3 Prof. Neri Alves Carga Pontual num dielétrico Lei de Gauss � ���⃗ ∙ n� � dA = q Se a carga é pontua a simetria é esférica e então podemos escrever que o vetor deslocamento é dado por: ���⃗ = D r� onde n� = r� de forma que ∮ ���⃗ ∙ n� � dA = ∮ D � dA e considerando uma esfera, temos raio r constante e assim na superfície da esfera tem-se D =Cte. Ressalta-se que ���⃗ tem a mesma simetria de E��⃗ , pois ���⃗ = εE��⃗ . Daí pode-se escrever � ���⃗ ∙ n� � dA = D � dA � Então D = � ���� e o vetor ���⃗ = � ���� r� Mas ���⃗ = εE��⃗ = kε�E��⃗ ou E��⃗ = � ��� ���⃗ Então E��⃗ = 1 k 1 ε� q 4πr� r� Sabendo que E��⃗ no vácuo é dado por E��⃗ ����� = � �� � ���� r� temos que E��⃗ = � � E��⃗ ����� . Portanto o meio dielétrico“enfraquece” o campo pelo fator k (constante dielétrica). Calculo da polarização P��⃗ Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 4 Prof. Neri Alves P��⃗ = χE��⃗ P��⃗ = χ 1 k 1 ε� q 4πr� r� Onde χ ε� = k − 1 E P��⃗ = k − 1 k q 4πr� r� Porque o campo é menor? Há duas contribuições para a carga de polarização. σ� = P��⃗ ∙ n� ρ� = − ∇ � ∙ P��⃗ Tomando somente a dependência em r tempos ∇ ∙ P��⃗ = 1 �� � �� (����)̂ ∇ ∙ P��⃗ = 1 �� � �� ��� k − 1 k q 4πr� � = 0 Então ρ� = 0 σ� está na superfície de contato com a carga (única superfície). Se n� = − r� temos que σ� = − P. assim a carga é envolvida por uma distribuição de cara com densidade carga –P. O que provoca a diminuição do campo no meio dielétrico. ∇ ∙ A��⃗ = 1 �� � �� (����)̂+ 1 ����� � �� ��������� + 1 ����� ���� �� Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 5 Prof. Neri Alves Condições de contorno sobe os vetores Campo elétrico ( ��⃗ ) e deslocamento eléerrico e (���⃗ ) na interface entre dois meios. No meios 1 e 2 podem existir cargas reais volumétricas. Na interface existe uma densidade superficial de carga σ. No desenho fazemos ℎ → 0 para garantir que estamos na superfície. Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 6 Prof. Neri Alves �� → 0 (area lateral ≅ 0) não contribuirá para o fluxo. O elemento de área ∆� deve ser pequeno o suficiente para que a superfície seja considerada plana. Assim a carga dentro da superfície gaussiana é dada por: � = �∆� � ���⃗ ∙ n� � dA = q = �∆� � ���⃗ ∙ n� � dA = � ���⃗ � ∙ n��da �� + � ���⃗ � ∙ n��da �� = ���⃗ � ∙ n�� � da �� + ���⃗ � ∙ n�� � da �� = ����⃗ � ∙ n�� + ���⃗ � ∙ n���� da �� Onde consideramos a área S1= a área S2 cuja integra é o elemento de área ∆� e n�� = − n�� = ����⃗ � ∙ (− n��) + ���⃗ � ∙ n���∆� � ���⃗ ∙ n� � dA = ����⃗ � + ���⃗ ��∙ n��∆� = �∆� Ou ����⃗ � + ���⃗ ��∙ n�� = � Então [�� ������ + �� ����� ]= � O deslocamento elétrico (componente normal) é descontinuo na interface com carga superficial �. Vamos analisar a continuidade do campo ���⃗ Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 7 Prof. Neri Alves No contorno definido � ��⃗ ∙ d�⃗= 0 Se ℎ → 0 � ��⃗ ∙ d�⃗= � ��⃗ � ∙ d�⃗� �� + � ��⃗ � ∙ d�⃗� �� = ��⃗ � ∙ ∆l− ��⃗ � ∙ ∆�⃗= 0 = ���⃗ � − ��⃗ �� ∙ ∆�⃗= 0 Como ��⃗ ∙ ∆�⃗ é a projeção de ��⃗ de na direção de ∙ ∆�⃗ então �� ���������� = �� ���������� Conclusão: Os campos tangenciais são com Energia Eletrostática Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 8 Prof. Neri Alves �� = � �⃗ � � ∙ ��⃗= � � ��⃗ ∙ � � � ��⃗ Sendo ��⃗ = − ∇� �� = � � (− ∇�)∙ ��⃗ � � = − � � �� ∙ ��⃗= − �(�� − �� � � Deve-se lembrar que ∇� = �̂ �� �� + �̂ �� �� + �� �� �� ��⃗= ����̂+ ���̂+ ����� assim ∇� ∙ ��⃗= ��̂ �� �� + �̂ �� �� + �� �� �� � ∙ ����̂+ ���̂+ ����� Logo �� �� �� + �� �� �� + �� �� �� = �� Qual energia é armazenada quando coloca-se várias cargas juntas. Suponha que inicialmente nõa há carga numa dada região do espaço. O trabalho para trazer a primeira carga com velocidade constate é nulo, pois não há outras cargas para interagir (não existe campo elétrico). 1) �� = 0 2) O trabalho da força externa para trazer a carga q2 do infinito até a distância �⃗��é Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 9 Prof. Neri Alves �� = ���� Onde �� é o potencial da carga �� na posição em que foi colocada a carga �� que é escrito como �� = �� 4������ �� = 1 4��� ���� ��� 3) Para trazer a terceira carga até �⃗�� o trabalho �� = ��(�� + ��) �� = �� 4��� � �� ��� + �� ��� � 4) E para trazer a quarta carga �� = ��(�� + �� + ��) �� = �� 4��� � �� ��� + �� ��� + �� ��� � ... e assim por diante. Organizando �� = 0 Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 10 Prof. Neri Alves �� = 1 4��� ���� ��� �� = �� 4��� � �� ��� + �� ��� � �� = �� 4��� � �� ��� + �� ��� + ����� � Ou ainda �� = 0 �� = �� 4��� �� ��� �� = �� 4��� � �� ��� � ��� �� = �� 4��� � �� ��� � ��� E para a enésima carga temos �� = �� 4��� � �� ��� ��� ��� Então qual o trabalho pra juntar m cargas° Será a somatória dos trabalhos para trazer cada carga. ������ = � �� � ��� Ou seja ������ = 0 + ��� 4��� � �� ��� � ��� + �� 4��� � �� ��� � ��� + �� 4��� � �� ��� � ��� + ⋯ . . + �� 4��� � �� ��� ��� ��� Então ������ = � �� �� 4��� �� ��� ��� ��� � � ��� Então ������ = � � ��� ��� � ��� Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 11 Prof. Neri Alves O que pode ser escrito como � = 1 2 � � ��� � ��� � ��� Pois ��� = 0 ou ��� = 0 e ��� = ��� De outra forma ������ = �� + �� + �� + �� + ⋯ … … … … . . + �� ������ = �� 4��� � 0 + �� ��� + �� ��� + �� ��� + ⋯ … … … . + �� ��� � = �� 4��� � 0 + 0 + �� ��� + �� ��� + ⋯ … … … . + �� ��� � = �� 4��� � 0 + 0 + 0 + �� ��� + ⋯ … … … . + �� ��� � = �� 4��� � 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ … … … . + �� ��� � ................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. = �� 4��� [ 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ … … … . + 0] � = 1 2 � � ��� � ��� � ��� Onde ��� = �� 4��� �� ��� Logo � = 1 2 � � �� 4��� �� ��� � ��� � ��� Onde Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 12 Prof. Neri Alves �� = � �� 4��� �� ��� � ��� E assim � = 1 2 � �� � ��� �� O cálculo foi feito para uma distribuição de cargas pontuais. Para uma distribuição contínua, temos os elementos de volume que possuem carga ∆�� = �∆�� e de superfície ∆�� = �∆�� � ≅ 1 2 � ∆���� � � ≅ 1 2 �� �∆�� ��� � + � �∆�� ��� � � No limite quando∆�� → 0 e ∆�� → 0 temos Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 13 Prof. Neri Alves � ≅ lim ∆�� → � 1 2 � �∆�� ��� � + lim ∆�� → � 1 2 � �∆�� ��� � � = 1 2 � ����� � + 1 2 � ����� � Ou melhor � = 1 2 � �(�⃗)�(�⃗)��� � + 1 2 � �(�⃗)�(�⃗)��� � Onde V é o volume ocupado pelas cargas volumétricas, S é a superfície em que há cargas de superfícies (Ex. Sup dos condutores) e � é o potencial das