Apostila_de_Eletromagnetismo_teoria_parte_II

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Eletromagnetismo Teoria 
 
Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba 
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Capítulo 1 
 
Histórico do Eletromagnetismo 
 
1. Introdução 
 
 A história do magnetismo começou com um mineral chamado magnetita 
(Fe3O4), a primeira substância com propriedades magnéticas conhecida pelo 
homem. Sua história anterior é obscura, mas seu poder de atrair ferro já era 
conhecido séculos antes de Cristo. A magnetita está amplamente distribuída. No 
mundo antigo, os depósitos mais abundantes ocorriam na região chamada 
Magnésia, localizada no que é hoje a Turquia, e a palavra magneto é derivada de 
uma similar grega, que se diz ter vindo do nome dessa região. 
 
 
Fig. 1.1: a magnetita 
 
 No século III a. C., adivinhadores chineses da sorte operavam com duas 
placas, uma sobre a outra. A placa superior representava o céu e girava num pivô 
colocado sobre a placa inferior, que simbolizava a Terra. Além disso, na placa 
superior estava representada a constelação da Ursa Maior, que gira, no céu, ao 
redor do eixo Norte-Sul. O adivinho atirava contra as placas algumas peças de 
magnetita, que simbolizavam vários objetos, e de suas posições o futuro era 
deduzido. Uma das peças simbolizava a constelação da Ursa Maior e tinha a forma 
de uma colher. Com o tempo, colheres rotativas substituíram toda a placa superior e 
como essas colheres sempre se orientavam na direção Norte-Sul, os adivinhos se 
convenceram de que eram verdadeiramente objetos mágicos. Essa é, na verdade, a 
essência da bússola magnética, que se tornou um objeto familiar já no século I d.C. 
No século VI, os chineses descobriram que pequenas agulhas de ferro podiam ser 
magnetizadas caso fossem esfregadas com um pedaço de magnetita. Como a 
utilização da agulha magnética trouxe maior precisão na observação das direções 
magnéticas, os chineses também descobriram que o Norte e o Sul magnéticos não 
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coincidiam com o Norte e o Sul geográficos, descoberta que só foi feita no Ocidente 
após mais de setecentos anos. Ainda mais tarde os chineses perceberam que era 
possível magnetizar o ferro aquecendo-o até a incandescência e deixando-o esfriar 
estendido na direção Sul-Norte. No século XII, a bússola magnética era comum nos 
navios chineses. No Ocidente, o seu uso se iniciou pelo menos cem anos depois. 
 
 
Fig. 1.2: bússola magnética 
 
 O primeiro a escrever sobre o magnetismo no Ocidente foi Peter Peregrinus 
que exercia, ao que parece, as funções de engenheiro militar no exército do rei da 
Sicília, no século XIII. Peregrinus escreveu um tratado datado de 1269 denominado 
De Magnete onde, além de descrever a magnetita e suas propriedades, definia a 
propriedade do imã de apontar sempre para o Norte, mencionava pela primeira vez o 
termo pólo magnético e explicava como um imã, quando partido em dois, se 
transformava em dois imãs. O tratado continha, ainda, uma tentativa de aplicar a 
força magnética para gerar um movimento perpétuo e uma menção da declinação 
magnética, isto é, do fato de o imã apontar para o norte magnético e não para o 
Norte geográfico. 
 
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Fig. 1.3: De Magnete, de Peter Peregrinus 
 
 O segundo a escrever sobre esse assunto no Ocidente foi o fabricante de 
instrumentos inglês Robert Norman, cujo livro apareceu em 1581 contendo um 
pequeno discurso sobre imãs e uma descrição da inclinação magnética, isto é, da 
inclinação da agulha magnética em relação à horizontal, que difere de um lugar para 
outro. 
 
 
Fig. 1.4: Cálice de Norman 
 
Mas o trabalho mais significativo desse tempo e o mais completo desde o 
tempo de Peter Peregrinus foi o livro De Magnete, publicado em Londres, em 1600, 
por William Gilbert, na época médico da rainha Elizabeth I. 
 
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Fig. 1.5: Willian Gilbert 
 
O livro discutia a bússola magnética, o comportamento do imã propriamente 
dito, com seus poderes de atração e repulsão, a distinção entre a ação magnética e 
a ação elétrica do âmbar e o envolvimento de cada imã por uma "órbita invisível de 
virtude", que afetava qualquer pedaço de ferro que fosse colocado em sua 
vizinhança. O livro discutia, também, como um imã de forma esférica poderia 
desempenhar o papel da Terra e com o auxílio de pequenos imãs, demonstrava o 
comportamento daquilo que hoje chamamos de campo magnético terrestre, 
explicando a propriedade da agulha da bússola de sempre apontar para o Norte ou 
para o Sul, a declinação magnética e a inclinação magnética. 
 
 
Fig. 1.6: De Magnete, de Willian Gilbert 
 
 Por mais de um século e meio depois de Gilbert, nenhuma descoberta de 
importância fundamental foi realizada, embora houvessem muitos melhoramentos 
práticos na construção de magnetos. Assim, no século XVIII construíram-se muitos 
magnetos compostos de ferro, formados de muitas lâminas de ferro magnetizadas 
presas juntas, que levantavam corpos de ferro com pesos 28 vezes maior que seus 
próprios pesos. Isso é mais notável quando observamos que existia um único modo 
de fazer magnetos naquela época: o ferro ou o aço tinham que ser esfregados com 
um imã ou com outro magneto que por sua vez tinha que ter sido esfregado com 
imã. 
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 No século XIX, o professor dinamarquês Hans Christian Oersted conseguiu 
provar experimentalmente, em 1820, que quando uma corrente elétrica passava ao 
longo de um fio aparecia um campo magnético e André Marie Ampére, na França, 
entre 1821 e 1825, esclareceu o efeito de uma corrente sobre um imã e o efeito 
oposto, de um imã sobre uma corrente. 
 
 
Fig. 1.7: Hans Christian Oersted 
 
 
Fig. 1.8: André Marie Ampère 
 
 A pesquisa em materiais com propriedades magnéticas começou, pode-se 
dizer, com a invenção do eletromagneto, em 1825, uma vez que com ele se tornou 
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possível obter campos magnéticos muito mais intensos do que aqueles produzidos 
por imãs ou magnetos feitos com eles. 
Nos anos seguintes, Michael Faraday, na Inglaterra, iniciou suas pesquisas 
argumentando que se uma corrente num fio produzia efeitos magnéticos, como 
Ampère tinha demonstrado, o inverso poderia ser verdadeiro, isto é, um efeito 
magnético poderia produzir uma corrente elétrica. Para testar essa hipótese, 
Faraday enrolou duas espiras de fio num anelde ferro, uma ligada a uma bateria e a 
outra, ligada a um medidor de corrente elétrica, verificando a existência, na segunda 
espira, de uma corrente temporária quando ligava e desligava a bateria. Noutra 
experiência, Faraday usou uma espira enrolada em uma haste de ferro e dois imãs 
em forma de barra para demonstrar que os imãs, por si sós, podiam produzir uma 
corrente. Para explicar como a eletricidade e o magnetismo podiam afetar um ao 
outro no espaço vazio, Faraday propôs a idéia de um campo, imaginando linhas de 
força magnética tanto mais próximas umas das outras quanto mais intenso era esse 
campo e supondo que essas linhas tendiam a se encurtar sempre que possível e a 
se repelir mutuamente. Mais tarde, em 1837, Faraday introduziu também a idéia de 
linhas de força elétrica. 
 
 
Fig. 1.9: Michael Faraday 
 
O termo Eletromagnetismo é o nome da teoria unificada desenvolvida por 
James Maxwell em 1873 (conhecida como Teoria Geral do Eletromagnetismo, 
descrita em quatro equações fundamentais, denominadas equações de Maxwell) 
para explicar a relação entre a Eletricidade e o Magnetismo. Essa teoria baseia-se 
no conceito de campo eletromagnético. Quando o campo eletromagnético é 
estacionário não há propagação de informação através do espaço. Quando o campo 
eletromagnético é variável, há propagação das modificações desde a fonte do 
campo magnético através do espaço sob a forma de uma onda. São exemplos de 
campos eletromagnéticos variáveis as ondas de rádio, as microondas, o 
infravermelho, a luz, os raios ultravioletas, os raios X e os raios gama. 
 
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Fig. 1.10: James Clark Maxwell 
 
 As quatro equações de Maxwell expressam, respectivamente, como cargas 
elétricas produzem campos elétricos (Lei de Gauss), a ausência experimental de 
cargas magnéticas, como corrente elétrica produz campo magnético (Lei de 
Ampère), e como variações de campo magnético produzem campos elétricos (Lei 
de Faraday sobre a indução). Maxwell, em 1864, foi o primeiro a colocar todas as 
quatro equações juntas e perceber que era necessário uma correção na lei de 
Ampère: alterações no campo elétrico atuam como correntes elétricas, produzindo 
campos magnéticos. 
 
 
Fig. 1.11: Carl F. Gauss 
 
Além disso, Maxwell mostrou que as quatro equações, com sua correção, 
predizem ondas de campos magnéticos e elétricos oscilantes que viajam através do 
espaço vazio na velocidade que poderia ser predita de simples experiências 
elétricas. Usando os dados disponíveis na época, Maxwell obteve a velocidade de 
310.740.000 m/s. 
Em 1865 Maxwell escreveu: 
 
“Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que parece que temos 
fortes motivos para concluir que a luz em si (incluindo calor radiante, e outras 
radiações do tipo) é uma perturbação eletromagnética na forma de ondas 
propagadas através do campo eletromagnético de acordo com as leis 
eletromagnéticas.” 
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Maxwell estava correto em sua hipótese, embora ele não tenha vivido para 
ver sua comprovação por Heinrich Rudolf Hertz em 1888. 
 
