Exercício 2 com gabarito

Prévia do material em texto

2o exerc´ıcio a ser feito no LATEX
Caio Henrique de Paula Rodrigues 165443
Enunciado
Uma sequeˆncia (pn) ⊂ R satisfaz lim
n→∞
pn = p ⇔ lim
n→∞
sup pn = lim
n→∞
inf pn =
p.
Demonstrac¸a˜o
⇒) Se uma sequeˆncia (pn) ⊂ R satisfaz lim
n→∞
pn = p a sequeˆncia e´ conver-
gente para p, enta˜o, como visto em sala (exerc´ıcio 1), toda subsequeˆncia de
pn converge para p.
Seja E o conjunto de todos os limites de subsequeˆncia, temos, neste caso,
E = {p}.
Da´ı inf E = supE = p, ou seja, lim
n→∞
sup pn = lim
n→∞
inf pn = p.
⇐) Como lim
n→∞
sup pn = p, por um Teorema visto em sala temos que para
qualquer ε > 0, como x = p + ε > p, existe N ∈ N tal que ∀n ≥ N ,
pn < x⇒ pn < p + ε⇒ pn − p < ε.
Ale´m disso se lim
n→∞
inf pn = p, por um Teorema ana´logo temos que para
qualquer ε > 0, como x = p − ε < p, existe M ∈ N tal que ∀n ≥ M ,
pn > x⇒ pn > p− ε⇒ pn − p > −ε⇒ p− pn < ε.
Seja enta˜o m = max{M,N}, da´ı ∀n ≥ m, temos que pn−p < ε e p−pn < ε,
ou seja |p− pn| < ε⇒ d(pn, p) < ε. Conclu´ımos enta˜o que lim
n→∞
pn = p.
1