cargas. Deve ser conhecido o potenciala no espaço onde as cargas estão distribuídas. A integral não necessita ser restrita ao espaço das cargas pois fora dela a distribuição de � e de � são nulas. Exemplos 1) Calcule a energia num condutor carregado com uma carga QC. � = 1 2 � ����� � + 1 2 � ����� � Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 14 Prof. Neri Alves A primeira integral é nula, e a superfície do condutor é uma equipontencial de valor�� Então � = 1 2 � � ���� � Onde ∫ ���� � = �� e então, � = 1 2 ���� 2) Calcule a energia potencial de uma casca esférica carregada com densidade superficial �. Como se trata de uma casca esférica, não tem cargas distribuídas no volume, logo � = 1 2 � � ���� � Primeiro vamos calcular ��⃗ fora da esfera. � ��⃗ ∙ ���� = � �� 4���� = � �� Mas � = � 4��� Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 15 Prof. Neri Alves Logo 4���� = �4��� �� Ou seja � = � �� �� �� Esta é a relação para o módulo, como a simetria é radial e o campo é radial, temos que o vetor campo elétrico é dado por ��⃗ (�⃗) = � �� �� �� � ̂ Esta solução vale para r>R, ou seja, fora da esfera. ��⃗ ���� = − ∇����� � �� �� �� � =̂ − �� �� � ̂ ����� = � �� �� � + � Se ��→ � = 0 então a constante C=0 Logo ����� = ��� �� 1 � Agora vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera. Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 16 Prof. Neri Alves � ��⃗ ∙ ���� = 0 ��⃗ = 0 e portanto temos que ��⃗ = ��������� Na superfície ����������� = �(� = �)= �� �� , pois r=R e na casca �(�)���� = �(�)������. Ou seja o potencial é continuo na casca. Portanto o potencial dentro da esfera é constante é vale ������� = �� �� Agora podemos calcular a energia potencial � = 1 2 � � �� �� ��� � = 1 2 �� � �� � ��� � � = 1 2 �� � �� 4��� Finalmente; � = 2����� �� Densidade de energia no Campo Elétrico Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 17 Prof. Neri Alves Vamos apresentar uma forma alternativa de avaliar a energia potencial elétrica em termo de ��⃗ e ���⃗ . Na figura mostram-se três condutores imersos num dielétrico Como ∇ ∙ ���⃗ = � temos que ���⃗ ∙ �� = �, pois num condutor temos que ����⃗ � − ���⃗ �� ∙ �� = �, mas ���⃗ � = 0 � = 1 2 � ����� � + 1 2 � ����� � Onde a primeira integral é no volume externo aos condutores onde ∇ ∙ ���⃗ ≠ 0. Esta integral engloba todas as distribuições. A segunda integral é na superfice dos condutores. � = 1 2 � �∇ ∙ ���⃗ ��� � + 1 2 � ����⃗ ∙ ����� � Usando ∇ ∙ �����⃗ � = �∇ ∙ ���⃗ + ���⃗ ∙ ∇� Ou �∇ ∙ ���⃗ = ∇ ∙ �����⃗ � − ���⃗ ∙ ∇� � = 1 2 � ∇ ∙ (����⃗ )��� � − 1 2 � ���⃗ ∙ ∇� ��� � + 1 2 � ����⃗ ∙ ����� � Mas ��⃗ = − ∇� e usando o teorema da divergência temos � ∇ ∙ (����⃗ )��� � = � ����⃗ ∙ ����� � Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 18 Prof. Neri Alves � = 1 2 � ����⃗ ∙ ����� ���� − 1 2 � ���⃗ ∙ ��⃗ ��� � + 1 2 � ����⃗ ∙ ����� � Onde S é a superfície dos condutores e S’ é a superfície que define o volume V’. � = 1 2 � ����⃗ ∙ ����� � + � ����⃗ ∙ ����� �� − 1 2 � ���⃗ ∙ ��⃗ ��� � + 1 2 � ����⃗ ∙ ����� � Observe que a primeira integral é sobre as superfícies dos condutores e sobre S’. Na Primeira integral �� é saindo do volume V’. Isto é, é para dentro do condutor e na última �� é saindo do condutor. Então a primeira e a ultima