Matematica financeira

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Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
LISANDRO FIN NISHI
MATEMÁTICA FINANCEIRA
FLORIANÓPOLIS - SC
VERSÃO 2017/1
1
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
1 APRENDENDO A USAR A HP 12 C
1.1 Funções Básicas da HP 12 c
1.2 Funções de Calendário da HP 12 c
1.3 Funções Matemáticas da HP 12 c
1.4 Funções Estatísticas da HP 12 c
2 JUROS SIMPLES
2.1 Cálculos com Juros Simples
2.2 Desconto Simples por Fora e por Dentro
APÊNDICE: TEORIA DE FORMAÇÃO DA TAXA DE JUROS
3 JUROS COMPOSTOS
3.1 Cálculos com Juros Compostos
3.2 Desconto Composto por Fora e por Dentro
3.3 Convenção Linear e Exponencial
3.4 Juros Compostos no Excel
APÊNDICE: LIMITAÇÕES AOS JUROS NO BRASIL
4 SÉRIES DE PAGAMENTOS
4.1 Séries Uniformes
4.2 Séries Perpétuas
4.3 Séries com Termos Variáveis
APÊNDICE: PLANEJANDO A APOSENTADORIA
5 TRABALHANDO COM AS TAXAS DE JUROS
5.1 Taxas Equivalentes
5.2 Taxas Nominais e Efetivas
5.3 Taxas Reais
5.4 Taxas Médias
APÊNDICE: COMISSÃO DE PERMANÊNCIA
6 CORREÇÃO MONETÁRIA
APÊNDICE: O EQUÍVOCO DO USO DE TAXAS DE JUROS COMO ÍNDICES DE
CORREÇÃO MONETÁRIA
7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
7.1 Sistema Bullet
7.2 Sistema Americano
7.3 Sistema Price
7.4 Sistema de Amortização Constante
7.5 Método de Amortização a Juros Simples
APÊNDICE: PROVA DA EXISTÊNCIA DE JUROS COMPOSTOS NAS TABELAS
PRICE E SAC
8 INTRODUÇÃO ÀS TÉCNICAS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
8.1 Payback e Payback Descontado
8.2 Valor Presente Líquido
8.3 Taxa Interna de Retorno
APÊNDICE: O PROBLEMA DAS MÚLTIPLAS TAXAS INTERNAS DE RETORNO
BIBLIOGRAFIA
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INTRODUÇÃO
___________________________________________________________________
A matemática financeira é uma aplicação da matemática em questões onde é
importante considerar a variação do valor da moeda no tempo, por exemplo, em
empréstimos pessoais, financiamentos bancários, atualização de valores, análise de
viabilidade econômico-financeira de projetos, entre outros, estando dessa forma
presente em nosso dia a dia.
Este material foi elaborado a fim de ensinar Matemática Financeira com uso
da calculadora HP 12c, e em alguns casos do software Excel. Optei por minimizar as
deduções de fórmulas, comum em outras obras, para construir um material inovador:
além de tornar o aprendizado mais objetivo e interessante possível, este material é
interdisciplinar: a relação da matemática financeira com as normas legais é
apresentada nos apêndices, posto que o exercício da Matemática Financeira não
pode se dissociar de tais normas.
É fato que existem muitos livros a respeito do assunto, porém nem sempre
estão atualizados, ou próximos da realidade brasileira, o que torna o aprendizado
deficiente. Esta obra visa suprir essa lacuna, ao trazer exercícios resolvidos e
exercícios propostos elaborados com a experiência em cálculos econômicos
judiciais e extrajudiciais adquiridos no exercício da profissão de perito economista,
além de Súmulas de Tribunais Superiores. Esta obra traz ainda o cálculo do Sistema
de Amortização a Juros Simples, método que não costuma ser encontrado em livros
de matemática financeira.
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Matemática Financeira
CAPÍTULO 1
APRENDENDO A USAR A HP-12C
Este capítulo tem como objetivo apresentar algumas funcionalidades da
calculadora HP 12 c, porém, não substitui o manual da calculadora, uma vez que
será dada ênfase aos usos mais constantes em matemática financeira.
1.1 FUNÇÕES BÁSICAS DA HP 12C
Para ligar a calculadora digita-se a tecla ON. A mesma tecla efetua a
operação de desligar. Para acessar as funções em azul é necessário apertar antes a
tecla g (tecla azul). Da mesma forma, acima de algumas teclas há funções (em
laranja) que podem ser usadas, digitando antes a tecla f (tecla laranja) . Ao digitar
tais teclas aparecerá no mostrador “f” ou “g”, indicando que a tecla foi pressionada.
No momento oportuno usaremos tais teclas.
Para entrar, por exemplo, o número 3347,5 você deverá digitar a seguinte
sequência: 3347.5 (digitando um ponto e não uma vírgula). Por padrão, o separador
de milhar na calculadora é uma vírgula. Assim após a digitação aparecerá no
mostrador 3,347.500000
É possível modificar para que o separador de milhar seja um ponto. Para
tanto desligue a calculadora, pressione a tecla . e após a tecla ON. Agora o número
3347,5 aparecerá como 3.347,500000. O próximo passo é definir quantas casas
após a vírgula você deseja que apareça no mostrador. A fim de manter o padrão
monetário, de duas casas após a vírgula, digite a tecla f seguido da tecla 2. O
resultado agora é 3.347,50 no mostrador. Se desejar 4 casas após a vírgula, efetue
o mesmo procedimento, digitando f seguido da tecla 4, e assim por diante.
• NÚMEROS NEGATIVOS
Para inserir um número negativo (ex. -50) digite o número seguido da tecla
CHS (change signal), ou seja, troca o sinal. A mesma tecla inverte o sinal de
negativo para positivo, sempre que necessário.
• NÚMEROS GRANDES
Como o mostrador da calculadora possui somente 10 números, não é
possível digitar números com mais de 10 dígitos. Para inserir, por exemplo, o
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número R$ 4.844.815.076.000 (que foi o PIB do Brasil em 2013), será necessário
usar a notação científica. Matematicamente tal número é equivalente a 4,844815076
x 1012.
Na HP 12c tal operação é realizada digitando a sequência:
4.844815076 EEX12
Obs: se o expoente for negativo após a tecla EEX digite CHS.
• REGISTROS DE ARMAZENAMENTO
Para se entender como são realizados os cálculos na HP 12c, primeiro
devemos entender o funcionamento da “pilha” de armazenamento, que é usado na
notação polonesa reversa (RPN). O modo RPN é o padrão da HP 12c. O modo
algébrico, usado em outras calculadoras, pode ser ativado digitando-se f EEX.
Perceba que no mostrador aparece “ALG”, indicando que você está
trabalhando no modo algébrico, que não é o padrão, e cuja funcionalidade não está
presente em todas as calculadoras HP 12c. Nesse curso usaremos o modo RPN.
A pilha consiste em um registro especial de armazenamento de dados usados
para os cálculos. São os registros “X”, “Y”, “Z” e “T”.
T
Z
Y
X = mostrador
Tudo o que se digita aparece no mostrador (registro “X”).
Exemplificando, faremos a seguinte soma: 3+2. No modo RPN, este cálculo é
realizado digitando-se se o número 3 seguido de ENTER. Após digita-se o número 2.
Somente então escolhe-se a operação matemática, digitando a tecla +. Para
entender como a calculadora efetuou a operação veremos a pilha, logo após digitar
o numeral 3:
T= 0
Z= 0
Y= 0
X = 3
Digitando-se ENTER o número 3 sobe para o registro Y, e a pilha fica da
seguinte forma:
5
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T= 0
Z= 0
Y= 3
X = 3
Ao digitar o número 2, você o verá no mostrador, e a pilha agora ficará com os
seguintes valores:
T= 0
Z= 0
Y= 3
X = 2
Somente agora, ao escolher a operação matemática de soma, a calculadora
fará 3+2, ou seja, a calculadora sempre efetua a operação matemática fazendo Y +
X, ou Y – X, ou seja, Y “operação matemática” X. O resultado do exemplo é 5,
ficando a pilha após a seleção da operação de adição com os valores a seguir:
T= 0
Z= 0
Y= 0
X = 5
Veremos agora a seguinte operação: (5 x 2 + 8 x 5) : 2
T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 0 10 10 0 0 0 0
Y 0 5 5 0 10 8 8 10 0 50 0
X 5 5 2 10 8 8 5 40 50 2 25
5 ENTER 2 X 8 ENTER 5 X + 2 :
É possível inverter a ordem do registro “X” com o registro “Y” digitando a tecla
X><Y. Por exemplo:
T 5 5
Z 12 12
Y 3 9
X 9 3
X><Y
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• ARMAZENAMENTO DE DADOS
Além dos registros X,Y, Z e T, a calculadora possui ainda mais 20 registrospara armazenar dados (R0 a R9 e R.0 a R.9). Exemplificando, para armazenar o
número 20 em R0, digite 20 STO 0. A fim de verificar qual número está em algum
registro, basta digitar a tecla RCL seguida do número do registro. Por exemplo, RCL
2 verifica o número armazenado no registro R2.
• LIMPEZA DE MEMÓRIA
A limpeza completa (de todos os registros) é feita digitando f clx. Perceba que
em cima dessa tecla está escrito REG (registros). Similarmente:
f SST apaga os registros estatísticos, a pilha e o mostrador;
f R apaga a memória de programação;
f x><y apaga os registros financeiros;
f ENTER reverte o uso das teclas f e g, caso tenham sido digitadas
inadvertidamente;
clx apaga o mostrador; usa-se por exemplo quando se digitou uma tecla
errada.
1.2 FUNÇÕES DE CALENDÁRIO
A HP 12 c possui a funcionalidade de fazer cálculos com datas, o que é muito
útil no ambiente profissional. Configure a calculadora para 6 casas após a vírgula,
digitando f seguido do número 6. Agora é necessário escolher entre dois formatos de
datas: dia-mês-ano ou mês-dia-ano (padrão da HP12c). Para escolher o formato dia-
mês-ano digite g e o número 4 (perceba que aparece no mostrador D.MY (day-
month-year). Caso queira voltar para o formato mês-dia-ano digite g e após o
número 5. Note que quando a calculadora está trabalhando no modo padrão nada
aparece no mostrador (você não verá a indicação M.DY).
Supondo que estejamos trabalhando no formato dia-mês-ano, para inserir
uma data (necessariamente entre 15/10/1582 e 25/11/4046), digite o dia seguido de
ponto e após o mês e ano. Exemplo: a data 05/01/2012 é entrada da seguinte forma:
05.012012
Perceba que não há ponto entre o mês e o ano, assim como no formato mês-
dia-ano não há ponto entre o dia e o ano, exatamente da forma como aparece na
tecla.
