Coelho F. U. & Lourenço M. L. Um curso de álgebra linear (2007)

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Os conceitos envolvidos em Álgebra 
Linear constituem atualmente 
ferramentas muito úteis nas várias 
áreas da Matemática, seja explorando 
apenas os seus aspectos mais 
algébricos, seja levando em conta os 
aspectos geométricos e topológicos 
embutidos na teoria. Com isso, ela se 
torna relevante na resolução de 
sistemas de equações lineares, 
equações diferenciais, nas 
aproximações e interpolações, no 
reconhecimento de quádricas, entre 
outros tipos de problemas 
matemáticos. 
O principal objetivo deste livro é o 
de trabalhar os conceitos 
fundamentais da Álgebra Linear, 
visando sua posterior utilização em 
outras áreas. Ao contrário de suas 
disciplinas básicas, voltadas ao estudo 
de espaços vetoriais sobre o conjunto 
dos números reais, aqui são estudados 
espaços vetoriais sobre corpos em 
geral, o que inclui, por exemplo, o 
conjunto dos números complexos, 
além do conjunto dos �úmeros reais. 
O enfoque é principalmente 
algébrico, sem, porém, relegar a 
um segundo plano os aspectos 
geométricos. Esta escolha baseia-se 
principalmente na convicção de 
que, com isto, é possível ressaltar 
mais efetivamente os conceitos 
f<�rmais que norteiam a teoria. 
Desenvolvido a partir da experiência 
dos autores como professores da 
Universidade de São Paulo na área 
de Exatas, o livro aplica-se tanto ao 
ensino em nível de graduação 
como de pós-graduação, sobretudo 
nos cursos de Matemática e Física. 
Reitora 
Vice-reitor 
Diretor-presidente 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Suely Vilela 
Franco Maria Lajolo 
EDITORA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Plínio Martins Filho 
COMISSÃO EDITORIAL 
Presidente José Mindlin 
Vice-presidente Carlos Alberto Barbosa Dantas 
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Carlos Augusto Monteiro 
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Ricardo Toledo Silva 
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Diretora Comercial !vete Silva 
Diretor Administrativo Peter Greiner Jr. 
Editoras-assistentes Marilena Vizentin 
Carla Fernanda Fontana 
Mônica Cristina Guimarães dos Santos 
,,, 
UM CURSO DE ALGEBRA LINEAR 
Flávio Ulhoa Coelho 
Mary Lilian Lourenço 
Copyright © 2005 by Flávio lflhoa Coelho e Mary Lilian Lourenço 
1' edição 2001 
2' edição revista e ampliada 2005 
2' edição revista e ampliada, I' reimpressão 2007 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Coelho, Flávio Ulhoa. 
Um Curso de Álgebra Linear I Flávio Ulhoa Coelho, Mary 
Lilian Lourenço. - 2. ed. rev. e ampl., 1. reimpr. - São Paulo: 
Editora da Universidade de São Paulo, 2007. -(Acadêmica, 34) 
Bibliografia. 
ISBN 978-85-314-0594-5 
1. Álgebra linear 1. Lourenço, Mary Lilian II. Título 
II. Série 
00-4938 
bulices para catálogo sistemático: 
1. Álgebra linear: Matemática: 512.5 
Direitos em reservados à 
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Printed in Brazil 2007 
Foi feito o depósito legal 
Aos nossos pais, 
Geraldo e Marina 
José e Aparecida 
SUMÁRIO 
Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 
1 . Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 
1.1 Números.................................................... 17 
1.2 Corpos...................................................... 20 
1.3 Resolução de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 
1.4 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 
2. Espaços Vetoriais ................................................ 39 
2.1 Espaços Vetoriais.......................................... 39 
2.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 
2.3 Espaços Vetoriais Finitamente Gerados................ 51 
2.4 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 
2.5 Métodos Práticos para Completamento de Base . . . . . . . . 67 
2.6 Somas Diretas.............................................. 71 
2.7 Espaços Quocientes .............................. .......... 74 
2.8 Apêndice ......... ......................... ·.:... . . . . . . . . . . . . 76 
10 • Um Curso de Álgebra Linear 
3. Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 
3.1 Conceitos Básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 
3.2 O Núcleo e a Imagem de uma Transformação Linear. . . 8 5 
3.3 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 
3.4 Matrizes de Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 
3.5 O Espaço L(U, V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
4. Funcionais Lineares ............................................. 109 
4.1 O Espaço Dual.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 
4.2 O Espaço Bidual.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 
4.3 Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 
4.4 Anuladores . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 124 
4.5 Transpostas de Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 
5. Formas Canônicas ............................................... 13 3 
5.1 Operadores Diagonalizáveis ............................... 13 4 
5.2 Subespaços T-invariantes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 
5.3 Polinômios Minimais e o Teorema de Cayley-Hamilton 14 8 
5.4 Espaços vetoriais T-cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 
5.5 Operadores Nilpotentes ................................... 158 
5.6 Formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 
6. Espaços com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 
6.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 
6.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 
6.3 Subespaço Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 
6.4 A Melhor Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . 194 
6.5 Transformações que Preservam Produtos Internos . . . . . . 201 
7. Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 
7.1 Funcionais Lineares e Adjuntos . . . . . . . . .... . . . .. . . . . . . . . . . 207 
7.2 Auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 
7.3 Operadores Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 
7.4 Operadores Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 225 
8. Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 
8.1 Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 
Sumário • 11 
8.2 Formas Simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 
8.3 Formas Quadráticas ....................................... 242 
8.4 Reconhecimento de Quádricas . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 
Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 
Sobre os Autores . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 
PREFÁCIO 
Os conceitos envolvidos em Álgebra Linear constituem atual­
mente ferramentas bastante úteis nas várias áreas da Matemática, 
quer seja explorando apenas os seus aspectos mais algébricos, quer 
seja levando em conta os aspectos geométricos e topológicos embu­
tidos na teoria. Com isto, ela se torna bastante útil na resolução de 
sistemas de equações lineares, equações diferenciais, aproximações, 
interpolação, reconhecimento de quádricas, apenas para citar alguns 
problemas matemáticos. Conceitos básicos de Álgebra Linear são 
normalmente ensinados em praticamente todos os cursos de gra­
duação nas áreas de Ciências Exatas e um aprofundamento deles 
é essencial em muitos desses cursos, especialmente os de Matemática 
e Física. 
Este texto foi desenvolvido ao longo dos últimos anos a par­
tir de nossa experiência em lecionar disciplinas de Álgebra Linear 
1 e II nos cursos de graduação e pós-graduação na Universidade de 
São Paulo. Nosso objetivo ao escrevê-lo não foi o de suprir um tex­
to elementar de Álgebra Linear, mas sim um texto para um segun-
14 • Um Curso de Álgebra Linear 
do curso, onde os conceitos algébricos pudessem ser amadurecidos e 
aprofundados para posterior utilização. Neste espírito, acreditamos 
que ele possa servir como livro-texto tanto de uma segunda disci­
plina em Álgebra Linear em cursos de graduação, como também de 
uma disciplina de pós-graduação. Alguns tópicos tratados aqui não 
são normalmente ministrados em disciplinas de graduação como, por 
exemplo, a forma de Jordan, mas são essenciais em cursos de pós­
graduação. Assim também como muitos resultados provados no tex­
to para os chamados espaços vetoriais de dimensão finita podem ser 
generalízados para espaços vetoriais arbitrários. As demonstrações 
de tais generalizações são deixadas, via de regra, como exercícios para 
os leitores. Organizamos o texto de tal forma que possa servir a estes 
dois públicos-alvo. 
O nosso enfoque aqui é principalmente algébrico, sem, porém, 
relegar a segundo plano os aspectos geométricos. Esta escolha se ba­
seia principalmente em nossa convicção de que, com isto, é possível 
ressaltar melhor os conceitos formais que norteiam a teoria. Tive­
mos a intenção de fazer um texto auto-suficiente para um aluno 
universitário da área de Exatas que tenha uma certa maturidade 
matemática. E nossa expectativa é que, ao final de sua leitura, o 
aluno tenha condições de utilizar bem a ferramenta Álgebra Linear. 
Ao contrário das disciplinas básicas de Álgebra Linear nas 
quais são estudados os chamados espaços vetoriais sobre o conjun­
to dos números reais, o que estudaremos aqui são espaços vetoriais 
sobre uma estrutura algébrica mais geral chamada de corpo, o que 
inclui, por exemplo, além do conjunto de números reais, o conjunto 
dos números complexos. Iremos no Capítulo 1 relembrar estes con­
ceitos e também outros que serão úteis ao longo do texto como, por 
exemplo, resolução de sistemas lineares, matrizes e determinantes. 
O Capítulo 2 será dedicado à introdução dos conceitos de es­
paço vetorial e de base que servirão como alicerce ao que virá a seguir. 
Nos Capítulos 3, 4 e 5 estudaremos certas funções entre espaços ve­
toriais chamadas de transformações lineares, primeiramente de uma 
maneira mais geral e depois particularizando os seus domínios e con­
tradomínios. 
No Capítulo 6 iremos definir nos espaços vetoriais os chama-
Prefácio • 15 
dos produtos internos e com isto generalizar resultados usuais sobre o 
espaço euclidiano lR. 3. No Capítulo 7 voltaremos a estudar as trans­
formações lineares, mas agora levando-se em conta produtos internos 
nos espaços do domínio e contradomínio. Por fim, o Capítulo 8 será 
dedicado às formas bilineares, voltado principalmente para o reco­
nhecimento de quádricas. 
Gostaríamos de deixar aqui registrado os nossos agradecimen­
tos aos vários alunos de nossos cursos que leram versões preliminares 
deste texto e nos auxiliaram muito ao apontarem imprecisões e su­
gerirem melhorias. De forma particular, agradecemos Daniela M. S. 
Vieira pela especial ajuda com que nos auxiliou nesta tarefa. 
Dezembro de 2000 
Nesta segunda edição, além de uma revisão geral, fizemos 
várias modificações pontuais ao longo do texto e de forma mais sig­
nificativa no Capítulo 5. Gostaríamos de agradecer comentários de 
vários colegas que muito nos ajudaram a preparar esta nova edição, 
de forma particular ao Vitor de Oliveira Ferreira por suas valiosas 
sugestões. 
Novembro de 2004 
1 
PRELIMINARES 
Neste capítulo recordamos alguns fatos e estabelecemos algu­
mas notações que serão utilizadas ao longo do livro. Assumiremos, 
no entanto, que o leitor esteja familiarizado com o material exposto 
aqui e, em particular, não faremos as demonstrações dos resultados 
aqui enunciados. Indicamos os textos [B], [HK) e [PC] para maiores 
detalhes. 
1.1 NÚMEROS 
1.1.1 Comecemos discutindo os vários conjuntos numéricos que serão 
utilizados ao longo do texto. 
Números Naturais N = {1, 2, · · · }, N0={O,1, 2, · · · }. 
Números Inteiros Z = {- · · , -2, -1, O, 1, 2, · · · }. 
Números Racionais Q = { � : p, q E Z e q-=!- O}. 
Números Reais O conjunto dos numeros reais será denotado por lR.. 
18 • Um Curso de Álgebra Linear 
Não iremos fazer aqui uma formalização deste conjunto, mas o leitor 
poderá encontrá-la facilmente em livros de análise matemática. Tra­
balharemos com a idéia intuitiva usualmente associada a este con­
junto. 
Iremos utilizar naturalmente as operações de soma e multipli­
cação usuais nestes conjuntos. Quando quisermos indicar os subcon­
juntos de Z, Q e IR excluindo-se o número O, indicaremos por Z *, 
Q * e IR *, respectivamente. 
