Eletromag_Aula_5_2019

Prévia do material em texto

Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 1 
Neri Alves 
 
Lei de Gauss 
Eletromagnetismo 2019 
Neri Alves 
31/09/2019 - 5a Aula 
Lei de Gauss 
 
A Lei de Gauss relaciona o fluxo de E⃗⃗ através de uma superfície fechada e a carga total 
encontrada dentro da superfície. 
 
E⃗⃗ ∙ da⃗ = E⃗⃗ ∙ n̂da 
Considerando uma carga pontual no ponto P. 
 
E⃗⃗ ∙ da⃗ =
q
4πε0
r̂ ∙ da⃗ 
|r |2
 
Onde r̂ ∙ da⃗ é a projeção de da⃗ na direção de r̂, e 
r̂∙da⃗ 
|r⃗ |2
= dΩ sendo Ω o ângulo sólido. 
 
 Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 2 
Neri Alves 
 
 
Inserção. 
 Conceito de ângulo sólido 
 
d𝑙 = rdθ 
dθ =
d𝑙
r
 
ou 
∆θ =
∆𝑙
R
 e quando ∆𝑙 = 𝑅 tem-se que ∆θ =
R
R
= 1 
Neste caso tem-se ∆θ = 1[? ] ; 1 o que? Qual a unidade? 
A resposta é ∆θ = 1 rad (1 radiano) 
! rad. é o ângulo que compreende um arco de comprimento igual ao raio e é adimensional. 
 
Similarmente pode se definir 
dΩ =
da′
|r |2
 
 Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 3 
Neri Alves 
 
 
da′ = r̂ ∙ da⃗ = da cos θ 
dΩ =
r̂ ∙ da⃗ 
|r |2
 
da′ é o elemento de área, parte de uma esfera de raio |r |. qual o ângulo sólido total em uma 
esfera de raio r. 
dΩ =
da cos θ
|r |2
 
Para a esfera θ = 0 e cos θ = 1 e temos que da⃗ ⊥à superfície. Daí da⃗ ∥ r̂ e |r | = r 
dΩ =
da
r2
 
 
Ω = ∮
da
rS
= 4π
r2
r2
= 4π 
 
Ω = 4π[? ] 
Qual a unidade? 
Resp. A unidade é 4π Sr (Estereorradiano). 
Se 
 
 
 
 Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 4 
Neri Alves 
 
 
 
∆Ω =
∆a
r2
 O que teremos quando ∆a = r2 
∆Ω =
r2
r2
= 1Sr 
 
Um estereoradiano é o ângulo sólido com vértice no centro de uma esfera que relaciona 
com uma área na superfície com a mesma medida do quadrado do respectivo raio. 
 
Fim da Inserção 
 
Como E⃗⃗ ∙ da⃗ =
q
4πε0
r̂∙da⃗ 
|r⃗ |2
 e acamo de mostrar que dΩ =
r̂∙da⃗ 
|r⃗ |2
 então 
E⃗⃗ ∙ da⃗ =
q
4πε0
 dΩe 
∮ E⃗⃗ ∙ da⃗ 
S
= ∮
q
4πε0
 dΩ
s
=
q
4πε0
∮ dΩ
s
 
∮ E⃗⃗ ∙ da⃗ 
S
=
q
4πε0
4π =
q
ε0
 
 
Então quando a carga q está dentro da superfície temos que 
∮ E⃗⃗ ∙ da⃗ 
S
=
q
ε0
 
E quando a carga q está fora da superfície 
 Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 5 
Neri Alves 
 
∮ E⃗⃗ ∙ da⃗ 
S
= 0 
 
 
Distribuição de Cargas 
Se houver cargas pontuais distribuídas no interior da superfície temos: 
∮ E⃗⃗ ∙ da⃗ 
S
=
1
ε0
∑qi
n
i=1
 
 
Se for uma distribuição contínua temos que pegar um elemento de volume ∆Vi que 
contenha ∆qi. 
 Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 6 
Neri Alves 
 
 
Q ≅ ∑∆
i
qi 
Seja 
ρ =
∆q
∆V
 
 
∆qi = ρ∆Vi 
Q ≅ ∑ρ∆Vi
i
 
No limite quando ∆V → 0 
Q = lim
∆V→0
∑ρ∆Vi
i
= ∫ ρdV
Va
 
Observação: Esta integral pode ser aplica em todo o volume, pois fora de Va temos ρ = 0. 
Então: 
∮ E⃗⃗ ∙ da⃗ 
S
=
1
ε0
∫ ρdV
V
 
 
Onde, alternativamente pode se escrever E⃗⃗ ∙ da⃗ = E⃗⃗ ∙ n̂da 
 Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 7 
Neri Alves 
 
∮ E⃗⃗ ∙ n̂da
S
=
1
ε0
∫ ρdV
V
 
E lembrando-se do teorema da divergência 
 
 
 
Então 
∮ ∇ ∙ E⃗⃗ dV
V
=
1
ε0
∫ ρdV
V
 
Daí segue-se, que 
∇ ∙ E⃗⃗ =
ρ
ε0
 
Esta é a 2a Eq. De Maxwell da eletrostática. 
Esta é a Lei de Gauss na forma diferencial que relaciona densidade local à derivada 
espacial de E⃗⃗ , e não propriamente a E⃗⃗ . 
A forma 
∮ E⃗⃗ ∙ da⃗ 
S
=
q
ε0
 
É a Lei de Gauss na forma integral. Neste caso encerra-se uma região e não um ponto específico. 
 