Para calcular qual data será após um número de dias de uma data base,
efetue os seguintes passos:
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Entre a data inicial (exemplo: 05.012012 ENTER)
Digite o número de dias (exemplo: 20)
Digite g CHS. Nesse exemplo queremos saber qual será a data 20 dias após
05/01/2012, que no caso é 25/01/2012. O número 3 que aparece no final do
mostrador refere-se ao dia da semana (quarta-feira, pois a contagem inicia na
segunda feira). Caso queira uma data passada, basta entrar um número negativo.
Apagando a memória e refazendo o exemplo agora com um número negativo (-20)
irá retornar a data de 16/12/2011.
• NÚMERO DE DIAS ENTRE DATAS
Para verificar o número de dias existente entre duas datas deve-se entrar
inicialmente a data base (mais antiga) seguida da tecla ENTER e após a data mais
recente. Depois digite g EEX. Como a resposta considera o ano civil, caso queira a
resposta com base no ano comercial (ano de 360 dias e mês de 30 dias), digite
x><y . A mesma tecla, caso digitada novamente retorna a resposta ao ano civil.
IMPORTANTE!
Embora o ano civil possua 365 dias (exceto o bissexto), para fins
didáticos considera-se o ano com 360 dias, e o mês com 30 dias, o que é
conhecido como ano comercial. Porém, como em diversas aplicações
financeiras se trabalha com o ano útil (o qual considera somente dias úteis), o
Banco Central do Brasil através da Circular n° 2.761/1997 estabeleceu o mês
útil com 21 dias, e o ano com 252 dias úteis. Porém a HP 12 c não trabalha com
este conceito. 
1.3 FUNÇÕES MATEMÁTICAS DA HP 12C
A HP 12c traz algumas funções matemáticas que são normalmente usadas em
finanças, incluindo cálculos com percentagem. Vamos iniciar pelas funções de
percentagem, explicando seu uso através de exemplos. São elas:
FUNÇÕES DE PERCENTAGEM TECLA
Percentagem de um valor %
Percentagem do total %T
Diferença percentual Δ%
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Percentagem
Vamos fazer uso do seguinte exemplo: solicitaram que você calculasse
quanto deveria ser pago para fins de contribuição do INSS como profissional liberal
autônomo, considerando a data de julho de 2016. O valor corresponde a 20% do
salário mínimo vigente nesta data (R$ 880,00).
Resolução com HP 12 c:
880 ENTER
20 %
Resposta: R$ 176,00
Percentagem do Total
A população residente no Brasil em 2010 totalizava 190.755.799 pessoas. Em
termos percentuais, quanto representa deste total a população residente urbana, de
160.925.792 pessoas?
Resolução com HP 12 c:
190755799 ENTER
160925792 %T
Resposta: 84,36%
Obs: o valor base (190755799) fica retido na memória. Caso queira continuar
entrando outros percentuais digite clx e repita a operação anterior.
Variação Percentual
A área colhida de cana de açúcar no Brasil em 2006 foi de 6.357.870
hectares. Em 2010, 8.612.294 hectares. Qual foi o aumento percentual de 2010 em
relação a 2006 da área colhida de cana de açúcar?
Resolução com HP 12 c:
6357870 ENTER
8612294 Δ%
Resposta: 35,46%
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A HP 12 c possui outras funções matemáticas que podem ser usadas através
de teclas específicas, como as presentes na tabela que segue.
FUNÇÕES MATEMÁTICAS TECLAS
Inversão 1/x
Exponenciação yx
Multiplicação por 12 g n
Divisão por 12 g i
Raiz quadrada g yx
Antilogaritmo natural g 1/x
Logaritmo natural g %T
Quadrado g x
Fatorial g 3
1.4 FUNÇÕES ESTATÍSTICAS DA HP-12C
No caso de ser necessário fazer cálculos estatísticos, a HP 12 c possui
algumas funcionalidades, mesmo que limitadas. Porém, é verdade que atualmente
quando alguém necessita fazer cálculos complexos recorre-se a softwares
específicos. Para quem trabalha com estatística há diversos pacotes bem mais
completos do que a calculadora HP 12 c, mas em determinados momentos ter uma
calculadora à mão pode ser muito útil.
O armazenamento de dados estatísticos se faz nos registros R1 a R6 da HP 12
c. Para inserir dados, inicialmente efetue a limpeza desses registros digitando f SST.
Essa operação irá limpar também os registros da pilha e o mostrador.
O procedimento de armazenamento de dados depende se o dado é
univariado ou bivariado (par x,y). Para entrar dados univariados digite o valor de “x”
seguido da tecla ∑+. Se os dados são bivariados, digite o valor de “y” seguido de
ENTER, e após digite o valor de “x” seguido da tecla ∑+, repetindo a entrada dos
pares ordenados da mesma forma. Após as entradas, os registros armazenam os
seguintes dados:
REGISTRO ESTATÍSTICA
R1 (e mostrador) n: número de pares de dados acumulados
R2 Ʃx: soma dos valores “x”
R3 Ʃx
2
: soma dos quadrados dos valores “x”
R4 Ʃy: soma dos valores “y”
R5 Ʃy
2
: soma dos quadrados dos valores “y”
R6 Ʃxy: somatório dos produtos dos valores “x” e valores “y”
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A partir da entrada de dados, as seguintes ferramentas estatísticas estão
disponíveis: média simples, média ponderada, desvio padrão e estimação linear.
FUNÇÃO TECLAS
Média Aritmética dos valores “x” g 0
Média Aritmética dos valores “y” g 0 x><y
Média de “x” ponderada por “y” g 6
Desvio Padrão dos valores “x” g .
Desvio Padrão dos valores “y” g . x><y
Estimação Linear: novo “y” g 2
Estimação linear: novo “x” g 1
É importante saber que para chegar a uma resposta correta nos
exercícios, os resultados de cálculos que ainda serão usados para se chegar
ao resultado final não podem ser arredondados. Use a memória da calculadora
para gravar estes números até encontrar o resultado final; este sim poderá ser
arredondado, preferencialmente, com no mínimo duas casas após a vírgula.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Uma pessoa solicitou que você calculasse quantas horas ela trabalhou em média
nas últimas semanas. Os dados estão na tabela que segue.
SEMANA HORAS
1 44
2 44
3 45
4 49
5 44
Resolução algébrica:(44+44+45+49+44) : 5 = 45,20
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Resolução com HP 12c:
44 ∑+
44 ∑+ 
45 ∑+
49 ∑+
44 ∑+
g 0
Resposta: 45,20 horas semanais
2) Um aluno tirou 9 na primeira prova de matemática financeira, 7,5 na segunda e 8
na terceira. Os pesos das provas são 3, 3 e 4 respectivamente. Qual sua média
final?
Resolução com HP 12c: Nesse caso, a nota será entrada como variável “y”, e os
pesos “x”.
9 ENTER
3 ∑+
7.5 ENTER 
3 ∑+
8 ENTER
4 ∑+
g 6
Resposta: a média final é 8,15
EXERCÍCIOS DE PRÁTICA DA HP 12 C
1) Qual foi o prejuízo, em percentuais, de ter comprado dólares para viajar em
mar/2015 por R$ 3,2074/US$, cancelar a viagem e vender os dólares em abr/2015
por R$ 2,9930/US$?
2) Um reforço semestral do imóvel que você comprou irá vencer dia 31/12. Quantos
dias você tem para pagar esse reforço? Obs: configure a calculadora para o formato
dia – mês – ano, e seis casas após a vírgula.
3) Você recebeu um prazo de 60 dias para concluir um parecer econômico, a
contar de hoje. Quando irá vencer esse prazo?
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GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE PRÁTICA DA HP 12 C
1) - 6,68%
2) O resultado depende da data base
3) O resultado depende da data base
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CAPÍTULO 2
JUROS SIMPLES
A palavra juros é proveniente da expressão latina juris (Direito). Antes
mesmo da existência da moeda cunhada (que ocorreu na Grécia), registros
históricos mostram que no Neolítico (por volta de 5.000 a.C) o crédito se tornou
importante, estimulando a acumulação de capital, e o crescimento das cidades.
Geralmente o empréstimo era de grãos e metais, que eram devolvidos com
acréscimo da coisa emprestada, configurando, desta forma, os juros. Na
Mesopotâmia, o sumérios, em obediência ao Código de Hamurabi, por volta de 1800
a.C, praticavam uma taxa de juros de 33% ao ano para empréstimos em grãos, e de
20% ao ano para os empréstimos em prata. Embora a atividade creditícia tivesse
prosperado na Grécia, sua tomada por Alexandre levou esta atividade a entrar em
declínio. Vista como atividade pouco importante, era relegada a segundo plano, e
vários textos foram editados a fim de combater a usura. Por volta de 342 a.C o
empréstimo a juros chegou a ser proibido, proibição esta que durou pouco tempo.
Na Idade Média, a doutrina católica proibia a usura, considerada uma
“luxúria pelo ganho”. Porém, no século XIII, com grande atividade comercial, as
normas locais acabaram cedendo ao mútuo feneratício, contrariando as diretrizes da
Igreja. No século XVI, apesar de condenada pela Igreja, a cobrança de juros passou
a ser cada vez mais comum, no que líderes protestantes manifestaram-se favorável
a sua cobrança. Nesta direção, em 1540, Carlos V editou o primeiro texto
legalizando a cobrança de juros, entretanto somente no século XIX o Vaticano
decretou que os juros permitidos em lei poderiam ser cobrados e tomados por
qualquer um.
Os juros são a remuneração do capital (na ótica de quem ofertou capital), ou
o custo do capital (na ótica de quem tomou emprestado), entendendo-se por capital
como qualquer valor que possa ser expresso em moeda. Segundo John Maynard
Keynes em sua famosa obra “A Teoria Geral do Emprego, do Juro e da Moeda”,
publicada pela primeira vez em 1936, é a “recompensa pela renúncia à liquidez”, ou
seja, uma compensação por não se fazer uso do dinheiro no presente. Essa
renúncia faz sentido, sendo um comportamento racional, somente se o custo de
abdicar de um consumo presente for recompensado no futuro. Esse benefício é
adquirido com o recebimento dos juros.
Essa remuneração do capital pode ser calculada a juros simples ou a juros
compostos. Em se tratando de juros simples, a taxa de juros incide somente sobre o
valor do principal da dívida, ou seja, somente sobre o capital inicial. Dessa forma, os
juros crescem linearmente no tempo, motivo pelo qual também é chamado de juros
lineares. O cálculo de juros compostos será visto em capítulo próprio.