integral se cancelam. � = 1 2 � ����⃗ ∙ ����� �� − 1 2 � ���⃗ ∙ ��⃗ ��� � Na primeira integral, em S’, temos que � ∝ � � e � ∝ � �� , assim �� ∝ � �� , mas o elementode área �� ∝ ��. Portanto o integrando é proporcional a � � . Assim, se a superfície S’ se deslocar para o infinito, a contribuição da integral sobre S’ vai para zero, pois o Integrando tende a um valou nulo no infinito. Daíi: � = 1 2 � ���⃗ ∙ ��⃗ ��� � Onde V é o volume que se estende até o infinito. Seja � = � � ���⃗ ∙ ��⃗ Então � = 1 2 � � ��� � Se ���⃗ = ���⃗ , então � = 1 2 ��� = 1 2 �� � Exemplo Energia numa casca esfercia com densidade de cargas �. Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 19 Prof. Neri Alves Vimos que ��⃗ ������ = 0 e ��⃗���� = ��� �� � � � ̂e no vácuo ���⃗ = ����⃗ � = �� � ∫ �� ��� = �� � ∫ � ��� �� � � � � ��� = �� � ∫ ���� �� � � �� 4������ ��� a integral é em todo o volume, mas dentro da casca ��⃗ = 0, logo � = 2����� �� � 1 ∞ − 1 � � � = 2��� �� �� Exercício. 1. Sejam dois meios dielétricos de constantes dielétricas 1 e 2 e a interface deles possui uma densidade superficial de cargas (veja a figura). Usando a lei de Gauss em meios dielétricos mostre que a vale a condição de contorno: nn EE 1122 onde o índice n representa a componente normal do elétrico campo na interface. 2. Sejam dois meios dielétricos de constantes dielétricas 1 e 2 em que a interface deles possui uma densidade superficial de cargas . Usando a lei de Gauss em meios dielétricos mostre que vale a condição de contorno: nn DD 1122 onde o índice n representa a componente normal do elétrico campo na interface. Ou seja mostre que componente normal do vetro deslocamento elétrico ���⃗ é descontinua na interface. 3. Mostre que o campo elétrico tangencial é contínuo através da interface entre dois meios dielétricos. 4. Dada uma distribuição de carga esférica de raio R, com uma densidade de carga constante 0 , determine a auto-energia dessa distribuição usando a integral: dvEU 2 0 2 1 e mostre que seu valor é 0 52 0 15 4 R U . 5. Dada uma casca esférica de carga, de raio R, com densidade de carga superficial uniforme σo, determine a energia potencial da distribuição distribuição. Sugestão faça a integração da expressão Notas de aulas de eletromagnetismo 7a Aula- “Forma diferencial da Lei de Gauss para Dielétricos “ 20 Prof. Neri Alves V S darrdvrrU )()( 2 1 )()( 2 1 avalie )(r , calcule a densidade de carga σ na superfície da esfera e considere o potencial )(r adequadamente fora e dentro da esfera. 6. Dada uma casca esférica de carga, de raio R, com densidade de carga superficial uniforme . Determine a energia dessa distribuição de cargas (auto energia) usando a integral V dvEU 20 2 . 7. Demonstre a Lei de Gauss para dielétrico a forma diferencial. 8. Mostre a relação entre a susceptibilidade (�) e a constante dielétrica relativa (�). 9. Calcule o deslocamento elétrico e o campo elétrico para uma carga pontual em um meio dielétrico. Compare com o campo produzido por uma carga pontual no vácuo. 10. Por que o campo elétrico em meio dielétrico é reduzido em (1/�) quando comparado ao campo elétrico no vácuo? Demonstre utilizando as densidades superficial e volumétrica de carga de polarização.
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