1.1.2 NÚMEROS COMPLEXOS 
Pelo resto desta seção iremos nos concentrar no conjunto dos 
números complexos. 
O conjunto dos números complexos é o conjunto 
C = {a + bi : a, b E IR } 
munido das operações a seguir. Se z = a+ bi, w 
definimos a sua soma por 
e+ di E C, 
z + w =(a+ bi) +(e+ di) =(a+ e)+ (b + d)i 
e o seu produto por 
z · w =(a+ bi) ·(e+ di) = (ac - bd) + (bc + ad)i. 
Observe que, nesta operação, i2 = i · i = -1. O elemento i é chamado 
de imaginário puro. Em geral, se z = a+bi, com a, b E IR ,_denotamos 
a= re(z) (a parte real de z) e b = im(z) (a parte imaginária de z). 
Assim, z = re(z) + im(z)i. 
Muitas vezes, é conveniente representar os números complexos 
geometricamente como pontos de um plano. Munimos o plano IR 2 
de maneira usual com os eixos cartesianos e identificamos o número 
complexo z = a + bi com o ponto (a, b) E IR 2. De modo alternativo, 
podemos usar coordenadas polares e, portanto, para (a, b) E IR 2, 
teremos que a = r cos (} e b = r sen (}, onde r é a distância da origem 
do plano ao ponto (a, b) e (} indica o ângulo formado entre o eixo Ox 
e a reta que passa pela origem do plano e por (a, b). 
Preliminares • 19 
Lembramos que o módulo de um número complexo z é definido 
como sendo 
lzl = Ja2 + b2. 
A representação polar de um número complexo não nulo z será entãoz = r cos B + i r sen B = r ei8, onde r = lzl. 
b ............. . (a, b) <--+ z = a + bi 
lzl 
B 
a 
Dado z = a + bi, o conjugado complexo de z é definido como 
sendo z := a - bi. Na forma polar, se z = r ei8 então z = r e-iB. 
Considerar o conjugado de um número complexo corresponde, geo­
metricamente, a refleti-lo em relação ao eixo real Ox. 
1.1.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
O próximo teorema será de fundamental importância quando 
discutirmos raízes de certos polinômios no Capítulo 5. Não daremos· 
a sua demonstração aqui, mas ela pode ser encontrada facilmente em 
livros de álgebra. 
TEOREMA. Todo polinômio com coeficientes em C possui raízes 
complexas. 
Um conjunto que satisfaz a propriedade do teorema acima é 
dito algebricamente fechado. Não é difícil ver que os conjuntos 1Q e 
IR não são algebricamente fechados, isto é, existem polinômios em IQ 
e em IR que não possuem raízes nestes conjuntos. 
1.1.4 EXERCÍCIO 
(1) Verifique que as seguintes propriedades valem para todos z, 
w EC: 
20 • Um Curso de Álgebra Linear 
(a) z = z. 
(b) z+z = 2re (z), z-z 
(c) lz l = lzl, z · z = lzl2• 
2i im (z). 
(d) z + w = z + w e z · w = z · w. 
(e) lz · wl = lzl · lwl. 
(f) lz + wl2 = lzl2 + lwl2 + 2 re (z · w). 
(g) Ire (z)I � lzl, lim (z)I � lzl. 
(h) lz + wl � lzl + lwl. 
(i) l lzl- lwl 1 � lz+wl 
(j) z-1 = z-1 
1.2 CORPOS 
1.2.1 Como dissemos na introdução, um dos objetivos destas notas 
é desenvolver o conceito de espaço vetorial sobre corpos arbitrários. 
Para tanto, começamos com a seguinte definição. 
DEFINIÇÃO. Um conjunto não vazio lK é um corpo se em lK puder­
mos definir duas operações, denotadas por + (adição) e · (multipli­
cação), satisfazendo as seguintes propriedades: 
(Al) a + b = b + a, V a, b E lK (propriedade comutativa). 
(A2) a+(b+c) = (a+ b)+c, V a,b,c E lK (propriedade associativa). 
(A3) Existe um elemento em lK, denotado por O e chamado de ele­
mento neutro da adição, que satisfaz O+a = a+O = a, V a E lK . 
(A4) Para cada a E lK, existe um elemento em lK, denotado por 
-a e chamado de oposto de a (ou inverso aditivo de a) tal que 
a + (-a) = (-a) + a= O. ) 
(Ml) a · b = b ·a, V a, b E lK (propriedade comutativa). 
(M2) a· (b · c) =(a· b) · c, V a, b, c E lK (propriedade associativa). 
(M3) Existe um elemento em lK, denotado por 1 e chamado de ele­
mento neutro da multiplicação, tal que l·a = a·l =a, V a E lK. 
Preliminares • 21 
(M4) Para cada elemento não nulo a E lK, existe um elemento em 
lK, denotado por a-1 e chamado de inverso multiplic ativo de 
a, tal gue a· a-1 = a-1 · a = 1. 
(D) (a+ b) · e = a · e+ b · e, V a, b, e E lK (propriedade distributiva). 
Como é usual, vamos muitas vezes simplificar a notação do 
produto indicando simplesmente ab para o produto a · b. 
1.2.2 EXEMPLOS 
(a) São exemplos de corpos: Q , R e C . O conjunto Z não é corpo, 
pois a propriedade (M4) não é satisfeita para este conjunto. 
(b) Seja Q ( \1'2) o conjunto formado pelos elementos a + b\1'2 com 
a, b E Q. Dados a+ b\1'2 E Q ( \1'2) e e+ d\1'2 E Q ( \1'2) , defina 
a soma e o produto, respectivamente, como: 
• (a+ b\1'2) +(e+ d\1'2) =(a+ e) + (b + d)\1'2 E Q ( \1'2). 
• (a+bv'2)·(c+d\1'2) = (ac+2 bd)+(ad+bc )v'2 E Q(\1'2). 
Deixamos a cargo do leitor a verificação de que Q ( \1'2) é um 
corpo. Em particular, determine o inverso de um elemento 
a+ b\1'2 =/.O em Q ( \1'2) . 
(c) Vamos olhar alguns conjuntos finitos que são corpos. Sejam 
um inteiro positivo não nulo e defina as seguintes operações no 
conjunto Zm = {Õ, I, · · · , m -1}: 
• a + b = e, onde e é o resto da divisão de a + b por m. 
• a · b = d, onde d é o resto da divisão de a · b por m. 
Por exemplo, se m = 6, teremos que Zm = {Õ, I, 2, 3, 4, 5} com 
as seguintes tabelas de operações: 
22 • Um Curso de Álgebra Linear 
+ o 1 2 3 4 
o o I 2 3 4 
1 1 2 3 4 5 
2 2 3 4 5 o 
3 3 4 5 o 1 
4 4 5 o 1 2 
5 5 o I 2 3 
5 o 1 2 3 4 5 
5 o o õ o o o õ 
o 1 o 1 2 3 4 5 
1 2 o 2 4 o 2 4 
2 3 o 3 o 3 o 3 
3 4 o 4 2 o 4 2 
4 5 o 5 4 3 2 I 
Considere agora a E Z e faça a divisão de a por m, isto é, 
escreva a = bm + r com O � r < m. Denotaremos a = r. Ob­
serve que esta notação é compatível com as operações definidas 
·acima. Como conseqüência, cada elemento de Z m pode ser 
representado de infinitas maneiras. Por exemplo, o elemento 
Õ pode ser escrito como O = m = 2m = . . . = pm = · · · , ou, 
mais geralmente, a = a + pm, com p E Z . Afirmamos que as 
operações acima definidas em Z m satisfazem as propriedades 
(Al) a (A4), (Ml) a (M3) e (D). Deixamos a cargo do leitor 
tal verificação. Observe que nem sempre a propriedade (M4) é 
satisfeita (para m = 6, por exemplo, os elementos 2, 3 e 4 não 
têm inversos). 
Na realidade, vale que: Z m é um corpo se e somente se m for 
um número primo. Por um lado, se m não for primo, isto é, 
se m = pq com 1 < p, q < m, então o produto p · q = O. 
Se Z m fosse um corpo, então ou p ou q deveria ser nulo (veja 
Exercício 1.2.3(2)), o que contradiz o fato de 1 < p, q < m. 
Por outro lado, suponha que m seja um primo e seja a E Zm, 
ai- O. Observe que mdc(a, m) = 1. O teorema de Bézout (ver, 
por exemplo, [PC]) nos garante que existem r, s E Z tais que 
ar + ms = 1. Se dividirmos esta expressão por m chegarem,os 
a a · r = I. Isto mostra que a tem inverso, e o resultado está 
provado. Em particular, Z 5, Z 7, Z 43 são exemplos de corpos, 
enquanto Z 4, Z 45, Z 3600 não são. 
1.2.3 EXERCÍCIOS 
(1) Seja A um conjunto com uma operação+ que seja associativa, 
Preliminares • 23 
que tenha um elemento neutro, tal que todo elemento tenha 
um oposto com relação ao elemento neutro (um tal conjunto é 
chamado de grupo). Mostre que: 
(a) O elemento neutro é único. 
(b) O oposto de um dado elemento é único. 
(c) Vale a lei do cancelamento, isto é, se a + b =a + e então 
b =e. 
Se a operação + em um tal conjunto for também comutativa, 
então dizemos que A é um grupo abeliano. 
(2) Seja OC um corpo. Então o conjunto OC com a operação de 
adição e o conjunto OC * = OC \ {O} com a operação de multi­
plicação são grupos abelianos. Portanto, os elementos O, 1 são 
únicos, assim como são únicos o oposto (-a) e o inverso mul­
tiplicativo a-1 de cada elemento a E OC *. Mostre que em OC 
valem: 
(a) a· O= O, para todo a E OC. 
(b) Se a · b = O com a, b E OC então ou a = O ou b = O. 
(c) SeaEIK, -a=(-l)·a. 
(3) Seja OC um corpo. Definimos a característica car OC de OC da 
seguinte maneira: (i) se a soma 1+1 + · ·+ 1 for sempre diferente 
de zero, então car OC = O; (ii) se a soma 1 + 1 + · · · + 1 = O, 
..._,,..._.., 
m 
para algum m � 2, então car OC é o menor número m com esta 
propriedade. 
(a) Mostre que se car OC = m =f. O, então m é um número 
primo. 
(b) Exiba corpos com características iguais a O e outros com 
características distintas de O. 
1.3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
1.3.1 Sabemos que muitos problemas práticos podem ser equaciona­
dos em termos de sistemas lineares. Na realidade, muito do que 
24 • Um Curso de Álgebm Linear 
discutiremos neste livro surgiu, historicamente falando, do estudo 
desses sistemas. Nesta seção iremos discutir um pouco tais sistemas. 
Sejam lK um corpo e 
{ a11x1 + · · · + a1nXn = O 
am1X1 + · · · + amnXn = Ü 
(I) 
um sistema de equações lineares homogêneas com coeficientes aij em 
lK, i = 1, 
· · · 
, m,j = 1, · · · , n, e incógnitas x1, · · · , Xn· Resolver esse 
sistema é encontrar n elementos a1, · · · , nn E lK tais que 
{ a11n1 + · ·: · + a1nltn =O 
am1G1 + · · · + amnltn = Ü. 
Uma possível estratégia para resolver esse sistema é por meio 
do processo de escalonamento. O que buscamos é, após efetuarmos 
certas operações nestas equações, chegar a um outro sistema que 
seja mais fácil de resolver e que tenha o mesmo conjunto de soluções. 
Antes de formalizarmos,vamos exemplificar esse procedimento. 