 
Fig. 1.12: Heinrich Rudolf Hertz 
 
A explicação quantitativa da luz como onda eletromagnética é considerada 
um dos grandes triunfos da Física do século XIX (na verdade, Michael Faraday 
postulou uma descrição similar da luz em 1846, mas não foi capaz de dar uma 
descrição quantitativa ou predizer a velocidade). Além disso, serviu como base para 
muitos desenvolvimentos futuros na física, tais como relatividade restrita e sua 
unificação do campos magnéticos e elétricos como uma única quantidade tensorial, 
e a Teoria de Kaluza-Klein da unificação do Eletromagnetismo com gravidade e a 
relatividade geral. 
 
 
Fig. 1.13: T. Kaluza e O. Klein 
 
 
 
 
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2. Aplicações do Eletromagnetismo 
 
 Algumas aplicações do Eletromagnetismo na área de Engenharia serão 
descritas a seguir: 
• Cálculo de campos eletrostáticos e magnetostáticos; 
• Campos variáveis no tempo, incluindo o comportamento transitório e em 
regime permanente de dispositivos eletromagnéticos, correntes de Foucault e 
efeito pelicular; 
• Propagação de ondas e problemas de espalhamento, incluindo dispositivos 
de microondas e antenas; 
• Otimização e problemas inversos em Eletromagnetismo; 
• Propriedades de materiais, incluindo supercondutores, materiais compostos e 
materiais susceptíveis às microondas, e o modelamento da anisotropia, 
histerese e ímãs permanentes; 
• Problemas de fronteira móvel relacionados a sistemas eletromagnéticos e 
campos eletromagnéticos acoplados a sistemas mecânicos, elétricos, 
eletrônicos, térmicos e fluidos; 
• Aplicação nas áreas de máquinas elétricas e acionamentos, dispositivos 
geradores de campos magnéticos intensos, eletroímãs a supercondutores, 
guias de onda, cavidades ressonantes, aplicações biomédicas, imagem por 
ressonância magnética, aquecimento indutivo, blindagem eletromagnética, 
aterramento, compatibilidade eletromagnética, ensaios não destrutivos, etc; 
• Métodos numéricos e metodologia de software em Eletromagnetismo, 
incluindo geração de malhas, malhas adaptativas, estimação de erros, 
solução de sistemas de equações algébricas, problemas de autovalores, 
computação paralela e vetorial, visualização, posprocessamento, técnicas de 
CAD/CAE, sistemas baseados no conhecimento e técnicas de inteligência 
artificial; 
• Óptica, laser, dispositivos e sensores ópticos, comunicação óptica; 
• Linhas de transmissão de energia elétrica e redes de dados; 
E etc., etc. e mais etc.... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 2 
 
Revisão de Análise Vetorial 
 
1. Introdução – definição de vetor 
 
Defini-se vetor como uma entidade matemática dotada de módulo, direção e 
sentido. 
Na fig. 2.1 ilustra-se um vetor típico de origem no ponto P1 e extremidade no 
ponto P2, representados no espaço cartesiano. 
 
 
Fig. 2.1: vetor representado no espaço cartesiano 
 
 O vetor R representado na fig. 2.1 é definido pela diferença entre os pontos 
que o compõem, isto é: 
 
12 PPR −=
r
 
 
 Ou seja, o vetor R é definido pela diferença entre o ponto de extremidade e o 
ponto de origem do mesmo. Em termos de coordenadas cartesianas tem-se: 
 
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),,(),,(),,( 121212111222 zzyyxxzyxzyxR −−−=−=
r
 
 
 Defini-se módulo do vetor R ao comprimento do segmento de reta que une 
os pontos P1 e P2. Em termos de coordenadas cartesianas tem-se: 
 
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxxR −+−+−=
r
 
 
 Defini-se vetor nulo O ao vetor cujas coordenadas são todasnulas. Em 
termos de coordenadas cartesianas tem-se: 
 
)0,0,0(=O
r
 
 
 É muito importante se notar que o vetor nulo não é igual ao algarismo zero 
(0). O vetor nulo é uma entidade vetorial cujo módulo é nulo. 
 
2. Nomenclatura adotada para representação vetorial 
 
Utilizar-se-á para a entidade vetorial letras maiúsculas dotadas de segmento 
de reta orientado sobre as mesmas. Para as entidades escalares (dotadas somente 
de módulo) letras maiúsculas sem o segmento de reta orientado. Para os versores 
(vetores de módulo unitário) letras minúsculas dotadas de acento circunflexo sobre 
as mesmas. 
Assim sendo, define-se versor como sendo a relação entre o vetor e seu 
módulo, dada por: 
 
A
A
A
A
aA
r
r
r
==ˆ
 
 
Utilizar-se-á os versores (ax, ay, az) para o sistema de coordenadas 
cartesianas. Assim, o vetor A poderá ser escrito analiticamente como sendo: 
 
zzyyxx aAaAaAA ˆ.ˆ.ˆ. ++=
r
 
 
 Assim sendo, em termos de coordenadas, determina-se o versor aA relativo 
ao vetor A da seguinte forma: 
 
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z
zyx
z
y
zyx
y
x
zyx
x
zyx
zzyyxx
A a
AAA
A
a
AAA
A
a
AAA
A
AAA
aAaAaA
a ˆˆˆ
ˆ.ˆ.ˆ.
ˆ
222222222222 







++
+








++
+








++
=
++
++
=
 
 
3. Operações vetoriais 
 
Sejam dois vetores A e B definidos em suas coordenadas cartesianas. As 
operações matemáticas entre eles ficam assim definidas: 
 
I) Adição (ou subtração): 
 
zzzyyyxxx aBAaBAaBABA ˆ).(ˆ).(ˆ).( ±+±+±=±
rr
 
 
II) Propriedade Associativa: 
 
BCACBACBA
rrrrrrrrr
++=++=++ )()()( 
 
III) Propriedade Distributiva: 
 
AkAkAkkBkAkBAk
rrrrrrr
..).(..).( 2121 +=+⇒+=+ 
 
IV) Propriedade Comutativa: 
 
ABBA
rrrr
+=+ 
 
V) Elemento neutro: 
 
AAOOA
rrrrr
=+=+ 
 
 
VI) Produto escalar entre A e B : 
 
θcos..BABA =
r
o
r
 
 
onde θθθθ é o menor ângulo entre A e B. 
 Em termos de coordenadas retangulares pode-se demonstrar que: 
 
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222
...
zyx
zzyyxx
AAAAA
BABABABA
++=
++=
r
o
r
r
o
r
 
 
VII) Produto vetorial entre A e B : 
 
nasenBABA ˆ... θ=×
rr
 
 
onde θθθθ é o menor ângulo entre A e B e an é o versor normal ao plano 
definido por A e B. 
Para se saber qual a direção específica de an (e conseqüentemente do 
produto vetorial de A e B) utiliza-se a “regra da mão direita”, isto é, imagina-
se um parafuso cuja rotação é dada pelos dedos da mão com exceção do 
polegar e o polegar fornece a direção de an, conforme fig. 2.2. 
 
 
Fig. 2.2: regra da mão direita ou do parafuso 
 
É claro que a propriedade comutativa não é válida para o produto 
vetorial. Pela “regra da mão direita” prova-se que: 
 
ABBA
rrrr
×−=× 
 
Em termos de coordenadas cartesianas o produto vetorial entre A e B 
pode ser obtido calculando-se o determinante da seguinte matriz quadrada de 
ordem 3: 
 
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zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
ˆˆˆ
=×
rr
 
 
 O que resulta: 
 
zxyyxyzxxzxyzzy aBABAaBABAaBABABA ˆ)...(ˆ)...(ˆ)...( −+−+−=×
rr
 
 
4. Sistemas de coordenadas 
 
Define-se o ponto P nos três sistemas de coordenadas ilustrados na fig. 2.3. 
 
 
Fig. 2.3: sistemas de coordenadas para o ponto P 
 
Observações fundamentais entre estes sistemas: 
 
I) Sempre se definem nesta ordem, por uma questão de facilidade de 
visualização (sinapses neurais); 
II) O ângulo φφφφ é o mesmo para os sistemas esférico e cilíndrico; porém, 
em termos de ordem para o sistema esférico, este ângulo corresponde 
à terceira coordenada, enquanto que, para o cilíndrico, é a segunda; 
III) A coordenada r é comum aos sistemas esférico e cilíndrico; porém, no 
cilíndrico r corresponde à distância entre o eixo z e o ponto P, tomada 
num plano normal a este, enquanto que, no esférico, ele corresponde à 
distância entre a origem e o ponto P; 
 
Outra forma de definir-se a posição do ponto P é através do método dos 
planos ortogonais, ilustrada na fig. 2.4. Note-se que: 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ ππππ. 
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Fig. 2.4: método dos planos ortogonais 
 
Este mesmo método pode definir também os versores de cada sistema de 
coordenadas, ilustrado na fig. 2.5. 
 
