Matemática Financeira (UniFCV)

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 História moderna / Saulo Henrique Justiniano Silva, Herculanum Ghirello Pires, 
Willian Carlos Fassuci Larini. Paranavaí: 
 EduFatecie, 2021. 
 106 p. : il. Color. 
 ISBN 978-65-87911-11-3 
1. História Moderna – Século XVIII. 2. Iluminismo – Século
XVIII. 3. Revolução Francesa. I. Larini, Willian Carlos Fassuci. II. Faculdade de 
Tecnologia e Ciências do Norte do Paraná - UniFatecie. III. Núcleo de Educação a 
Distância. IV. Título.
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D359m Delmonaco, Matheus Henrique 
 Matemática financeira / Matheus Henrique Delmonaco, 
 Carolina Freitas. Paranavaí: EduFatecie, 2021. 
 82 p. : il. Color. 
 
 ISBN 978-65-87911-49-6  
 
1. Matemática financeira. 2. Taxas e juros. I. Freitas, Carolina. 
 II. Centro Universitário UniFatecie. III. Núcleo de Educação a 
 Distância. IV.Título. 
 
CDD : 23 ed. 513.9 
 Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577 
 
AUTORES
Professor Me. Matheus Henrique Delmonaco
Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Ciências Contábeis da Universidade 
Estadual de Maringá (PCO/UEM) - Linha de pesquisa: contabilidade para usuários externos. 
Graduado em Ciências Contábeis pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). Partici-
pou como bolsista em projeto de pesquisa voltado à Iniciação Científica para Ensino Médio 
(PIBIC-EM), na Universidade Estadual de Maringá (UEM). Atualmente atua como Gerente 
de Operações – EAD do Centro Universitário Cidade Verde – UNIFCV
Professor Ma. Carolina Freitas
Mestre em Teoria Econômica pela Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
- UNIOESTE (2019). Especialista em Tecnologias Aplicadas ao Ensino à Distância pelo 
Centro Universitário Cidade Verde. Graduada em Ciências Econômicas pelo Centro Univer-
sitário Cidade Verde (2016). Atualmente é Tutora Educacional T-44 do Centro Universitário 
Cidade Verde (UniFCV). Possui experiência na área de Economia Internacional e Desen-
volvimento Econômico, atuando principalmente nos temas: Investimento Estrangeiro Direto 
e Desigualdade Salarial.
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Seja muito bem-vindo(a)!
Prezado(a) aluno(a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, isso já é 
o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de agora. Proponho, junto 
com você, construir nosso conhecimento sobre os conceitos de Matemática Financeira. 
Além de conhecer seus principais conceitos e definições vamos explorar as mais diversas 
aplicações que podemos utilizar nos cálculos da matemática financeira em nosso dia a dia.
Na unidade I começaremos a nossa jornada pelos conceitos e definições gerais 
de matemática financeira, discorreremos sobre os regimes de capitalização: simples e 
composto. E abordaremos sobre taxas: nominal, efetiva, proporcional, equivalente e real.
Já na unidade II ampliaremos nossos conhecimentos sobre como analisar as 
operações que envolvem descontos, entenderemos a equivalência do capital no tempo e 
estudaremos séries de capitalização e de amortização.
Depois, na unidade III vamos tratar especificamente de analisar a relação da moe-
da na inflação, observando a taxa e a atratividade, entenderemos as notas promissórias 
e método hamburguês para a vida econômica, estudaremos os métodos de tomada de 
decisão e o fluxo de caixa.
Por fim, na unidade IV apresentaremos as formas de aplicação da matemática 
financeira, discorreremos sobre os dados do IBGE para o mercado de trabalho e abordare-
mos os avanços da educação financeira no Brasil.
Aproveito para reforçar o convite a você, para junto conosco percorrer esta jornada 
de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em 
nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e profissional. 
Muito obrigado e bom estudo!
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 3
Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
UNIDADE II ................................................................................................... 22
Descontos, Capitalização e Amortização
UNIDADE III .................................................................................................. 42
Matemática Financeira e Economia
UNIDADE I .................................................................................................... 62
Práticas e Matemática Financeira
http://portal.mec.gov.br/busca-geral/212-noticias/educacao-superior-1690610854/50451-mec-atualiza-regulamentacao-de-ead-e-amplia-a-oferta-de-cursos
http://www.abed.org.br/arquivos/Estado_da_Arte_1.pdf
http://www.abed.org.br/arquivos/Estado_da_Arte_1.pdf
http://portal.mec.gov.br/busca-geral/212-noticias/educacao-superior-1690610854/50451-mec-atualiza-regulamentacao-de-ead-e-amplia-a-oferta-de-cursos
http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9394.htm
http://www2.abed.org.br/visualizaDocumento.asp?Documento_ID=183
http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_Ato2004-2006/2005/Decreto/D5622.htm
http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_Ato2004-2006/2005/Decreto/D5622.htm
3
Plano de Estudo:
● Apresentar conceitos e definições gerais de matemática financeira
● Discorrer sobre os regimes de capitalização: simples e composto.
● Abordar sobre taxas: nominal, efetiva, proporcional, equivalente e real.
Objetivos da Aprendizagem:
● Conceitos e definições gerais de matemática financeira
● Regime de capitalização: simples e composto.
● Taxa: nominal, efetiva, proporcional, equivalente e real.
UNIDADE I
Conceitos Gerais,Regimes e Taxas
Professor Me. Matheus Henrique Delmonaco
Professora Ma. Carolina Freitas
4UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), na Unidade 1, do livro da disciplina de Matemática Financeira, 
falaremos sobre conceitos e definições gerais de matemática financeira, uma vez que 
o objetivo da Matemática Financeira é estudar as relações entre os valores monetários 
que são trocados em momentos diferentes, a partir dessa ciência é possível determinar o 
valor de remunerações como empréstimos, financiamentos e investimentos, e entender a 
evolução do dinheiro ao longo do tempo. Discorreremos sobre os regimes de capitaliza-
ção simples e compostos, pois a partir deles conseguimos identificar como os juros são 
formados e posteriormente incorporados ao capital no decorrer do tempo. No regime de 
capitalização simples os juros de cada período serão sempre calculados em função do 
capital inicial aplicado, assim os juros não são somados ao capital para o cálculo de novos 
juros nos períodos seguintes. Já no regime de capitalização composta a formação dos juros 
é diferente daquele descrito para a capitalização simples, onde unicamente o capital rende 
juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores. Por fim 
abordaremos os tipos de taxas mais conhecidas: nominal, efetiva, proporcional, equivalente 
e real. A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor
do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período. As 
taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano etc.) 
e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa 
monetária. E na matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros 
devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.
Bons estudos!
5UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES GERAIS SOBRE MATEMÁTICA FINANCEIRA
A matemática financeira juntamente com a análise de investimentos são ferramentas 
fundamentais para tomada de decisões tanto na gestão financeira das pessoas quanto das 
empresas. Segundo Faro (1997) o objetivo da Matemática Financeira é estudar as relações 
entre os valores monetários que são trocados em tempos distintos, assim a partir dessa 
ciência é possível determinar precisamente o valor de remunerações como empréstimos, 
financiamentos e investimentos, e entender a evolução do dinheiro ao longo do tempo.
Hoje em dia notoriamente percebe-se que muitas pessoas não dão a devida impor-
tância para a Matemática Financeira, assunto tão presente em nossas vidas, e diante de 
uma situação como a de comprar à vista ou a prazo, ou até mesmo poupar para comprar um 
objeto depois, essas pessoas se deparam diante de uma situação aparentemente insolúvel 
(SOUSA, 2015, p. 14)
Segundo Assaf Neto (2012) nas fórmulas de matemática financeira, o prazo da ope-
ração e a taxa de juros devem estar expressos na mesma unidade de tempo. Por exemplo, 
admita que um investimento esteja oferecendo juros de 10% ao mês e os rendimentos sejam 
creditados por mês. Neste caso, o prazo a que se refere a taxa é dado em mês e o período 
de capitalização do investimento também é mensal, assim são coincidentes, atendendo à 
regra básica. Agora, se uma aplicação for efetuada pelo período de um mês, mas os juros 
definidos são em taxa anual, não coincidindo os prazos, devendo ocorrer a padronização. 