1.3.2 EXEMPLO 
Considere o sistema linear 
{ = 
3x1 2x2 + 4x4 o (1) 
6x1 + 4x2 X3 + X4 = o (2) 
3x1 + 2x2 X3 + 5x4 o (3) 
Substituindo-se a equação (2) pela soma da equação (2) com 
duas vezes a equação (1), teremos 
{_ 
3x1 2x2 + Ox3 + 4x4 = o (1') 
Ox1 + Ox2 X3 + 9x4 o (2') 
3x1 + 2x2 X3 + 5x4 o (3') 
Agora, substituindo-se a equação (3') pela soma das equações 
(1') e (3') subtraída da equação (2'), chegamos ao seguinte 
Preliminares • 25 
sistema 
{ 
3x1 2x2 + ÜX3 + 4x4 o (1") 
Ox1 + Ox2 X3 + 9x4 o (2") 
Ox1 + Ox2 + Ox3 + Ox4 o (3") 
Por fim, multiplicando-se a equação (1") por 1/3, e a equação 
(2") por -1, teremos ao final o sistema 
o 
o 
Este último sistema está na forma escalonada. Observe que, 
dados valores x2, X4 E IR , teremos uma solução do sistema ori-
. 1 dad 2 4 . 9 A . ' . gma a por X1 = 3x2 - 3x4, x2, X3 = X4, X4. s vanave1s 
x1, x3 são ditas variáveis dependentes das variáveis x2, x4. Não 
é difícil verificar que as soluções do sistema inicial e deste último 
sistema são as mesmas. 
1.3.3 Por meio de certas operações, exemplificadas acima, dado um 
sistema de equações lineares homogêneas ( I), chegamos a um sistema 
mais simples de ser resolvido. As operações usadas são as seguintes: 
(el) Troca de posições de duas equações. 
(e2) Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo. 
( e3) Substituição de uma equação pela soma desta equação com 
alguma outra. 
Estas operações são chamadas de operações elementares. 
Dizemos que dois sistemas de equações a n incógnitas são 
equivalentes se tiverem as mesmas soluções. Deixamos ao leitor 
verificar que ao efetuarmos operações elementares em um sistema 
linear iremos produzir um outro sistema equivalente (ver Exercício 
1.3.5(2)). A idéia, é claro, é produzir por meio destas operações ele­
mentares um sistema equivalente mais simples, como feito no 
exemplo acima. 
26 • Um Curso de Álgebra Linear 
DEFINIÇÃO. Um sistema linear 
{ bnx1 + · ·:· + binXn = O 
br1X1 + · · · + brnXn = O 
(II) 
será chamado de escalonado se existirem 1 :$ li < l2 < · · · < lr :$ n 
tais que bil; =f. O, para cada i = 1, · · · , r e bij = O se 1 :$ j < li· 
A seguinte proposição é de fácil verificação. 
PROPOSIÇÃO. Todo sistema linear com m equações e com coefi­
cientes em um corpo é equivalente a um sistema escalonado com 
r :$ m equações. 
Enfatizamos que, ao se efetuar um escalonamento de um sis­
tema linear, utiliza-se fortemente as operações e propriedades defi­
nidoras de corpo. Em particular, é importante que os elementos 
tenham inversos multiplicativos. Na realidade, não é difícil ver que 
o escalonamento feito acima depende apenas dos coeficientes das 
equações e, por isso, podemos fazê-lo por meio do escalonamento 
de matrizes. É o que faremos na próxima seção. 
1.3.4 O seguinte resultado decorre facilmente das observações feitas 
acima, mas será bastante útil ao longo do texto. 
PROPOSIÇÃO. Se o número de equações em um sistema linear ho­
mogêneo com coeficientes em um corpo for menor do que o número 
de suas incógnitas, então tal sistema terá uma solução não trivial. 
1.3.5 EXERCÍCIOS 
(1) Resolver os sistemas abaixo: 
(a) 
{ 
3x -5y = Õ 'E..7. 2x -4y = Õ 
em 
(b) 
{ 
(2 + 3J2)x1 -3x2 +x3 = Ü Q(J2). 
(1- J2)x1 +J2x3 
em 
=
Ü 
(c) 
{ 
i X +i y = Ü e. em 
2i X -y = Ü 
Preliminares • 27 
(2) Mostre que efetuar operações elementares em um sistema linear 
produz um sistema linear equivalente. 
(3) Mostre que todo sistema linear com coeficientes em um corpo 
é equivalente a um sistema escalonado. 
(4) Mostre que se o número de equações em um sistema linear 
homogêneo com coeficientes em um corpo for menor do que o 
número de suas incógnitas, então tal sistema terá uma solução 
não trivial. 
1.4 MATRIZES 
1.4.1 Iremos, nesta seção, recordar os principais fatos sobre as ma­
trizes que serão utilizadas ao longo deste texto. Para detalhes, in­
dicamos [HK]. Ao longo desta seção, lK denotará um corpo. 
Sejam m, n dois inteiros positivos. Uma matriz m por n A 
sobre lK é dada por m x n valores aij E lK, com 1 � i S m, 1 S j S n 
agrupados em m linhas e n colunas, e será representada como: 
( 
au 
A= (aij)i,i = : 
am1 
No conjunto M mxn(1K) de todas as matrizes m x n sobre lK podemos 
definir as seguintes operações: 
A. Soma de matrizes Se A= (aij)i,j, B = (bij}i,j E Mmxn(lK), então 
a soma A+ B é a matriz C = (cij)i,j E Mmxn(lK), tal que, para 
cada par (i,j), temos Cij 
= 
aij + bij, isto é, 
A+B 
)� 
28 • Um Curso de Álgebra Linear 
Deixamos a cargo do leitor a verificação de que com esta operação, 
Mmxn(OC) é um grupo abeliano, isto é, satisfaz as propriedades (Al) - (A4) de (1.2.1). 
B. Multiplicação por escalar Se A= (aij)i,j E Mmxn(OC) e À E JK, 
podemos definir o produto de À por A como sendo a matriz B = 
(bij)i,j E Mmxn(OC) tal que, para cada par (i,j) , temos bij = Àaij: 
1.4.2 PRODUTO DE MATRIZES 
Sejam A= (aij)i,j E Mmxn(OC) e B = (bij)i,j E Mnxp(OC), 
isto é, com o número de colunas de A igual ao número de linhas 
de B. Podemos definir o produto de A por B como sendo a matriz 
C = (cij)i,j E Mmxp(OC) tal que 
n 
Cij = 
I: 
l=l 
ou então, 
A· B ( 
ailblj, para i = 1, · · · , m, e j = 1,. · · ,p, 
au •
;
n ) C;' aml amn bnl 
n n 
L:; a11b11 L:; a11b1p 
l=l l=l 
n n 
L am1b11 L:; am1b1p 
l=l l=l 
b1p ) bnp 
Não é difícil verificar que esta operação é associativa. Ela 
torna-se mais interessante, no entanto, quando tivermos as matrizes 
A = ( aij )i,j e B = (bij )i,j quadradas, isto é, matrizes onde o número 
de linhas coincide com o número de colunas ou, em outras palavras, 
quando A, B E Mnxn(OC), para algum n � 1 (conjunto que também 
Preliminares • 29 
será denotado por M n (OC)). Neste caso, a operação de multiplicação 
de matrizes tem um elemento unidade que será a matriz 
Em geral, tal operação não é nem comutativa, nem possui in­
versos multiplicativos. Deixamos a cargo do leitor exibir exemplos 
de matrizes que contrariam estas últimas propriedades. 
1.4.3 MATRIZES TRANSPOSTAS 
Dada uma matriz A= (aij);.,j E Mmxn(OC), definimos a sua 
transposta como sendo a matriz At = (bij)i,j E Mnxm(OC) tal que 
bij = aji para cada par (i,j). Por exemplo, se 
então 
A= ( -2 l O ) E M2x3(1R), 4 o 7r 
At = ( 
-
0
2
1 :o 
) 
" E M 3x2(1R ). 
1.4.4 FUNÇÃO TRAÇO 
Seja A= (aij )i,j E Mn(OC) uma matriz quadrada. Definimos 
o traço tr A de A como sendo a soma dos elementos de sua diagonal 
principal, isto é, 
n 
tr A 
2: 
aii· 
i=l 
Por exemplo, 
( 
-1 4 
�) 
tr o 1 = 1. 
-2 11 
30 • Um Curso de Álgebra Linear 
1.4.5 ESCALONAMENTO DE MATRIZES E POSTO DE UMA MATRIZ 
Como observamos na Seção 1.3 acima, para se escalonar um 
sistema de equações lineares homogêneas, efetuamos certas operações 
chamadas elementares em seus coeficientes. Na realidade, podemos 
pensar na matriz dos coeficientes deste sistema linear e efetuar as 
mesmas operações diretamente nas linhas desta matriz. Mais especi­
ficamente, seja 
{ 
a11X1 + · ·: · + a1nXn = O 
am1X1 + · · · + amnXn = Ü 
(J) 
um sistema de equações lineares homogêneas com coeficientes 
aij E][(, i = 1, · · · , m,j = 1, · · · , n. A matriz dos coeficientes de (I) 
será a matriz 
( 
ª
�
.
1 ª
�
.
n 
) 
aml amn 
E M mxn(OC ). 
É claro que uma solução do sistema (I) será então uma matriz 
( O:ij )i,j E M n x 1 (OC) tal que 
Com isso, o processo de resolução de um sistema linear homogêneo 
com coeficientes em um corpo se reduz basicamente a escalonar a 
matriz de seus coeficientes. Em geral, podemos escalonar qualquer 
matriz utilizando as operações elementares descritas em (1.3.3) em 
suas linhas. Vamos exemplificar tal processode escalonamento. 
EXEMPLO 
Considere a matriz 
A 
( _: 
-3 
-2 
4 
2 
o 
-1 
�1 
Preliminares • 31 
Vamos efetuar sucessivamente as seguintes operações nas linhas 
de A: (1) substitui-se a segunda linha da matriz pela soma da 
segunda linha com duas vezes a primeira linha; (2) na matriz 
resultante, substitui-se a terceira linha pela soma da primeira 
linha com a terceira linha subtraída da segunda linha; (3) na 
matriz resultante, multiplica-se a primeira linha por 1/3 e a 
segunda por -1. Chega-se com isso à matriz (escalonada) 
( 
�
1 -� o � ) 
� 
� 
-
� 
. 
DEFINIÇÃO. Dada uma matriz A E Mm x n (JK) definimos o seu posto 
como sendo o número de linhas não nulas em sua forma escalonada. 
1.4.6 MATRIZES INVERTÍVEIS 
Como observado acima, nem sempre existe a inversa de uma 
matriz. As matrizes que possuem inversas são bastante importantes 
em nosso estudo. Uma matriz A= (aij)i,j E Mn(lK) é invertível se 
existir uma matriz B = (bij)i,j E Mn(lK) tal que A·B = B·A = Idn, 
isto é, tal que, para cada i, j = 1, · · · , n, 
I.:: ªilblj = ºij = 
· 
n 
{ 1 
l=l o 
se i = j 
se i=/=j 
É comum muitas vezes considerar o subconjunto de M n (JK) formado 
por todas as matrizes invertíveis. Neste subconjunto, é claro, os ele­
mentos possuem inversos multiplicativos, mas nem sempre a soma 
de matrizes invertíveis é invertível (exiba um exemplo para mostrar 
esta afirmação) . 
Se A E M n (JK) for uma matriz invertível, então utilizando­
se das operações elementares sobre as suas linhas, pode-se chegar à 
matriz identidade I dn. Agora, se efetuarmos esta mesma seqüência 
de operações começando em I dn chegaremos à matriz inversa A-1. 