 
Fig. 2.5: versores nos três sistemas 
 
Assim, pode-se decompor o vetor A nos três sistemas de coordenadas como 
sendo: 
 
esférico ˆ.ˆ.ˆ.
cilíndrico ˆ.ˆ.ˆ.
cartesiano ˆ.ˆ.ˆ.
→++=
→++=
→++=
φφθθ
φφ
aAaAaAA
aAaAaAA
aAaAaAA
rr
zzrr
zzyyxx
r
r
r
 
 
As operações de produto escalar e produto vetorial entre os versores pode 
ser resumida pelos diagramas das fig. 2.6 e 2.7, utilizando-se, como exemplo, do 
sistema de coordenadas cartesianas. 
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Fig. 2.6: produto escalar entre os versores 
 
 No diagrama da fig. 2.6 o O central representa o produto escalar entre os 
versores, isto é, ele vale 1 entre os versores de índices iguais e 0 para os versores 
de índices diferentes. Isto também é válido para os versores dos outros sistemas de 
coordenadas. 
 
Fig. 2.7: produto vetorial entre os versores 
 
 Analogamente no caso do diagrama da fig. 2.7 o X central representa o 
produto vetorial entre os versores. Nota-se que o produto vetorial é positivo no 
sentido horário e negativo no sentido anti-horário. Quando os versores tem mesmo 
índice o produto vetorial é nulo. Isto também é válido para outros sistemas de 
coordenadas. 
 
 
5. Elementos diferenciais de áreas, volumes e linhas 
 
No sistema cartesiano, por exemplo, o elemento de área na direção ay pode 
ser definido como sendo dS = dx. dz. 
No sistema esférico o elemento de área normal a ar é definido como sendo: 
 
dS = (r.dθθθθ).(r.senθθθθ.dφφφφ) = r2.senθθθθ.dθθθθ.dφφφφ 
 
Portanto, os elementos de área dependem de que direção e sistemas de 
coordenadas está se assumindo na situação vigente. 
Por sua vez, os elementos de volume só dependem do sistema de 
coordenadas e são ilustrados na fig. 2.8. 
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Fig. 2.8: elementos diferenciais de volume para os três sistemas 
 
Para os elementos lineares, definidos pela diagonal de cada sistema ligada ao 
ponto P, tem-se: 
 
esférico ˆ...ˆ..ˆ.
cilíndrico ˆ.ˆ..ˆ.
cartesiano ˆ.ˆ.ˆ.
→++=
→++=
→++=
φθ
φ
φθθ
φ
adsenradradrld
adzadradrld
adzadyadxld
r
zr
zyx
r
r
r
 
 
6. Transformação cartesiano – cilíndricoPara se transformar o sistema cartesiano no cilíndrico deve-se fazer as 
seguintes identidades: 
 
zz
senry
rx
=
=
=
φ
φ
.
cos.
 
 
 Para se fazer o inverso deve-se fazer as seguintes identidades: 
 
zz
x
y
arctg
yxr
=
=
+=
φ
22
 
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Capítulo 3 
 
Forças de Coulomb e o vetor campo 
elétrico 
 
1. Lei de Coulomb 
 
A Lei de Coulomb é uma relação entre cargas elétricas estáticas. Por usa vez, 
uma carga elétrica é qualquer corpo que está em desequilíbrio eletrostático, isto 
é, em sua constituição atômica o número total de prótons não é igual ao número 
total de elétrons. Se fosse, a carga elétrica do corpo seria nula. Assim sendo, 
atribui-se então, aos prótons e elétrons (sem entrar nos méritos dos quarks up e 
down, sub-partículas atômicas constituintes dos prótons e elétrons), a menor 
quantidade possível de carga elétrica, cujo valor é, aproximadamente, 1,602.10-19 
C, denominada carga elementar e, onde C é a unidade denominada Coulomb, 
dada em homenagem a Charles Augustin Coulomb, cientista francês. 
 
 
Charles Augustin Coulomb (1736 – 1806) 
 
 Por convenção, adota-se que o próton possua uma carga positiva +e e o 
elétron uma carga –e. Portanto, se um corpo possuir uma carga elétrica 
equivalente a +5.e, por exemplo, significa que não só possui mais prótons do que 
elétrons mas que, em sua constituição, sua carga elétrica resultante é 5 vezes 
maior que a carga elementar. 
 Sendo assim, o enunciado da Lei de Coulomb pode ser dado por: 
 
“Entre duas cargas elétricas existe uma força diretamente proporcional às 
magnitudes das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância que as separa.” 
 
 Em termos matemáticos pode-se escrever a força elétrica entre duas cargas 
elétricas Q1 e Q2 pela seguinte equação: 
 
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213
21
21
212
21
21
1 .
...4
.
ˆ.
...4
.
R
R
QQ
a
R
QQ
F
rr
επεπ
==
 
 
 Onde: 
 
 F1 = força elétrica sobre Q1 devido à presença de Q2, cuja unidade no 
SI é o newton [N] dada em homenagem a Sir Isaac Newton, cientista inglês. 
 
 
Isaac Newton (1643 – 1727) 
 
 a21 = versor apontando de Q2 para Q1 
 R21 = vetor deslocamento de Q2 a Q1 
 εεεε = permissividade elétrica do meio cuja unidade no SI é o farad/metro 
[F/m] dada em homenagem a Michel Faraday, cientista inglês. 
 
 
Michael Faraday (1791 – 1867) 
 
 εεεε = εεεεr.εεεεo � εεεεr = permissividade elétrica relativa 
 εεεεo = permissividade elétrica do espaço livre 
 
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 Coulomb ainda percebeu que, se as cargas tivessem mesmo sinal, a força 
entre elas seria de repulsão e, se fossem de sinais contrários, a força seria de 
atração. 
 Para o espaço livre (vulgo vácuo) valem as seguintes relações: 
 
Coulomb de cte./CN.m 10.9
4.π.
1
k :onde
.
.
.ˆ.
.
..
...4
.
ˆ.
...4
.
F/m 8,854.10F/m 
36.π
10
ε1ε
229
o
213
21
21
212
21
21
213
21
21
212
21
21
1
12
9
or
⇒==
====
≅=→= −
−
ε
επεπ
R
R
QQ
ka
R
QQ
kR
R
QQ
a
R
QQ
F
oo
rrr
 
 
 Por exemplo, deseja-se determinar a força elétrica sobre uma carga Q1 = 20 
µC em virtude da carga Q2 = -300 µC. Q1 está localizada em (0,1,2) m e Q2 está 
em (2,0,0) m, supondo ambas estarem no espaço livre. 
 Calculando o vetor R21 tem-se que: 
 
m 3ˆ.2ˆˆ.2)0,0,2()2,1,0( 2121 =⇒++−=−= RaaaR zyx
r
 
 
 Como as cargas estão no espaço livre a força elétrica sobre Q1 devido à 
presença de Q2 é dada por: 
 
( )( ) ( ) [N] â4.â2.â4.â2.ââ2..
3
300.10.20.10
.9.10F zyxzyx3
66
9
1 −−=++−
−
=
−−r
 
 
 Cujo módulo é 6 N e a direção mostra que realmente a força entre Q1 e Q2 é 
de atração, conforme já esperado. 
 Supõe-se agora que haja uma carga de prova Q3 = 200 µC na origem do 
sistema cartesiano. A força sobre Q1 será, neste caso, a força resultante das 
duas cargas Q2 e Q3 sobre ela. Assim sendo, calcula-se o vetor R31, o que 
resulta: 
 
m 5Râ2.â(0,0,0)(0,1,2)R 31zy31 =→+=−=
r
 
 
 Portanto a força da carga Q3 sobre Q1 resulta: 
 
( )( ) ( ) [N] â6,439876. â3,219938.â2.â.
5
200.10.20.10
.9.10F zyzy1,5
66
9'
1 +=+=
−−r
 
 
 Finalmente a força total das cargas Q3 e Q2 sobre Q1 resulta: 
 
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 Página 21 
 
[N] â2,439876.â1,219938.â4.FFF zyx
'
11 ++=+=
rrr
 
 
2. Vetor campo elétrico 
 
O campo elétrico E é a região do espaço onde atuam forças elétricas. É a 
relação entre a força elétrica total devido a um conjunto de cargas elétricas sobre 
uma carga de prova pela própria carga de prova. Sua unidade no SI é o newton por 
coulomb (N/C) ou o volt por metro (V/m) dada em homenagem a Alessandro 
Giuseppe Antonio Anastasio Volta, cientista italiano. 
 
 
Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (1745 — 1827) 
 
Assim sendo, o campo elétrico pode ser dado matematicamente por: 
 
R
R
Q
ka
R
Q
k
Q
F
E R
p
r
r
r
..ˆ..
32
=== 
 
 Por exemplo, no caso da carga Q1 do exemplo anterior, considerando as 
cargas Q2 e Q3, o campo elétrico no ponto onde ela se encontra (pois o campo 
elétrico é sempre no ponto e nunca sobre a carga) resulta: 
 
( ) [N/C] .10â1,22.â0,61.â2.E
20.10
â2,439876.â1,219938.â4.
Q
F
E
5
zyx
6
zyx
1
++=
++
==
−
r
r
r
 
 
3. Distribuições de cargas elétricas 
 
As cargas elétricas podem estar distribuídas ao longo de um sistema e 
obedecem a três formas de distribuição possíveis, a saber: 
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 Página 22 
 
I) Distribuição ao longo de uma linha: 
 
dl
R
a
kE
L
Rl .
ˆ.
.
2∫=
ρr
 
 Onde ρρρρl denomina-se densidade linear de cargas (em C/m), isto é, é 
a carga elétrica distribuída ao longo da linha; 
 
II) Distribuição sobre uma superfície: 
 
dS
R
a
kE
S
RS .
ˆ.
.
2∫=
ρr
 
 
 Onde ρρρρS denomina-se densidade superficial de cargas (em C/m
2), 
isto é, é a carga elétrica distribuída ao longo da superfície; 
 