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A taxa de juros, por sua vez, é uma expressão dos juros numa unidade de
tempo (dia, mês, semestre, ano, etc.). Pode ser representada nas seguintes formas:
• Taxa Percentual (30% a.a)
• Taxa Unitária (0,3 a.a)
Pode-se facilmente transformar as taxas de juros no regime de juros simples,
simplesmente fazendo uma regra de três, ou seja, encontrando-se a taxa
proporcional, conforme o exemplo a seguir.
Exemplo 1: Qual a taxa anual equivalente à taxa de 1% ao mês, a juros simples?
1 mês – 1%
12 meses – x
x = 12% ao ano
Exemplo 2: Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 15 % ao ano, a juros
simples?
1 ano – 15%
1/6 ano – x
x = 15/6 = 2,5% ao bimestre
É importante ressaltar que esta regra de três não pode ser realizada se o
cálculo for em regime de juros compostos, que veremos mais adiante.
2.1 CÁLCULOS COM JUROS SIMPLES
Entende-se por Montante (M) a soma do Capital (C) com os Juros (J)
recebidos (ou pagos). O montante é o resultado da aplicação de um capital, a uma
taxa de juros (i) durante certo prazo (n). Como o capital aplicado gerará um
determinado montante em um momento posterior, é comum o uso da nomenclatura
Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), para denominar Capital e Montante,
respectivamente. A fórmula de cálculo dos juros simples é:
J = C x i x n
ou
J = VP x i x n
15
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Obs: nas fórmulas usar a taxa necessariamente na forma unitária, mas na HP 12 C
insere-se na forma percentual.
Exemplificando, um crédito de R$ 10.000,00, à taxa de juros simples de 10%
ao ano, durante 5 anos gera R$ 1.000,00 de juros a pagar no primeiro ano, R$
2.000,00 no segundo, e assim sucessivamente, conforme os cálculos a seguir.
• J1 = 10.000,00 x 0,1 x 1 = 1.000,00
• J2 = 10.000,00 x 0,1 x 2 = 2.000,00
• J3 = 10.000,00 x 0,1 x 3 = 3.000,00
• J4 = 10.000,00 x 0,1 x 4 = 4.000,00
• J5 = 10.000,00 x 0,1 x 5 = 5.000,00
Perceba que os juros crescem linearmente, característica essa da fórmula
de cálculo de juros simples, o que pode ser visto no gráfico que segue.
Gráfico 2.1 – Juros lineares
Fonte: Elaboração própria
CÁLCULO DO MONTANTE
O Montante é obtido pela soma do capital com os juros:
M = C + J
16
1 2 3 4 5
0
1000
2000
3000
4000
5000
JUROS 
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Como J = C x i x n, substituindo na fórmula anterior temos:
M = C + C x i x n
Colocando “C” em evidência chega-se à fórmula final:
M = C x (1 + i x n) ou VF = VP x (1 + i x n)
Valendo do exemplo anterior, temos os seguintes montantes anuais:
• M1 = C1 + J1 = 10.000,00 + 1.000,00 = 11.000,00
• M2 = C2 + J2 = 10.000,00 + 2.000,00 = 12.000,00
• M3 = C3 + J3 = 10.000,00 + 3.000,00 = 13.000,00
• M4 = C4 + J4 = 10.000,00 + 4.000,00 = 14.000,00
• M5 = C5 + J5 = 10.000,00 + 5.000,00 = 15.000,00
CÁLCULO DO VALOR PRESENTE
Isolando-se o Valor Presente (VP) na fórmula de juros simples temos:
VP = VF : (1 + i X n)
CÁLCULO DO PRAZO
O prazo é encontrado isolando “n” na fórmula de juros simples, obtendo-se a 
fórmula:
n = (VF/VP – 1) : i
CÁLCULO DA TAXA DE JUROS
A taxa de juros é obtida isolando-se “i” na fórmula de juros simples.
i = (VF/VP – 1) : n
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Neste material, será frequente o uso de algumas abreviações. Em matemática
financeira usa-se as seguintes abreviações de prazo para as taxas de juros:
• a.a = ao ano
• a.s = ao semestrre
• a.t = ao trimestre
• a.b = ao bimestre
• a.m = ao mês
• a.d = ao dia
É importante lembrar que para a resolução dos exercícios, o prazo e a
taxa de juros necessitamestar na mesma base. Ex: prazo em meses, a taxa
deve ser ao mês.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Calcular os juros de um empréstimo no valor de R$ 10.000,00, à taxa de 25% a.a.
pelo prazo de 8 meses.
Resolução algébrica:
J = PV x i x n
J = 10.000,00 x 0,25 : 12 x 8 = 1.666,67
Resolução com HP 12c:
10000 ENTER
0.25 X
12 :
8 X
Resposta: R$ 1.666,67
2) Uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 90 dias obteve rendimento de R$
258,00. Qual a taxa anual de juros simples dessa aplicação?
Resolução algébrica:
J = PV x i x n
258,00 = 10.000,00 x i x 90 : 360
i = 258,00 : (10.000,00 x 90 : 360) = 0,1032 ou 10,32%
Resolução com HP 12c:
18
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
258 ENTER
10000 ENTER
90 X
360 :
:
100 x
Resposta: 10,32 % ao ano
EXERCÍCIOS DE JUROS SIMPLES
1) Juros de R$ 651,49 foram obtidos com a aplicação de R$ 6.000,00 à taxa de juros
simples de 1,2% a.m. Calcule o prazo da aplicação em meses.
2) Uma pessoa aplicou R$ 2.500,00 a juros simples de 1,1% a.m. pelo prazo de 3
trimestres. Qual o montante ao final do prazo da aplicação?
3) Calcule o valor dos juros (simples) que um capital de R$ 10.000,00 rende em
quatro anos e dois meses, considerando uma taxa de 10,80 % a.a.
4) Um capital de R$ 35.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 2% a.m. Após
quantos meses conseguirá obter o objetivo de R$ 60.000,00, sabendo que os juros
são depositados mensalmente?
5) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros simples, a uma taxa de 0,95% ao
mês. O investidor decidiu resgatar a aplicação após ter transcorrido 3 anos, dois
meses e 20 dias. Sabendo que nesta aplicação os juros não são pagos em frações
de mês, calcule o valor de resgate desta aplicação.
6) Calcule o valor do capital que aplicado a uma taxa de 0,9% ao mês (a juros
simples), atinge em quatro anos e meio o montante de R$ 19.200,50.
7) Aplicando a juros simples R$ 900,00 durante trinta meses, um investidor obteve o
rendimento de R$ 200,00. Descubra qual a taxa anual de juros desta operação.
8) Um investidor decidiu comprar um título que prometia render 6 % ao ano a juros
simples, investindo R$ 2.000,00. Após três anos e quatro meses, precisou do
dinheiro e resolveu resgatar o investimento. Quanto resgatou?
9) Você comprou um relógio e ficou devendo uma parcela de R$ 300,00. A loja cobra
juros de 5% ao mês (juros simples), e nas frações de mês são cobrados juros
proporcionais. Após quatro meses e 10 dias, você resolve pagar a parcela. Quanto
terá que pagar?
19
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
10) Calcule a taxa de juros mensal (juros simples) que dobra o valor de um capital,
quando aplicado por 6 meses.
 
2.2 DESCONTO SIMPLES
As operações de desconto são bastante conhecidas do público em geral.
Para se calcular o desconto, é preciso ter em mãos a taxa de desconto, que é a taxa
de juros da operação. Pela lógica da teoria financeira, há uma relação entre o risco e
a taxa de juros da operação, da seguinte forma:
Gráfico 2.2 – Relação entre juros e risco
Fonte: Elaboração própria
A relação entre taxa de juros e risco é diretamente proporcional: quanto maior
o risco da operação, maior a taxa de juros. O risco relaciona-se, por exemplo, com a
natureza da atividade do tomador de crédito, com a existência ou não de garantias
contratuais, com a situação financeira do tomador de crédito, entre outros fatores.
No Brasil, por exemplo, o crédito consignado (tipo de crédito cujos pagamentos são
descontados diretamente do salário) apresentam taxas mais baixas em relação ao
mesmo tipo de crédito não consignado, justamente porque a probabilidade de não
pagamento é menor.
Em relação ao prazo da operação, a teoria de finanças tradicional diz que
quanto maior o prazo, maior a taxa de juros, pois o futuro é incerto, e assim sendo,
quanto mais longínquo o prazo, maior a incerteza envolvendo a operação, logo
maior o risco, e a taxa de juros. Entretanto, no Brasil pode-se ver algumas exceções
a essa regra: é possível obter crédito de longo prazo a taxas inferiores em
comparação ao crédito de curto prazo, dependendo da linha de crédito. Isso ocorre
por exemplo com o crédito imobiliário, em que o governo capta recursos via
caderneta de poupança para conceder crédito a taxas reduzidas.
20
Risco
Taxa de Juros
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
CÁLCULO DO DESCONTO:
Há duas maneiras de calcular desconto: por fora ou por dentro. O Desconto
por Fora, também conhecido como Desconto Comercial, calcula o valor do desconto
a partir do Valor Nominal do ítem (também chamado de Valor de Face). Já o
Desconto por Dentro ou Racional é o desconto calculado sobre o Valor Presente (o
mesmo que valor atual). As fórmulas estão a seguir.
FÓRMULAS:
DESCONTO SIMPLES (POR FORA) DESCONTO SIMPLES (POR DENTRO)
Df = VN x i x n
VP = VN – Df
VP = VN – VN x i x n
VP = VN x (1 – i x n) ou
VN = VP : (1 – i x n)
Dd = VP x i x n
VP = VN - Dd
VP = VN – VP x i x n
VP + VP x i x n = VN
VN = VP x (1 + i x n) ou
VP = VN : (1 + i x n)
Onde:
Df = Desconto por fora
Dd = Desconto por dentro
OBS: para efetuar cálculos com desconto é possível substituir, nas fórmulas de juros
simples, o Valor Futuro pelo Valor Nominal. Trata-se apenas de uma diferença de
nomenclatura.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Qual o valor de resgate de um título cujo valor nominal é R$ 5.000,00, resgatado
2 meses antes do vencimento? Considere uma taxa de desconto de 2% a.m
(desconto comercial simples). Qual o valor do desconto?
Resolução algébrica:
VP = VN x (1- i x n)
VP = 5.000,00 x (1 – 0,02 x 2)
VP = R$ 4.800,00
Df = VN – VP = 5.000,00 – 4.800,00 = 200,00
21
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
Resolução com HP 12c:
5000 ENTER
0.02 ENTER
2 X
1 -
X
5000 ENTER
4800 -
Resposta:
Valor de resgate = R$ 4.800,00
Valor do desconto = R$ 200,00
2) Quanto deverá ser pago à vista por um eletrodoméstico cujo preço de venda está
fixado em R$ 1.500,00 para pagamento em 90 dias, utilizando o desconto simples
racional à taxa de 3% a.m.?