Vamos exemplificar este procedimento. 
32 • Um Curso de Álgebra Linear 
EXEMPLO Considere a seguinte matriz 3 x 3: 
Vamos efetuar operações elementares em A para transformá-la na 
matriz identidade I d3 e, simultaneamente, as mesmas operações em 
I d3 para se conseguir a matriz A-1. 
o 1 o 1 o o ) ( 1 1 o 1 o n-2 1 o 1 o o 2 1 o 1 o 1 o o 1 o -1 1 -1 o 
- ( 1 1 o 1 o n ( 1 1 o 1 o n o 2 1 o 1 o 2 1 o 1 o o 3 -1 1 o o 1 2 1 2 2 -3 3 
u 1 o 1 o -n u o o 2 1 1 ) 3 -3 3 1 o 1 1 1 o 1 1 1 3 3 3 3 -3 o 1 2 1 o 1 2 1 2 -3 3 -3 3 3 
Com isto, a matriz 
( 2 1 -n 3 -3 1 1 3 3 2 1 -3 3 
será a matriz inversa A-1 de A. Observamos que se tentarmos efe-
tuar estas operações a uma matriz não invertível, então não con-
seguiríamos chegar à matriz identidade. 
EXERCÍCIO 
Justifique o procedimento acima para se conseguir a matriz 
inversa de uma matriz inverÚvel. 
Para se verificar se uma dada matriz A E M n (OC) é invertível 
ou não, é comum utilizar-se do chamado determinante. Vamos recor­
dar agora a sua definição. 
Preliminares • 33 
1.4.7 DETERMINANTES 
Faremos a definição de determinante de uma matriz A em 
Mn(OC) de maneira indutiva sobre n :'.'.'. 1. Se n = 1, então a matriz 
A E M 1 (OC) é dada por um único elemento a = a11. Definimos, 
neste caso, det A = a. Vamos supor agora que n > 1 e que det B 
esteja definido para todas as matrizes B E Mm (OC) com m < n e 
seja A E M n (OC). Para cada par ( i, j), defina a matriz Aij formada 
a partir de A retirando-se a sua i-ésima linha e a sua j-ésima coluna. 
É claro que Aij E M n-1 (OC) e, portanto, já está definido det Aij. 
Defina agora o determinante de A como sendo 
n 
"' +1 det A = � (-1)3 a1j · det A1j· 
j=l 
Observe que det A E ][{. 
1.4.8 EXEMPLOS 
(a) Seja A = ( : �) E M2(0C). Pela definição acima, temos 
que det A= a det Au -b detA12- Como Au = (d) e A12 = (e) , 
segue então que det A = ad - bc. 
(b) Seja A = ( :�� :�: :�: ) . Pela definição, 
a31 a32 a33 
Como 
det A = au det Au - a12 det A12 + a13 det A13 
Au = ( 
A13 = ( 
a21 
a31 
teremos, como no item (a), que 
det Au = a22a33 - a23a32, 
det A12 = a21a33 .,-- a23a31 e 
det A13 
34 • Um Curso de Álgebra Linear 
Daí 
det A = an det An - a12 det Ai2 + a13 det Ai3 = 
= an(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31)+ 
+a13(a21a32 - a22a;n) = 
= ana22a33 + a12a23a31 + a13a21a32-
-a13a22a31 - a12a21a33 - ana23a32. 
É fácil ver que, reordenando os termos acima, teremos que det A 
é igual a 
-a12(a21a33 ....:; a23a31) + a22(ana33 - a13a31)-
-a32(ana23 - a13a21) = 
= -a12 det Ai2 + a22 det A22 - a32 det A32 = 
3 
= I: (-l)i+2 aj2det Aj2· 
j=l 
Portanto, podemos escrever det A também, por exemplo, como 
a soma 3 
'""' ·+2 det A = L.,, (-1)3 aj2det Ai2. 
j=l 
Uma conta similar também nos mostra que 
det A 
OBSERVAÇÃO 
Na definição de determinante dada acima, a soma foi feita uti­
lizando os elementos da primeira linha e determinantes de ma­
trizes menores. Por outro lado, no exemplo (b) acima, vimos 
que det A pode ser escrita utilizando-se os elementos da segun­
da coluna (e as matrizes Aj2,j = 1,2,3) ou mesmo elementos 
da terceira linha (e as matrizes A3j,j = 1,2,3). Na realidade, 
isto é um fato mais geral. Se A E M n (OC), então fixada uma 
linha ide A qualquer, teremos 
n 
det A= L(-l)Hiaij · det Aij 
j=l 
e, fixada uma coluna j de A qualquer, teremos 
n 
'"""' i+. det A = L., ( -1) 1 aij · det Aij. 
i=l 
Preliminares • 35 
A demonstração deste fato não é essencial ao que seguirá e, 
portanto, será omitida. Desafiamos o leitor a mostrar isto. No 
entanto, usaremos estas observações em cálculos práticos ao 
longo do texto para simplificá-los. Observe que, em geral, para 
se fazer o cálculo do determinante de uma matriz, o melhor é 
escolher uma linha, ou coluna, com o maior número possível de 
zeros. 
1.4.9 O próximo resultado nos dá um critério para se decidir quando 
uma matriz é invertível ou não. 
TEOREMA. Uma matriz A E M n (IK ) é invertível se e somente se 
det A# O. 
1.4.10 MATRIZES ADJUNTAS 
Dada uma matriz A= (aij) E Mn (IK ) , denote por ad(A) a 
sua matriz adjunta, isto é, a matriz ad(A) = (bij) tal que, para cada 
par i,j, bij = (-l)
i+i+l det Aij, onde Aij é, como acima, a matriz 
em M n-l (IK ) formada a partir de A retirando-se sua linha i e sua 
coluna j. Os elementos bij são cham.ados de cofatores (em i, j) de A. 
Pelo que vimos em (1.4.8), para cada i = 1, · · · , n, 
n 
det A = L aij · bij. 
j=l 
Deixamos como exercício ao leitor verificar que, se i # l, então 
Com isto, segue que 
n 
z= ªij . b1j =o 
j=l 
n 
z= ªij . b1j = ºil 
j=l 
36 • Um Curso de Álgebra Linear 
e portanto, A· ad(A) = ad(A) ·A= (det A)Idn. 
1.4.11 MATRIZES DADAS POR BLOCOS 
Muitas vezes, é conveniente olharmos as matrizes como sendo 
formadas por blocos de outras matrizes menores. Por exemplo, a 
matriz 
3 -2 1 o 4 
-1 2 3 1í -1 
A o 1 1 3 2 E M5(JR.) 
o o o 1 o 
o o o o 1 
pode ser escrita como 
A 
(� I�) 
onde 
( 3 -2 1 
) 
(
 
o 4 ) 
B = -1 2 3 E M3(1R.), C = 1í -1 E M3x2(1R.), 
o 1 1 3 2 
O indica, a matriz nula de M 2 x 3 (JR. ) e I d2 é, a matriz identidade de 
M 2(R ). 
1.4.12 EXERCÍCIOS . 
(1) Sejam A,B E Mmxn(OC). Mostre que 
(a) (A+BY=At+Bt. 
(b) (A·BtY=B·At. 
(c) Se n = m, então (A· B)t = Bt . At. 
(2) Sejam A, B E M n (OC) e À E OC. Mostre que: 
(a) det (A· B) = det A· det B. 
(b) det A = det A t. 
(c) det (ÀA) = Àndet A. 
Preliminares • 37 
(3) Sejam A, BEM n(IK) matrizes invertíveis. Mostre que 
(a) det (A-1) = (det A)-1. 
(b) A-1 é invertível e (A-1 )-1 = A. 
(e) A· B é invertível e (A· B)-1 = B-1 . A-1. 
(4) Seja A = ( � � ) E Mn(IK), onde B e C são matrizes 
quadradas. Mostre que det A= det B · det C. 
(5) Seja A E Mn(IK). Mostre que existem matrizes El,E2,E3 
em Mn(IK) tais que os produtos E1A,E2A e E3A equivalem a 
efetuar as operações elementares descritas em (1.3.3) sobre as 
linhas da matriz A. 
2 
ESPAÇOS VETORIAIS 
Neste capítulo definiremos espaços vetoriais e estudaremos al­
gumas de sua.5 propriedadesbásicas como existência de bases, 
coordenadas, somas diretas, entre outras. A notação ][{ , por sua 
vez, designará, a menos de menção ao contrário, um corpo qualquer. 
2.1 ESPAÇOS VETORIAIS 
2.1.1 DEFINIÇÃO. Um conjunto não vazio V é um espaço veto­
rial sobre (um corpo)][{ se em seus elementos, denominados vetores, 
estiverem definidas as seguintes duas operações: 
(A) A cada par u, v de vetores de V corresponde um vetor u + v E V, 
chamado de soma de u e v, de modo que: 
(Al) u + v = v + u, V u, v E V (propriedade comutativa) . 
(A2) (u + v) + w = u + (v + w) , V u, v , w E V (propriedade associa­
tiva) . 
40 • Um Curso de Álgebra Linear 
(A3) exista em V um vetor, denominado vetor nulo e denotado por 
O, tal que O+ v = v, V v E V. 
(A4) a cada vetor v E V exista um vetor em V, denotado por -v, 
tal que v + (-v) = O. 
(M) A cada par a E :OC e v E V, corresponde um vetor a · v E V, 
denominado produto por escalar de a por v de modo que: 
(Ml) (a{J) · v = a({J · v), V a,{3 E :OC e V v E V (propriedade 
associativa). 
(M2) 1 · v = v, V v E V (onde 1 é o elemento identidade de lK ) . 
Além disso, vamos impor que as operações dadas em (A) e (M) se 
distribuam, isto é, que valham as seguintes propriedades: 
(Dl) a· (u + v) =a· u +a· v, V a E :OC e V u, v E V. 
(D2) (a+fJ)·v=a·v+fJ·v, Va,{JE:OC e "lvEV. 
2.1.2 OBSERVAÇÕES 
(a) Algumas vezes usaremos a expressão :OC -espaço vetorial para 
indicar um espaço vetorial V sobre :OC . Outras vezes, omitiremos 
sobre qual corpo :OC estaremos trabalhando quando isso ficar 
claro a partir da notação utilizada. 
(b) Seja V um espaço vetorial sobre :OC. Ob�erve que o conjunto V 
com a operação de soma de vetores é um grupo abeliano (ver 
Exercício 1.2.3(1)). Portanto, o vetor nulo é único, assim como 
é único o vetor oposto a cada elemento de V. 
2.1.3 EXEMPLOS 
(a) Todo corpo é um espaço vetorial sobre si mesmo. De fato, se :OC 
é um corpo, então as duas operações internas em :OC podem ser 
vistas como a soma de vetores e a multiplicação por escalares. 
Não é difícil ver que as propriedades na definição de espaço 
vetorial estão satisfeitas para estas operações. 
Espaços Vetoriais • 41 
(b) De uma maneira mais geral à considerada acima, para cada 
n 2: 1, o conjunto 
OC n = OC X · · · X OC = {( a1, · · · , an) : ai E OC , V i = 1, · · · , n} 
..._,_.... n 
tem uma estrutura de espaço vetorial sobre ][{ bastante natural 
com as operações: 
•(ai,··· ,an)+(bi,··· ,bn)=(a1+bi,··· ,an+bn), 
V (ai,··· , an), (bi, · · · , bn) E OC n. 
• a · (ai,··· , an) = (aai, · · · , aan), 
V a E OC, e V (ai,··· ,an) E ocn. 