 
III) Distribuição no volume: 
 
dVol
R
a
kE
Vol
RVol .
ˆ.
.
2∫=
ρr
 
 
 Onde ρρρρVol denomina-se densidade volumétrica de cargas (em C/m
3), 
isto é, é a carga elétrica distribuída ao longo de todo o volume; 
 
 Alguns casos particulares serão explanados em seguida: 
 
I) Cargas uniformemente distribuídas ao longo de uma linha infinita com 
densidade ρρρρl: 
 
Seja a figura 3.1 que modela uma linha infinita carregada uniformemente no 
eixo z: 
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 Página 23 
 
 
Fig. 3.1: modelo físicode uma linha infinita carregada uniformemente 
 
De acordo com a fig. 3.1 o campo elétrico pode ser dado por: 
 
( )
( )
r
l
rl
zrl
a
r
k
E
a
zrr
z
rkdz
zr
azar
kE
ˆ.
..2
ˆ.
.
....
ˆ.ˆ..
.
2225,122
ρ
ρ
ρ
=






+
=
+
−
=
∞
∞−
∞
∞−
∫
r
r
 
 
II) Carga uniformemente distribuída ao longo de um plano infinito de 
densidade ρρρρS: 
 
Seja a figura 3.2 que modela um plano infinito carregado uniformemente 
localizado em z = 0: 
 
 
Fig. 3.1: modelo físico de um plano infinito carregado uniformemente 
 
De acordo com a fig. 3.2 o campo elétrico pode ser dado por: 
 
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( )
( )
zS
zSzr
S
akE
a
zr
zkazar
zr
ddrr
kE
ˆ....2
ˆ.
1
.....2ˆ.ˆ..
...
.
0
22
2
0 0
5,122
ρπ
ρπ
φρ
π
=






+
−
=+−
+
=
∞∞
∫ ∫
r
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 4 
 
Fluxo elétrico e Lei de Gauss 
 
1. Experiência de Faraday sobre o fluxo elétrico (ΨΨΨΨ) 
 
Diferentemente do campo elétrico E a grandeza escalar fluxo elétrico ΨΨΨΨ e a 
grandeza vetorial densidade de fluxo elétrico D não são mensuráveis diretamente. 
Suas existências foram inseridas na Eletrostática a partir de experimentos realizados 
no século XIX por Michael Faraday, cientista inglês. 
 O aparato de Faraday consistia numa casca esférica condutora envolvendo 
uma carga elétrica +Q fixa em um referencial, conforme a figura 4.1. 
 
 
Fig. 4.1: Aparato de Faraday para a experiência sobre o fluxo elétrico 
 
 De início, nenhuma carga é registrada sobre a superfície da casca. 
Posteriormente, fechando-se a chave momentaneamente, de forma a ligar o terra à 
casca, uma carga negativa –Q é detectada sobre a superfície da casca. A 
justificativa do surgimento desta carga negativa –Q é devido ao fluxo transitório de 
cargas negativas fluindo através da chave, a partir do terra, que se depositaram na 
casca. A causa deste fenômeno, observado por Faraday, sugere que um fluxo de +Q 
induzido (ou deslocado) na superfície condutora provocou o deslocamento da 
quantidade –Q de carga oriunda do terra até a superfície. Desde então, este fluxo de 
cargas foi designado de deslocamento de fluxo D. 
 Faraday concluiu então que 1 C de carga elétrica corresponde a 1 C de fluxo 
elétrico, isto é: 
 
ΨΨΨΨ = Q [C] 
 
 Por convenção o fluxo elétrico inicia-se na carga positiva e termina na carga 
negativa (Fig. 4.2(a)). Neste caso, a carga positiva é a fonte do fluxo e a carga 
negativa é aquela que absorve o fluxo elétrico. Por outro lado, na ausência de carga 
negativa, o fluxo elétrico estende-se até o infinito (Fig. 4.2(b)). 
 
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 Página 26 
 
 
Fig. 4.2: Convenção do fluxo elétrico em cargas elétricas 
 
 A figura 4.3 ilustra um determinado conjunto de linhas de fluxo elétrico 
atravessando uma determinada área de secção diferencial no espaço num 
determinado ponto. 
 
 
Fig. 4.3: Linhas de fluxo elétrico e o vetor D 
 
Defini-se deslocamento de fluxo elétrico ou densidade de fluxo elétrico D 
à diferenciação do fluxo elétrico que passa numa secção transversal S, isto é, é a 
concentração do fluxo elétrico que atravessa um elemento diferencial de área num 
determinado ponto do espaço, e é dado por: 
 
][C/m â.
dS
dΨ
D 2D=
r
 
 
 Considere-se agora que uma determinada densidade volumétrica de carga 
esteja envolta pela superfície S. Considerando que 1 C de carga corresponde a 1 C 
de fluxo elétrico conclui-se que o fluxo elétrico total que passa pela superfície é 
exatamente a carga total que está confinada dentro dela. Mas nem sempre o vetor D 
é perpendicular à superfície S. Em alguns casos existe um ângulo entre os vetores D 
e dS, pois a superfície pode estar irregular (assimétrica) com relação ao fluxo, 
conforme ilustra a figura 4.4. 
 
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Fig. 4.4: Superfície qualquer e o vetor D 
 
 Assim sendo, de uma forma geral, o fluxo elétrico através da superfície S que 
confina a carga total em seu interior pode ser dada por: 
 
interna
S
QSdDΨ == ∫
r
o
r
 
 
 Cuja equação é conhecida na Eletrostática como a Lei de Gauss, em 
homenagem a Carl F. Gauss, cientista alemão, cujo enunciado pode ser dado por: 
 
“O fluxo elétrico total para fora de uma superfície fechada S é igual à carga 
elétrica total encerrada dentro desta superfície.” 
 
 
Carl F. Gauss (1777 – 1855) 
 
 Na aplicação da Lei de Gauss o fator mais importante é a sábia escolha de 
uma superfície que possua a máxima simetria possível e que envolva a carga 
elétrica em seu interior, para simplificar a resolução da integração que, na maioria 
das vêzes, nem será preciso fazer. 
 
2. Relação entre os vetores E e D 
 
Suponha que uma certa carga elétrica positiva +Q esteja na origem do 
sistema de coordenadas, conforme a figura 4.5. 
 
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Fig. 4.5: superfície gaussiana em torno da carga +Q 
 
A carga está envolta por uma superfície esférica gaussiana de raio r e é 
totalmente simétrica com relação à posição de Q. Assim sendo, aplicando-se a Lei 
de Gauss nesta configuração, pode-se escrever a seguinte equação: 
 
r
S S
a
r
Q
D
rDSDdSDSdDQ
ˆ.
..4
..4...
2
2
π
π
=
==== ∫ ∫
r
r
o
r
 
 
 Mas, nesta mesma configuração, o campo elétrico já estudado no cap. 3, 
pode ser dado por: 
rr a
r
Q
a
r
Qk
E ˆ.
...4
ˆ.
.
22 επ
==
r
 
 
 Assim sendo, pelas equações apresentadas, a relação entre os vetores E e D 
pode ser dada por: 
 
ED
rr
.ε= 
 
 
3. Condições para aplicação da Lei de Gauss 
 
As condições para a aplicação da Lei de Gauss em casos especiais (que 
envolvem considerável simetria) são: 
 
i) A superfície gaussiana deve ser fechada; 
ii) O vetor D deve ser normal (ou tangencial) a cada ponto sobre a 
superfície (ausência de irregularidades superficiais); 
iii) O módulo do vetor D deve ser constante a cada elemento de área dS 
onde D for normal à superfície; 
 
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 Página 29 
 
Como exemplo de aplicação da Lei de Gauss obedecendo às condições 
descritas, considera-se uma distribuição linear de cargas ρρρρl localizada no eixo z em 
coordenadas cilíndricas, conforme a figura 3.1. Envolvendo esta configuração com 
uma superfície gaussiana cilíndrica (é óbvio!) tem-se a figura 4.6. 
 
 
Fig. 4.6: Cilindro gaussiano envolvendoa linha de carga 
 
 Aplicando a Lei de Gauss para esta configuração resulta: 
 
∫∫∫ ++=
321
SdDSdDSdDQ
r
o
rr
o
rr
o
r
 
 Nas áreas 1 e 3 os vetores D e dS são ortogonais, logo o produto escalar 
entre eles é nulo. Porém, na superfície 2 os vetores D e dS são paralelos, o que 
resulta: 
 
LrDSDdSDQ
S
...2... π=== ∫ 
 
 Onde L é o comprimento do cilindro gaussiano. Por sua vez a carga elétrica 
total confinada no interior do cilindro pode ser dada por Q = ρρρρl . L. Substituindo este 
dado na equação da aplicação da Lei de Gauss resulta: 
 
r
l a
r
D ˆ.
..2 π
ρ
=
r
 
 
 Aplicando-se a relação entre os vetores E e D neste caso e supondo que a 
configuração esteja no espaço livre, tem-se que: 
 
r
l a
r
k
E ˆ.
..2 ρ
=
r
 
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 Página 30 
 
 Cujo resultado é exatamente o mesmo que o obtido na mesma configuração 
através da definição de campo elétrico vista no cap. 3. 
 