Faz-se necessário, para o uso das fórmulas financeiras, transformar a taxa de juro para o 
intervalo de tempo definido pelo prazo da operação, ou vice-versa, devendo ser levado em 
consideração o mais apropriado para os cálculos. Assim, as fórmulas só podem ser utilizadas 
após a definição do prazo e da taxa de juro na mesma unidade de tempo.
6UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
2. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO: SIMPLES E COMPOSTO
Segundo Assaf Neto (2012), os regimes de capitalização evidenciam como os juros 
são formados e posteriormente incorporados ao capital no decorrer do tempo. De acordo 
com Souza e Clemente (2008) o procedimento geralmente adotado para o cálculo da remu-
neração do capital consiste em estabelecer uma taxa por unidade de tempo. A partir disso 
resultam-se duas maneiras fundamentais para a remuneração do capital: juro simples e 
juro composto, que são denominados: o regime de capitalização simples e o regime de 
capitalização composto.
Como pode ser visto em Samanez (2010), no regime de capitalização simples os 
juros incidem apenas sobre o capital, não gerando capitalização de juros, ou seja, não é 
cobrado juros sobre juros. Isso faz com que a evolução da dívida, ou montante, seja linear. 
Já no regime de capitalização composta, os juros são incorporados ao capital no final de 
cada período, o que faz com que o montante cresça exponencialmente. E, nesse caso, os 
juros são capitalizados, ou seja, é cobrado juro sobre juro. 
A aplicação da primeira ocorre em apenas um período, por exemplo, o juro do che-
que especial cobrado em um mês ou o desconto de um cheque pré-datado. Já da segunda, 
em períodos maiores, como é o caso de financiamentos imobiliários e empréstimos como 
os CDCs (Créditos Diretos ao Consumidor). 
7UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
2.1 Regime de Capitalização Simples
Segundo Puccini (2006) no regime de capitalização simples, os juros de cada pe-
ríodo serão sempre calculados em função do capital inicial aplicado, assim os juros não são 
somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes (não ocorrendo 
os juros compostos). Conforme afirma Kuhnen (2006) nesse regime os juros são calculados 
sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante 
o período de cálculo dos juros. Assim, o regime de capitalização simples representa, por-
tanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, sendo que o 
pagamento de juros se torna indiferente, uma vez que pagos periodicamente ou no final do 
período total, o retorno será o mesmo. 
De acordo com Francisco (1985) no regime de capitalização simples os juros são 
considerados todos iguais, uma vez que são calculados sobre o mesmo valor (capital ini-
cial). Veras (1991) por sua vez, entende que o regime de capitalização simples pode ser 
caracterizado pela soma dos juros ao capital inicial de uma única vez, no final do prazo 
contratado, fazendo com que nada impeça que os juros sejam calculados ou até colocados 
à disposição do investidor, parceladamente no decorrer desse prazo. Os juros simples, para 
Puccini (2006) devem ser utilizados, somente, para a obtenção dos fluxos de caixa das 
operações financeiras, quando o problema necessitar utilizar esse regime, pois segundo o 
autor, o regime de juros simples é totalmente incorreto e que nunca deve ser utilizado como 
ferramenta de análise de fluxo de caixa. 
Segundo Gimenes (2009), a fórmula de juros simples pode ser deduzida de forma 
intuitiva, por exemplo:
Em um empréstimo de R$ 1.000,00 com prazo para pagamento de seis meses e 
juros de 1% ao mês, qual o valor dos juros a serem pagos? Pelo raciocínio intuitivo, os juros 
cobrados serão 6% (o número de meses multiplicado pelo juro mensal). Também utilizando o 
mesmo raciocínio, percebe-se que é necessário multiplicar o valor emprestado pela porcen-
tagem calculada para descobrir quanto será cobrado de juros. Com isso, chega-se à fórmula:
J = C.i.n
Onde: 
J = juros cobrados/recebido no final do empréstimo/investimento; 
C = Capital, ou seja, o valor emprestado/investido; 
i = taxa de juros calculado; 
n = tempo para o pagamento/recebimento do capital mais os juros.
8UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
Como o total a ser pago é a soma dos juros mais o capital, têm-se: 
M = C + C.i.n
ou
M = C (1 + i.n)
Onde:
M = Montante, ou seja, o total a ser pago/recebido. 
C = Capital, ou seja, o valor emprestado/investido; 
i = taxa de juros;n = tempo para o pagamento/recebimento do capital mais os juros.
Como vimos nesse regime, o juro sempre será constante e pago apenas no fim de 
cada operação. 
Exemplo: A empresa Lactose Ltda fez um investimento de R$ 15.000,00, no qual foi 
aplicado durante três anos a uma taxa de juros de 10% ao ano, utilizando o regime simples. 
Qual o valor do montante? 
Resolução: Ao utilizar o regime de capitalização simples, o juro é constante e será 
adicionado ao fim de cada ano. 
Exemplo de cálculo dos juros ao ano:
J = R$ 15.000 x 0,1 x 1
J = R$ 1.500
Caso queira saber o valor total de juros, devemos utilizar o valor do período total, 
no caso do nosso exemplo, o período foi de 3 anos:
J = R$ 15.000 x 0,1 x 3 
J=R$ 4.500
O valor final do capital adicionado aos juros pode ser calculado da seguinte maneira:
M = C (1 + i.n)
M = R$ 15.000 (1 + 0,1 x 3)
M = R$ 19.500
Ano Saldo anterior Juros simples Cálculo dos juros Montante
0 R$ 15.000
1 R$ 15.000 10% R$ 1.500 R$ 16.500
2 R$ 15.000 10% R$ 1.500 R$ 18.000
3 R$ 15.000 10% R$ 1.500 R$ 19.500
Algumas observações podem ser apresentadas referentes ao regime de capitaliza-
ção simples:
9UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
● os juros por incidir exclusivamente sobre o capital inicial de R$15.000,00, 
apresentam valores idênticos ao final de cada ano (10% x R$ 15.000,00 = 
R$1.500,00); 
● Assim, o crescimento dos juros no tempo é linear (no exemplo, cresce R$1.500,00 
por ano), revelando um comportamento igual a uma progressão aritmética. Os 
juros totais da operação atingem, nos 3 anos, R$ 4.500,00; 
● se os juros simples, ainda, não forem pagos ao final de cada ano, a remu-
neração do capital emprestado/investido somente se opera pelo seu valor ini-
cial(R$15.000,00), não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam 
no período;
● como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do valor total no prazo 
contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos 
pela taxa anual, isto é: 3 anos x 10% ao ano = 30% para 3 anos.
2.2 Regime de Capitalização Composto
No regime de capitalização composto os juros de cada período são somados ao 
capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes, assim os juros são capitalizados 
e dessa maneira rendem mais juros, o tão famoso termo “juros sobre juros”. Essa é a moda-
lidade de remuneração mais empregada pelas instituições financeiras. (PAIVA, 2009). A esse 
processo dá-se o nome de capitalização de juros, e o período considerado é denominado 
período de capitalização (PUCCINI, 2006). Segundo Lemes Júnior, Rigo e Cherobim (2005) 
se faz necessário conhecer o período de capitalização dos juros para entender quando os 
juros serão incorporados ao principal, para também renderem no período seguinte.
De acordo com Assaf Neto (2012, p.3) o regime de capitalização composta:
“incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas 
também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior. É um 
comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG) no qual os 
juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspon-
dente (e não unicamente sobre o capital inicial).”
Para Veras (1991) no regime de capitalização composta o foco é na contratação 
do período de capitalização, pois se o prazo total em que é feito o investimento tiver vários 
desses períodos, no final de cada período os juros serão capitalizados e o montante assim 
constituído passará a render juros durante o período seguinte. Assim, depois de cada pe-
ríodo de capitalização, os juros são somados à dívida anterior, e passam a render juros no 
período seguinte, como se em cada período fosse renovado o empréstimo, mas no valor do 
principal mais os juros relativos ao período anterior. 
10UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
De acordo com Assaf Neto (2012) no processo de capitalização composta a forma-
ção dos juros é diferente daquele descrito para a capitalização simples, onde unicamente o 
capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos an-
teriores. Assim, tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples, 
uma vez que no regime de capitalização composto, os juros são capitalizados, produzindo 
juros sobre juros periodicamente. Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fór-
mulas de cálculo, admita ilustrativamente uma aplicação de R$15.000,00 a taxa composta 
de 10% ao ano, durante 3 (três) anos. Identificando-se por PV - valor presente (Capital) e 
FV o valor futuro (montante), têm-se os seguintes resultados ao final de cada período:
FV = PV (1+i)n
Onde:
FV = Valor Futuro/Montante, ou seja, o total a ser pago/recebido. 