Resolução algébrica:
VP = VN : (1+ i x n)
VP = 1.500,00 : (1 + 0,03 x 3)
VP = 1.376,15
Resolução com HP 12c:
1500 ENTER
1 ENTER
0.03 ENTER
3 X
+
:
Resposta: R$ 1.376,15
EXERCÍCIOS DE DESCONTO SIMPLES
1) Qual o valor de face de um título resgatado 3 meses antes do vencimento por R$
5020,38, tendo sido usado o desconto simples (por fora) à taxa de 1,5% a.m.?
2) Qual a taxa mensal de um título de valor nominal igual a R$ 20.000,00, resgatado
3 meses antes do vencimento por R$ 18.800,00, via desconto comercial simples?
 
22
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
3) Um título de R$ 6.000,00 sofreu um desconto simples por dentro de R$ 1.500,00,
9 meses antes do vencimento. Qual a taxa anual empregada?
4) Qual o valor de uma nota promissória, a vencer em 30 de julho, que descontada
por dentro no dia 15 de março do mesmo ano produziu um desconto de R$ 215,00,
à taxa de 39% a.a.?
5) Um título vale R$ 30.000,00 na data de vencimento. Caso seja resgatado
antecipadamente, com base no desconto racional simples e taxa de 3,5% ao
bimestre, em quantos meses antes do vencimento o valor do resgate obtido seria de
R$ 25.000,00?
6) Qual o valor atual de uma duplicata após receber um desconto simples por dentro
no valor de R$ 250,00, a 45 dias de seu vencimento, à taxa de 3,5% a.m.?
7) Qual o valor atual de um título cujo valor no vencimento (daqui a 9 meses) é de
R$ 20.000,00, considerando uma taxa de juros simples de 4% ao mês, e desconto
racional.
8) Qual o valor do desconto que recebe uma duplicata de R$ 1.800,00 paga três
meses antes do vencimento, à taxa de 15% ao ano? Considere o desconto simples
por dentro.
9) Qual o valor do desconto simples por fora de um título de R$5.000,00, com
vencimento para 150 dias à taxa de 2% ao mês?
10) Uma nota promissória de valor nominal igual a R$ 80.000,00 vence em 30 de
julho. Caso seja resgatada em 15 de maio do mesmo ano, descontada a uma taxa
de 4,5% a.m. (desconto simples por fora), quanto será seu valor?
23
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE JUROS SIMPLES
1) 9,05 meses
2) R$ 2.747,50
3) R$ 4.500,00
4) 36 meses
5) R$ 1.361,00
6) R$ 12.920,93
7) 8,89% ao ano
8) R$ 2.400,00
9) R$ 365,00
10) 16,67% a.m.
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE DESCONTO SIMPLES
1) R$ 5.256,94
2) 2,00% a.m
3) 44,44% ao ano
4) R$ 1.685,09
5) 11,43 meses
6) R$ 4.761,90
7) R$ 14.705,88
8) R$ 65,06
9) R$ 500,00
10) R$ 71.000,00
24
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
APÊNDICE: TEORIA DE FORMAÇÃO DA TAXA DE JUROS
Como ocorre a formação das taxas de juros em uma economia? Para
responder a esta questão, devemos inicialmente compreender o funcionamento do
mercado de fundos emprestáveis. No mercado de fundos emprestáveis o objeto de
negociação é o dinheiro, logo há quem oferte e quem demande dinheiro.
A demanda (ou procura) de moeda ocorre pelas famílias, empresas e
também pelo governo, na medida em que, por exemplo, necessita-se efetuar
transações. Graficamente, a curva de demanda por dinheiro indica quanto de
dinheiro será demandado para cada nível de taxa de juros. Movimentos ao longo da
curva são causados pela variação na taxa de juros.
Gráfico 2.3 – Curva de Demanda
Fonte: Elaboração própria
Percebemos que a curva é descendente, pois a uma maior taxa de juros, as
pessoas tendem a gastar menos, ou seja, demandamos menos dinheiro. As
empresas também demandam menos dinheiro com a taxa de juros mais alta, pois o
custo dos financiamentos estão mais altos, e também ocorre um maior incentivo a
poupar. Andando ao longo da curva (para a direita), a taxa de juros fica mais baixa.
Neste caso, ocorre um maior incentivo ao consumo, elevando a demanda por
dinheiro.
A curva de oferta de dinheiro, por sua vez, representa o quanto de dinheiro
que os agentes econômicos estão dispostos a ofertar, para cada nivel de taxa de
25
Taxa de Juros
Q (R$)
Curva de Demanda
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
juros, sendo uma curva com inclinação positiva, pois é mais vantajoso ofertar
dinheiro quando a remuneração por esta oferta é maior.
Gráfico 2.4 – Curva de Oferta
Fonte: Elaboração própria
Ao juntarmos as duas curvas, encontramos a taxa de juros de equilíbrio no
mercado, que ocorre na intersecção das curvas de oferta e demanda de dinheiro.
Esta é a taxa que será praticada no mercado, pois iguala a demanda com a oferta
de moeda.
Gráfico 2.5 – Equilíbrio entre a Oferta e a Demanda
Fonte: Elaboração própria
26
Taxa de Juros
Q (R$)
Taxa de Juros
Q (R$)
Demanda
Oferta
Curva de Oferta
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
Porém, o patamar da taxa de juros influencia diretamente a atividade
econômica. Assim, o governo através de política monetária pode controlar o patamar
da taxa de juros de equilíbrio, com objetivos como controlar a inflação, buscar o
pleno emprego, elevar o crescimento econômico, isoladamente ou em conjunto.
Gráfico 2.6 – Deslocamento da Oferta
Fonte: Elaboração própria
Quando o Banco Central eleva a oferta monetária, ocorre uma redução das
taxas de juros, gerando incentivo ao consumo e à produção, porém, pode haver
consequências na economia como elevação dos preços. Similarmente, se houver
uma redução da oferta monetária, a taxa de juros sobe, desestimulando o consumo
e o investimento das firmas, porém, podendo conter um processo de alta dos
preços.
Da mesma forma que a curva de oferta de moeda pode ser deslocada, a
curva de demanda de moeda também se desloca, para a direita ou para a esquerda,
provocando efeitos na taxa de juros. Por exemplo: se a renda da população
aumenta, normalmente as pessoas tendem a consumir mais, elevando a demanda
de dinheiro. Essa elevação na demanda de dinheiro provoca um deslocamento para
a direita na curva de demanda de moeda, elevando as taxas de juros, conforme
podemos ver no gráfico a seguir.
27
Taxa de juros
Q (R$)
Demanda
Oferta 1 Oferta 2
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
Gráfico 2.7 – Deslocamento da Demanda
Fonte: Elaboração própria
A elevação da taxa de juros provocada pela elevação da demanda de
dinheiro tem como consequência o desestímulo ao consumo e ao investimento das
firmas, bem como incentiva a poupança, retraindo a atividade econômica.
A esta altura você deve estar se perguntando: mas no mercado há diversas
taxas de juros: a do cheque especial, a do cartão de crédito, do crédito pessoal, do
financiamento imobiliário, entre outras. A qual destas taxas esta teoria se refere? A
resposta é: todas. Embora existam segmentos específicos de crédito, cada uma com
suas peculiaridades, a teoria aqui apresentada representa o comportamento geral
das taxas de juros: na prática, observe, as taxas se movimentam normalmente na
mesma direção, em resposta à variações da demanda e oferta de dinheiro na
economia.
28
Taxa de juros
Q (R$)
Demanda 1
Demanda 2
Oferta
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
CAPÍTULO 3
JUROS COMPOSTOS
___________________________________________________________________
O cálculo dos juros compostos não é muito mais complicado do que o cálculo
de juros simples; entretanto, os resultados podem ser absurdamente distintos. Isso
ocorre pois em se tratando de juros compostos, os juros produzidos no final de um
período são incorporados (capitalizados) ao capital inicial periodicamente. Desta
forma, o montante formado pela soma do capital acrescido dos juros é nova base
para cálculo dos juros no período seguinte. Em termos matemáticos, o modelo é de
progressão geométrica. Veremos os cálculos.
3.1 CÁLCULOS COM JUROS COMPOSTOS
O Montante, ou Valor Futuro a juros compostos é encontrado pela fórmula:
VF = VP x (1 + i)n
Onde (1 + i)n é chamado Fator de Acumulação de Capital (FAC). Se
quiséssemos verificar apenas o valor dos juros, então teríamos que subtrair o valor
do capital inicial do montante, ou seja:
J = VP x (1 + i)n – VP
Colocando VP em evidência temos:
J =VP X [(1 + i)n - 1]
Exemplo: O cliente de um banco encontra-se com saldo negativo de R$
1.000,00 no cheque especial. Se a taxa de juros cobrada é de 10% ao mês, e
considerando que o cliente não amortiza a dívida, calcule quanto pagará de juros
mensais, a juros simples e a juros compostos, considerando os meses de 1 a 5, 10 e
100.
29
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
A tabela que segue mostra o valor dos juros solicitados.
Tabela 3.1 – Comparação entre Juros Simples e Compostos
MÊS JUROS SIMPLES
(R$)
JUROS COMPOSTOS
(R$)
n = 1 100,00 100,00
n = 2 200,00 210,00
n = 3 300,00 331,00
n = 4 400,00 464,10
n = 5 500,00 610,51
n = 10 1.000,00 1.593,74
n = 100 10.000,00 13.779.612,34
Fonte: Elaboração própria
Perceba que a evolução da dívida a partir de determinado mês passa a ser
absurdamente diferente comparando os juros simples com juros compostos. Isso se
deve à evolução exponencial dos juros compostos, que pode ser vista no gráfico 3.1
a seguir, valendo-se dos dados do exemplo em questão.
Gráfico 3.1 – Evolução dos juros compostos
Fonte: Elaboração própria
30
1 10 20 30 40 50
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
Veja que o Valor Atual (VA) ou Valor Presente (VP) pode ser calculado
isolando-se, na fórmula do montante, o Valor Presente:
VP = VF : (1 + i)n
Onde 1 / (1 + i)
n 
é chamado de Fator de Valor Atual (FVA).A taxa de juros
pode ser encontrada algebricamente da seguinte forma:
VF = VP x (1 + i)n
VF : VP = (1 + i)n
1+ i = (VF : VP)1/n
i = (VF : VP)1/n – 1
Já para encontrar o prazo, com base em valores dados de VP, VF e i, faz-se
necessário o uso de logaritmos, da seguinte forma:
VF = VP x (1 + i)n
VF : VP = (1 + i)n
ln (VF : VP) = n x ln (1+ i)
n = ln (VF : VP) : ln (1+ i)
A seguir é apresentada uma tabela com os fatores para taxas de juros de 1%
a 10%, e prazo variando de 1 a 10.