(verifique que tais oper'ações satisfazem as propriedades definido­
ras de espaço vetorial). 
Com isso, R n é um espaço vetorial sobre R , C n é um espaço 
vetorial sobre C, (Z 5r é um espaço vetorial sobre Z 5. 
( c) O conjunto C 2 é um espaço vetorial sobre R. Basta definirmos 
as operações: 
• (a, b) + (e, d) = (a + e, b + d) E C 2, \f (a, b), (e, d) E C 2. 
• a ·(a,b)=(aa,ab), aER e(a,b)EC2. 
Verifique .aqui as propriedades definidoras de espaço vetorial e 
generalize o resultado para C n como espaço vetorial sobre R. 
Pelo que vimos acima, C 2 pode ser visto como um espaço ve­
torial sobre R ou sobre C. Apesar de ser o mesmo conjunto 
de vetores, estes dois exemplos determinam e8paços vetoriais 
distintos. Isso deverá ficar claro mais adiante quando discu­
tirmos o conceito de base. Mas gostaríamos de enfatizar aqui 
que é essenciçJ ter claro sobre qual corpo de escalares o espaço 
vetorial está sendo considerado. 
(d) O corpo R é um espaço vetorial sobre Q de uma maneira bas­
tante natural (deixamos ao leitor a tarefa de definir as operações 
e verificar as propriedades correspondentes). Generalize esta 
observação. 
42 • Um Curso de Álgebra Linear 
(e) O conjunto de polinômios 
é um lK-espaço vetorial com as operações usuais de soma de 
polinômios e multiplicação por escalar. Especificamente, sejam 
p(x) = anxn +···+ao e q(x) = bmxm + · · · + bo dois elementos 
em P(lK ). Sem perda de generalidade, podemos assumir que 
n � m. Definimos então a soma 
Além disso, se a E ][{ , o produto por escalar de a por p( x) será, 
por definição, o polinômio 
(a· p)(x) 
= (aan)xn + · · · + (aa1)x + (aao). 
Para cada m ;::: O, o conjunto 
também é um ][{-espaço vetorial (com as mesmas operações 
acima). 
(f) O conjunto M mxn(lK) das matrizes m x n com coeficientes 
em ][{ é um ][{-espaço vetorial com as operações de soma de 
matrizes e multiplicação por escalares definidas em (1.4.1). 
(g) Considere o seguinte sistema linear homogêneo 
{ a11X1 + · · · + a1nXn = O 
(*) : 
ll!m1X1 + · · · + ll!mnXn =O 
onde aij E ][{ para 1 � i � m e 1 � j � n. Uma solução de 
( *) é uma n-upla ( a1, · · · , an) E ][{ n que satisfaz as equações 
deste sistema. Observe que o conjunto das soluções de ( *) é 
um ][{-espaço vetorial com as operações usuais de ][{ n. 
2.1.4 ESPAÇOS DE FUNÇÕES 
Sejam X um conjunto qualquer não-vazio e F(X, ][{) o con­
junto de todas as funções f : X --+ ][{ . Defina as seguintes operações 
em F(X, ][{ ): 
Espaços Vetoriais • 43 
• para f, g E F(X, IK ), defina a função f + g : X ---; IK dada por 
(! + g)(x) = f(x) + g(x) para cada x E X. 
• para f E F(X,IK) e a E IK, defina a função a· f: X---; IK 
dada por (a· f)(x) = af(x) para cada x E X. 
Com estas operações, o conjunto F(X, IK) é um espaço veto­
rial sobre IK , onde a função nula é o vetor nulo desse espaço. Tal 
conjunto é denominado espaço de funções. Enfatizamos que X é 
um conjunto qualquer e que a estrutura de IK-espaço vetorial em 
F(X, IK) depende essencialmente das operações do contradomínio IK 
das funções. No caso particular em que X= N, chamamos tal espaço 
de espaço de seqüências, vamos denotá-lo por IK N e representaremos 
os seus elementos por (xn)nEN· 
Os espaços a seguir são exemplos de subconjuntos do espaço 
de funções ou do espaço de seqüências: 
(a) Considere X = IK = C . O conjunto das funções polinomiais 
é um subconjunto de F(C , C ) e é um espaço vetorial com as 
operações descritas acima. 
(b) Considere X o intervalo [a, b] em lR e IK = C . O conjunto 
C([a, b], C ) = {!: [a, b]---; C : f é uma função contínua} 
é um subconjunto de F([a, b], C ) e é por si só um espaço vetorial 
sobre e com as operações descritas acima. 
( c) Considere X = N e lK = C ou lR . O seguinte subconjunto de 
oc"' 
Co = { x = (xn)nEN E IK N : (xn)nEN converge a zero } 
é um espaço vetorial sobre IK com as operações definidas acima. 
Lembramos que uma seqüência (xn)nEN converge a zero se, para 
cada t: > O, existir no = no(t:) E N tal que lxnl < t: para todo 
n � n0. 
(d) Considere X= N e IK = C ou lR. O subconjunto de IK N 
loo = {X = (xn)nEN E lK N : (xn)nEN é limitada } 
44 • Um Curso de Álgebra Linear 
é um espaço vetorial sobre ][{ com as operações definidas acima. 
Lembramos que uma seqüência (xn)nEN é limitada se existir 
M >O tal que lxnl � M para todo n EN. 
De agora em diante, quando usarmos a notação ][{ N estaremos sempre 
assumindo que ][{ = C ou IR . 
2.1.5 EXERCÍCIOS 
(1) Seja V um espaço vetorial sobre um corpo][{. 
(a) Mostre que O· v =O para todo vetor v E V e que a· O= O 
para todo a E ][{ . 
(b) Mostre que se a· v = O, com a E ][{ e v E V, então ou 
a= Ü OU V= Ü. 
(2) Mostre que os conjuntos considerados nos exemplos (2.1.3) e 
(2.1.4) são espaços vetoriais. 
(3) Mostre que Q(vÍ2) é um espaço vetorial sobre Q (ver (1.2.2)). 
(4) Sejam][{ um corpo e ][{' Ç ][{ um subconjunto não vazio de 
][{ tal que com as operações de ][{ é um corpo (neste caso, 
dizemos que ][{' é um subcorpo de ][{). Mostre que ][{ é um 
espaço vetorial sobre ][{ '. Mais geralmente, mostre que se V 
for um espaço vetorial sobre ][{ , então será um espaço vetorial 
sobre][{'. 
(5) Seja S = {(x,y,z) EIR3: x+y+z = O} um plano do IR3 
passando pela origem. Mostre que S é um IR -espaço vetorial. 
(6) Descreva o IR-espaço vetorial das soluções do seguinte sistema 
linear: 
{ x+ y+ 2z =O 
2x + 2y + 5z + 3w = O 
4x + 4y + lOz + 3w = O. 
(7) Suponha que estejam definidas as seguintes operações no con­
junto V= {(a,b) E IR2: a, b >O}: 
• (a, b) EB (e, d) = (ac, bd), \:/ (a, b), (e, d) E V. 
Espaços Vetoriais • 45 
• a(a,b)=(aª,bª), V a E IR e\/(a,b)EV. 
Prove que V, munido dessas operações, é um IR-espaço vetorial. 
(8) Seja p um número primo. Quantos elementos tem o Z P-espaço 
vetorial (Zpr, com m � 1? 
2.2 BASES 
2.2.1 Iremos discutir nesta seção um dos conceitos mais importantes 
envolvendo a estrutura de espaço vetorial, qual seja, o de base. Come­
cemos com a seguinte definição. 
DEFINIÇÃO. Seja V um espaço vetorial sobre ][{. 
(1) Um vetor v E V é uma combinação linear dos vetores 
v1, · · · , Vn E V se existirem escalares a1, · · · , an E ][{ tais que 
n 
v 
= a1v1 + · · · + anVn = L aivi. 
i=l 
(2) Seja B um subconjunto de V. Dizemos que B é um conjunto 
gerador de V (ou que B gera V) se todo elemento de V for uma 
combinação linear de um número finito de elementos de B. 
2.2.2 OBSERVAÇÕES 
(a) Por convenção, diremos que o conjunto vazio gera o espaço 
vetorial {O}. 
(b) Observe que todo espaço vetorial possui um conjunto gerador. 
(c) Seja B um conjunto gerador de um espaço vetorial V. Todo 
subconjunto de V que contenha B é um conjunto gerador. 
(d) Sejam V um IK-espaço vetorial e {vi,v2,·· · ,vn} Ç V. O sub­
conjunto de V formado por todas as combinações lineares de 
v1, · · · , Vn é também um IK-espaço vetorial. Deixamos ao leitor 
a verificação de tal afirmação. Denotaremos tal espaço vetorial 
por [v1, · · · , vn]· 
46 • Um Curso de Álgebra Linear 
2.2.3 EXEMPLOS 
(a) Considere IR 3 como espaço vetorial sobre IR. Observe que o 
conjunto {(1, O, O), (O, 1, O), (O, O, 1)} é conjunto gerador de IR 3 
pois se (a, b, e) E IR 3, então 
(a, b, e) = a(l, O, O)+ b(O, 1, O)+ c(O, O, 1) com a, b, e E IR. 
Verifique também que os conjuntos abaixo são geradores de IR 3. 
•{(1, O, 1), (1, 1, O), (1, 1, 1), (-1, O, O), (-1, -1, O), (-1, -1, -1)}. 
•{(a, b, e) : a, b, e E Z }. 
(b) Seja P(IR) o conjunto dos polinômios com coeficientes em IR. O 
conjunto {1, x, x2, · • • , xn, ···}é um conjunto gerador de P(IR) 
visto como espaço vetorial sobre IR. Também é um conjunto 
gerador do mesmo espaço vetorial : 
• {2,l+x,l+x2,··· ,l+xn,···}. 
(c) Considere o subconjunto B = {(1, O), (O, 1)} do C-espaço veto­
rial C2. É claro que B é gerador de C2, pois se (a, {3) E C2, 
então (a, {3) = a(l, O)+ {3(0, 1), com o:, {3 E C. 
No entanto, { ( 1, O), (O, 1)} não é conjunto gerador de C 2 se con­
siderarmos C 2 como espaço vetorial sobre IR. Observe que não 
é possível se escrever, por exemplo, o elemento (i, O) como uma 
combinação linear a(l, O)+ b(O, 1) com a, b E IR. Um conjunto 
gerador de C 2 sobre IR é, por exemplo: {(1, O), (i, O), (O, 1), (O, i)} 
pois se (a + bi, e + di) E C 2 com a, b, e, d E IR , teremos então 
que 
(a+ bi, e+ di) = a(l, O)+ b(i, O)+ c(O, 1) + d(O, i). 
Por isso, é importante dizer sobre qual corpo lK. estamos con­
siderando o espaço vetorial. 
(d) O conjunto {1, V2} é um conjunto gerador do espaço vetorial 
Q(V2) sobre Q. 
Espaços Vetoriais • 4 7 
2.2.4 EXERCÍCIOS 
(1) Seja lK um corpo. Mostre que o conjunto {1} é um conjunto 
gerador do lK -espaço vetorial lK . 
(2) Mostre que, para cada número inteiro n � 3, é possível encon­
trar um conjunto gerador de IR 3 com n elementos. Mostre 
também que não existe nenhum conjunto gerador de IR 3 com 
menos de 3 elementos. 
(3) É possível encontrar um conjunto gerador de P(R.) com um 
número finito de elementos? 
(4) Qual é o menor número de elementos em um conjunto gerador 
de e 2 se o considerarmos como espaço vetorial sobre (a) e; 
(b) IR ; e ( c) Q ? 