PV = Valor Presente/Capital, ou seja, o valor emprestado/investido; 
i = taxa de juros; 
n = tempo para o pagamento/recebimento do capital mais os juros.
Substituindo os valores apresentados no exemplo temos:
FV = 15.000 (1+0,10)3
FV = 19.965
Podemos fazer o cálculo por cada período, somando o valor do juros ao capital, e 
realizando o cálculo novamente.
Ano Saldo anterior Juros simples Cálculo dos juros Montante
0 R$ 15.000
1 R$ 15.000 10% R$ 1.500 R$ 16.500
2 R$ 16.500 10% R$ 1.650 R$ 18.150
3 R$ 18.150 10% R$ 1.815 R$ 19.965
Para obter o valor do monetário dos juros (J), utiliza-se a diferença entre o montante 
(FV) e o capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão: 
J =FV - PV
J =19.965 – 15.000
11UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
REFLITA
No regime de capitalização simples, taxa proporcional, linear ou nominal e taxas equiva-
lentes são a mesma coisa, de modo que é indiferente a classificação das duas taxas de 
juros como proporcional ou equivalente.
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
12UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
3. TAXA: PROPORCIONAL, NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTE E REAL
3.1 Taxa proporcional ou nominal (linear)
Segundo Assaf Neto (2012) no regime de juros simples, diante de sua própria na-
tureza linear, utiliza-se a denominada taxa proporcional de juros, também conhecida como 
taxa linear. Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada 
na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de 
capitalização).
A taxa nominal (linear) de juros refere-se a quando a taxa informada não coincide 
com a capitalização dos juros. De acordo com Puccini e Puccini (2006) a taxa nominal é a 
taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de 
tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal vem sempre com a unidade anual, e os 
períodos de capitalização aparecem em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, 
semestres ou anos. 
São exemplos de taxas nominais: 
13% ao ano, capitalizados mensalmente;
13% = 1,0833% ao mês
 12 
14% ao ano, capitalizados bimestralmente;
 14% = 2,3333% por bimestre
 6 
13UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
15% ao ano, capitalizados trimestralmente;
15% = 3,75% por trimestre
 4 
18% ao ano, capitalizados semestralmente. 
18% = 9% por semestre
 2 
Essa taxa é comumente utilizada em negócios financeiros, porém, como não repre-
senta a taxa efetiva, seu uso não é indicado em juros compostos. A taxa nominal traz em seu 
enunciado uma taxa efetiva subentendida, que é a taxa de juros a ser empregado em cada 
período de capitalização. Essa taxa é calculada de forma proporcional ao regime de juros 
simples. As taxas efetivas, que estão implícitas nas taxas anuais nominais, são alcançadas 
em função do número de momentos da capitalização da taxa anual, conforme o número 
de períodos de capitalização do ano, ou seja: quando capitalizado diariamente, divide-se 
a taxa por 360, considerando-se que o ano comercial tem 30 dias; quando capitalizado 
mensalmente, divide-se a taxa por 12, pois o ano tem 12 meses; quandocapitalizado tri-
mestralmente, divide-se a taxa por 4, pois o ano tem 4 trimestres, e assim sucessivamente.
A taxa nominal de juros é aquela adotada normalmente nas operações correntes 
de mercado, incluindo os efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação. Consti-
tui-se, em outras palavras, numa taxa prefixada de juros, que incorpora as expectativas da 
inflação. É importante separar claramente a taxa nominal de juros, que mede o resultado 
de uma operação em valor corrente, da taxa nominal (linear) estudada nos dois primeiros 
capítulos, que indica a descapitalização do juro de forma proporcional (juros simples). 
Conforme Assaf Neto (2012) essa transformação é realizada pela denominada 
taxa proporcional de juros, também denominada de taxa linear. A taxa proporcional pode 
ser obtida a partir da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número 
de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização). Pode-se 
verificar que as taxas nominais (lineares) não serão utilizadas nos cálculos financeiros do 
regime composto, e sim as taxas efetivas correspondentes.
Segundo Assaf Neto (2012) a aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, 
principalmente em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de 
mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre 
saldo devedor de conta corrente bancária.
14UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando aplicadas a um mesmo 
capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros. Por 
exemplo, em juros simples, um capital de R$ 100.000,00, se aplicado a 1% ao mês ou 6% 
ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros.
J (1% a.m.) = R$ 100.000,00 x 0,01 x 12 = R$ 12.000,00
J (6% a.s.) = R$ 100.000,00 x 0,6 x 2 = R$ 12.000,00
3.2 Taxa equivalente
Na equivalência de taxas, é preciso considerar os diferentes regimes de capita-
lização simples e compostos, visto que, nas mesmas condições, eles reproduzem juros 
diferentes. De acordo com Assaf Neto (2012) as taxas de juros simples se dizem equivalen-
tes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o 
mesmo volume linear de juros. No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais 
ou lineares) e taxas equivalentes são consideradas iguais, sendo indiferente a classificação 
de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes. Por exemplo, em juros simples, 
um capital de R$ 100.000,00, se aplicado a 1% ao mês ou 6% ao semestre pelo prazo de 
um ano, produz o mesmo montante linear de juros.
J (1% a.m.) = R$ 100.000,00 x 0,01 x 12 = R$ 12.000,00
J (6% a.s.) = R$ 100.000,00 x 0,6 x 2 = R$ 12.000,00
Os conceitos de equivalência e proporcionalidade das taxas no regime de capi-
talização simples e composta são os mesmos. No entanto, enquanto nos juros simples o 
cálculo das taxas equivalentes e proporcionais é o mesmo, em juros compostos, eles se 
diferem, pois as taxas proporcionais não são equivalentes, uma vez que fazem os mesmos 
capitais, em tempos iguais, produzirem montantes diferentes. 
Exemplo:
Maria, Karol e Fabiane tinham cada um R$ 10.000,00 para aplicar a juros compos-
tos. Maria aplicou a 12% a.a., Karol aplicou a 6% a.s. e Fabiane aplicou a 1 % a.m. Quais 
os montantes de cada um depois de decorrido um ano? Calcule o montante de cada um 
conforme as afirmações, primeiro transformando as taxas percentuais e decimais e, depois, 
o tempo de 1 ano, conforme a capitalização. 
15UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
Maria: 
PV = 10.000 
i = 12% a.a ÷ 100 = 0,12 
n = 1 ano 
FV = PV (1 + i) n
FV = 10.000 (1 + 0,12)1
FV = 11.200,00 
Karol: 
PV = 10.000 
i = 6% a.s. ÷ 100 = 0,0,6 
n = 1 ano = 2 semestres 
FV = PV (1 + i)n
FV = 10.000(1 + 0,06)2
FV = 11.236
Fabiane: 
PV = 10.000 
i = 1% a.m. ÷ 100 = 0,01 
n = 1 ano = 12 meses 
FV = PV (1 + i)n
FV = 10.000 (1 + 0,01)12
FV = 11.268,25 
Os montantes de Maria, Karol e Fabiane são, respectivamente, R$ 11.200,00, R$ 
11.236,00 e R$ 11.268,25.
Verificou-se que as taxas são proporcionais e os capitais são iguais e aplicados 
em prazos iguais, gerando montantes diferentes, observando que, quanto maior o número 
de capitalizações, maior o montante. Logo, o cálculo das taxas equivalentes, no regime de 
juros compostos, não se resume a uma simples proporção, como no juro simples.
Para o cálculo da taxa, i, em juros compostos, pode-se utilizar a seguinte fórmula:
16UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
onde:
FV = valor final ou montante;
PV = valor principal ou capital; 
n = número de períodos (tempo).