 Algumas aplicações da Lei de Gauss serão explanadas a seguir: 
 
I) Casca esférica de raio a e carga +Q envolta por uma outra casca esférica 
de raio b > a e carga –Q, formando um capacitor esférico: as regiões 
de interesse para determinar os vetores D e E são: um raio gaussiano r < 
a, outro raio gaussiano a < r < b e outro raio gaussiano r > b e todos 
formando esferas gaussianas; assim, aplicando-se a Lei de Gauss nestas 
regiões tem-se que: 
 
000:
ˆ.
.r4.
Q
Eˆ.
.r4.
Q
D
..4:
000:
int
22
2
int
int
=⇒=⇒=>
+
=⇒
+
=∴
+=⇒+=⇒+=⇒=<<
=⇒=⇒=<
∫∫
QEDbr
aa
QrD.QD.SQdSD.QSdDbra
QEDar
r
o
r
SS
rrrr
rr
r
o
r
rrrr
πεπ
π
 
 
II) Modelo físico do átomo, isto é, uma esfera maciça de raio a com 
densidade volumétrica de carga ρρρρVol = ρρρρo . e
-r/a: neste modelo à medida 
que o raio r aumenta diminui-se a carga total até o limite r = a; por isto, as 
regiões de interesse são um raio gaussiano r < a e um raio gaussiano r > 
a e todos formando esferas gaussianas; assim, aplicando-se a Lei de 
Gauss nestas regiões tem-se que: 
 
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 Página 31 
 
( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
r
o
o
r
o
o
a
ar
o
Vol
Vol
r
o
r
SS
o
r
ar
or
ar
o
ar
o
r
ar
o
Vol
Vol
r
o
r
SS
a
r
a
Ea
r
a
D
aQ
ddsendrerdVolQMas
aa
QrD.QD.SQdSD.QSdDar
r
aaarraea
E
r
aaarraea
D
aarraeaQ
ddsendrerdVolQMas
aa
QrD.QD.SQdSD.QSdDar
ˆ.
.
..0,1606028
ˆ.
..0,1606028
...40,1606028.
.....:
ˆ.
.r4.
Q
Eˆ.
.r4.
Q
D
..4:
.
ˆ..2..2...2.ˆ..2..2...2.
.2..2...2...4
.....:
ˆ.
.r4.
Q
Eˆ.
.r4.
Q
D
..4:
2
3
2
3
3
int
0
.2
00
/2
int
2
int
2
int
int
2
intintint
2
322/3
2
322/3
322/3
int
0
.2
00
/2
int
2
int
2
int
int
2
intintint
ε
ρρ
ρπ
φθθρρ
πεπ
π
ε
ρρ
ρπ
φθθρρ
πεπ
π
π π
π π
=⇒=∴
=∴
==
=⇒=∴
=⇒=⇒=⇒=>
++−
=⇒
++−
=∴
++−=∴
==
=⇒=∴
=⇒=⇒=⇒=<
∫ ∫∫∫
∫∫
∫ ∫∫∫
∫∫
−
−−
−
−
rr
rr
r
o
r
rr
rr
r
o
r
 
 Deve-se ressaltar que, em r = a, o valor do campo E deve ser o mesmo para 
ambas as regiões e vale: 
 
r
o
o a
a
E ˆ.
..1606028,0
ε
ρ
=
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 32 
 
Capítulo 5 
 
Eletrodinâmica 
 
1. Introdução 
 
A Eletrodinâmica é a parte do Eletromagnetismo que trata do movimento de 
cargas elétricas imersas em campos eletromagnéticos. Com o movimento de cargas 
existe a possibilidade de prever-se a existência, além dos campos elétricos, dos 
campos magnéticos. É o que acontece, por exemplo, quando o magma (rocha 
derretida à altíssima temperatura e pressão) existente no centro da Terra se move. 
Como é um fluido eletrizado, seu movimento gera o campo magnético terrestre. E, 
se o campo magnético da Terra se forma pelo movimento de cargas elétricas no 
interior do magma o mesmo movimento de cargas elétricas pode gerar também 
campos magnéticos em condutores elétricos, formando eletroímãs, que possuem a 
enorme vantagem de gerar campos magnéticos controláveis nas bobinas elétricas e 
nos solenóides, possuindo vasta aplicação na Engenharia, na área de Máquinas 
Elétricas e em seus dispositivos de comando e acionamento. 
 
2. Trabalho elétrico e potencial elétrico 
 
Para se mover uma carga elétrica se faz necessário aplicar nela uma força 
elétrica que, por sua vez, gera um trabalho elétrico. Este trabalho é dado, assim 
como na Mecânica Clássica, pelo produto escalar da força pela distância (ou vetor 
deslocamento), isto é: 
 
∫ −=→−=−=
L
e ldEQ.WldEQ.ldFdW
r
o
rr
o
rr
o
r
 
Onde o sinal negativo demonstra que a força aplicada na carga é de mesmo 
módulo que a força elétrica, porém de sinal contrário, para gerar em seu movimento 
um equilíbrio dinâmico (movimento com velocidade constante). A unidade do 
trabalho no SI é o joule [J] dada em homenagem a James Prescott Joule, cientista 
inglês. 
 
James Prescott Joule (1818 – 1889) 
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 Página 33 
 
Por exemplo, deseja-se mover uma carga elétrica de -20 µC da origem até o 
ponto (4,0,0) m através do campo eletrostático E = (0,5.x + 2.y).âx + 2.x.ây [V/m]. O 
caminho a ser realizado pela carga é ao longo do eixo x, o que se conclui que dl = 
dx.âx Portanto, o trabalho realizado é assim obtido: 
 
( ) µJ 80.dx2.y0,5.x.20.10W
4
0
6 =+= ∫
−
 
Agora, deseja-se mover a mesma carga do ponto (4,0,0) m até o ponto (4,2,0) 
m. Neste caso, como x = 4 m é uma constante, tem-se que dl = dy.ây. Assim sendo, 
o trabalho realizado fica: 
 
µJ 320.dy2.20.10W
2
0
6 == ∫
−
.x 
 
Agora, deseja-se mover a carga do ponto (4,2,0) m de volta à origem ao longo 
da diagonal que une os pontos. O trabalho fica assim determinado: 
 
( )[ ] [ ]
( )[ ]
µJ 4002,5.x.dx.20.10W0,5.dxdy0,5.xy:fazendo
2.x.dy.dx2.y0,5.x.20.10W
âdy.âdx.â2.x.â.2.y0,5.x.20.10W
0
4
6
(0,0,0)
(4,2,0)
6
(0,0,0)
(4,2,0)
yxyx
6
−==→=→=








++=








+++=
∫
∫
∫
−
−
−
o
 
 
Assim sendo, por este exemplo, quando o trabalho realizado para mover-se 
uma carga de um ponto a outro independe do caminho, isto é, se definir-se a 
trajetória de um ponto a outro num caminho fechado de tal forma que o trabalho total 
seja nulo, o campo estático que gera este trabalho (e a força associada a ele) é 
denominado conservativo. Outra forma de verificar se o campo eletrostático é 
conservativo é o teste da derivada. Por exemplo, para um campo eletrostático que 
possui duas coordenadas num sistema cartesiano definido da seguinte forma: 
 
yyxx aEaEE ˆ.ˆ. +=
r
 
 
 Para o campo eletrostático ser conservativo, pelo teste da derivada, deve-se 
verificar se: 
 
 
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 Página 34 
 
x
E
y
E yx
∂
∂
=
∂
∂
 
 
Por sua vez define-se potencial elétrico do ponto A relativamenteao ponto B 
como sendo o trabalho realizado sobre uma carga unitária positiva Q de modo a 
trazê-la de B até A isto é: 
 
∫−==
A
B
AB ldE
Q
W
V
r
o
r
 
 
 Cuja unidade no SI é o volt [V]. Define-se diferença de potencial (ddp) ∆∆∆∆V 
como sendo a diferença dos potenciais elétricos dos pontos relativos a um único 
ponto de referência, geralmente de potencial elétrico nulo (terra). Assim sendo, a 
ddp ∆∆∆∆VAB pode ser escrita da seguinte forma: 
 
∆∆∆∆VAB = VA-0 – VB-0 = VA – VB 
 
Para uma carga pontual seu campo elétrico possui simetria esférica. Assim 
sendo o potencial elétrico pode ser assim escrito: 
 






−=−=−=−= ∫∫∫
BA
r
r
r
r
r
B
A
AB
rr
Qk
r
dr
QkdrEldEV
B
A
B
A
11
.....
2
r
o
r
 
 
 Por esta equação nota-se que, considerando que o ponto A está mais 
próximo da carga do que B, o potencial é maior próximo à carga (sua fonte). Assim 
sendo, se tomar-se o infinito como referencial (rB � ∞) o potencial pode ser escrito 
como sendo: 
 
r
Qk
VA
.
= 
 
 Por exemplo, deseja-se determinar o potencial elétrico no centro de um 
quadrado de lado L onde quatro cargas pontuais +Q estão em seus vértices. Como 
a distância de todas as cargas ao centro do quadrado vale metade de sua diagonal o 
potencial devido às quatro cargas pode ser dado por: 
 
L
Qk
L
Qk
V
.2
..8
.2.5,0
..4
== 
 
 Finalmente, nota-se que, pela relação entre E e V pode-se determinar V em 
função do produto escalar entre E e dl e, além disto, integrando-se o produto escalar 
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 Página 35 
 
ao longo de L. Mas, e quando deseja-se fazer o oposto, isto é, obter E em função de 
V e dl? Parece ser uma operação simples, mas V é uma grandeza escalar e E e dl 
são vetores. Portanto, duas operações deverão ser feitas: a primeira é derivar V ao 
longo da trajetória dada por L para se opor à integração de E com dl e a segunda é 
transformar esta derivação em vetor, pois E é um vetor. Assim sendo, o operador 
matemático que faz estas duas operações ao mesmo tempo denomina-se gradiente 
que, em coordenadas cartesianas, é definido como sendo: 
 
zyx a
z
V
a
y
V
a
x
V
V ˆ.ˆ.ˆ.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
r
 
 
 Assim sendo, a relação entre E e V pode ser dada pelo gradiente definido 
como sendo: 
VE ∇−=
rr
 
 
 O sinal negativo indica que o campo elétrico E cresce na direção contrária, 
isto é, do potencial mais alto para o potencial mais baixo. 
 Por exemplo, deseja-se saber o campo elétrico de uma carga pontual na 
região 
r > 0 onde seu potencial, com referencial nulo no infinito, pode ser dado por: 
 
r
Qk
VA
.
= 
 
 Assim sendo, aplicando-se o gradiente de V em coordenadas esféricas tem-
se que: 
 
rr a
r
Qk
a
r
Qk
r
VE ˆ.
.
ˆ.
.
2
=





∂
∂
−=∇−=
rr
 
 
 E este resultado condiz totalmente com a Lei de Coulomb. 
 
