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Soluc¸a˜o da Primeira prova de Microeconomia 1 Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia Questa˜o 1 (25 pontos): Verdadeiro ou falso (justifique ambos os casos sucintamente): a) Defina bem normal e bem inferior. Mostre graficamente como a demanda de ambos os tipos de bens reagem a uma mudanc¸a na renda. S: Um bem normal e´ um bem em que o consumo aumenta (diminui) quando a renda aumenta (diminui), um bem inferior e´ um bem em que o consumo diminui (aumenta) quando a renda aumenta (diminui). Ou seja, Bem Normal: ∂xM ∂m > 0, Bem Inferior: ∂xM ∂m < 0 Graficamente, temos que (outra representac¸a˜o gra´fica correta para a questa˜o e´ por meio de curvas de Engel): 6 - prec¸o quantidade @ @ @ @ @ @ @ @@ Bem Normal � �� @ @ @ @ @ @ @ @@�� @ @ @ @ @ @ @@ Bem Inferior b) Quando todas as elasticidades-renda sa˜o iguais e constantes, elas devem ser todas iguais a 1. S: Verdadeiro. Temos que a seginte relac¸a˜o e´ va´lida: “Todas as elasticidades-renda somam um, quando ponderadas pela frac¸a˜o da renda gasta em cada bem”. Portanto, s1η1 + s2η2 + · · ·+ snηn = 1 Se todas as elasticidades sa˜o iguai e constantes, η1 = η2 = · · · = ηn = η̂, enta˜o: 1 = s1η1 + s2η2 + · · ·+ snηn = s1η̂ + s2η̂ + · · ·+ snη̂ = η̂(s1 + s2 + · · ·+ sn) Como s1 + s2 + · · ·+ sn = 1, enta˜o η̂ = η1 = η2 = · · · = ηn = 1. c) Se lazer e´ um bem inferior, enta˜o a curva de oferta de trabalho e´ positivamente inclinada. S: Verdadeiro. A equac¸a˜o de Slutsky para o caso de renda endo´gena diz que: ∂lM ∂w = ∂lh ∂w︸︷︷︸ <0 + ∂l ∂m (H − l)︸ ︷︷ ︸ <0 < 0, onde l e´ a demanda por lazer, H e´ a dotac¸a˜o de tempo do indiv´ıduo, e w e´ o sala´rio. Como a oferta de trabalho e´ o negativo da demanda por lazer (T = H − l, onde T representa a oferta de trabalho do indiv´ıduo), temos que: ∂TM ∂w = −∂l M ∂w = − ∂lh ∂w︸︷︷︸ <0 + ∂l ∂m (H − l)︸ ︷︷ ︸ <0 > 0 Portanto, se lazer e´ um bem inferior, enta˜o a oferta de trabalho necessariamente aumenta quando o sala´rio aumenta. 1 d) Em um modelo de dois per´ıodos, se o consumidor poupa recursos, enta˜o um aumento na taxa de juros necessariamente melhora o seu bem-estar. S: Verdadeiro. Se o indiv´ıduo esta´ poupando, e a taxa de juros sobe, enta˜o, usando um argumento de prefereˆncia revelada, podemos mostrar que necessariamente o seu bem-estar melhora, como o gra´fico abaixo ilustra. O aumento da taxa de juros modifica a restric¸a˜o intertemporal do indiv´ıduo, tornando mais caro tomar emprestado e mais vantajoso poupar. Como o indiv´ıduo ja´ revelou que na situac¸a˜o inicial prefere poupar (esta´ escolhendo, por exemplo, uma cesta de consumo intertemporal como B representada na figura abaixo), enta˜o o aumento da taxa de juros elimina escolhas que foram reveladas piores e cria escolhas que permitem o consumidor aumentar o seu bem-estar (no caso da utilidade que gera as curvas de indiferenc¸a representadas no gra´fico, no ponto A o consumidor obte´m o mais alto n´ıvel de satisfac¸a˜o na nova situac¸a˜o, maior do que o n´ıvel de satisfac¸a˜o inicial). 