Para Veras (2005), deve haver a seguinte relação entre duas taxas para que sejam 
equivalentes no regime de juros compostos:
(1+i1)n1 =(1+i2)n2
Generalizando essa fórmula, pode-se utilizar para o cálculo da taxa equivalente as 
seguintes fórmulas. Pode ser utilizada quando se tem o tempo de capitalização menor e se 
deseja encontrar a maior capitalização:
ieq = (i+1)n -1
E, quando se tem o tempo de capitalização maior e se deseja encontrar a menor, 
utiliza-se:
ieq= 
n √1+i-1
3.3 Taxa Efetiva
Os conceitos de taxa nominal e efetiva do juro simples são semelhantes aos dos 
juros compostos, visto que, no juro composto, a taxa nominal e a taxa efetiva também são 
diferentes. Em juros compostos, é comum a taxa vir com períodos de capitalização e de 
tempo diferentes, por exemplo: uma taxa de 33% ao ano, com capitalização bimestral; ou 
uma taxa de 20% ao semestre com capitalização mensal, e assim sucessivamente. Para 
Veras (2005), essa forma de expressar a taxa, largamente utilizada no mercado financeiro, 
também é responsável por divergências entre a taxa nominal e a taxa efetiva. Assim, quan-
do o período mencionado na taxa não corresponde ao período de capitalização, prevalece 
este último, devendo-se tomar a taxa proporcional correspondente como taxa efetiva e 
considerar a taxa dada como nominal.
A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo 
formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o 
17UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de 
capitalização. É obtida pela seguinte expressão:
if = (1+ i )n -1
Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de juros é nominal, geralmente é ad-
mitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação 
dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. Por exemplo, 
seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Os prazos não são 
coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere a taxa de ju-
ros é igual a um ano (12 meses). Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, 
expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização. 
Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros 
proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é de 36%/12 
= 3% ao mês (taxa proporcional ou linear). Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se 
uma taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. Baseando-se nos 
dados do exemplo ilustrativo acima, tem-se:
Taxa nominal da operação para o período 36% ao ano;
Taxa proporcional simples (taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês;
Taxa efetiva de juros: 
if = (1+ 0,36 )12 - 1
 12
if = 42,57%
Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma operação. 
Ao dizer que os juros anuais são de 36%, mas capitalizados mensalmente, apura-se que a 
taxa efetiva de juros atinge 42,57% ao ano.
3.4 Taxa Real
Para Puccini e Puccini (2006), a taxa nominal e a taxa real estão diretamente liga-
das aofenômeno da inflação, dessa maneira, costuma-se denominar taxa real a taxa de 
juros obtida após se eliminar o efeito da inflação, e taxa nominal a taxa de juros que inclui 
a inflação. De acordo com Assaf Neto (2012) importante separar claramente a taxa nominal 
de juros, que mede o resultado de uma operação em valor corrente, da taxa nominal (linear) 
18UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
estudada nos dois primeiros capítulos, que indica a descapitalização do juro de forma pro-
porcional (juros simples). Assim, a taxa nominal, também chamada de aparente, é sempre 
maior que a taxa real. De maneira geral, a fórmula de apuração da taxa real é:
ir = 1+in -1
 1+ii 
onde: 
ir = taxa real; 
in = taxa nominal; 
ii = taxa de inflação. 
Em contexto inflacionário, ainda, devem ser identificadas na taxa nominal (prefixa-
da) uma parte devida à inflação, e outra definida como legítima, real, que reflete “realmente” 
os juros que foram pagos ou recebidos. O objetivo do cálculo da taxa real (r) é o de expurgar 
a indexação da taxa total de juros (nominal), de maneira a expressar o juro real.
Exemplo:
A gerente financeira da PetroBarramas S/A realizou um empréstimo com uma taxa 
nominal de 16% ao ano, no ano sabe-se que a inflação foi de 4,85%, e gostaria de saber o 
valor da taxa anual do rendimento real desse empréstimo:
 ir = 1 + in 
 -1 1 +ii 
 
 ir = 1+0,16 -1
 1+0,0485
ir = 0,1063 x 100
ir = 10,63% a.a.
A taxa real também pode ser negativa, desde que a inflação supere a variação 
nominal dos juros.
19UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
SAIBA MAIS
Nas finanças comumente é utilizado simbologia dos períodos das taxas, facilitando as-
sim o entendimento.
a.d.: ao dia
a.m.: ao mês 
a.b.: ao bimestre
a.t.: ao trimestre
a.q.: ao quadrimestre
a.s.: ao semestre
a.a.: ao ano
Dessa maneira, quando um contrato de empréstimo ou investimento conter juros a 5% 
a.m., você saberá que são 5% de juros ao mês.
Fonte: Elaborado pelos autores (2021)
20UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), na Unidade 1, do livro da disciplina de Matemática Financeira, 
vimos os conceitos básico e definições gerais de matemática financeira, uma vez que o 
objetivo da Matemática Financeira é estudar as relações entre os valores monetários que 
são trocados em momentos diferentes, a partir dessa ciência é possível determinar o valor 
de remunerações como empréstimos, financiamentos e investimentos, e entender a evolu-
ção do dinheiro ao longo do tempo. Discorremos sobre os regimes de capitalização simples 
e compostos, pois a partir deles conseguimos identificar como os juros são formados e 
posteriormente incorporados ao capital no decorrer do tempo. No regime de capitalização 
simples os juros de cada período serão sempre calculados em função do capital inicial 
aplicado, assim os juros não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos pe-
ríodos seguintes. Já no regime de capitalização composta a formação dos juros é diferente 
daquele descrito para a capitalização simples, onde unicamente o capital rende juros, não 
ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores. Por fim aborda-
mos sobre os tipos de taxas mais conhecidas: nominal, efetiva, proporcional, equivalente 
e real. A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração 
do fator capital utilizado durante certo período. As taxas de juros se referem sempre a uma 
unidade de tempo (mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente 
de duas maneiras: taxa percentual e taxa monetária. 
21UNIDADE I Conceitos Gerais, Regimes e Taxas
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Manual de Contabilidade Societária
Autor: Moisés Melo; Sergio Barbosa.
Editora: Freitas Bastos Editora.
FILME/VÍDEO
Título: Enron — Os mais espertos da sala
Ano: 2006.
Sinopse: O filme traz a história da Enron, uma empresa norte-a-
mericana que ficou famosa devido aos escândalos envolvendo as 
suas finanças. O filme tem a capacidade de contribuir com a sua 
aprendizagem em Contabilidade Societária ao ilustrar os efeitos 
da evidenciação de indicadores (ou números) incorretos. 
22
Plano de Estudo:
● Analisar as operações que envolvem descontos
● Entender a equivalência do capital no tempo
● Estudar séries de capitalização e de amortização
Objetivos da Aprendizagem:
● Operações que envolvem descontos
● Equivalência do capital no tempo
● Séries de capitalização e de amortização
UNIDADE II
Descontos, Capitalização e 
Amortização
Professor Me. Matheus Henrique
Professora Ma. Carolina Freitas
23UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), na Unidade 2, do livro da disciplina de Matemática Financeira, 
falaremos sobre operações que envolvem descontos. O desconto pode ser entendido como 
a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado em certos 
períodos antes de seu vencimento. As operações de desconto podem ser realizadas tanto 
sob o regime de juros simples como no de juros compostos. Posteriormente estudaremos a 
equivalência do capital no tempo, a equivalência de capitais são utilizados para a substituição 
de um título por outro título com vencimento diferente. Faz-se necessário determinar o valor 
de um título quando este necessita ser antecipado ou adiado, pode-se ainda, substituí-lo por 
outro título, cujo valor represente o equivalente ao valor original, considerando uma dada 
taxa. Assim, a equivalência de capitais serve para ajustes e renegociações necessárias, 
podendo ser realizada por pessoas físicas ou jurídicas. Por fim, entenderemos as séries de 
capitalizações, na qual são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e 
financiamentos de longo prazo, envolvendo pagamentos periódicos do principal e encargos 
financeiros. Veremos sobre o Sistema de Amortização Francês (SAF) no qual os juros, por 
incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem 
valores crescentes, o Sistema de Amortização Constante (SAC) que tem como caracte-
rística a constância das amortizações do principal, assim as amortizações sempre serão 
iguais em todo o prazo da operação, e o Sistema de Amortização Americano (SAA) na qual 
estipula que a devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado 
da operação de uma só vez.
Bons estudos!
24UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
1. OPERAÇÕES QUE ENVOLVEM DESCONTOS
Quando uma dívida em uma loja ou instituições financeiras é paga antecipadamen-
te, normalmente o devedor espera receber um desconto. Da mesma maneira, quando um 
empréstimo é realizado, sabe-se o valor a ser pago no futuro, bem como o valor recebido, 
também se sabe que a quantia emprestada é menor que aquela que será paga, uma vez 
que o valor futuro é descontado por uma taxa de juros. Por isso, se faz necessário aprender 
como calcular os descontos presentes nas transações financeiras.