(5) Qual é o menor número de elementos que deve conter um con­
junto gerador de IR visto como espaço vetorial sobre Q? Tente 
exibir um tal conjunto. 
(6) Mostre que todo espaço vetorial tem um conjunto gerador. 
(7) Mostre que se A é um conjunto gerador de um espaço vetorial 
V e que se B é um conjunto que contém A, então B é um 
conjunto gerador de V. 
2.2.5 Em geral, um espaço vetorial possui muitos conjuntos geradores 
e muitas vezes é importante termos um conjunto gerador que seja o 
menor possível. A situação ideal é que exista um conjunto gerador 
onde cada elemento de V se escreva de maneira única como combi­
nação linear dos elementos deste conjunto gerador. Por trás dessa 
unicidade está o importante conceito de conjunto linearmente inde­
pendente, que discutiremos a seguir. 
DEFINIÇÃO. Sejam V um espaço vetorial sobre lK e Bum subcon­
junto de V. 
(a) Dizemos que B é linearmente independente (ou l.i.) se 
a1 V1 + · · · + <XnVn = O, para V; E B e ai E lK, i = 1, · · · , n, 
implica que a1 = · · · = <Xn = O. 
48 • Um Curso de Álgebra Linear 
(b) O conjunto B é chamado de linearmente dependente (ou l. d.) 
se não for linearmente independente. 
2.2.6 ÜBSERVAÇÕES 
(a) Por convenção, o conjunto vazio é um conjunto linearmente 
independente. 
(b) Todo conjunto contendo o vetor nulo é l.d .. 
( c) Deve ficar claro ao leitor que as definições acima dependem 
do corpo base do espaço vetorial considerado (ver ExempÍo 
2.2.7(a) abaixo). 
(d) Todo espaço vetorial não nulo possui um conjunto Li. não vazio. 
Basta considerar, por exemplo, um conjunto que consiste de um 
único vetor não nulo. 
(e) Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é 
linearmente independente. 
2.2. 7 EXEMPLOS 
(a) Seja B = {(1, 0),(i, 0),(0, 1),(0, i)} ç C2. Se considerarmos 
C 2 como espaço vetorial sobre C então B é linearmente depen­
dente, pois (O, O) = 1 · (1, O) + i(i, O) + O· (O, 1) + 0(0, i). No 
entanto, se considerarmos C 2 como espaço vetorial sobre lR, 
então B é linearmente independente (mostre isto!). 
(b) Seja c0 o JK-espaço vetorial definido em (2.1.4(c)) e considere, 
para cada k EN, a seqüência ek := (O,··· , 1, O,···) que tem 1 
na k-ésima posição e O nas demais. Então B = { ek : k E N} é 
um subconjunto infinito linearmente independente de eo. 
(c) O conjunto {senx,cosx} é linearmente independente no JR-es­
paço vetorial C([O, 27r], lR ). De fato, se {senx,cosx} fosse linear­
mente dependente, então existiriam a, {3 E lR, ao menos um de­
les não nulo, tais que asenx + {3cosx = O para todo x E [O, 27r], 
o que é uma contradição. 
Espaços Vetoriais • 49 
(d) Considere as funções fn: [a,b]--+ C definidas por fn(t) = tn, 
para n = O, 1, 2, · · · . O conjunto B = {f n : n = O, 1, 2, · · ·} é 
um subconjunto Li. infinito em C([a, b], C ). 
2.2.8 DEFINIÇÃO. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo ][(. 
Dizemos que um subconjunto B de V é uma base de V se 
(i) B for um conjunto gerador de V; e 
(ii) B for linearmente independente. 
2.2.9 ÜBSERVAÇÕES 
(a) Segue das convenções 2.2.2(a) e 2.2.6(a) que o conjunto vazio 
é uma base do espaço vetorial {O}. 
(b) Em contextos onde são consideradas simultaneamente as es­
truturas algébricas e topológicas (por exemplo, em textos de 
análise funcional) a base definida acima é chamada de base 
algébrica ou de base de Hamel. 
2.2.10 EXERCÍCIOS 
(1) Mostre que o conjunto 
{(1, O,··· , O), (O, 1, O,··· , O),··· , (O, O,··· , 1)} 
é uma base de ][( n sobre ][(. Esta base é chamada de base 
canônica de ][( n. 
(2) Mostre que o conjunto {1,x, · · · ,xn, · · ·} é uma base do OC­
espaço vetorial P(OC ). Esta base é chamada de base canônica 
de P(OC ). 
(3) Ache uma base de Mmxn(C) como espaço vetorial sobre C. 
Quantos elementos tem? E se considerarmos Mmxn(C) como 
espaço vetorial sobre IR? 
(4) (a) Mostre que os conjuntos {(1,0),(0,1)}, {(i,0),(2,-3)}e 
{(i, i), (-1, 2i)} são bases de e 2 sobre e. 
(b) Mostre que {(1,0), (i,O), (O, 1), (O,i)} é uma base de C2 
sobre IR. 
50 • Um Curso de Álgebra Linear 
( c) Mostre que toda base de C 2 sobre C tem 2 elementos e 
que toda base de C 2 sobre IR tem 4 elementos. 
(5) Mostre que {(zi,z2),(wi,w2)} C C2 é l.d. se e somente se 
(6) Se ][{ = Z 2, o subconjunto {(I, I, Õ), (I, Õ, I), (õ, I, I)} de ][( 3 
é l.d.? e se ][( = Z 13? 
(7) Sob que condições impostas ao escalara E C os vetores (O, 1, a), 
(a, o, 1) e (1+a,1, a) formam uma base de e 3 ? 
(8) Seja w = [v1, v2] ç e 3, onde V1 = (1, o, i) e V2 = (1+i,1, -1). 
(a) Mostre que {v1,v2} é uma base de W. 
(b) Mostre que w1 = (1, 1, O) e w2 = (1, i, 1 + i) estão em W 
e que { w1, w2} é base de W. 
(9) Seja V= F(IR, C) o C-espaço vetorial de todas as funções de 
IR em C. Prove que {fi, h, '3} é Li. em V onde Ji, h, '3 são 
dadas por fi(x) = 1, h(x) = eix =cosx+isenx e!J(x) = e-ix 
para cada x E IR . 
(10) Seja V um espaço vetorial sobre IR e considere no conjunto 
Vc = { ( u, v) : u, v E V} as seguintes operações de adição e 
multiplicação por um número complexo: 
• (ui, v1) + (u2, v2) = (u1 + u2, V1 + v2), para todos (ui, v1), 
(u2, v2) em Vc. 
• (a+i,B)(u,v) = (au-,Bv,,Bu+av), para todo (u,v) E Vc 
e todo a + ,Bi E C . 
(a) Mostre que Vc é um espaço vetorial sobre C. 
(b) Seja { v1, v2, · · · , Vn } Ç V um subconjunto Li .. Mostre que 
{(vi,0), (v2,,0),· · ·, (vn ,O)} e {(O,v1), (O,v2),· · ·, (0,vn )} 
são subconjuntos Li. em Vc. 
(11) Para umC-espaço vetorial V, denotaremos por VIR o conjunto 
V olhado como IR -espaço vetorial. Mostre que se {vi, v2, · · · , vn} 
Espaços Vetoriais • 51 
for um subconjunto linearmente independente em V, então 
{ v1, v2, · · · , Vn} e {Vi, v2, · · · , Vn} U { ivi, iv2, · · · , ivn} são sub­
conjuntos linearmente independentes em VIR . 
(12) Mostre que um subconjunto B de um espaço vetorial V é Li. 
se e somente se cada subconjunto finito de B for Li. 
(13) Seja Bum subconjunto de um espaço vetorial V. Mostre que 
B é l.d. se e somente se existir v E B que pode ser escrito como 
combinação linear dos elementos de B \ { v}. 
2.3 ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERA­
DOS 
2.3.1 Vamos mostrar nesta seção que todo espaço vetorial não nulo 
V que possua um conjunto gerador finito tem uma base. Na rea­
lidade, vale que todo espaço vetorial não nulo possui uma base e a 
demonstração desse fato geral será dada no apêndice deste capítulo. 
Comecemos com a seguinte definição. 
2.3.2 DEFINIÇÃO. Dizemos que um espaço vetorial V sobre ][{ é 
finitamente gerado se possuir um conjunto gerador finito. 
2.3.3 EXERCÍCIO 
(1) Mostre que o conjunto IR considerado como espaço vetorial 
sobre IR é finitamente gerado (exiba um conjunto gerador) en­
quanto IR , considerado como espaço vetorial sobre Q , não é 
finitamente gerado. 
2.3.4 PROPOSIÇÃO. Seja V um IK-espaço vetorial finitamente gera­
do não nulo e assuma que {vi, · 
· · , Vm} seja um conjunto gerador de 
V. Então todo conjunto linearmente independente de vetores em V 
tem no máximo m elementos. 
DEMONSTRAÇÃO. Vamos provar que todo conjunto de elementos de 
V que contenha mais do que m vetores é linearmente dependente. 
Para tanto, seja A = { u1, 
· · 
· , un} Ç V com n > m. Observe que, 
52 • Um Curso de Álgebra Linear 
como {vi, · · · , Vm} é um conjunto gerador de V, então existem es­
calares aij E ][{ tais que, para cada j = 1, · · · , n, 
m 
Uj 
= CX1jVl + · · · + CXmjVm = L CXijVi. 
i=l 
Assim, se Ài, · · · , Àn são escalares quaisquer em][{, teremos 
n 
Vamos analisar a situação em que I:: Àjaij = O, para cada 
j=l 
i 
= 
1, · · · , m. Para tanto, considere o sistema 
{ 
a11À1 + · · · + CX1nÀn = O 
(*) : 
C:Xm1À1 + · · · + CXmnÀn = O 
nas incógnitas Àl, · · · , Àn e com coeficientes aij E ][{. Como o 
número de equações de ( *) é estritamente menor do que o número 
de incógnitas, segue que ( *) tem uma solução não nula, isto é, 
n 
existem 11, ···,ln E ][{, não todos nulos, tais que I:: ljCXij = O 
j=l 
para i = 1, · · · , m. Portanto, 11 U1 + · · · + ln Un = O com 11, · · · , ln 
não todos nulos, o que implica que { u 1 , · · · , Un} é linearmente de­
pendente. Segue o resultado. D 
2.3.5 COROLÁRIO. Seja V um OC-espaço vetorial finitamente gerado 
não nulo. Então duas bases quaisquer de V têm o mesmo número de 
elementos. 
DEMONSTRAÇÃO. Sejam B e B' duas bases de V. Como V é finita­
mente gerado, decorre da Proposição 2.3.4 que B e B' são finitas 
(pois são Li. ) com, digamos, m e m' elementos, respectivamente. 
Considerando B como conjunto gerador de V e B' linearmente inde­
pendente segue da proposição acima que m' :::; m. Por outro lado, 
Espaços Vetoriais • 53 
considerando B' como conjunto gerador e· B linearmente indepen­
dente, teremos que m � m'. Daí segue que m = m'. D 
2.3.6 Observe que se V não for finitamente gerado, então qualquer 
base de V possui infinitos elementos. Neste caso é possível mostrar 
que as bases são equivalentes como conjuntos, isto é, podemos mostrar 
que duas bases de V têm sempre a mesma cardinalidade. No entan­
to, não faremos aqui esta distinção. Os resultados acima justificam 
a seguinte definição. 
DEFINIÇÃO. Seja V um espaço vetorial sobre lK. Se V admite 
uma base finita, então chamamos de dimensão de V o número de 
elementos de tal base. Caso contrário dizemos que a dimensão de V 
é infinita. 