31
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
FATOR DE VALOR ATUAL (FVA)
PRAZO (n) TAXA DE JUROS (i)
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 0,99010 0,98039 0,97087 0,96154 0,95238 0,94340 0,93458 0,92593 0,91743 0,90909
2 0,98030 0,96117 0,94260 0,92456 0,90703 0,89000 0,87344 0,85734 0,84168 0,82645
3 0,97059 0,94232 0,91514 0,88900 0,86384 0,83962 0,81630 0,79383 0,77218 0,75131
4 0,96098 0,92385 0,88849 0,85480 0,82270 0,79209 0,76290 0,73503 0,70843 0,68301
5 0,95147 0,90573 0,86261 0,82193 0,78353 0,74726 0,71299 0,68058 0,64993 0,62092
6 0,94205 0,88797 0,83748 0,79031 0,74622 0,70496 0,66634 0,63017 0,59627 0,56447
7 0,93272 0,87056 0,81309 0,75992 0,71068 0,66506 0,62275 0,58349 0,54703 0,51316
8 0,92348 0,85349 0,78941 0,73069 0,67684 0,62741 0,58201 0,54027 0,50187 0,46651
9 0,91434 0,83676 0,76642 0,70259 0,64461 0,59190 0,54393 0,50025 0,46043 0,42410
10 0,90529 0,82035 0,74409 0,67556 0,61391 0,55839 0,50835 0,46319 0,42241 0,38554
11 0,89632 0,80426 0,72242 0,64958 0,58468 0,52679 0,47509 0,42888 0,38753 0,35049
12 0,88745 0,78849 0,70138 0,62460 0,55684 0,49697 0,44401 0,39711 0,35553 0,31863
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (FAC)
PRAZO (n) TAXA DE JUROS (i)
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 1,01000 1,02000 1,03000 1,04000 1,05000 1,06000 1,07000 1,08000 1,09000 1,10000
2 1,02010 1,04040 1,06090 1,08160 1,10250 1,12360 1,14490 1,16640 1,18810 1,21000
3 1,03030 1,06121 1,09273 1,12486 1,15763 1,19102 1,22504 1,25971 1,29503 1,33100
4 1,04060 1,08243 1,12551 1,16986 1,21551 1,26248 1,31080 1,36049 1,41158 1,46410
5 1,05101 1,10408 1,15927 1,21665 1,27628 1,33823 1,40255 1,46933 1,53862 1,61051
6 1,06152 1,12616 1,19405 1,26532 1,34010 1,41852 1,50073 1,58687 1,67710 1,77156
7 1,07214 1,14869 1,22987 1,31593 1,40710 1,50363 1,60578 1,71382 1,82804 1,94872
8 1,08286 1,17166 1,26677 1,36857 1,47746 1,59385 1,71819 1,85093 1,99256 2,14359
9 1,09369 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133 1,68948 1,83846 1,99900 2,17189 2,35795
10 1,10462 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889 1,79085 1,96715 2,15892 2,36736 2,59374
11 1,11567 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034 1,89830 2,10485 2,33164 2,58043 2,85312
12 1,12683 1,26824 1,42576 1,60103 1,79586 2,01220 2,25219 2,51817 2,81266 3,13843
3.4 JUROS COMPOSTOS NO EXCEL
No Excel, é possível resolver juros compostos encontrando-se valor presente,
valor futuro, prazo e taxa de juros, através das seguintes fórmulas:
VALOR PRESENTE = VP (taxa;nper;pgto;vf;tipo)
VALOR FUTURO = VF (taxa;nper;pgto;vp:tipo)
PRAZO = NPER (taxa;pgto;vp;vf;tipo)
TAXA DE JUROS = TAXA (nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa)
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Lisandro Fin Nishi
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Calcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 2.500,00 pelo
prazo de 18 meses, à taxa de 1,5% a.m.
Resolução algébrica:
VF = VP x (1 + i)n
VF = 2.500,00 x (1+0,015)18
VF = 3.268,35
J = VF – VP = 768,35
Resolução com HP 12c:
2500 PV
18 n
1.5 i
FV
Perceba que o valor futuro no visor ficou negativo. Isso não significa que se
trata de um valor negativo, mas sim que a calculadora entendeu que se trata de uma
saída de caixa, pois o valor presente foi inserido com sinal positivo (entrada de
caixa). A HP 12 c sempre irá inverter os sinais: se o valor presente foi inserido com
sinal negativo, o valor futuro retornará com sinal positivo, e vice – versa. Para
continuar a resolução, neste caso, procede-se da seguinte forma:
CHS
2500 -
Obs: Não seria necessário inverter o sinal se o valor presente fosse entrado
como um valor negativo, pois o valor futuro resultaria positivo. Experimente!
Resposta: R$ 768,35
2) Uma aplicação de R$ 30.000,00 pelo prazo de 8 meses obteve rendimento de R$
2.828,00. Qual a taxa mensal de juros compostos dessa aplicação?
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Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
Resolução algébrica:
VF = VP + J
VF = 30.000,00 + 2.828,00 = 32.828,00
i = (VF : VP)1/n – 1
i = (32.828,00 : 30000,00) 1/8 -1
i = 0,0113 ou 1,13 %
Resolução com HP 12 c:
30000 ENTER
2828 +
FV
30000 CHS
PV
8 n
i
Obs: ao inserir um valor positivo para FV, é necessário que PV seja de sinal
negativo, e vice – versa.
Resposta: 1,13 % ao mês
EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS
1) Sabendo que os juros de R$ 425,76 foram obtidos com a aplicação de R$
1.000,00 à taxa de 3% a.m. a juros compostos, calcular o prazo da aplicação.
2) Qual o valor que aplicado a juros compostos de 1,1% a.m. por 12 meses produziu
um montante de R$ 8.110,00?
3) Calcular o montante obtido ao aplicar na caderneta de poupança R$ 1.500,00, se
o rendimento for de 0,6% a.m. Considere que a aplicação rendeu durante 3 anos.
4) Uma quantia de R$ 15.000,00 foi emprestada a uma taxa de juros de 2,6% ao
mês a juros compostos. Qual o valor que deverá ser pago, se o tomador do crédito
resolver pagar a dívida tendo já transcorrido 8 meses da data do empréstimo?
5) Um capital de R$ 5.800,00 esteve aplicado à taxa de 1% a.m. em regime de
capitalização composta. Após seis anos e quatro meses, quantos são os juros
auferidos com tal aplicação financeira?
6) Uma pessoa recebe uma proposta de investimento: aplicar R$ 30.000,00, e
receber após três anos 33.500,43. No regime de juros compostos, qual a taxa de
rentabilidade anual desse investimento?
34
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Matemática Financeira
7) Se aplicarmos R$ 60.000,00 a juros compostos, rendendo 1,8% a cada bimestre,
quanto teremos após dois anos?
8) Uma aplicação de R$ 15.000,00 pelo prazo de 6 meses obteve rendimento de R$
582,33, a juros compostos. Qual a taxa mensal de juros dessa aplicação?
9) Juros de R$ 961,78 foram obtidos com a aplicação de R$ 20.000,00 à taxa de
1,13% a.m. com capitalização composta. Calcule algebricamente quanto tempo foi
necessário para ganhar este rendimento? Obs: a HP 12 c arredonda o resultado.
10) Você aplicou R$ 2.000,00. Para saber qual será o montante obtido com esta
aplicação, calcule o resultado de 2.000,00 FAC (n,i) usando a tabela, considerando
n=4 e i=5%.
3.2 DESCONTO COMPOSTO
Pode-se calcular o desconto composto por fora ou por dentro. No caso do
desconto composto por dentro, a fórmula a ser usada é:
Dd = VN - VP
onde VP = VN : (1 + i)n
Para o cálculo do desconto composto por fora (raramente usado na prática), a
fórmula a ser usada é:
Df = VN – VP
onde VP = VN x (1 - i)n
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Considere um título no valor de R$ 13.500,00, descontado hoje, com prazo de
vencimento para 60 dias, e taxa de juros de 2,5% ao mês.
a) Qual o valor do desconto sob o regime de desconto composto comercial?
b) Qual o valor do desconto sob o regime de desconto composto racional?
a) Resolução algébrica:
Desconto composto comercial: VP = VN x (1- i)n
VP = 13.500,00 x (1 – 0,025)2
VP = 12.833,44
Df = VN – VP = 666,56 
35
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Resolução com HP 12c:
13500 ENTER
STO 1
1 ENTER
0.025 -
2 YX
X
RCL 1
-
CHS
Resposta: R$ 666,56
b) Resolução algébrica:
Desconto composto racional: VP = VN : (1 + i)n
VP = 13.500,00 : (1 + 0,025)2
VP = 12.849,49
Dd = VN – VP = 13.500,00 – 12.849,49 = 650,51
Resolução com HP 12c:
13500 CHS FV
2.5 i
2 n
PV
-
Resposta: R$ 650,51
EXERCÍCIOS DE DESCONTO COMPOSTO
1) Obtenha o valor atual de um título cujo valor de face é R$ 10.000,00,vencível ao
fim de seis meses, utilizando uma taxa de desconto de 4,2% ao mês. Use o
desconto racional composto.
2) Um título tem valor nominal de R$ 26.000,00 e vencerá daqui a 10 anos. Se for
descontado 30 dias antes do vencimento, à taxa de 2% ao mês, quanto valerá? Use
o desconto comercial composto.
36
Lisandro Fin Nishi
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3) Uma empresa descontou dois meses antes do vencimento uma duplicata de R$
120.000,00. Com base no regime de desconto comercial composto, calcule quanto a
esta empresa recebeu pela duplicata, após a operação de desconto, se a taxa de
juros da operação foi de 3% a.m.
3.3 CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL
Frequentemente é necessário trabalhar com uma parte fracionária do período.
Ex: 12 meses e 20 dias. Nestes casos, a parte fracionária pode ser calculada a juros
simples (convenção linear) ou a juros compostos (convenção exponencial).
Iniciaremos pela convenção linear, que é o padrão da HP 12 c.
CONVENÇÃO LINEAR
No cálculo com convenção linear, a formação dos juros é calculada com juros
compostos para a parte inteira do período e juros simples para a parte fracionária.
FÓRMULA:
VF = VP x (1 + i)n x [1 + i x (p : q)]
Onde p/q é a parte fracionária do período. Exemplo: 12 meses e 20 dias.
• n = 12 (meses)
• p = 20 (dias)
• q = 30 (dias)
CONVENÇÃO EXPONENCIAL
A formação dos juros é calculada a juros compostos para as partes inteira e
fracionária do período.