Segundo Assaf Neto (2012) o valor nominal pode ser entendido como o valor de 
resgate, sendo assim, o valor definido para um título em sua data de vencimento, dessa ma-
neira representa o próprio montante da operação. A operação de se liquidar um título antes 
de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento 
antecipado. Assim, o desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal 
de um título e o seu valor atualizado apurado em n períodos antes de seu vencimento. 
O valor descontado de um título nada mais é que o valor atual na data do desconto, 
podendo ser determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
Vr=Vn - Dr
Onde:
Vr : Valor descontado racional (ou valor atual)
Vn : Valor nominal (ou valor de resgate, ou montante)
Dr : Desconto racional
25UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
Para Assaf Neto (2012) as operações de descontopodem ser realizadas tanto sob 
o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é am-
plamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para 
as operações de longo prazo. No regime de capitalização simples e no composto podem 
ser identificados dois tipos de desconto: o desconto racional, conhecido como desconto 
“por dentro” e o desconto bancário/comercial, também conhecido como desconto “por fora”.
● Desconto comercial: é calculado sobre o valor nominal do título. 
● Desconto racional: é calculado sobre o valor atual do título.
1.1 Desconto racional
O desconto racional representa exatamente as relações de juros simples descritas 
na unidade 1. É importante registrar que o juro incide sobre o capital (valor atual) do título, 
ou seja, sobre o capital liberado da operação. A taxa de juro (desconto) cobrada representa, 
dessa maneira, o custo efetivo de todo o período do desconto.
Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor desconta-
do no lugar de capital no cálculo do desconto, tem-se:
D = Vr × i × n (1) Desconto racional simples
D =Vr × [1 - (1 - i)n ] (2) Desconto racional composto
O desconto racional tem pouca utilização no cálculo dos produtos do mercado finan-
ceiro. De acordo com Assaf Neto e Lima (2017), esse desconto representa rigorosamente 
o conceito de juros, sendo mensurado racionalmente com base no capital efetivamente 
empenhado em uma operação. O valor do desconto racional pode ser obtido a partir de 
determinado valor nominal (Vn), a uma taxa simples de juros (i) e a determinado prazo de 
antecipação (n).
D = Vn × i × n 
 (1 + i × n) 
(1) Desconto racional simples
D= Vn ×
 [1 1 (1+i )n ] (2) Desconto racional composto
26UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
Já o valor descontado racional pode ser obtido pela seguinte expressão de cálculo:
Vr = Vn 
 1 + i × n (1) Desconto racional simples
Vr = Vn 
 (1 + i )n (2) Desconto racional composto
Podemos observar que o desconto racional representa exatamente as relações de 
juros simples descritas no capítulo inicial. É importante registrar que o juro incide sobre o 
capital (valor atual) do título, ou seja, sobre o capital liberado da operação. A taxa de juro 
(desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo de todo o período do desconto.
1.2 Desconto comercial (bancário)
Devido às instabilidades no mercado, que afetam diretamente o fluxo de caixa, 
é comum que as empresas recorram às instituições financeiras em busca de ajuda. O 
sistema bancário oferta diversos produtos bancários, dos quais as pessoas/empresas se 
beneficiam com a captação de recursos. Segundo Assaf Neto e Lima (2017), a modalidade 
de desconto por fora é bastante utilizada no mercado financeiro em operações de crédito 
bancário e comercial em curto prazo. Esse tipo de desconto, por incidir sobre o valor nominal 
do título, tem um maior volume de encargos financeiros efetivos na operação. O desconto 
bancário é conhecido também como desconto comercial ou por fora. Segundo Assaf Neto 
(2012) simplificadamente, o desconto bancário, por incidir sobre o valor nominal do título, 
traz maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. Enquanto o desconto 
“por dentro”, calcula os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou 
seja, sobre o valor presente, o desconto “por fora” busca apurar os juros sobre o montante, 
indicando custos adicionais ao tomador de recursos.
 Nesse regime de desconto é determinado pelo produto do valor nominal do título 
(Vn), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada na operação (i) e do prazo de 
antecipação definido para o desconto (n). Isto é: 
Db = Vn × i × n (1) Desconto comercial simples
Db = Vn × [1-(1- i )n] (2) Desconto comercial composto
27UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
O valor descontado “por fora” Vf , aplicando-se a definição, é obtido:
Vf = Vn (1- i × n) (1) Desconto comercial simples
Vf = Vn × (1 - i )n (2) Desconto comercial composto
Usualmente, ao comparar investimentos distintos ou empréstimos distintos, a taxa 
de juros é utilizada como parâmetro. Ao fazer uma aplicação, procura-se a taxa mais alta 
de rentabilidade. Ao fazer um empréstimo, busca-se a taxa mais baixa. Porém, algumas 
informações são dadas em termos de taxa de desconto, enquanto outras são dispostas 
em taxas de juros. Quando se está interessado em comprar um bem para pagar a prazo, 
pode-se ter os dois tipos de informação.
Exemplo:
Maria deseja comprar uma televisão que custa R$ 1.000,00 a serem pagos daqui 
a um mês. A loja oferece um desconto a ela de 5% para pagamento à vista. Ela sabe que 
pode realizar um empréstimo no Banco X a uma taxa de juros de 6% ao mês. Sabendo que 
Maria não tem os recursos financeiros necessários agora, mas terá recursos após um mês 
para pagar pela televisão, qual é a sua melhor opção?
Primeiro, se faz necessário entender que a taxa oferecida pela loja é um desconto 
comercial, enquanto a taxa oferecida pelo Banco X é de juros efetivo, similar a taxa de 
desconto comercial. Sendo assim a taxa de juros cobrada pelo Banco X. Além disso, a taxa 
de juros cobrada pelo banco pode ser vista como uma taxa de desconto, pois o valor que 
Maria receberá é o valor a ser pago pelo empréstimo na data futura, descontado pela taxa 
de juros cobrada pelo banco.
Assim, se faz necessário converter uma das duas taxas, na qual dessa maneira o 
desconto financeiro é mais razoável, uma vez que a taxa de desconto financeiro é justa-
mente a taxa de juros da operação, para isso adota-se a taxa de desconto financeiro como 
base para os cálculos.
A loja dá um desconto comercial de 5%, assim o valor do desconto oferecido pela 
loja é de:
Db=Vn × i × n
Db = 1.000,00 × 0,05 ×1
Db = R$ 50,00
28UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
Logo, o valor que Maria pagará pela televisão é de:
Vr = Vn - D
Vr = 1.000,00 - 50,00
Vr = R$ 950,00
Agora que se sabe o valor da televisão realizando-se uma compra à vista, assim 
como o valor a prazo, é possível encontrar a taxa de desconto financeiro cobrada pela loja.
FV = PV (1+i )n
i = (FV / PV ) 1n -1
i = (1.000 / 950)11 -1
i = 5,26%
Analisando o desconto financeiro em ambos os casos, o desconto dado pela loja 
é de 5,26%. Caso Maria opte por realizar o empréstimo, ela teria que pagar uma taxa de 
juros de 6% ao mês, enquanto seu desconto financeiro na loja é de apenas 5,26%. Assim, 
conclui-se que é mais interessante comprar a prazo na loja.
Quanto Maria terá de desembolsar daqui a um mês? Uma vez que, Maria necessita 
de R$ 950,00 para comprar a televisão. Se ela pedir essa quantia ao banco, daqui a um 
mês Maria deverá pagar:
FV = PV ( 1+i )n
FV = 950,00 (1+0,06)1
FV = 1.007,00
A quantia a ser paga no banco daqui a um mês é maior do que a quantia a ser paga 
na loja. Assim, sabe-se que a melhor opção para Maria é comprar a prazo na loja.
Nota-se que em vários momentos do dia a dia, podemos encontrar as taxas dispos-
tas de diferentes maneiras: como taxa de juros, taxa de desconto comercial e bancária. A 
taxa comercial, apesar de ser bastante utilizada no comércio e pelo público em geral, não 
é adequada para estabelecer comparações entre valores.
29UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
2. EQUIVALÊNCIA DO CAPITAL NO TEMPO
De acordo com Almeida (2016), a equivalência de capitais é utilizada para a 
substituição de um título por outro título com vencimento diferente. Dessa maneira, se faz 
necessário determinar o valor de um título quando este necessita ser antecipado ou adiado, 
pode-se ainda, substituí-lo por outro título, cujo valor represente o equivalente ao valor 
original, considerando uma dada taxa. Segundo Veiga (2014) a data considerada como 
base para comparação de valores que se referem a diferentes datas é conhecida comodata de referência.
