Exercício 1 com gabarito

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1o exerc´ıcio a ser feito no LATEX
Caio Henrique de Paula Rodrigues 165443
Enunciado
Mostre que uma sequeˆncia (pn) converge para p se, e somente se , toda
subsequeˆncia de (pn) converge para p.
Demonstrac¸a˜o
⇒) Seja (pni) uma subsequeˆncia qualquer da sequeˆncia (pn).
Para ε > 0 qualquer, pela definic¸a˜o de convergeˆncia, existe N ∈ N tal que se
n ≥ N ,n ∈ N enta˜o d(pn, p) < ε.
Seja nj um nu´mero natural maior ou igual a N , tal que pnj ∈ (pni).
Enta˜o como nk+1 > nk, ∀k ∈ N e ainda como nj ≥ N , temos que:
∀i ≥ j, ni ≥ N ⇒ d(pni , p) < ε.
⇐) Se toda subsequeˆncia (pni) converge para p, enta˜o, em particular, (pn2j)
e (pn2j−1), j = 1, 2, . . . convergem para p. Enta˜o ∀ε > 0, existem N1, N2 ∈ N,
tais que:
se n2k ≥ N1 ⇒ d(pn2k , p) < ε (1)
se n2k−1 ≥ N2 ⇒ d(pn2k−1 , p) < ε.
Sunponha, sem perda de generalidade, que N1 ≥ N2 enta˜o como se n2k−1 ≥
N2, d(pn2k−1 , p) < ε, em particular
se n2k−1 ≥ N1 ≥ N2, d(pn2k−1 , p) < ε (2)
da´ı:
De (1) e (2), temos que ∀n ≥ N1, d(pn, p) < ε. Conclu´ımos enta˜o que (pn)
converge para p.
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