FÓRMULA:
VF = VP x (1+i) n+p/q
Caso queira que a HP 12 c efetue cálculos via convenção exponencial, digite
STO EEX. Aparecerá no visor a letra “c”, indicando que a calculadora irá calcular
com a fórmula de convenção exponencial. Para retornar ao padrão (convenção
linear), refaça a operação anterior.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
1) Seja um capital de R$ 2.500,00 tomado emprestado de um banco, à taxa de 3,8%
a.m. pelo prazo de 2 meses e 10 dias. Calcular quanto estará devendo ao banco
após este período, pelas convenções linear e exponencial.
Resolução algébrica:
Pela convenção linear: VF = VP x (1 + i)n x [1+i x (p : q)]
VF = 2.500,00 x (1+0,038)2 x [1+0,038 x (10 : 30)] = 2.727,73
Resolução com HP 12c:
2500 PV
3.8 i
2 ENTER
10 ENTER
30 :
+
n
FV
Resposta: R$ 2.727,73
Por convenção exponencial: VF = VP x (1+i) n+p:q
VF = 2.500,00 x (1+0,038)2+10:30 = 2.727,31
Resolução com HP 12c:
Na HP 12c os passos são os mesmos, porém em primeiro lugar deve-se
digitar STO EEX.
Resposta: R$ 2.727,31
38
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EXERCÍCIOS DE CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL
1) Fulano pegou um financiamento no valor de R$ 6.500,00 pelo prazo de 13 meses
e 23 dias, à taxa de 3,43% a.m. Calcule o montante a ser pago ao término deste
prazo, com base na convenção linear.
2) Um capital foi aplicado pelo prazo de 2 anos e 7 meses, à taxa de 6,5% a.a.
Calcular o valor da aplicação, sabendo que o montante produzido foi de R$
12.000,00. Calcule usando a convenção exponencial.
3) O capital de R$ 5.000,00 é aplicado do dia 1 de janeiro ao dia 20 do mês
seguinte. Calcule o rendimento desta aplicação, considerando juros compostos de
1,2% ao mês, e convenção linear.
39
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GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS
1) 12 meses
2) R$ 7.112,25
3) R$ 1.860,45
4) R$ 18.419,17
5) R$ 6.555,27
6) 3,75% a.a
7) R$ 74.323,23
8) 0,64% a.m
9) 4,18 meses
10) R$ 2.431,01
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE DESCONTO COMPOSTO
1) R$ 7.812,57
2) R$ 25.480,00
3) R$ 112.908,00
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL
1) R$ 10.341,68
2) R$ 10.198,31
3) R$ 100,48
40
Lisandro Fin Nishi
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APÊNDICE: LIMITAÇÕES AOS JUROS NO BRASIL
Não é de agora que há uma preocupação a respeito da cobrança de juros no
Brasil. A legislação brasileira objetivou proteger o tomador de crédito da evolução
exponencial dos juros compostos, desde a publicação do Decreto – lei 22.626/1933,
cujo texto, em seu art. 4 diz:
“É proibido contar juros dos juros: esta proibição não compreende a
acumulação de juros vencidos aos saldos líquidos em conta corrente de ano a ano”.
Porém, como é recorrente a alegação de que valeria tal cobrança caso
firmada entre as partes, o Supremo Tribunal Federal editou a Súmula n° 121, a qual
diz:
“É vedada a capitalização de juros, ainda que expressamente
convencionada”.
Entretanto, desde o ano 2000 a capitalização de juros pode ser permitida em
determinados casos, conforme a Súmula 539 do STJ, em decisão datada de
10/06/2015.
“É permitida a capitalização de juros com periodicidade inferior à anual em
contratos celebrados com instituições integrantes do Sistema Financeiro Nacional a
partir de 31/3/2000 (MP n. 1.963-17/2000, reeditada como MP n. 2.170-36/2001),
desde que expressamente pactuada.”
Soma-se a esta discussão o fato de que há leis específicas que permitem a
incidência de juros sobre juros em periodicidade inferior a um ano em determinadas
operações. Além desta questão, muito foi debatido acerca do limite dos juros
remuneratórios no Brasil, devido ao artigo 192, § 3° da Constituição Federal
(revogado pela EC 40/2003), que limitava os juros reais em 12 % ao ano. Porém, o
STJ decidiu em 27/05/2009:
Súmula 382:
“A estipulação dos juros remuneratórios superiores a 12% ao ano, por si só,
não indica abusividade”.
Isso significa que para se caracterizar juros abusivos, não basta que esteja
em patamar superior a 12% ao ano, mas é necessário provar que seu patamar está
consideravelmente acima do normal praticado pelo mercado para a modalidade de
crédito em questão. Entretanto, o simples fato de a taxa ser superior ao normal
praticado não garante que a taxa seja abusiva, o julgador irá avaliar o caso concreto.
41
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
CAPÍTULO 4
SÉRIES DE PAGAMENTOS
___________________________________________________________________
Série de pagamentos (ou recebimentos), ou prestações, ou anuidades, é toda
sequência finita ou infinita de valores em datas previamente estipuladas. Cada um
destes valores será chamado de termo da série. O intervalo entre dois termos se
chama período, e a soma dos períodos é a duração da série.
O uso de séries de pagamentos é bastante comum na prática. Como exemplo
temos as aplicações de previdência privada, poupança programada, pagamentos de
aluguéis, e no sistema de amortização de empréstimos chamado Tabela Price, que
será visto no capítulo 7.
4.1 SÉRIES COM TERMOS UNIFORMES
Trata-se de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos. O Valor Presente
da série é a soma do Valor Presente de seus termos. Analogamente, seu Valor
Futuro é encontrado somando-se o Valor Futuro de seus termos. Vejamos:
VP = PGTO : (1 + i) + PGTO : (1 + i)2 +...+ PGTO : (1 + i)n
VF = PGTO (1 + i)n-1 + PGTO (1 + i)n-2 +...+ PGTO
Onde:
• VF = Valor futuro
• VP = Valor presente
• PGTO = Valor do termo da série uniforme
• i = Taxa de juros
• n = prazo da série
As séries de pagamentos podem ser classificadas quanto ao:
• Número de termos: finita ou infinta (perpétuas);
• Valor dos termos (uniforme ou variável);
• Período (periódica ou não periódica);
• Fluxo (postecipadas ou antecipadas e diferidas)
 
42
Lisandro Fin Nishi
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A seguir temos alguns exemplos do fluxo de caixa de algumas séries.
Gráfico 4.1 – Serie de recebimentos (a)
Fonte: Elaboração própria
No gráfico 4.1 temos uma série de 4 recebimentos iguais a R$ 90,00,
configurando, quanto aos termos, uma série uniforme. Além disso, todos os
recebimentos ocorrem ao final de cada período (postecipados), e com igual
espaçamento de tempo (periódicos). A sérieé também finita, indicando que possui
fim, no caso, com o quarto recebimento. Vejamos agora outro exemplo.
Gráfico 4.2 – Serie de recebimentos (b)
Fonte: Elaboração própria
Neste gráfico, a série possui pagamentos uniformes, pois os termos possuem
igual valor, e não é periódica (os recebimentos ocorrem em intervalos distintos de
tempo). Quanto ao número de termos, é finita.
43
0 1
R$ 90,00
2 3 4
R$ 90,00
0 1 2 3 4
Lisandro Fin Nishi
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Gráfico 4.3 – Serie de pagamentos
Fonte: Elaboração própria
No gráfico 4.3, vê-se que os pagamentos não são uniformes. A série é
variável, periódica e finita. 
Quanto ao fluxo, uma série é antecipada se os pagamentos iniciam na data
base (ou data zero), e postecipadas se ao final do período. Já as séries diferidas
ocorrem quando há um prazo de carência para inicio dos pagamentos, ou seja, o
primeiro pagamento ocorre sempre após o primeiro período. 
Na HP 12 c, as séries de pagamentos podem ser inseridas na tecla PMT
somente quando a série é periódica, não possui diferimento e é uniforme. Por
padrão, a calculadora considera as séries com termos postecipados. Caso queira
modificar para termos antecipados, usa-se a função BEGIN.
EXCEL
• O equivalente da tecla PMT no Excel é a função PGTO (taxa;nper;vp;vf;tipo)
• Tipo: 0 ou não especificado para pagamentos postecipados; 1 para
pagamentos antecipados.
4.2 SÉRIES INFINITAS (PERPÉTUAS)
Uma série é perpétua se o número de pagamentos (ou recebimentos) é
infinito. Matematicamente, para séries uniformes, postecipadas e periódicas, seu
valor presente é:
VP = PGTO : i
Não faz sentido, entretanto, calcular o valor futuro de uma série perpétua.
44
0 1
R$ 90,00
2 3 4
R$ 120,00
R$ 80,00
R$ 150,00
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma loja vende uma torradeira em 3 prestações mensais iguais de R$ 29,90,
sem entrada. Considerando uma taxa de juros de 3,2% a.m. qual o preço à vista?
Resolução algébrica:
VP = PGTO : ( 1 + i) + PGTO : (1 + i)2 + PGTO : (1 + i)3
VP = 29,90 : (1+0,032) + 29,90 : (1+0,032)2 + 29,90 : (1+0,032)3
VP = 84,25
Resolução com a HP 12 c:
29,90 CHS
PMT
3.2 i
3 n
PV
Resposta: R$ 84,25
EXERCICIOS DE SERIES DE PAGAMENTOS
1) Uma pessoa depositou no banco R$ 50,00 ao final de cada mês, por 5 anos.
Quanto possuiu ao final do período da aplicação, se a taxa de juros da aplicação foi
de 0,8% ao mês?
2) Uma pessoa deseja ter R$ 5.000,00 daqui a 3 anos, para viajar. Se a taxa de
juros da aplicação é de 0,95% ao mês, quanto terá que depositar mensalmente?
3) Um veículo no valor de R$ 24.000,00 está à venda na seguinte condição: 12
prestações mensais iguais, com pagamentos antecipados. Se a taxa de juros é de
2% ao mês, qual o valor das prestações?
4) Um empréstimo de R$ 35.145,23 deve ser liquidado em prestações mensais,
iguais e consecutivas, no valor de R$ 1.020,00. Se a taxa contratada é de 2% a.m. e
considerando que os pagamentos são postecipados, calcule o número de
prestações.
45
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Matemática Financeira
4.3 SÉRIES COM TERMOS VARIÁVEIS
Da mesma forma que as séries uniformes, o valor presente (ou futuro) das
séries com termos variáveis é encontrado somando-se o valor presente (ou futuro)
de cada termo da série.