A equivalência de capitais serve para ajustes e renegociações necessárias, poden-
do ser realizada por pessoas físicas ou jurídicas. Para Dal Zot e Castro (2015, p. 77), as 
situações mais frequentes são:
Renegociação de prazos ou condições de pagamento de uma dívida: um 
devedor pode solicitar o adiamento do vencimento de uma dívida, se tiver 
dificuldade em pagar naquela data ou, ao contrário, pagar antecipadamente 
reduzindo juros caso tiver excesso de caixa no referido vencimento; Negocia-
ção ou troca de fluxo de caixa: para um banco, tanto os excessos de caixa 
como as faltas são dificuldades a serem evitadas; no primeiro caso, a exis-
tência de caixa significa dinheiro a ser remunerado a aplicadores sem receita 
correspondente, e no segundo caso, o banco deve recorrer a empréstimos 
para honrar os compromissos.
Na equivalência de capitais, deve-se considerar os tipos de regime de capitalização 
na qual estudamos na Unidade 1, e que podem ser de juros simples ou compostos, bem 
como é importante saber se o critério do desconto estabelecido é comercial ou racional.
30UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
2.1 Equivalência de capitais – juros simples
No sistema de capitalização simples, dois ou mais capitais são equivalentes se 
os seus valores calculados nesta data, com essa taxa, forem iguais. A equação 1 a seguir 
apresenta o cálculo de equivalência de capitais com desconto racional simples na data 0, 
com taxa i:
FV1 (1 - in1 ) = FV2 (1- in2 )
Se, nessa mesma data e com essa mesma taxa, os capitais são equivalentes com 
juros simples ou desconto racional simples, o cálculo deve ser feito de acordo com a equa-
ção 2 a seguir: 
 FV1 FV2
 (1+ in1) 
=
 (1+ in2 )
Lembre-se de que o desconto racional simples é calculado sobre o valor futuro (FV) 
ao passo que o desconto comercial simples é calculado sobre o valor presente (PV).
A Equação 3, a seguir, apresenta a equivalência calculada com desconto simples:
 PV1 PV2
 (1 - in1) 
=
 (1 - in2 )
E a Equação 4 apresenta a equivalência calculada com juros simples:
PV1 (1+in1 ) = PV2 (1+in2 ) 
2.2 Equivalência de capitais – juros compostos
Como disposto anteriormente, a grande maioria das operações financeiras são 
realizadas a partir do critério de capitalização composta. Na equivalência de capitais a juros 
compostos, diferente da equivalência de capitais com juros simples, pode ser definida para 
qualquer data focal. No regime de capitalização composto, podem-se ter capitais equiva-
lentes com desconto comercial ou capitais equivalentes com desconto racional composto 
conforme a sistemática de cálculo utilizada na equivalência (VERAS, 2005). 
Observe, na Equação 5, o cálculo para a equivalência com desconto comercial 
composto:
FV1 (1 - i)ⁿ1 = FV2 (1 - i)ⁿ2 
31UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
 
ou ainda: 
 FV1 FV2
 (1+ i )n1 
=
 (1+ i )n2
Aos capitais equivalentes com desconto comercial composto, aplica-se a equação:
PV1 (1-i)
-n
1 = PV2 (1-i)
-n
2 
Aos capitais equivalentes com desconto racional composto, aplica-se a equação:
PV1 (1+ i)
n
1 = PV2 (1+ i)
n
2 
REFLITA
O valor do dinheiro no tempo sofre algumas influências, isso ocorre especialmente com 
os efeitos que a inflação tem sobre o dinheiro. Dessa maneira, quando a inflação está 
em um nível elevado, é possível verificar de forma clara os seus efeitos, já que as pri-
meiras variações ocorrem sobre os preços dos produtos mais utilizados. 
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
32UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
3. SÉRIES DE CAPITALIZAÇÃO E DE AMORTIZAÇÃO
Segundo Assaf Neto (2012) as séries de amortização são desenvolvidas basi-
camente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo 
pagamentos periódicos do principal e encargos financeiros. 
As pessoas físicas optam por um financiamento de longo prazo normalmente por 
falta de recursos para comprar bens com valores elevados. Da mesma maneira, pessoas 
jurídicas, optam também por esse tipo de endividamento para adquirir bens na falta de 
recursos imediatos, uma vez que A empresa não querem comprometer o seu capital de 
giro; Muitas vezes, o capital de terceiros é mais barato, já que tem taxas de juros baixas; 
e a dedutibilidade fiscal da despesa de juros para apurar o lucro tributável. Segundo Ross 
et al., (2015) às grandes e pequenas empresas têm algo em comum que é a necessidade 
de obter capital de longo prazo. Como os empréstimos são frequentes nas vidas tanto das 
pessoas físicas quanto das pessoas jurídicas, é importante saber como calculá-los. 
A série de amortização é uma ferramenta por onde uma dívida é paga em parcelas 
que não possuem necessariamente o mesmo valor. Assim, cada parcela é composta pelos 
juros e pela amortização. Se faz necessário, para saúde financeira das companhias, co-
nhecer o quanto ela está pagando de juros a cada período de tempo. Uma parte do que ela 
paga consiste em juros, enquanto a outra trata-se da amortização.
Ao amortizar uma dívida, existem diversas maneiras, porém devendo seguir as 
condições de cada operação, na qual estão estabelecidas em contrato firmado entre o cre-
33UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
dor e o devedor. Uma característica fundamental das séries de amortização é a utilização 
exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo 
devedor apurado em período imediatamente anterior. (ASSAF NETO, 2012).
Dessa maneira, caso a cada parcela sejam pagos somente os juros, o valor da dívida 
permanecerá sempre o mesmo. Se o valor pago for menor do que os juros incorridos no perío-
do, o saldo devedor aumentará. Existe ainda a possibilidade de se pagar mais do que os juros 
incorridos no período, nesse caso, o valor pago a mais é chamado de amortização, o que impli-
ca na diminuição do saldo devedor. A figura 1 a seguir apresenta um diagrama de fluxo de caixa: 
FIGURA 1 – FLUXO DE CAIXA
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
Como vimos na Unidade 3 no fluxo de caixa, o tomador de recursos recebe um 
valor que é justamente o valor presente da dívida. Depois ele paga regularmente um valor 
referente às prestações. Normalmente as prestações são constantes, isto é, porém, as 
prestações podem ter valores diferentes de acordo com as necessidades do tomador de 
recursos.
É válido ressaltar que nem sempre a quitação de uma dívida tem um diagrama de 
fluxo de caixa como o apresentado anteriormente. Ela pode ser quitada somente por meio 
das prestações, sem que tenha um valor futuro a ser quitado no final. Além disso, pode 
ocorrer em que em algumas dívidas as prestações não são constantes, tendo um valor 
diferente em cada parcela. 
Existem várias formas de amortização que ocorrem no mercado, as mais comuns são: 
● Sistema de Amortização Francês (SAF)
● Sistema de Amortização Constante (SAC)
● Sistema de Amortização Americano (SAA)
34UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
3.1 Sistema de Amortização Francês (SAF)
Segundo Assaf Neto (2012) o Sistema de Amortização Francês (SAF) ou Prestação 
Constante (SPC) é amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil. O Sistema de 
Amortização Francês (SAF) recebe esse nome porque foi bastante utilizado na França, 
no século XIX, difundindo-se a partir daí. Esse sistema também recebe o nome de Tabela 
Price, devido ao economista inglês Richard Price. Os juros, por incidirem sobre o saldo de-
vedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. Em 
outras palavras, os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma 
dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. Nesse sistema de 
amortização as prestações pagas têm sempre o mesmo valor, sem que haja o pagamento 
de um valor final. Portanto, a dívida é totalmente paga mediante n prestações, todas de 
mesmo valor.
FIGURA 2: SAF
Fonte:Elaborado pelos autores (2021).
A Tabela Price é uma tabela com fatores que podem ser usados para encontrar o 
valor das parcelas. Basta multiplicar o valor presente da dívida pelo fator correspondente 
para encontrar o valor das parcelas. Nela há vários prazos diferentes, assim como diversas 
taxas de juros. Por meio da Tabela Price, diversos valores podem ser encontrados. 