3. Corrente Elétrica 
 
Corrente elétrica num ponto ou através de uma superfície é o fluxo ordenado 
de cargas elétricas que passa pelo ponto ou superfície. Geralmente adota-se a letra 
i (do alemão intensity = intensidade) para correntes variáveis no tempo e I para 
correntes invariáveis no tempo (em CC são valores máximos e em CA valores 
eficazes). O termo é apropriado para condutores metálicos (prata, cobre, ouro, 
alumínio e platina), mas inapropriado para fluidos e gases onde tanto portadores 
majoritários de carga positivos e negativos (íons) podem estar presentes. Neste caso 
é mais importante a densidade de corrente elétrica J, que será mais utilizada em 
Eletromagnetismo. Por sua vez, no SI, a unidade de i é o ampère (A) e a unidade do 
Eletromagnetismo Teoria 
 
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 Página 36 
 
J é o ampère por metro quadrado (A/m2) dada em homenagem a André Marie 
Ampère, cientista francês. 
 
 
 
André Marie Ampère (1775 – 1836) 
Nos metais a condução elétrica depende da estrutura cristalina do mesmo e 
das condições térmicas (temperatura), por causa da vibração molecular que 
aumenta conforme aumenta a temperatura. Assim sendo, quanto mais organizada 
for a estrutura do material maior a possibilidade de condução elétrica. 
Contrariamente, nos materiais isolantes esta estrutura organizada é inexistente, o 
que contribui para a baixíssima condução elétrica nestes materiais. Nos metais 
citados anteriormente, a estrutura cristalina predominante é a CFC (cúbica de face 
centrada), ilustrada na figura 5.1: 
 
 
Fig. 5.1: modelo de estrutura CFC 
 
 Nesta estrutura a maior quantidade de moléculas envolvidas denota a 
possibilidade da formação de uma maior “nuvem eletrônica” no espaço vazio entre 
os átomos. Assim sendo, uma maior quantidade de elétrons livres por unidade de 
volume implica em maior condução elétrica. Portanto, se os elétrons forem 
excitados por um campo elétrico, a corrente elétrica, em nível microscópico, pode 
ser dada por: 
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 Página 37 
 
 
SvenI m ...= 
 
 Onde: 
 
 n = número de elétrons livres por unidade de volume [elétrons livres/m3] 
 
 e = carga elementar = 1,602.10-19 C 
 
 vm = velocidade de migração dos elétrons [m/s] 
 
 S = secção transversal do metal [m2] 
 
 Por sua vez o valor de n pode ser calculado da seguinte forma (supondo que 
cada átomo dispõe de 1 elétron livre): 
 
átomo
elétron 1
.
ρ
ρ . N
n
molecular
específicaAvogadro






= 
 
 Onde: 
 
 NAvogadro = 6,02.10
26 átomos/kmol em homenagem a Lorenzo Romano 
Amedeo Carlo Avogadro, cientista italiano. 
 
 
Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) 
 
 ρρρρespecifica = massa específica do metal [kg/m
3]; 
 
 ρρρρmolecular = massa molecular do metal [kg/kmol]; 
 
 Por exemplo, para um condutor de cobre (ρespecifica = 8960 kg/m
3 � ρmolecular = 
63,54 kg/kmol) o valor de n será 8,489015.1028 elétrons livres/m3. Portanto, para um 
condutor de cobre de 1,5 mm2 de secção transversal instalado num circuito que 
consome uma corrente de 15,5 A (típico de uma instalação residencial) a velocidade 
de migração eletrônica no interior do metal pode ser dada por: 
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 Página 38 
 
mm/s 0,75984
10.5,1.10.602,1.08,489015.1
5,15
..
...
61928
=∴
==→=
−−
m
mm
v
Sen
I
vSvenI
 
 
 Estranho! Algo deve estar errado! Se os elétrons livres possuem tal 
velocidade, em 1 s eles se moveram apenas 0,75984 mm! Então, se o condutor de 
cobre ligar um interruptor à lâmpada e ele tiver 10 m, os elétrons demorarão, 
aproximadamente, 
3 horas e 39 minutos para voltar de onde vieram (dar a volta completa)! Mas então 
porquê quando se aperta o interruptor imediatamente se acende a lâmpada? A 
explicação vem do famoso “efeito dominó”: cada elétron livre, nesta velocidade 
ínfima, colide com seu vizinho e vai transmitindo a energia eletromagnética por 
transferência de quantidade de movimento até o destino final. Isto é, a tamanha 
quantidade de elétrons livres no material faz com que a energia se propague por 
“choques” entre os elétrons ao longo do comprimento do mesmo. Evidentemente,isto não evita que, parte da energia eletromagnética propagada se dissipe, em forma 
de energia térmica, nas colisões por causa do atrito entre os elétrons livres (que é o 
famoso efeito Joule, princípio de funcionamento do chuveiro elétrico, do ferro 
elétrico, da lâmpada incandescente e demais dispositivos que transformam energia 
elétrica em energia térmica). 
 Considerando-se que a velocidade migração é a relação entre o 
deslocamento de migração e o tempo de migração, pode-se escrever a equação da 
corrente elétrica da seguinte forma: 
 
t
Q
t
Sden
SvenI mm
∆
===
...
... 
 
 Isto é, a corrente elétrica também pode ser dada pela relação entre toda a 
carga elétrica que flui através da secção transversal do metal pelo tempo que 
demora para fluir. Assim sendo, o ampère como unidade de medida de corrente 
elétrica, é a relação entre 1 C de carga a cada 1 s de fluxo, isto é: 
 
1 A = 1 C/s 
 
4. Densidade de corrente de condução 
 
A densidade de corrente de condução ocorre na presença de campos 
elétricos dentro de condutores com secção transversal fixa e é dada pelo produto da 
condutividade do material pelo campo elétrico necessário para a condução elétrica, 
isto é: 
][A/m â.
dS
dI
Eσ.J 2n==
rr
 
 Onde ân é o versor normal à secção transversal do condutor. Assim sendo, 
outra forma de definir a corrente elétrica é pela definição do vetor J, isto é: 
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∫∫ ==
SS
SdEσ.SdJI
r
o
rr
o
r
 
 
 Por exemplo, para o condutor de cobre do exemplo anterior, a densidade de 
corrente de condução é dada por: 
 
2
6-
MA/m 310,
1,5.10
15,5
 
S
I
J ===
r
 
 
 Isto denota que as densidades de condução nos metais são muito elevadas, 
característica intrínseca dos mesmos. 
 Outra propriedade intrínseca dos metais é a condutividade dada pelo 
produto da densidade de carga dos elétrons livres n.e (em C/m3) pela mobilidade m 
(em m2/V.s) com que os elétrons se movem dentro do metal, isto é: 
 
n.e.mσ = 
 
 Sua unidade no SI é o siemens por metro [S/m] dada em homenagem a 
Ernst Werner von Siemens, inventor e industrial alemão. 
 
 
Ernst Werner von Siemens (1816 — 1892) 
 
 Na tabela 5.1 descrevem-se quantitativamente estas propriedades dos 
principais metais condutores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tab. 5.1: propriedades dos principais metais condutores (a 20 oC) 
Metal ρρρρespecífica (kg/m
3
) ρρρρmolecular (kg/kmol) n (elétrons/m
3
) m (m
2
/V.s) σσσσ (MS/m)
Prata 10490 107,87 5,854250.10
28
0,0067068 62,9
Cobre 8960 63,54 8,489015.10
28 
0,0042649 58,0
Ouro 19300 196,97 5,898665.10
28
0,0043388 41,0
Alumínio 2700 26,98 6,024463.10
28
0,0036472 35,2
Niquel 8908 58,71 9,134076.10
28
0,0008747 12,8
Platina 21090 195,09 6,507858.10
28
0,0009592 10,0
 
 
 Finalmente, embora estas propriedades sejam consideradas intrínsecas 
(naturais) e isotrópicas (independentes da posição espacial do metal), elas são 
variantes com a temperatura. Por isto o meio ambiente influencia a forma de 
condução nos metais de tal maneira que é preferível o metal estar sem isolação e ao 
ar livre, com a devida refrigeração, do que isolado e no interior de algum eletroduto. 
A refrigeração é fundamental para boa condução nos metais. Isto não significa, 
obviamente, que cabos de alumínio nu numa linha de transmissão elétrica na 
Finlândia ou na Sibéria, regiões extremamente frias da Terra, terão maior 
rendimento de condução do que no Brasil, por exemplo. Não se deve esquecer que 
nestas regiões inóspitas o gelo que se forma ao redor dos cabos aumenta seu peso 
(onde os diâmetros de gelo chegam a ser 7 vezes maiores do que o diâmetro do 
cabo) e isto aumenta o vão de sua catenária (curva formada pelo cabo quando 
apoiado por duas torres ou dois postes pela ação de seu peso próprio). 
Contudo, se estas propriedades forem anisotrópicas (dependentes da posição 
do metal no espaço) seus valores deverão ser descritos por matrizes de ordem 3 x 3 
e os cálculos por sistemas de equações de ordem 9 x 9, realizáveis somente por 
computadores avançados (cálculos estes conhecidos como tensoriais). 
 