6 - c2 c1 J J J J J J J J J J J J J J J J J JJ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QQ rA rB ��� ���rm2 m1 e) Para um bem normal, a demanda Marshalliana e´ mais inclinada do que a demanda Hicksiana. Entre- tanto, para um bem inferior, a demanda Hicksiana e´ mais inclinada do que a demanda Marshalliana. S: Verdadeiro. A equac¸a˜o de Slutsky diz que: ∂xMi (p,m) ∂pi = ∂xhi (p, u ∗) ∂pi − xMi (p,m) ∂xMi (p,m) ∂m Se o bem e´ normal, enta˜o: ∂xMi (p,m) ∂pi = ∂xhi (p, u ∗) ∂pi −xMi (p,m) ∂xMi (p,m) ∂m︸ ︷︷ ︸ <0 < ∂xhi (p, u ∗) ∂pi Se o bem e´ inferior, enta˜o: ∂xMi (p,m) ∂pi = ∂xhi (p, u ∗) ∂pi −xMi (p,m) ∂xMi (p,m) ∂m︸ ︷︷ ︸ >0 > ∂xhi (p, u ∗) ∂pi Enta˜o, a demanda Marshalliana e´ mais inclinada do que a demanda Hicksiana no caso de um bem normal e menos inclinada no caso de um bem inferior (lembre-se que essas derivadas sa˜o negativas). 2 Questa˜o 2 (25 pontos): Suponha que existam apenas 3 bens e que um certo indiv´ıduo escolhe as cestas xi = (xi1, x i 2, x i 3) aos prec¸os p i = (pi1, p i 2, p i 3), i = 1, 2, 3 (logo, existem treˆs observac¸o˜es de consumo desse indiv´ıduo), onde: Observac¸a˜o 1: p1 = (1, 1, 2), x1 = (5, 19, 9) Observac¸a˜o 2: p2 = (1, 1, 1), x2 = (12, 12, 12) Observac¸a˜o 3: p3 = (1, 2, 1), x3 = (27, 11, 1) a) Mostre que essas observac¸o˜es satisfazem o Axioma Fraco da prefereˆncia revelada. b) Mostre que essas observac¸o˜es na˜o satisfazem o Axioma Forte da prefereˆncia revelada. S: (itens a) e b) juntamente) A tabela abaixo, com os custos de cada cesta para cada situac¸a˜o de prec¸o, mostra que a cesta 1 foi revelada preferida a` cesta 3 (x1 �RD x3), a cesta 2 foi revelada preferida a` cesta 1 (x2 �RD x1), e que a cesta 3 foi revelada preferida a` cesta 2 (x3 �RD x2). Portanto na˜o ocorre violac¸a˜o do AFrPR, ja´ que sempre que temos que a cesta x e´ revelada diretamente preferida a` cesta y, na˜o ocorre que a cesta y seja revelada diretamente preferida a` cesta x: • x1 �RD x3 mas na˜o ocorre x3 �RD x1; • x2 �RD x1 mas na˜o ocorre x1 �RD x2; • x3 �RD x2 mas na˜o ocorre x2 �RD x3; Logo, as observac¸o˜es satisfazem o AFrPR. Pore´m as observac¸o˜es acima na˜o satisfazem o AFoPR, ja´ que a prefereˆncia revelada revelada e´ intransitiva: x2 �RD x1, x1 �RD x3 e x3 �RD x2. Mais precisamente, segue de x2 �RD x1, x1 �RD x3 que x2 �RI x3 e como ocorre que x3 �RD x2, isso caracteriza a violac¸a˜o do AFoPR. Cesta Obs 1 Cesta Obs 2 Cesta Obs 3 Prec¸os Obs 1 42 48 40(*) Prec¸os Obs 2 33(*) 36 39 Prec¸os Obs 3 52 48(*) 50 Questa˜o 3 (25 pontos): Considere a func¸a˜o de utilidade dada por u(x1, x2) = x 2 1x2, onde x1 e x2 sa˜o as quantidades consumidas dos bens 1 e 2, respectivamente. a) Calcule as func¸o˜es de demandas Marshallianas e a func¸a˜o de utilidade indireta. S: O problema do consumidor para essa func¸a˜o de utilidade e´: max x1,x2 x21x2 s.a. p1x1 + p2x2 = m O Langrageano do problema e´: L = xα1x1−α2 + λ (m− p1x1 − p2x2) As condic¸o˜es de primeira ordem (CPOs) desse problema sa˜o: λ∗p1 = 2x1x2 λ∗p2 = x21 m = p1x1 + p2x2 3 Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos: x2 x1 = p1 2p2 ⇒ x2 = p1 2p2 x1 Substituimos agora essa expressa˜o para x2 na reta orc¸amenta´ria (terceira CPO): m = p1x1 + p2 ( p1 2p2 x1 ) ⇒ x1 = 2m 3p1 