Com o intuito de melhor desenvolver a compreensão do sistema de prestação 
constante, considere o exemplo ilustrativo geral proposto anteriormente. O quadro a seguir, 
identifica a planilha financeira deste sistema, a qual é mais bem elaborada, partindo da últi-
ma coluna para a primeira. Isto é, calculam-se inicialmente as prestações e, posteriormente, 
para cada período, os juros e, por diferença, as parcelas de amortização e o respectivo 
saldo devedor.
Exemplo: Maria está precisando de capital para aumentar o estoque de sua loja 
para as vendas de final de ano. Para isso, ela fará um empréstimo de R$ 50.000,00 a ser 
pago em seis vezes pelo SAF. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1% ao 
35UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
mês, qual será o valor das parcelas, os juros incorridos, o saldo devedor e a amortização? 
Informe o valor de cada um deles a cada mês.
O primeiro passo para resolver essa questão é saber que o valor da prestação deve 
ser sempre o mesmo, portanto ele deverá ser calculado primeiramente.
PV=PMT × FPV (i,n)
onde: 
PV = valor presente 
PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva 
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV = 1-( 1+i )n
 i
PV = R$ 50.000,00
n = 6
i = 1% ou 0,01
Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se:
50.000= PMT × 1- (1+0,01)-6
 0,01
50.000 = PMT×5,795 
PMT = 50.000/5,795 
PMT = R$ 8.627,42
Agora podemos calcular os juros de cada parcela e o valor da amortização da dívida:
No mês 1, os juros são de: 
Juros = SD . i 
Juros = 50.000 . 0,01 
Juros = 500,00
A amortização (pagamento do saldo devedor) do mês 1 foi de: 
Amortização = Prestação – Juros 
Amortização = R$ 8.627,42 –R$ 500,00
Amortização = R$ 8.127,42
36UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
Portanto, deve ser calculado primeiramente o valor da prestação, que é sempre 
o mesmo. Depois disso, são calculados os juros e depois a amortização. Finalmente, é 
realizado o cálculo do saldo devedor nesse instante de tempo. Agora, para cada um dos 
próximos instantes de tempo, serão calculados os juros e a amortização. O resultado é 
mostrado na tabela a seguir:
TABELA 1: TABELA PRICE (MARIA)
TEMPO SALDO DEVEDOR JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO
0 R$ 50.000,00 - - -
1 R$ 41.872,58 R$ 500,00 R$ 8.127,42 R$ 8.627,42
2 R$ 33.663,89 R$ 418,73 R$ 8.208,69 R$ 8.627,42
3 R$ 25.373,10 R$ 336,64 R$ 8.290,78 R$ 8.627,42
4 R$ 16.999,42 R$ 253,73 R$ 8.373,69 R$ 8.627,42
5 R$ 8.542,00 R$ 169,99 R$ 8.457,43 R$ 8.627,42
6 R$ 0,00 R$ 85,42 R$ 8.542,00 R$ 8.627,42
TOTAL R$ 1.764,51 R$ 50.000,00 R$ 51.764,52
Fonte: Elaborado pelos autores (2021) 
Assim, sabemos que Maria iria pagar o valor final de R$ 51.764,52. Os valores 
acima foram calculados no Excel, por isso podem sofrer um pequeno problema de arre-
dondamento. É possível observar, por meio da tabela, que o valor da prestação é sempre 
o mesmo. Esse é o fundamento do Sistema de Amortização Francês. Além disso, os juros 
são cada vez menores porque o saldo devedor é cada vez menor. Como os juros incidem 
sempre sobre o saldo devedor, esse é o comportamento natural dos juros nesse sistema 
de amortização. Verifica-se também que a amortização é cada vez maior, ou seja, a cada 
período de tempo paga-se uma parcela cada vez maior da dívida. É importante observar 
que a prestação é sempre a soma dos juros com a amortização. Como a prestação é 
constante, se o valor dos juros diminuir, o valor da amortização deve subir, e é exatamente 
isso que ocorre.
3.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)
De acordo com Almeida (2016), o sistema de amortização constante é conhecido 
como método hamburguês e possui vasta utilização em financiamentos imobiliários como 
por exemplo o SFH (Sistema Financeiro de Habitação). 
De acordo Assaf Neto (2012) o Sistema de Amortização Constante - SAC, como 
o próprio nome desse sistema indica, a característica é a constância das amortizações do 
principal, assim as amortizações sempre serão iguais em todo o prazo da operação. Como 
37UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
a soma de todas as amortizações é igual ao valor presente e o valor da amortização é 
sempre o mesmo, o valor de cada amortização é dado pela divisão do valor presente da 
dívida pelo número de parcelas. Assim:
Amortização = PV/n
O valor de cada prestação é sempre a soma dos juros mais a amortização (Presta-
ção = Juros + Amortização). Desse modo, quando se trabalha com o sistema de amortiza-
ção constante, os cálculos são da amortização. Segundo Assaf Neto (2012) nesse sistema, 
a cada período de tempo, a amortização é sempre a mesma, assim, se parte da dívida é 
constantemente amortizada, o saldo devedor e os juros sempre diminuirão, pois os juros 
incidem sobre o saldo devedor. Dessa maneira, como a prestação é a soma da amortização 
com os juros, ela também diminuirá com o passar do tempo, já que a amortização é cons-
tante e os juros diminuem. Conforme Rezende (2003), no SAC observa-se que os juros de 
cada período são pagos junto com as prestações, e, portanto, não são incorporados ao 
saldo devedor, nesse caso não se aplica a configuração dos “juros sobre juros”.
Utilizaremos o mesmo exemplo da Maria. Assim o primeiro passo é calcular a 
amortização:
Amortização = PV/n
Amortização = R$ 50.000/6
Amortização = R$ 8.333,33
Depois disso, o saldo devedor, os juros e a prestação serão calculados mensal-
mente. A redução do saldo devedor é dada pela amortização, que, para esse sistema, é 
conhecido desde o princípio. Os juros podem ser calculados por meio do saldo devedor 
anterior. Finalmente, conhecendo-se a amortização e os juros, a prestação é calculada. 
Todo esse processo é repetido para cada período de tempo. 
TEMPO SALDO DEVEDOR JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO
0 R$ 50.000,00 - - -
1 R$ 41.666,67 R$ 500,00 R$ 8.333,33 R$ 8.833,33
2 R$ 33.333,33 R$ 416,67 R$ 8.333,33 R$ 8.750,00
3 R$ 25.000,00 R$ 333,33 R$ 8.333,33 R$ 8.666,67
4 R$ 16.666,67 R$ 250,00 R$ 8.333,33 R$ 8.583,33
5 R$ 8.333,33 R$ 166,67 R$ 8.333,33 R$ 8.500,00
6 R$ 0,00 R$ 83,33 R$ 8.333,33 R$ 8.416,67
TOTAL R$ 1.750,00 R$ 50.000,00 R$ 51.750,00 
38UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
Nesse sistema, o valor das parcelas diminui com o passar do tempo. Assim, sabe-
mos que Maria iria pagar o valor final de R$ 51.750,00, pagando menos que no Sistema 
de Amortização Francês.
A figura 3 ilustra o diagrama de fluxo de caixa do Sistema de Amortização Cons-
tante. É importante observar que as prestações diminuem com o passar do tempo.
FIGURA 3: SAC
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
Como no sistema de amortização constante o valor das parcelas é decrescente, 
ele deve ser escolhido caso a empresa tenha um fluxo de caixa maior no período 1 e vá 
diminuindo à medida que se aproxima do período n.
3.3 Sistema de Amortização Americano
O Sistema de Amortização Americano (SAA) tem esse nome por ser bastante co-
mum nos Estados Unidos. No Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula-se que 
a devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação 
de uma só vez. Assim, não se prevê, de acordo com esta característica básica do SAA, 
amortizações intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser 
pagos periodicamente (ASSAF NETO, 2012). A figura 4 representa o fluxo de caixa sob 
configuração do SAA. Cada uma das prestações é exatamente igual aos juros, dessa forma 
o valor futuro é igual ao valor presente:
FIGURA 4: SAA
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).39UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
Novamente, retomamos o exemplo da loja da Maria para verificar como ficariam as 
suas prestações no Sistema de Amortização Americano.