5. Lei de Ohm 
 
Em homenagem a Georg Simon Ohm, cientista alemão. 
 
 
Georg Simon Ohm (1789 – 1854) 
 
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 Página 41 
 
Define-se resistência elétrica R de um metal como sendo a oposição do 
mesmo à passagem da corrente elétrica, cuja unidade no SI é o ohm (ΩΩΩΩ = S-1). Esta 
definição é bem apropriada a metais cuja corrente elétrica está em regime CC 
(corrente contínua) pois, se estiver em regime CA (corrente alternada) a definição a 
oposição à passagem de corrente elétrica denomina-se impedância elétrica Z, que, 
por sua vez, é um número complexo (NC) cuja parte real é a resistência elétrica R 
aqui definida. 
Por sua vez, a resistência elétrica é dada pela relação entre a ddp aplicada 
entre os terminais do metal pela corrente que o atravessa, isto é: 
 
∫
∫
∫
∫
==
∆
=
S
L
S
L
SdE
ldE
SdJ
ldE
I
V
R r
o
r
r
o
r
r
o
r
r
o
r
.σ 
 
E esta equação é denominada forma elétrica da Lei de Ohm. Se considerar-
se um condutor homogêneo (feito do mesmo material do início ao fim), de secção 
transversal constante S e de comprimento finito L a Lei de Ohm pode ainda ser dada 
por: 
 
S
L
dSE
dlE
SdE
ldE
I
V
R
S
L
S
L .
1
..
.
. σσσ
===
∆
=
∫
∫
∫
∫
r
o
r
r
o
r
 
 
E, por sua vez, esta equação é denominada forma geométrica da Lei de 
Ohm. Ambas as equações enunciam as Leis de Ohm da seguinte forma, a saber: 
 
 
1ª Lei de Ohm: “A resistência de um condutor filiforme e 
homogêneo é diretamente proporcional à ddp aplicada 
em seus terminais e inversamente proporcional à 
corrente elétrica que o atravessa”; 
 
2ª Lei de Ohm: “A resistência elétrica de um condutor 
filiforme e homogêneo é diretamente proporcional ao 
seu comprimento e inversamente proporcional à área de 
sua secção transversal; a relação entre a resistência e os 
demais parâmetros é a condutividade do condutor”; 
 
Embora estas definições sejam conhecidas na literatura como 1ª e 2ª Lei de 
Ohm, respectivamente, não se sabe ao certo qual delas foi enunciada primeiro. O 
que importa é que elas só são válidas para condutores filiformes (em forma de fio) e 
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 Página 42 
 
homogêneos. Outros casos que não se encaixam nestas condições deverão ser 
analisados pela definição mais básica da relação entre a ddp e a corrente elétrica. 
 Por exemplo, deseja-se determinar a resistência de isolação de um cabo 
coaxial de comprimento L, raio interno a e externo b. Admitindo que a corrente total 
irá fluir do interior para exterior do condutor, a densidade de corrente J no cabo pode 
ser dada por: 
 
Lr
I
S
I
J
...2 π
== 
 
 Onde r é a distância radial no intervalo a < r < b. Por sua vez, o campo 
elétrico nesta configuração é dado por: 
 
Lr
IJ
E
....2 σπσ
== 
 
 A ddp entre os condutoresdo cabo é dada por: 
 






=−=⋅−= ∫∫ a
b
L
I
dr
Lr
I
drEV
b
a
b
a
ab ln.
...2
.
....2 σπσπ 
 
 Portanto, aplicando a Lei de Ohm tem-se que: 
 






==
a
b
LI
V
R ab ln.
...2
1
σπ 
 
 Neste caso, vale ressaltar que a condutividade não é do condutor e, sim, do 
isolamento, que é da ordem de 10-15 S/m (geralmente poliuretano). Por exemplo, um 
cabo coaxial RG11 possui a = 0,81 mm e b = 3,555 mm. Para 1 m de comprimento 
de cabo a sua resistência de isolamento vale: 
 
Ω=





=
−
T 0,235402
81,0
555,3
ln.
1.10..2
1
15π
R 
 
 Não é à toa que no cabo coaxial o sinal deve passar pelo condutor central no 
sentido axial e não no sentido radial, pois neste sentido, a resistência de isolamento 
é altíssima, impedindo qualquer fuga de sinal no cabo. 
 Mas, dentro da Lei de Ohm, um caso em particular chama a atenção: e 
quando a secção transversal do condutor varia ao longo do comprimento? O 
caso a seguir que ilustra esta dependência da secção com o comprimento é 
denominado “o caso do tronco de cone elétrico”. 
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 Página 43 
 
 Um condutor possui uma secção transversal circular de raio r no início do seu 
comprimento e este raio vai aumentando linearmente de um fator k até atingir o 
comprimento do mesmo. A figura 5.2 ilustra as vistas de topo e de perfil do modelo 
físico do condutor. 
 
 
Fig. 5.2: vistas de topo e de perfil do modelo do condutor em tronco de cone 
 
Neste caso, deve-se escrever a equação da linearidade entre o raio e o 
comprimento e aplicar a Lei de Ohm. Assim sendo, equacionando a linearidade entre 
o raio e o comprimento tem-se que: 
 
( )
r.l
L
1kr.
R
k.rr2RLl:para
rr1R0l:para
BA.lR:eLinearidad
+
−
=∴
==→=
==→=
+=
 
 
Como existe uma variação geométrica no condutor a Lei de Ohm deve levar 
isto em consideração, fazendo-se que: 
 
∫∫ == 2σ.π.R
dl
σ.S
dl
aResistênci
 
 
Da equação da linearidade supra descrita tem-se que: 
 
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 Página 44 
 
( )
( )
.dR
1kr.
L
dl.dl
L
1kr.
dR
−
=→
−
=
 
 
Portanto, a equação da resistência deste condutor fica assim descrita: 
 
( ) ∫∫∫ −
===
k.r
r
22 R
dR
.
1kσ.π.r.
L
σ.π.R
dl
σ.S
dl
aResistênci
 
 
2σ.k.π.r
L
aResistênci =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 6 
 
Campos magnéticos estacionários 
 
 
1. Introdução 
 
Assim como o campo elétrico é o lugar no espaço onde atuam forças elétricas 
o campo magnético é também o lugar do espaço onde atuam forças magnéticas. Por 
sua vez, um campo magnético estacionário H é aquele que pode ser gerado por um 
imã permanente ou por correntes estacionárias. Sua unidade no SI é o ampère por 
metro (A/m). 
Pelas equações de Maxwell prova-se que, na presença de um campo elétrico 
estacionário (invariante no tempo) não há a necessidade da presença de um campo 
magnético estacionário (isto é, cargas elétricas em repouso não geram campos 
magnéticos). Mas, impreterivelmente, na presença de campos elétricos não 
estacionários devem existir campos magnéticos não estacionários. E a combinação 
destes campos não estacionários é que gera a onda eletromagnética (OEM). 
 
2. Lei de Biot-Savart 
 
A função desta lei é determinar o campo magnético de fontes puntiformes de 
corrente elétrica em sistemas não simétricos e ela possui este nome em 
homenagem a Jean Baptiste Biot, cientista francês e Félix Savart, médico e físico 
francês. 
 
 
Jean Baptiste Biot (1774 – 1862) 
 
Félix Savart (1791 – 1841) 
 
Seja um elemento diferencial de corrente I.dl, gerando uma intensidade 
incremental de campo magnético dH, conforme a fig. 6.1. 
 
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 Página 46 
 
 
Fig. 6.1: modelo para a lei de Biot – Savart 
 
Para este campo magnético dH valem as seguintes características: 
 
a) o campo varia inversamente com o quadrado da distância a I.dl; 
b) é independente do meio circunvizinho; 
c) possui direção e sentido fornecido pelo produto vetorial de I.dl por âR ou 
pela regra da mão direita ilustrada pela fig. 6.2; 
 
 
Fig. 6.2: regra da mão direita entre I e H 
 
A equação que define o campo magnético em função de I é dada pela Lei de 
Biot – Savart: 
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 Página 47 
 
[A/m] 
4.
 
..4
ˆ.
32
.πR
RlI.d
R
aldI
Hd R
rrr
r ×
=
×
=
π 
 
O sentido de R é do elemento de corrente para o ponto onde dH deve ser 
calculado, conforme a fig. 6.1. 
Todos os elementos de corrente que formam o filamento de corrente final 
contribuem para H e devem ser levados em conta. Portanto, a forma final da Lei de 
Biot – Savart leva-se a uma integração de todos os incrementos dH da configuração, 
isto é: 
 
∫∫
×
=
×
=
32 ..4
.
..4
ˆ.
R
RldI
R
aldI
H R
ππ
rrr
r
 
 
Por exemplo, seja um fio infinito com uma corrente filamentar retilínea ao 
longo do eixo z, conforme fig. 6.3. No ponto z = 0 está o centro da circunferência, em 
coordenadas cilíndricas, cujo raio é r. 
 