Na HP 12c pode-se calcular o valor presente de uma série com termos
variáveis da seguinte forma:
Inicialmente entre com a taxa de juros. Após digite o valor do fluxo de caixa na
data zero, digitando o valor seguido de g PV. Cada termo da série deverá ser
digitado seguido das teclas g PMT. Caso exista uma repetição seguida de termos,
pode-se digitar g FV. Dessa forma repete-se “n” vezes o último termo digitado. O
Valor Presente é calculado após a entrada completa dos dados digitando-se f PV
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Calcular o valor presente da série de pagamentos mensais, consecutivos e
postecipados, no valor de R$ 100, R$ 300 e R$ 200, à taxa de 1,3% a.m.
Resolução com a HP 12c:
0 g PV
100 g PMT 
300 g PMT 
200 g PMT
1.3 i
f PV
Resposta: R$ 583,47
EXERCÍCIOS DE SERIES COM TERMOS VARIÁVEIS
1) Calcular o valor presente da série de pagamentos mensais, consecutivos e
postecipados, no valor de R$ 100, R$ 300, R$ 300, e R$ 300 à taxa de 2,5% a.m.
2) Calcule o valor presente do fluxo de caixa: CF0 = 0; CF1 = 1.000, CF2 = 1.500, CF3
=-1.000, CF4 = 1.500. Use uma taxa de juros de 5% a.m.
3) Uma loja vende um barco em duas condições:
a) Entrada de R$ 5.000 e duas parcelas trimestrais, a primeira de R$ 9.000 e a
segunda de R$ 12.000;
46
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Matemática Financeira
b) Sem entrada, pagamentos bimestrais de R$ 6.000, R$ 6.000 e R$ 14.000.
Considerando uma taxa de juros de 7,5% a.m. qual a alternativa mais vantajosa na
ótica de quem irá pagar?
4) Um empréstimo foi liquidado em 7 prestações mensais, sendo as 3 primeiras de
R$ 1.500, as 2 seguintes de R$ 2.000, a sexta de R$ 3.000 e a sétima de R$ 3.500.
Com uma taxa de juros de 6,5% a.m., qual o valor do empréstimo?
5) Um investimento irá gerar receitas conforme a tabela abaixo
MESES NUMERO DE MESES VALOR (R$)
1 a 12 12 8.000
13 a 20 08 9.000
21 a 24 04 10.000
25 a 35 11 15.000
36 01 20.000
Considerando uma taxa de juros de 2% a.m., qual o valor presente do fluxo
de caixa?
6) Uma jaqueta é vendida para primeiro pagamento em 90 dias, em 4 prestações de
R$ 45,00. Qual o valor à vista, considerando uma taxa de juros de 2% a.m?
7) Um empréstimo foi concedido com as seguintes condições: uma Taxa de
Cadastro de R$ 50,00 no momento da contratação e um seguro de R$ 180,00 a ser
pago no momento do pagamento da primeira parcela. O plano de pagamentos
contratado é de doze parcelas mensais iguais na importância de R$ 200,00.
Considerando uma taxa de juros de 4,50 % ao mês, qual o valor presente desta
série?
47
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE SERIES DE PAGAMENTOS
1) R$ 3.831,19
2) R$ 117,14 mensalmente
3) R$ 2.224,93
4) 59 prestações
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE SERIES COM TERMOS VARIÁVEIS
1) R$ 933,47
2) R$ 2.683,14
3) A alternativa mais vantajosa é a segunda, pois apresenta menor valor presente
(R$ 20.020,18 e R$ 18.756,26 respectivamente)
4) R$ 11.295,40
5) R$ 263.287,35
6) R$ 164,69
7) R$ 2.045,96
48
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
APÊNDICE: PLANEJANDO A APOSENTADORIA
Talvez você ainda não tenha pensado em aposentadoria. Porém, um dia você
provavelmente irá desejar se aposentar. Neste caso, há basicamente dois regimes
de previdência: o de repartição e o de capitalização.
O regime de repartição é o usado no Brasil pelo Instituto Nacional de
Seguridade Social (INSS). Neste caso, os aposentados recebem os valores
depositados pelos trabalhadores na ativa. Isso significa que os depósitos não são
remunerados.
O regime de capitalização, por sua vez, é usado em Planos de Previdência
privada, e pode ser também feito pelo próprio interessado. Como o próprio nome diz,
os depósitos são capitalizados, ou seja, rendem juros. Quanto mais cedo forem
realizados os depósitos, melhor, devido ao efeito da capitalização de juros.
Em termos de matemática financeira, elaborar um plano para a aposentadoria
significa construir uma serie de pagamentos (depósitos), cujos recursos depositados
durante a vida laboral seja utilizado futuramente, seja via saques periódicos ou de
uma única vez. Em qualquer caso, quanto mais cedo e maior os aportes periódicos,
mais recursos se terá no futuro, obviamente, tendo o cuidado de se depositar em
instituições financeiras sólidas, e evitar investimentos de alto risco, como as bolsas
de valores e em moeda estrangeira, pois o que se deseja ao elaborarum plano de
aposentadoria é ter segurança financeira no futuro.
49
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
CAPÍTULO 5
TRABALHANDO COM AS TAXAS DE JUROS
___________________________________________________________________
Quando trabalhamos com juros simples, as taxas podem ser transformadas
com facilidade: para encontrar uma taxa anual, com base em uma taxa mensal,
basta encontrar a taxa proporcional, ou seja, multiplicar por 12. Porém, quando
estamos trabalhando com juros compostos, tal raciocínio não pode ser feito, devido
à incorporação dos juros ao capital inicial. Assim, dedicamos este capítulo para
aprendermos a trabalhar com taxas de juros em regime de juros compostos.
5.1 TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um
mesmo capital e durante o mesmo prazo de aplicação, produzem o mesmo
montante. Diversas relações podem ser usadas para encontrarmos taxas
equivalentes, como as que seguem.
(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + ib)6 = (1 + im)12= (1 + id)360
Também é possível estabelecer outras relações, tais como:
(1 + is) = (1 + im)6
e
(1 + it) = (1 + im)3
Onde:
• ia = Taxa anual
• is = Taxa semestral
• it = Taxa trimestral
• ib = Taxa bimestral
• im = Taxa mensal
• id = Taxa diária
50
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
5.2 TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS
Para que uma taxa seja considerada efetiva é necessário que o período ao
qual ela se refere coincida com o período de capitalização. Quando isso não ocorre,
a taxa não é efetiva, é nominal.
Exemplo: uma taxa de 24% a.a. com capitalização mensal: a taxa de 24% a.a. é
nominal, mas a taxa efetiva é de 26,82 % ao ano. Para encontrar a taxa efetiva usa-
se a seguinte fórmula de conversão:
1 + ie
 
= (1 + in : q)q
Onde:
• ie= Taxa efetiva
• in= Taxa nominal
• q = quantidade de períodos de capitalização
No exemplo anterior, a taxa nominal é de 24% a.a. com capitalização mensal,
então in = 24% ao ano. Como um ano possui 12 meses, então q = 12, pois os juros
serão capitalizados doze vezes. Veja que se a taxa fosse de 24% ao ano, com
capitalização anual, a taxa de 24% ao ano seria efetiva, pois o período de
capitalização coincidiria com o período da taxa de juros.
5.3 TAXA REAL DE JUROS
Para entendermos o conceito de Taxa Real de Juros a princípio é necessário
explicar o conceito de inflação: entende-se por inflação a alta contínua e
generalizada dos preços. Nas economias modernas, normalmente a maioria dos
preços tende a subir. Quando em geral os preços caem, ocorre o que chamamos de
deflação. Algumas maneiras de calcular a inflação, bem como alguns índices de
preço brasileiros estão no capítulo de correção monetária.
A Taxa Real de Juros é encontrada expurgando-se, da taxa aparente, a
inflação do período. Entretanto, para tal não basta simplesmente fazer uma conta de
subtração. O cálculo correto é realizado com base na seguinte fórmula (Fórmula de
Fischer):
1 + ir = (1 + ia) : (1 + ip)
51
Lisandro Fin Nishi
Matemática Financeira
Onde:
• ir = Taxa Real de Juros
• ia = Taxa Aparente de Juros
• ip = Taxa de Inflação
Na tabela a seguir mostramos valores da taxa SELIC nominal e real,
calculada com base no IGP-M, da Fundação Getúlio Vargas.
Tabela 5.1 – Taxa SELIC
DATA SELIC (% a.m.) IGP-M (% a.m) SELIC REAL
2012.01 0,89 0,25 0,64
2012.02 0,75 -0,06 0,81
2012.03 0,82 0,43 0,39
2012.04 0,72 0,85 -0,13
2012.05 0,74 1,02 -0,28
2012.06 0,64 0,66 -0,02
2012.07 0,68 1,34 -0,65
Fonte: Elaboração própria com dados do site www.ipeadata.gov.br
Perceba que, a partir do mês de abril, apesar de a taxa SELIC ser positiva, foi
inferior à inflação. Isso significa que, se um investidor tivesse investido a essa taxa
teria obtido rentabilidade real positiva de janeiro a março, mas negativa de abril a
julho. Contudo, não investir ampliaria a perda, pois deixar de investir implica em um
custo de oportunidade.
5.4 TAXAS MÉDIAS DE JUROS
O cálculo de taxas médias irá depender do método de cálculo de juros: se
estamos trabalhando com juros simples ou juros compostos. Em se tratando de
juros simples, e períodos iguais, basta fazer a média aritmética simples das taxas.
Em se tratando de juros compostos, o cálculo ocorre via média geométrica das
taxas. Vejamos o exemplo a seguir, que apresenta taxas de inflação (IGP-M).
ANO IGP-M (%) ÍNDICE (1+i)
2010 11,32 1,1132
2011 5,10 1,0510
2012 7,82 1,0782
2013 5,51 1,0551
2014 3,69 1,0369
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O primeiro passo é efetuar o produto sucessivo dos índices das taxas, de
forma a acumular os índices:
1 + ia = (1 + i1) x (1 + i2) x …. x (1 + in)
Onde:
• ia = Taxa acumulada
• i1 = Taxa do primeiro período
• i2 = taxa do segundo período
• in = Taxa do enésimo período
ou seja,
1+ ia = 1,1132 x 1,0510 x 1,0782 x 1,0551 x 1,0369 = 1,3801
Em seguida, tira-se a raiz da taxa acumulada, cujo índice da raiz será igual ao
número de períodos, da seguinte forma:
1 + im = (1 + ia)1/n 
Onde:
• im = Taxa média
• ia = Taxa acumulada
• n = número de períodos
No exemplo anterior tem-se 1,38011/5
 
= 1,0665
Como 1 + ia = 1,0665, então i = 0,0665 ou 6,65 % ao ano.
EXERCÍCIOS DE TAXAS DE JUROS
1) Qual a taxa trimestral equivalente à taxa de 5% a.m.?
2) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 26% a.a?
3) Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 12% a.t.?