Observe que ainda não analisamos a questão da existência de 
bases para um dado espaço vetorial V sobre lK. O que podemos falar 
por enquanto é que se V possui alguma base, então a dimensão está 
bem definida. Neste caso, denotamos a dimensão de V sobre lK por 
dimoc V. 
Da Observação 2.2.9(a) segue que dimK {O} =O. 
2.3. 7 EXEMPLOS 
(a) dimoc lK n = n. 
(b) dimc cn = n, dimJR cn = 2n. 
(c) dimoc P(JK) = oo (uma base tem infinitos elementos) e 
dimoc Pm(lK) = m + 1. 
(d) dimc Mmxn(C) = mn, dimR Mmxn(C) = 2mn. 
(e) dimoc Co = oo (ver Exemplo 2.1.4(c)). 
2.3.8 Obviamente, todo espaço vetorial que admite. uma base finita 
é finitamente gerado. Vamos mostrar o inverso deste resultado, isto 
é, que todo espaço vetorial não nulo finitamente gerado admite uma 
54 • Um Curso de Álgebra Linear 
base (finita). Antes, porém, vamos enunciar uma outra conseqüência 
da última proposição que é bastante útil. 
COROLÁRIO. Seja V um espaço de dimensão n :;::: 1 e seja B um 
subconjunto de V com n elementos. As seguintes afirmações são 
equivalentes: 
(a) B é uma base. 
(b) B é linearmente independente. 
(c) B é um conjunto gerador de V. 
2.3.9 PROPOSIÇÃO. Seja V um espaço vetorial sobre OC e considere 
B = {vi,··· ,vm} um conjunto l.i. em V. Se existir v E V que não 
seja combinação linear dos elementos de B, então { v1, · · · , Vm, v} é 
linearmente independente. 
DEMONSTRAÇÃO. Sejam ai,·· · , am, Dm+l escalares tais que 
Se am+l # O, então podemos escrever 
a1 
V = - -· -- VI - · · · 
Dm+l 
o que é uma contradição com a nossa hipótese de v não ser uma 
combinação linear de elementos de B. Então Dm+l = O e, portanto, 
a1v1 + · · · + DmVm = O. Como o conjunto B é Li., segue então que 
a1 = · · · = am = O, uma contradição com a hipótese sobre os ai 's. 
Portanto {vi,··· , Vm, v} é Li. D 
2.3.10 TEOREMA. Todo espaço vetorial finitamente gerado não nulo 
possui uma base. 
DEMONSTRAÇÃO. Seja V um espaço vetorial finitamente gerado não 
nulo sobre OC. Então V possui um conjunto gerador finito, digamos 
com m elementos, m :;::: 1. Seja agora v1 E V um vetor não nulo. 
Então B1 = {vi } é linearmente independente. Se !31 gerar V, então 
!31 é uma base de V. Caso contrário, existe v2 E V que não é um 
múltiplo de v1• Pela Proposição 2.3.9, B2 = { v1, v2} é Li. De novo, se 
Espaços Vetoriais • 55 
82 gerar todo o espaço V, então será uma basede V . Caso contrário, 
existe V3 E V tal que {v1,v2,v3} é Li. Repetindo este procedimento, 
chegaremos ou a uma base de V ou construirem.os conjuntos Li. em 
V arbitrariamente grandes. O segundo caso não é possível pois como 
mostramos em (2.3.4), todo conjunto Li. neste espaço vetorial deve 
possuir no máximo m elementos. D 
Usando-se a mesma idéia da demonstração acima, podemos 
mostrar o seguinte resultado. Incentivamos o leitor a escrever tal 
demonstração. 
TEOREMA. Seja V um espaço vetorial finitamente gerado e seja 8 
um conjunto linearmente independente em V. Então existe uma base 
de V contendo 8. 
2.3.11 OBSERVAÇÕES 
(a) Seja V um espaço vetorial não nulo finitamente gerado. A idéia 
da demonstração acima de que V possui uma base foi esten­
der um conjunto Li. até chegarmos a uma base. Uma outra 
maneira de se mostrar o mesmo resultado é o seguinte. Seja 
81 = { v1, · · · , Vn} um conjunto gerador finito de V. Se 81 é 
li. então é, de fato, uma base de V e conseguimos o resul­
tado. Caso contrário, 81 é Ld. e, portanto, existem escalares 
n 
À1, 
· 
· 
· 
, Àn E lK não todos nulos tais que E Àivi = O. Sem 
i=l 
perda de generalidade podemos supor que ,\1 i- O e, portanto, 
n 
v1 = E � Vi. Isto é, V1 é combinação linear de V2, · · · , Vn, o 
i=2 1 
que implica que 82 = { v2, • · • , Vn} é um conjunto gerador de V. 
Se 82 for Li., então é uma base de V, caso contrário podemos 
repetir o argumento acima para 82 para conseguir um conjunto 
83 Ç 82, com n - 2 elementos e que gere V. Obviamente, este 
processo de redução tem que acabar em uma base de V. 
(b) Como observamos anteriormente, vale que todo espaço veto­
rial possui uma base. A demonstração do resultado geral de­
pende essencialmente do chamado Lema de Zorn. Apesar do 
resultado garantir a existência de uma tal base, nem sempre é 
possível exibi-la explicitamente. Tente construir, por exemplo, 
56 • Um Curso de Álgebra Linear 
uma base do espaço vetorial IR sobre Q. Observe que uma tal. 
base será necessariamente não-enumerável. 
2.3.12 O próximo resultado nos dá uma caracterização de quando um 
subconjunto de um espaço vetorial finitamente gerado é uma base. 
Observemos que um resultado similar vale sem a condição de que o 
espaço seja finitamente gerado (ver Exercício 2.3.14(3)). 
PROPOSIÇÃO. Seja V um IK-espaço vetorial de dimensão n � 1 e 
seja B Ç V. As seguintes afirmações são equivalentes: 
(a) B é uma base de V; 
{b) Cada elemento de V se escreve de maneira única como combi­
nação linear de elementos de B. 
DEMONSTRAÇÃO. (a)==? (b). Vamos supor que B = {v1;. ·· ,vn} 
seja uma base de V. Em particular, B gera V e, portanto, todo 
elemento de v se escreve como combinação linear de v1, · · · , Vn. Para n n 
mostrar a unicidade, suponha que v = I: aivi e v = I: f3ivi. Então 
n n n 
i=l i=l 
I: ai vi = I: f3ivi ou I: (ai - f3i)vi = O. Como B é Li., segue que 
i=l i=l i=l 
ai - f3i = O para todo i = 1, · · · , n. Logo, ai = f3i, para todo i, de 
onde segue a unicidade requerida. 
(b) ==? (a). Assuma agora que cada elemento de V se escreve de 
maneira única como combinação linear de elementos de B. Em par­
ticular, B gera V. Para mostrarmos que B é uma base, falta veri­
ficar que B é Li.. Sejam vi,'· · · , Vn E B e Ài, · · · , Àn E lK tais que n n 
I: Àivi = O. Como O = I: Ovi, segue pela condição de unicidade 
i=l i=l 
dada no item (b) que Ài = O para cada i = 1, · · · , n. Portanto, B é 
uma base. D 
2.3.13 COORDENADAS 
A proposição acima traz consigo algumas conseqüências bem 
interessantes. Seja V um espaço vetorial de dimensão n � 1 sobre 
lK e seja B = {v1, · · · , vn} uma base de V. Vamos fixar a ordem dos 
elementos de B e por isso costumamos chamá-la de base ordenada de 
V. A proposição acima afirma que dado v E V, existem univoca-
Espaços Vetoriais • 57 
n 
mente determinados a1, · · · , an E OC tais que v = L a i vi. Devido a 
i=l 
esta unicidade, é comum descrevermos o elemento v por meio destes 
valores a�s, isto é, escrevemos [v]B = (a1, · · · ,an)B e dizemos que 
a1, · · · , an são as coordenadas de v com relação à base {ordenada} 
B. É claro que tais coordenadas dependem da base B escolhida e da 
ordem de seus elementos, por isso é sempre importante deixar claro 
na notação qual base estamos considerando. 
EXEMPLOS (a) Considere V = e 2 como C-espaço vetorial e seja 
V= (i,2+ i) E C2. Considere a base B = {(1,i),(i,O)} (verifique 
que é de fato uma C-base). Então as coordenadas devem B serão: 
[v]B =(ai, a2)B, onde a1, a2 E C satisfazem: 
e portanto 
Segue então que a1=1-2i e a2 = 3+i. Logo, [v]B = (1-2i,3+i)5. 
(b) Considere agora C 2 como IR-espaço vetorial e seja 
C = {(1,1),(i,0),(1,i),(0,1)} uma JR-base de C2. As coordenadas 
de v = (i, 2 + i) na base C serão dadas por [v]c = (a1, a2, a3, a4)c 
onde a1, a2, a3, a4 E IR satisfazem: 
(i, 2 + i) = a1(1,1) + a2(i, O)+ a3(l, i) + a4(0, 1) 
Logo 
Como a1, a2, a3, a4 E lR, concluímos que a1 + a3 = O, a2 = 1 e 
a1 + a4 = 2 e a3 = 1. Portanto a1 = -a3 = -1, a2 = 1 e a4 = 3 . 
Logo [v]c = (-1, 1, 1, 3 )c 
ÜBSERVAÇÃO 
Considere V = OC n como espaço vetorial sobre OC . Os elementos 
de OC n são n-uplas (ai, · · · , an) com os ai's em OC . Levando-se 
58 • Um Curso de Álgebra Linear 
em conta as operações usuais em lK n, teremos que 
(ai,··· ,an) = a1(l,O, ···,O) + ···+ an(O, ···,O, 1), 
isto é, ai,··· , an são as coordenadas de (ai,··· , an) com relação 
à base (canônica) Can = {(1, O,··· , O),··· , (O,··· , O, 1)} de 
lK n no sentido dado acima. A rigor, deveríamos escrever 
(ai,··· , an)Can em vez de simplesmente (ai,··· , an) · 
2.3.14 EXERCÍCIOS 
(1) Seja B 
= {(i, 1- i, 2), (2, 1, -i), (5 - 2i,4, -1- i)} um subcon­
junto de e 3. 
(a) B é um conjunto l.i.? 
(b) Decida se (3 + i, 4, 2) pertence ao subespaço gerado por B. 
(Considere C 3 como espaço vetorial sobre C e sobre IR). 
(2) Seja V um espaço de dimensão n;::: 1. Mostre que: 
(a) todo conjunto de vetores com mais do que n elementos é 
linearmente dependente. 
(b) nenhum conjunto com menos do que n elementos pode 
gerar V. 
(3) Seja V um espaço vetorial sobre lK de dimensão não necessa­
riamente finita e seja B um conjunto 1.i. em V. Mostre que se 
existir um elemento v E V que não seja combinação linear de 
elementos de B, então B' = B U { v} é l.i .. 
(4) Prove a Proposição 2.3.12 sem a hipótese de que a dimensão 
de V seja finita. 
(5) Mostre que o conjunto S das soluções do sistema linear ho­
mogêneo: 
{ 5x + y + 2z - 3w = O 
6x + y - 3z + 2w = O 
3x + y + 12z - 13w = O 
é um IR-espaço vetorial e exiba uma base de S. 
Espaços Vetoriais • 59 
(6) Seja V= P3(IR ). 
(a) Mostre que B = {1, 2 + x, 3x - x2, x - x3} é base de V. 
(b) Escreva as coordenadas de p(x) = 1 + x + x2 + x3 com 
relação à base B. 