 
Fig. 6.3: exemplo de aplicação da lei de Biot – Savart 
 
Para este caso a Lei de Biot – Savart resulta: 
 
2/3222/322 ).(.4
ˆ...
).(.4
)ˆ.ˆ.(ˆ..
zr
adzrI
zr
azaradzI
Hd zrz
+
=
+
+×
=
ππ
φ
r
 
Eletromagnetismo Teoria 
 
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 Página 48 
 
Considerando que o versor âφφφφ não varia com z ele pode ser retirado da 
integração. Os limites de integração são desde z = -∞ até z = +∞, o que resulta: 
 
φφ
ππ
a
zr
dzrI
a
zr
dzrI
H ˆ.
).(.4
..
.2ˆ.
).(.4
..
0
2/3222/322 





+
=





+
= ∫∫
+∞+∞
∞−
r
 
 Esta integração é denominada imprópria, pois existe um limite tendendo ao 
infinito. Para resolvê-la aplica-se substituição trigonométrica, onde: 
 
θθθ drdztgrz .sec.. 2=⇒= 
 
O que resulta: 
( ) ( ) r
I
r
dI
tgrr
drrI
zr
dzrI
H
..2..4
.cos.
.2
....4
.sec...
.2
..4
..
.2
2/
0
2/
0
2/3222
2
0
2/322 ππ
θθ
θπ
θθ
π
ππ
==
+
=
+
= ∫∫∫
+∞
 
 Portanto: 
 
φ
π
a
r
I
H ˆ.
..2
=
r
 
 
3. Lei de Ampère 
 
A função desta lei é a mesma da anterior, porém para sistemas simétricos 
principalmente. 
Enunciado: 
 
“A integral de linha da componente tangencial de H sobre um percurso 
fechado é igual à corrente enlaçada por esse percurso.” 
 
Equacionalmente tem-se que: 
 
∫ = intIldH
r
o
r
 
 
Para poder aplicar-se a lei de Ampère com a intenção de calcular H deve-se 
observar o seguinte: 
 
EletromagnetismoTeoria 
 
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 Página 49 
 
a) a configuração deve ter considerável grau de simetria; se não houver, a lei 
de Biot – Savart deve ser empregada; 
b) em cada ponto do percurso fechado, H deve ser tangencial ou normal ao 
percurso; 
c) H tem o mesmo valor em todos os pontos do percurso onde ele é 
tangencial; 
 
Por exemplo, no caso do fio infinito da fig. 6.3, aplicando-se a lei de Ampère 
pode-se fazer: 
 
φ
π
π a
r
I
HIrHldH ˆ.
..2
)..2.(∫ =⇒==
rr
o
r
 
 
Neste caso em particular, a solução pela lei de Ampère se mostra muito mais 
simples e rápida do que a Lei de Biot – Savart, simplesmente pelo respeito às 
observações dadas. 
 
4. O operador rotacional 
 
O rotacional de um campo vetorial A é outro campo vetorial, cuja direção é 
perpendicular à A. 
Na fig. 6.4 ilustra-se um campo genérico A e um ponto P localizado numa 
região área ∆∆∆∆S limitada por uma curva fechada C, percorrida de tal forma a manter 
sempre à esquerda a área limitada. O sentido do versor ân é dado pela regra da mão 
direita. 
 
 
Fig. 6.4: modelo para o rotacional 
 
Portanto, defini-se o componente do rotacional do campo A na direção de ân 
ao limite: 
 
S
ldA
aArot
S
n
∆
=
∫
→∆
r
o
r
o
r
0
limˆ) ( 
 
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Em coordenadas cartesianas, o rotacional de A pode ser dado pelo 
determinante da matriz quadrada de ordem 3 dada abaixo: 
 
zyx
zyx
AAA
zyx
aaa
Arot
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
ˆˆˆ
 
r
 
 
 O que resulta: 
 
z
xy
y
zx
x
yz a
y
A
x
A
a
x
A
z
A
a
z
A
y
A
ˆ.ˆ.ˆ.Arot 





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=
r
 
 
 Em coordenadas cilíndricas o rotacional resulta: 
 
z
rzr
r
z a
A
r
Ar
r
a
r
A
z
A
a
z
AA
r
ˆ
).(1
ˆˆ
1
Arot 





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=
φφ
φ
φ
φ
r
 
 
Na segunda linha da matriz estão os componentes das derivadas parciais de 
A com relação às 3 coordenadas cartesianas. Estas componentes compõem o 
operador matemático denominado nabla (∇∇∇∇). 
Assim, pode escrever o rotacional de A em função do operador nabla, da 
seguinte forma: 
 
AArot
rrr
×∇= 
 
 
5. Relação entre a densidade de corrente J e o campo H 
 
Pela definição do rotacional, tem-se que: 
 
J
dS
dI
S
I
aHrot
S
n ==
∆
=
→∆ 0
limˆ) ( o
r
 
 
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JH
rrr
=×∇ 
 
Portanto, a Lei de Ampére para campos estacionários pode ser assim escrita: 
 
∫ ∫==
S
SdJldHI
r
o
rr
o
r
 
Ou ainda: 
 
( )∫ ∫ ×∇==
S
SdHldHI
r
o
rrr
o
r
 
 
6. Densidade de fluxo magnético 
 
 
Defini-se densidade de fluxo magnético B ao campo de forças associado ao 
campo magnético H, dada por: 
 
HB
rr
.µ= 
 Onde: µµµµ = µµµµo. µµµµr = permeabilidade magnética do meio; 
 µµµµo = permeabilidade magnética do espaço livre = 4.π.10
 -7 T.m/A 
 µµµµr = permeabilidade magnética relativa do meio; 
 µµµµr = 1 no espaço livre; 
 µµµµr > 10
4 para meios altamente magnéticos (máquinas elétricas) 
 
No SI a unidade de B é o tesla [T] que equivale a 1 N/A.m, dada em 
homenagem a Nicola Tesla, cientista croata. 
 
 
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Nicola Tesla (1856 – 1943) 
 
 Deve-se ressaltar que, enquanto o campo magnético H só depende de sua 
fonte (I) o vetor densidade de fluxo magnético B depende também do meio (µ) onde 
o campo H se encontra. 
 
7. Fluxo magnético 
 
Defini-se fluxo magnético ΦΦΦΦ, através de uma superfície, à soma total de todas 
as linhas de força magnética que atravessam esta superfície, isto é: 
 
∫∫ ==Φ
SS
SdHSdB
r
o
rr
o
r
.µ
 
 O fluxo magnético é uma grandeza escalar e, portanto, pode ser positivo ou 
negativo, dependendo da escolha do versor normal à superfície em dS. 
 No SI a unidade do fluxo magnético é o weber [Wb] em homenagem a 
Wilhelm Weber, cientista norte americano. 
 
 
Wilhelm Weber (1804 – 1891) 
 
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Assim, pode-se escrever que: 
 
1 T = 1 Wb/m2 
 
 Observação importante sobre o fluxo magnético: as linhas do fluxo são 
percursos fechados, sem ponto inicial ou final, ao contrário do fluxo elétrico que se 
origina nas cargas positivas e termina nas negativas. Portanto, os campos B não 
possuem fontes, o que significa dizer a não existência de monopólos magnéticos 
(pólo norte separado do pólo sul em um imã) que consiste em uma das equações de 
Maxwell. 
 
 Por exemplo, deseja-se determinar o fluxo magnético por unidade de 
comprimento de um cabo coaxial conforme modelo dado na figura 6.5. 
 
 
Fig. 6.5: modelo físico de um cabo coaxial e suas dimensões 
 
 Primeiramente determina-se o campo magnético e a densidade de fluxo 
magnético do cabo coaxial fazendo-se: 
 
φφ
π
µ
π
a
r
I
Ba
r
I
H d ˆ.
..2
.
ˆ.
..2
=→=
rr
 
 
 Após isto, integra-se a densidade de fluxo magnético na área diferencial do 
cabo na mesma direção da densidade de fluxo, isto é: 
 
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





=
Φ
∴
=





==Φ ∫∫∫∫
a
bI
L
r
dr
dz
I
adzdra
r
I
SdB
d
b
a
L
d
S
d
S
ln.
.2
.
.
.2
.
ˆ..ˆ.
..2
.
0
π
µ
π
µ
π
µ
φφ o
r
o
r
 
 
8. Vetor potencial magnético 
 
Defini-se vetor potencial magnético A ao campo vetorial cujo rotacional é igual 
à densidade de fluxo magnético B, isto é: 
 
BA
rrr
=×∇ 
 
 O vetor potencial magnético pode ser utilizado como condição intermediária 
para se obter B e, conseqüentemente, H. As unidades de A no SI são Wb/m ou T.m. 
 Por exemplo, deseja-se determinar o vetor potencial magnético A do cabo 
coaxial dado na figura 6.5. As características do vetor potencial magnético A são: 
 
a) Sua direção deve ser a mesma da fonte do campo magnético (âz); 
b) A direção do seu rotacional deve ser a mesma do vetor B (âφφφφ); 
c) A variável de integração de A e B deve ser idêntica (r); 
 
Portanto, a única parcela do rot A que atende a estas características é: 
 
z
d
z
b
r
ddz
a
r
bI
A
a
r
drI
Aa
r
I
Ba
r
A
A
ˆ.ln.
.2
.
ˆ..
.2
.
ˆ.
..2
.
ˆ.Arot 






=∴
=→==
∂
∂
−=×∇= ∫
π
µ
π
µ
π
µ
φφ
r
rrrrr
 
 
9. Teorema de Stokes 
 
A função do teorema de Stokes, no Magnetismo, é relacionar o vetor potencial 
magnético com o fluxo elétrico e possui seu nome em homenagem a George Gabriel 
Stokes, cientista irlandês. 
 
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