Substituindo x1 de volta em x2, temos que as func¸o˜es de demanda sa˜o: x1(p1, p2,m) = 2m 3p1 e x2(p1, p2,m) = m 3p2 A func¸a˜o de utilidade indireta e´: v(p1, p2,m) = u(x1(p1, p2,m), x2(p1, p2,m)) = ( 2m 3p1 )2( m 3p2 ) = 4 27 ( m3 p21p2 ) b) Suponha que os prec¸os dos bens 1 e 2 sa˜o p1 = R$ 4 e p2 = R$ 2, respectivamente, e que a renda do consumidor e´ R$ 90. Calcule a quantidade consumida de cada bem. S: Usando as demandas derivadas no item acima, obtemos: x∗1 = 2× 90 3× 4 = 15 e x ∗ 2 = 90 3× 2 = 15 c) Calcule as elasticidades prec¸o e renda do bem 1. Se a renda aumentar em 10%, voceˆ pode dizer o que ocorre com o consumo do bem, sem ter conhecimento do valor original da renda? S: As elasticidades do bem 1 sa˜o: ε11 = p1 x1 ∂x1 ∂p1 = − p12 3 m p1 2 3 m p21 = −1 η1 = m x1 ∂x1 ∂m = m 2 3 m p1 2 3 1 p1 = 1 Se a renda aumentar em 10%, enta˜o o consumo do bem 1 aumentara´ em 10%. d) Suponha que os prec¸os dos bens e a renda sa˜o como dados no item b). Calcule a variac¸a˜o no excedente do consumidor no caso em que o prec¸o do bem 2 aumenta para R$ 4. S: A variac¸a˜o no EC e´: ∆EC = ∫ 2 4 x2(p1, p2,m)dp2 = − ∫ 4 2 1 3 90 p2 dp2 = −30[ln(4)− ln(2)] = −20, 79O valor negativo indica que o aumento de prec¸o diminui o bem-estar do consumidor. O valor moneta´rio dessa perda de bem-estar, medido pela variac¸a˜o do EC, e´ de R$ 20, 79. Questa˜o 4 (25 pontos): Suponha que a func¸a˜o utilidade indireta de um consumidor e´ dada por: v(p1, p2,m) = 50 [ 1 p 1/2 1 p2 ]2/3 m. 4 a) Encontre as func¸o˜es de demanda Marshallianas dos dois bens e as frac¸o˜es da renda gastas com cada bem. S: Pela identidade de Roy, temos que: xM1 (p1, p2,m) = − ∂v(p1,p2,m) ∂p1 ∂v(p1,p2,m) ∂m = −50(−2/3)(p 1/2 1 p2) −2/3−1m(1/2)p−1/21 p2 50(p 1/2 1 p2) −2/3 = m 3p1 , xM2 (p1, p2,m) = − ∂v(p1,p2,m) ∂p2 ∂v(p1,p2,m) ∂m = −50(−2/3)(p 1/2 1 p2) −2/3−1mp1/21 50(p 1/2 1 p2) −2/3 = 2m 3p2 . As frac¸o˜es da renda gastas com cada bem sa˜o: s1 = p1x M 1 (p1, p2,m) m = 1 3 e s2 = p2x M 2 (p1, p2,m) m = 2 3 . b) Encontre a func¸a˜o dispeˆndio desse consumidor. Use o lema de Shephard para encontrar as demandas Hicksianas dos dois bens. S: Usando a relac¸a˜o de dualidade v(p1, p2, e(p1, p2, u)) = u obtemos: v(p1, p2, e(p1, p2, u)) = 50 [ 1 p 1/2 1 p2 ]2/3 e(p1, p2, u) = u ⇒ e(p1, p2, u) = 1 50 p 1/3 1 p 2/3 2 u. Usando o Lema de Shephard, encontramos as demandas Hicksianas: xh1(p1, p2, u) = ∂e(p1, p2, u) ∂p1 = 1 150 p −2/3 1 p 2/3 2 u xh2(p1, p2, u) = ∂e(p1, p2, u) ∂p2 = 1 75 p 1/3 1 p −1/3 2 u c) Usando os resultados de a) e b), verifique a equac¸a˜o de Slutsky para o bem x1. S: Derivando a demanda Marshallina e a demanda Hicksiana para o bem 1, em relac¸a˜o ao seu prec¸o, e derivando a demanda Marshalliana desse bem em relac¸a˜o a renda, obtemos: ∂xM1 (p1, p2,m) ∂p1 = − m 3p21 ∂xh1(p1, p2, u) ∂p1 = − 1 225 p −5/3 1 p 2/3 2 u ∂xM1 (p1, p2,m) ∂m = 1 3p1 Enta˜o: ∂xh1(p1, p2, v(p1, p2,m)) ∂p1 − xM1 ∂xM1 ∂m = − 1 225 p −5/3 1 p 2/3 2 50 [ 1 p 1/2 1 p2 ]2/3 m− m 3p1 ( 1 3p1 ) = −2m 9p21 − m 9p21 = − m 3p21 = ∂xM1 (p1, p2,m) ∂p1 , ou seja, a equac¸a˜o de Slutsky e´ va´lida, como esperado. 5
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