2.4 SUBESPAÇOS 
2.4.1 DEFINIÇÃO. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo lK. 
Um subconjunto W de V é um subespaço vetorial de V se a restrição 
das operações de V a W torna esse conjunto um IK-espaço vetorial. 
2.4.2 EXEMPLOS 
(a) O subconjunto de um espaço vetorial V formado apenas pelo 
elemento nulo é um subespaço vetorial de V. O próprio V como 
subconjunto de V é também um subespaço vetorial. Estes dois 
subespaços são chamados de triviais. 
(b) Considere C como espaço vetorial sobre Q . Então Q Ç IR Ç C 
é uma cadeia de subespaços de C. Observe que se considerar­
mos C como espaço vetorial sobre IR , então Q não é subespaço 
vetorial de e (pois a multiplicação de um elemento real por um 
elemento de Q nem sempre é racional). Generalize esta obser­
vação. 
(c) Usando a notação dada em (2.1.4) segue que C([a,b],C) é um 
subespaço vetorial de F([a, b], C ). 
(d) Seja V o subconjunto de IR 4 formado pelos vetores que são · 
combinações lineares dos elementos { ( 1, O, -2, 3), ( 1, 1, 1, 1)}. 
Então V é um subespaçode IR 4. 
(e) Seja V um espaço vetorial sobre um corpo lK e seja v E V. O 
conjunto lK v := { av : a E lK} é um subespaço vetorial de V. 
2.4.3 O resultado seguinte é bastante útil para decidir se um dado 
subconjunto de um espaço vetorial é ou não um subespaço vetorial. 
60 • Um Curso de Álgebra Linear 
PROPOSIÇÃO. Sejam V um espaço vetorial sobre lK e W Ç V um 
subconjunto. Então W é um subespaço de V se e somente se satisfaz 
as seguintes propriedades: 
{a) O E W; 
{b) se vi, v2 E W então v1 + v2 E W; e 
{e} se,\ E lK e v E W então,\· v E W. 
DEMONSTRAÇÃO. Deixada a cargo do leitor. D 
2.4.4 ÜBSERVAÇÕES 
Seja V um espaço vetorial não nulo sobre lK. 
(a) Se W Ç V é um subespaço próprio de V com dimensão 
finita, então dimK W < dimK V . De fato, se W = {O}, 
não há nada a mostrar. Considere então W =f. {O} e se­
ja B = {wi, · · · , wn} uma base de W. Em particular, 
B é um conjunto linearmente independente de V. Co­
mo W =f. V , então existe v E V, v (j. W, o que impli­
ca que v não é gerado pelos elementos de B. V imos em 
(2.3.9) que { w1, · · · , Wn, v} é linearmente independente. 
Logo dimK W < dim'JK. V, como queríamos. 
(b) Se W1 e W2 são dois subespaços de V então também serão 
subespaços de V os conjuntos 
Deixamos ao leitor a demonstração deste fato (use a Pro­
posição 2.4.3). Em geral, W1 U W2 não é um subespaço 
vetorial de V. . . 
2.4.5 PROPOSIÇÃO. Sejam V um espaço vetorial e W1 e W2 dois 
subespaços vetoriais de V, ambos de dimensão finita. Então 
DEMONSTRAÇÃO. Vamos supor inicialmente que W1 n W2 =f. {O} 
e seja B = {wi, · · · ,wn} uma base de W1 n W2. Como W1 n W2 é 
Espaços Vetoriais • 61 
subespaço vetorial tanto de W1 como de W2, podemos estender B a 
bases de W1 e de W2, por (2.3.10). 
Sejam então B' = {w1,··· ,wn,v1,··· , vr} uma base de W1 e 
B" = { wi, · · · , Wn, u1, · · · , U8} uma base de W2, ambas contendo o 
conjunto B. O resultado estará provado se mostrarmos que o conjun­
to e = { Wi, ... ' Wn' V1' ... ' Vr, U1 ... ' Us} é uma base de W1 + W2. 
Vamos mostrar em primeiro lugar que C gera W1 + W2. Para tanto, 
seja v E W1 + W2. Então v = x1 + x2, com x1 E W1 e x2 E ·w2. 
Usando as bases B' e B" temos que 
n r n s 
x1 = L ÀiWi + L 'YjVj e x2 = L aiwi + L f31u1 
i=l j=l i=l l=l 
com Ài 's, 'Yj 's, ai 's e !31 's em lK. Daí 
v 
= x1 + x2 = 
Cti 
ÀiWi + jtl 'YjVj) + Cti �iWi + 1ti f31u1) = n r s 
= I:: (Ài + ai)wi + I:: 'YjVj + I:: f31u1 i=l j=l l=l 
e, portanto, C gera W1 + W2. 
Para mostrar que C é linearmente independente, considere a soma 
n r s 
L QiWi + L {3jVj + L 'Y!Ul = o 
i=l j=l l=l 
onde os a�s, os f3js e os 'Y{s estão em lK. Assim, 
s n r 
L 'Y1u1 = L(-ai)wi + L(-{3j)vj E W1 n W2 
1=1 i=l j=l 
(I) 
pois é, ao mesmo tempo, combinação linear de elementos de B' e de 
elementos de B". Portanto, existem À1, · · · , Àn E][{ tais que 
s n s n 
L 'Y1u1 = L Àiwi, isto é, L 'Y1U1 + �)-Ài)wi =O. 
l=l i=l l=l i=l 
Como { u1, · · · , u8, w1, · · · , Wn} é linearmente independente, teremos 
que 'Yl = O, V l 
= 
1, · · · , s e À; =O, Vi= 1, · · · , n. Em particular, a 
equação (I) acima se reduz a 
n r 
L Q;Wi + L {3jVj = o. 
i=l j=l 
62 • Um Curso de Álgebra Linear 
Usando o fato de que {w1, · ·· , wn,Vi,··· ,vr} é Li., teremos 
que ai = O, Vi = 1, · · · , n, e que [Ji = O, V j = 1, · · · , r. Concluímos 
daí que { W1, · · · , Wn, vi, · · · , Vr, u1, · · · , U8} é linearmente indepen­
dente e, portanto, uma base de W1 + W2. 
No caso em que W1 n W2 = {O}, sejam B1 e B2 bases de 
W1 e W2, respectivamente. De maneira análoga à acima, mostra-se 
que B1 U B2 é uma base de W1 + W2 (deixamos ao leitor completar 
os detalhes desta última parte) . Com isto, a demonstração estará 
completa. D 
2.4.6 Ü ESPAÇO SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Considere o conjunto S das funções de F(IR, IR) que são soluções 
da equação diferencial linear homogênea de ordem n com coeficientes 
constantes 
onde a0, a1, · · · , ªn-l E IR. Estamos interessados em mostrar que 
S é um subespaço de V. Observamos inicialmente que y E S se e 
somente se y tem derivada até ordem n e, para qualquer t E IR , vale 
a relação 
Vamos agora mostrar que Sé um subespaço de V. A função 
identicamente nula, isto é, a função y(t) =O, V t E IR, pertence a S 
pois y(n)(t) =O, V t E IR e V n E N. 
Se consideramos y, z E S então 
(y+ z)(n) (t) +an-1 (y+ z)(n-
l)(t) +···+ai (y+z)'(t) +ao(Y+ z)(t) = 
= (y(n)(t) + ªn-lY(n
-l)(t) + · · · + a1y'(t) + aoy(t))+ 
+(z(n)(t) + ªn-lZ(n-l)(t) + · · · + a1z'(t) + aoz(t)) =O 
para todo t E IR e assim y + z E S. 
Se consideramos y E S e À E IR , então 
Espaços Vetoriais • 63 
= À [Y(n) (t) + an-IY(n-
I) (t) + · · · + a1y'(t) + aoy(t)] = À · O= O 
para todo t E IR e, portanto, Ày também é solução. Assim, por 
(2.4.3), Sé um subespaço de F(IR, IR). 
Dada a equação diferencial linear homogênea (1), observamos 
que a função y( t) = ét, com k E IR , é uma solução de (1) se e somente 
se k for uma raiz real da equação 
(II) 
De fato, vamos supor que y(t) = ét é uma solução da equação 
(1). (Note que isto é possível, uma vez que a função exponencial 
tem derivada de todas as ordens). Como y'(t) = kekt, y"(t) 
k2ét, · · · , y(n) (t) = knét, substituindo em (1) vamos ter que 
isto é, 
Como a função y(t) = ét -1 O, \:/ t E IR, segue que 
Portanto, y(t) = ekt é solução de (1) {'} k é uma raiz real de (II). 
A equação (II) é denominada equação característica associada 
à equação (!). 
ÜBSERVAÇÃO 
Deixamos ao leitor mostrar que se ki, k2, · · · , kn são números 
reais dois a dois distintos, então { ekit, · · · , ént} é um subcon­
junto Li. de F(IR, IR). 
O nosso interesse não é ensinar métodos para achar soluções 
de equações diferenciais, mas sim olhar um pouco a estrutura do 
conjunto das soluções da equação (1). Vamos a seguir mostrar que 
o subespaço S formado por todas as soluções de (1) tem dimensão 
n. Para tanto, precisamos nos valer do seguinte teorema, cuja de­
monstração foge dos nossos objetivos. 
64 • Um Curso de Álgebra Linear 
TEOREMA. (Existência e Unicidade de soluções -T.E.U.) Considere 
a equação 
onde ao, ai,·· · , ªn-1 E IIL Dados Ao, Ai,· · · , An-2, An-1 E IR, 
existe uma única solução y.: IR ----t IR da equação (I) verificando 
y(O) = Ao, y' (O) = Al, y" (O) = A2, · · · , yC
n-i) (O) = An-1 · 
Chamamos as condições y(k)(O) = Ak, k = O,··· , n - 1, de 
condições iniciais da equação (!). A unicidade garante-nos que se 
duas soluções verificam as mesmas condições iniciais então elas são 
iguais. 
Vamos construir n soluções que formarão uma base do subes­
paço das soluções de (1). 
Considerando as condições iniciais Ao = 1, Al = A2 = · · · = 
An-l =O e aplicando o T.E.U., existe Y1 : IR ----t IR, a única solução de 
(1) que verifica as condições Y1 (O) = 1, Yi (O) = · · · = Yin-
l) (O) = O. 
Também considerando Ao = O, Al = 1, A2 = A3 = · · · = 
An-l =O e aplicando o T.E.U., existe Y2 : IR ----t IR, a única solução 
de (1) que verifica Y2(0) =O, y�(O) = 1, y�(O) = · · · = y�n-l)(O) =O. 
Se dermos continuidade a este processo a cada n-upla de con­
dições iniciais dadas, sendo n - 1 zeros e o número 1 na i-esima con­
dição , e aplicando o T.E.U., existe Yi+l : IR ----t IR, a única solução de 
(1) que verifica as condições Yi+l (O) = Y�+1 (O) = · · · = y}�-;
1) (O) = 
O, Yi21 (O) = 1, Yi�"il) (O) = O = · · · = Yi��l) (O) = O. Construímos 
assim um conjunto 1.i. com n elementos {y1, · · · , Yn} Ç S (verifique 
que de fato é 1.i.). Afirmamos que tal conjunto gera S. De fato, para 
cada y E S vamos mostrar que y é combinação linear das funções 
Y1, · · · , Yn· Considere os n números y(O), y' (O), ·· · , y(
n-l) (O) E IR e 
uma solução x de (1) dada por 
x(t) = y(O)y1 (t) + · · · + yCn-l) (O)yn(t), V t E IR, 
isto é, x(t) é a combinação linear de y1, · · · , Yn