Como 
E⃗⃗ = −∇φ 
Temos que 
∇ ∙ (−∇φ) =
ρ
ε0
 
 
∇ ∙ ∇φ = −
ρ
ε0
 mas ∇ ∙ ∇φ = ∇2φ, é o denominado Laplaciano. 
∮ ∇ ∙ A⃗⃗ dV
V
= ∫ A⃗⃗ ∙ n̂da
S
 
 Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 8 
Neri Alves 
 
∇2φ = −
ρ
ε0
 
Que é denominada de Equação de Poisson. 
 
∇2 -> é operador de Laplace 
∇2φ =
∂2φ
dx2
+
∂2φ
dy2
+
∂2φ
dz2
 
 
Numa região onde ρ = 0 tem-se 
∇2φ = 0 
Aplicações da Lei de Gauss. 
A solução de problemas pela Lei de Gauss depende. 
• Simetria (a superfície escolhida deve acompanhar a simetria e conter o ponto P). 
• Escolha da Superfície. Deve-se atentar para que E⃗⃗ ∥ da⃗ ou E⃗⃗ ⊥ da⃗ de tal forma que E⃗⃗ ∙
da⃗ = E ∙ da ou E⃗⃗ ∙ da⃗ = 0 e onde E⃗⃗ ∙ da⃗ ≠ 0, que eja constante. 
 
 
1. Carga pontual. 
 
 
∮ E⃗⃗ ∙ n̂da
S
=
qTotal
ε0
 
 
 Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 9 
Neri Alves 
 
∮ E⃗⃗ ∙ da⃗ 
S
= ∮ E
S
⋅ da cos θ 
 
Mas E⃗⃗ ∥ da⃗ ou E⃗⃗ ∥ n̂. Logo cos θ = 1 
Então 
∮ E⃗⃗ ∙ da⃗ 
S
= ∮ E
S
⋅ da = 𝐸 ∮ ⋅ da =
S
E(4πr2) 
 
Logo 
E(4πr2) = 
qTotal
ε0
 
 e então 
E = 
1
4πε0
qTotal
r2
 
Exercícios 
1. Provar que o campo elétrico no interior de um condutor é nulo 
2. Considerando uma placa condutora, infinita, de espessura l, em equilíbrio eletrostático que 
possui densidade superficial de carga uniforme σ, responda: a) onde se localizam as cargas; b) 
qual o campo elétrico no interior da placa? c)qual o campo fora da placa? Obs. Use lei de 
Gauss e descreva detalhadamente cada passagem usada na resolução. 
3. Calcule o vetor campo elétrico de um dipolo. Calcule o modulo do campo quando as cargas 
estiverem alinhadas com o ponto P. 
4. – Encontre o campo elétrico dentro e fora de duas placas infinitas e isolantes carregadas com 
densidade de carga superficial 2σ e – σ, separadas por uma distância d. 
5. Duas placas condutoras paralelas, infinitas, de espessura e, estão separadas por uma distância d. 
Se as placas estão em equilíbrio eletrostático e possuírem densidades uniformes +σ e –σ, 
respectivamente, em suas superfícies internas, obtenha, uma expressão para o campo elétrico 
entre as placas. Demonstre que o campo elétrico nas regiões externas é nulo. Obs.:considere que 
no interior de um metal em equilíbrio eletrostático o campo é nulo. 
6. Uma barra circular infinitamente longa , de raio R, contém uma densidade de carga uniforme ρ. 
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico radial, para r<R e r>R. Faça o gráfico do 
campo em função da distância. ( ) rrE

 . 
7. Uma esfera maciça isolante de raio aé concêntrica com uma casca esférica condutora de raio 
internob e raio externo c, com a<b<c. A esfera possui uma carga uniforme qe a casca esférica 
possui uma carga –q. Determine o módulo do campo elétrico (a) em r = 0; (b) em 0 <r<a; (c) em 
r= a; (d) em a <r<b; (e) em b<r<c; (f) em r>c; Determine a carga na (g) superfície interna e (h) 
na superfície externa da casca. 
8. Considere uma esfera metálica, em equilíbrio eletrostático ( 0=E

), de raio R, com uma carga 
q. Determine o campo elétrico em função da densidade de carga e da distância r

do centro, 
dentro e fora da esfera. Integre o resultado para obter uma expressão para o potencial eletrostático 
)(r

 , sujeito a restrição 0)( = . Faça o gráfico do campo e potencial elétrico para todo r

 
(dentro e fora da esfera) e comente o resultado. 
 Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 10 
Neri Alves 
 
9. Considere um cilindro condutor de raio R, de comprimento infinito, com uma densidade de carga 
linear de carga λ. Determine o campo elétrico em função da densidade de carga e da distância r 
do centro, na direção radial, dentro e fora do cilindro, usando a lei de Gauss. Integre o resultado 
para obter uma expressão para o potencial eletrostático φ( r

), considerando como referência que 
no infinito o potencial da esfera é zero φ( )=0. (OBS. Atenção para o fato de que se trata de 
um cilindro condutor). 
10. – Encontre o campo elétrico à uma posição z do eixo de um anel de raio a e densidade de carga 
linear λ, situado no plano xy e centrada no eixo z. Cheque também quando z>>s(comprimento 
do anel) e z→ 0. 
11. – Duas cascas condutoras concêntricas têm raio a e b(a>b), cargas q e Q e espessuras 
insignificantes. Determine o modulo do campo elétrico (a) para r>a; (b) para a<r<b; (c) para 
r<b. Com 𝜑 =0 no infinito, determine o potencial elétrico para (d)r>a; (e) para r= a; (f) 
paraa<r<b; (g) para r= b; (h) para r<b; (i) para r = 0. (j) Plote 𝐸(𝑟) e 𝜑 (𝑟).