4) Calcular a taxa nominal anual, com capitalização trimestral, da qual resultou a
taxa efetiva de 32% a.a. Após, compare o resultado com capitalização mensal e
diária.
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5) Calcule a taxa efetiva bimestral resultante da taxa nominal de 48% ao ano
capitalizada semestralmente.
6) Qual a taxa efetiva mensal, equivalente a uma taxa nominal de 36% a.a. com
capitalização trimestral?
7) Qual a taxa real de juros, considerando uma taxa aparente de 9%, e taxa de
inflação de 4,3% em um determinado período?
8) Calcule a taxa média de juros com base na tabela abaixo. Considere juros
compostos.
MÊS TAXA MENSAL (%)
1 1,25
2 1,51
3 2,18
4 3,49
5 0,95
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1) Calcular o valor do montante correspondente a um empréstimo de R$ 2.500,00
pelo prazo de 18 meses, à taxa de 15% a.a. com capitalização mensal.
2) Calcular os juros de um empréstimo no valor de R$ 10.000,00, à taxa efetiva de
5,5% ao semestre, pelo prazo de 10 meses, com capitalização mensal.
3) Os juros de R$ 450,00 foram cobrados de um empréstimo no valor de R$
1.100,00 à taxa nominal de 3,5 % a.m., com capitalização diária. Calcular o prazo do
empréstimo.
4) Qual a taxa efetiva mensal, equivalente a uma taxa nominal de 36% a.a., com
capitalização semestral?
5) Se R$ 20.000,00 forem aplicados a 18% a.a capitalizados semestralmente, qual
será o montante ao final de 3 anos?
6) Calcular o valor de resgate de uma aplicação no valor de R$ 2.500,00 à taxa de
9% a.s. capitalizados mensalmente, se o prazo de aplicação for de 3 meses e 10
dias. Use a convenção exponencial.
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7) Uma jaqueta é vendida para primeiro pagamento em 60 dias, em 6 prestações de
R$ 50,00. Qual o valor à vista, considerando uma taxa de juros de 25% a.a.
capitalizados mensalmente?
8) Calcule a taxa média de rendimento de uma aplicação (ao mês), que rendeu
1,2%, 1,5% 1,9%, 1,6% e 2,2% ao mês. Considere que esta aplicação capitaliza os
juros mensalmente.
9) Se a inflação em determinado ano foi de 6,2%, e o rendimento de uma aplicação
foi de 15,7%, qual foi o ganho real desta aplicação?
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GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE TAXAS DE JUROS
1) 15,76% a.t.
2) 1,94 % a.m.
3)7,85 % a.b.
4) 28,75% a.a.
5) 7,43% a.b.
6) 2,91 % a.m.
7) 4,51% no período
8) 1,87% ao mês
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1) R$ 3.126,44
2) R$ 933,37
3) 9,8 meses
4) 2,8 % a.m.
5) R$ 33.542,00
6) R$ 2.627,20
7) R$ 273,59
8) 1,68% ao mês
9) 8,94% de rendimento real
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APÊNDICE: COMISSÃO DE PERMANÊNCIA
Um termo usado em certos contratos bancários é a “comissão de
permanência”. Trata-se de um encargo financeiro incidente sobre a operação de
crédito, mas que, por decisão do STJ de 13/06/2012, não pode ser cumulada com
outros encargos. Vejamos a decisão:
Súmula 472:
“A cobrança de comissão de permanência – cujo valor não pode ultrapassar a
soma dos encargos remuneratórios e moratórios previstos no contrato – exclui a
exigibilidade dos juros remuneratórios, moratórios e da multa contratual”.
Se o banco cobra comissão de permanência, não pode cobrar junto com ela
juros remuneratórios, multa ou quaisquer encargos moratórios, pois estes encargos
já estão presentes na composição da comissão de permanência, inclusive correção
monetária, senão vejamos a decisão de 09/10/1991 do STJ:
Súmula 30:
“A comissão de permanência e a correção monetária são inacumuláveis.”
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CAPÍTULO 6
CORREÇÃO MONETÁRIA
___________________________________________________________________
Correção (ou atualização) monetária é um expediente que tem como objetivo
atualizar um valor expresso em moeda, no tempo. Essa atualização só faz sentido
quando o valor da moeda se modifica através do tempo, o que ocorre devido à
inflação. Em períodos de alta inflação, é importante se efetuar a atualização
monetária dos salários, por exemplo, para que a população não perca poder de
compra. Então, incialmente devemos entender o que é inflação.
Inflação é um fenômeno caracterizado pelo aumento contínuo e
generalizado dos preços. Essa elevação costuma ocorrer por motivos de elevação
na procura por produtos e serviços (o que é chamado de inflação de demanda).
Pressões de demanda ocasionadas, por exemplo, por uma política econômica que
vise elevar o consumo (como maior facilidade à obtenção de crédito), pode gerar
inflação.
Há também a inflação de custos, a qual ocorre por elevação dos custos de
produção e que são repassados aos preços. Um exemplo típico de inflação de
custos é a elevação do preço do petróleo, que por impactar no custo dos
transportes, se dissemina pela economia. 
Para se fazer a atualização monetária, vários são os índices que podem ser
usados. No entanto, a escolha do índice depende do objeto que terá o valor
atualizado. Entre os índices brasileiros mais conhecidos estão o Índice de Preços ao
Consumidor Ampliado (IPCA), calculado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE), e o Índice Geral de Preços – Mercado (IGP – M), da Fundação
Getúlio Vargas (FGV).
Um índice de inflação visa medir o quanto os preços estão subindo (ou
caindo), logo diversos itens entram em seu cálculo. Se estivermos falando de um
índice de preços ao consumidor (IPC), então deverá entrar em seu cálculo itens que
são de consumo rotineiro pelas famílias de determinada região, incluindo-se bens e
serviços (ex: energia elétrica, pão, roupas, detergente, etc). Cada ítem, entretanto,
terá um peso diferente, de maneira a refletir sua importância perante o orçamento
das famílias. É com base nas variações percentuais de um índice que irá se realizar
o cálculo de atualização monetária.
Para se proceder ao cálculo da atualização monetária, deve-se efetuar a
multiplicação dos índices das taxas de inflação do período a ser considerado,
conforme a fórmula a seguir, de forma a se ter a inflação acumulada.
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1+ Ia = (1 + I1) x (1 + I2) x (1 + I3) x… x (1 + In)
Onde:
• Ia = Inflação acumulada
• In = inflação do enésimo período
Após, basta multiplicar o valor base pela inflação acumulada do período:
Va = Vb x (1+ Ia)
Onde:
• Vat = Valor atualizado
• Vb = Valor base
• Ia = Inflação acumulada
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Com base nos dados de inflação do IPCA dos anos de 2010 a 2014, atualize
o valor de um salário no valor de R$ 5.000,00, aplicando a inflação acumulada do
período todo.
ANO IPCA (%)
2010 5,91
2011 6,50
2012 5,84
2013 5,91
2014 6,41
Resolução algébrica:
1 + Ia = 1,0591 x 1,0650 x 1,0584 x 1,0591 x 1,0641
Vat = 5.000,00 x 1,35 = 6.727,07
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Resolução com HP 12c:
5.91 ENTER
100 :
1 +
6.5ENTER
100 :
1 +
X
5.84 ENTER
100 :
1 +
X
5.91 ENTER
100 :
1 +
X
6.41 ENTER
100 :
1 +
X
5000 X
Resposta: R$ 6.727,07
EXERCÍCIOS DE CORREÇÃO MONETÁRIA
1) Você comprou uma obra de arte por R$ 8.360,00. Porém, após 10 anos resolveu
vendê-la por R$ 15.000,00, acreditando ter feito um excelente negócio. A inflação no
período foi de 83,47%. Quanto deveria ter cobrado com base apenas na correção
monetária do valor pago?
2) Um imóvel foi adquirido em dez/2014, por R$ 200.000,00. Atualize seu valor com 
base no INCC-M da tabela a seguir.
Data INCC-M (var. %)
jan/15 0,92
fev/15 0,31
mar/15 0,62
abr/15 0,46
mai/15 0,95
jun/15 1,84
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3) Você entrou com uma ação judicial contra uma empresa, cujo valor da causa era
de R$ 23.000,00 a 6 anos atrás. Você ganhou a causa, sendo que este valor deverá
ser corrigido monetariamente, conforme as taxas de inflação da tabela abaixo.
Quanto deverá receber hoje?
ANO INFLAÇÃO (var. %)
1 10,21
2 8,44
3 6,84
4 7,92
5 4,72
6 6,17
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE CORREÇÃO MONETÁRIA
1) R$ 15.338,09
2) R$ 210.403,84
3) R$ 35.237,54
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APÊNDICE: O EQUÍVOCO DO USO DE TAXAS DE JUROS COMO ÍNDICES DE
CORREÇÃO MONETÁRIA
Desde 1991 a remuneração do FGTS vem perdendo para a inflação, embora
a Lei que instituiu o FGTS tenha previsto atualização monetária acrescidos de juros
de 3% ao ano. Isso vem ocorrendo porque a atualização monetária do FGTS é
realizada pela Taxa Referencial (TR), que há tempos vem sendo muito inferior a
qualquer índice de preço, como o IPCA, IGP-M e outros que servem para calcular a
inflação. O resultado é que o trabalhador brasileiro que tem carteira assinada, todo
mês tem descontado 8% do seu salário para o FGTS, e este valor vem perdendo
poder de compra no Fundo.
Milhares que se sentiram prejudicados procuraram o judiciário, até que o
governo resolveu mudar a regra de remuneração, com o Projeto de Lei 4566-
B/2008. Todavia, a regra presente neste Projeto de Lei carrega o mesmo equívoco
da regra anterior: continua a TR como índice de atualização monetária, ao invés de
um índice de preço. A remuneração ficará semelhante à da caderneta de poupança
(TR + 6% ao ano). Melhora, mas não acaba com o problema, uma vez que a
remuneração da poupança pode também ser inferior à inflação.
Para acabar com o problema pela raiz, deve-se substituir a TR por um índice
de preço, como o IPCA.
O fato é que taxas de juros tem sido reconhecidas como indexadores válidos,
inclusive para correção monetária. A decisão do STJ de 12/05/2004 (Súmula 295)
diz:
“A Taxa Referencial (TR) é indexador válido para contratos posteriores à Lei n.
8177/91, desde que pactuada”. Embora o termo “indexador” não signifique
necessariamente índice de correção monetária, seu uso tem sido neste sentido. Em
termos bastante claros, em 28/04/2004 o STJ decidiu:
Súmula 288:
“ A Taxa de Juros de Longo Prazo (TJLP) pode ser utilizada como indexador
de correção monetária nos contratos bancários.”
Em se tratando de taxa de juros, tanto a TR como a TJLP não cumprem com
a função de corrigir