TEMPO SALDO DEVEDOR JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO
0 R$ 50.000,00 - - -
1 R$ 50.000,00 R$ 500,00 R$ 0,00 R$ 500,00
2 R$ 50.000,00 R$ 500,00 R$ 0,00 R$ 500,00
3 R$ 50.000,00 R$ 500,00 R$ 0,00 R$ 500,00
4 R$ 50.000,00 R$ 500,00 R$ 0,00 R$ 500,00
5 R$ 50.000,00 R$ 500,00 R$ 0,00 R$ 500,00
6 R$ 50.000,00 R$ 500,00 R$ 50.000,00 R$ 50.500,00
TOTAL R$ 3.000,00 R$ 50.000,00 R$ 53.000,00
O primeiro passo é calcular a amortização, na qual sempre será R$ 0,00, exceto no 
último período, em que é igual ao valor original da dívida. O saldo devedor é sempre igual 
ao valor original da dívida, exceto no último mês, quando a dívida é quitada. Como o saldo 
devedor é constante, os juros também serão. A última coluna a ser preenchida deve ser 
a das prestações. Todos os meses são pagos apenas os juros, exceto no último, quando 
também é amortizada a dívida integralmente. Nesse sistema de amortização são pagos 
simplesmente os juros, de modo a manter o valor da dívida sempre inalterado. No final da 
operação, entretanto, o valor deve ser pago integralmente. Esse sistema de amortização 
não parece ser muito interessante para Maria, pois ela pagará um valor superior do que 
os outros sistemas de amortização. No Sistema de Amortização Americano, o valor das 
parcelas é muito baixo, pois somente os juros são pagos. Contudo, a amortização deve ser 
paga integralmente, de uma só vez, ao final da operação.
SAIBA MAIS
Você sabia que existe diferença entre as taxas médias utilizadas por bancos comerciais 
e empresas de fomento (factoring) na negociação de recebíveis das empresas no cená-
rio brasileiro? Saiba mais lendo o artigo: Antecipação de recebíveis nos bancos versus 
factorings: uma análise das diferenças entre as taxas cobradas e suas possíveis causas. 
Link: https://revista.crcsc.org.br/index.php/CRCSC/article/view/2554
Fonte: Machado e Ribeiro (2018)
40UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), na Unidade 2, do livro da disciplina de Matemática Financeira, 
estudamos as operações que envolvem descontos. Vimos que o desconto pode ser en-
tendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apu-
rado em certos períodos antes de seu vencimento. As operações de desconto podem ser 
realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. Analisamos 
os tipos de equivalências de capital no tempo, a equivalência de capitais são utilizados 
para a substituição de um título por outro título com vencimento diferente. Faz-se neces-
sário determinar o valor de um título quando este necessita ser antecipado ou adiado, 
pode-se ainda, substituí-lo por outro título, cujo valor represente o equivalente ao valor 
original, considerando uma dada taxa. Assim, a equivalência de capitais serve para ajustes 
e renegociações necessárias, podendo ser realizada por pessoas físicas ou jurídicas. Por 
fim, entendemos que as séries de capitalização, na qual são desenvolvidos basicamente 
para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvem pagamentos 
periódicos do principal e encargos financeiros. Vimos sobre o Sistema de Amortização 
Francês (SAF) no qual os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, 
e as parcelas de amortização assumem valores crescentes, o Sistema de Amortização 
Constante (SAC) que tem como característica a constância das amortizações do principal, 
assim as amortizações sempre serão iguais em todo o prazo da operação, e o Sistema de 
Amortização Americano (SAA) na qual estipula que a devolução do capital emprestado é 
efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez.
41UNIDADE II Descontos, Capitalizações e 
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
Título: Perícia Contábil;
Autor: Martinho Maurício Gomes de Ornelas;
Editora: Atlas;
Sinopse: o autor sistematiza aspectos relevantes sobre a perícia 
contábil, abordando Prova Pericial, Perícia Contábil, Exercício 
Profissional da Função Pericial Contábil, A Perícia no Código do 
Processo Civil, Técnicas do Trabalho Pericial Judicial, Quesitos, 
Laudo Pericial Contábil, Remuneração do Trabalho Pericial e 
Perspectivas da Perícia Contábil.
FILME/VÍDEO
Título: Trabalho Interno
Ano: 2010
Sinopse: Em 2008, uma crise econômica de proporções globais 
fez com que milhões de pessoas perdessem suas casas e empre-
gos. Ao todo, foram gastos mais de US$ 20 trilhões para combater 
a situação. Através de uma extensa pesquisa e entrevistas com 
pessoas ligadas ao mundo financeiro, políticos e jornalistas, é des-
vendado o relacionamento corrosivo que envolveu representantes 
da política, da justiça e do mundo acadêmico. 
42
Plano de Estudo:
● Analisar a relação da moeda na inflação;
● Entender as notas promissórias e método hamburguês;
● Estudar os métodos de tomada de decisão;
Objetivos da Aprendizagem:
● Taxa e atratividade;
● Vida econômica;
● Fluxo de caixa;
● Métodos para tomada de decisão;
UNIDADE III
Matemática Financeira e Economia
Professor Me. Matheus Henrique Delmonaco
Professora Ma. Carolina Freitas
43UNIDADE III Matemática Financeira e Economia
INTRODUÇÃO
Olá, Estudante!
Nesta unidade vamos nos aprofundar ainda mais na matemática financeira e nos 
âmbitos que o mesmo envolve a economia. No primeiro momento vamos compreender os 
conceitos que envolvem os índices de preços e taxa de inflação, seguido da sua aplicabilidade. 
Fundamental para os aspectos da inflação, vamos entender também o comporta-
mento da moeda, consequentemente, também o comportamento da inflação em exponencial. 
Assim, vamos entender como a moeda tende a se comportar em um momento de inflação. 
Além disso, vamos aprender sobre desconto de duplicatas, notas promissórias e 
como calcular o método hamburguês. Esses três tópicos você irá aprender e compreender 
como interpretá-lo através de exemplos que podem ser expostos no seu dia a dia. 
Outro aspecto importante para a matemática financeira é o fluxo de caixa, ou seja, os 
pagamentos que ocorrem por determinado período, vamos aprender que existem diferentes 
tipos de ocorrência de pagamento, como também, a importância da taxa de juros, valor futuro 
e valor presente para os pagamentos em um fluxo de caixa. Já pegou seu lápis?!
Dando continuidade aos cálculos que envolvem o fluxo de caixa, por último (mas 
não menos importante), vamos compreender os métodos para a tomada de decisão, nele 
vamos compreender o coeficiente de financiamento para fluxo de caixa. 
Espero que você aproveite a leitura e conhecimento dessa unidade assim como as 
demais da nossa disciplina de Matemática Financeira. 
44UNIDADE III Matemática Financeira e Economia
1. TAXA E ATRATIVIDADE
1.1	 Índices	de	preços	e	taxa	de	inflação
Podemos dizer que existe uma importância mundial em entender as mudanças de 
preços de mercadorias que ocorrem por um período de tempo, assim, surgiu o índice de 
preços. Esse, é o resultado de estudos aprofundados na estatística para medir a variação 
do nível geral de preços em uma escala mundial, em que são verificadas em um conjunto 
de bens em uma determinada quantidade (ASSAF NETO, 2003).
A economia Brasileira apresenta muitos índices de preços, cada um possui uma 
metodologia diferente, seja na origem da amostra, dos critérios estabelecidos ou da ela-
boração para chegar aos resultados. Vamos compreender o conceito de alguns índices de 
preços no Quadro abaixo:
QUADRO 1 – ÍNDICES DE PREÇOS E CONCEITOS
Índice Conceito
Índice Nacional 
de Preços ao 
Consumidor Amplo 
(IPCA)
Mensura a mudança de preços da cesta de consumo de 
famílias habitantes em regiões urbanas de abrangência do 
SNIPC. Compreende a amostra em famílias de rendimento 
entre 01 a 40 salários mínimos, em indeterminadas fontes de 
rendimentos. 
45UNIDADE III Matemática Financeira e EconomiaÍndice Nacional 
de Preços ao 
consumidor (INPC)
Mensura a variação dos preços através da cesta de consumo 
em habitantes de extensões urbanas de abrangência do 
SNIPC. A amostra das famílias inclui rendimentos de 01 a 5 
salários mínimos. 
Índice de Preços ao 
Consumidor – FIPE 
(IPC)
Mensura na cidade de São Paulo o nível de uma cesta de bens 
e serviços das famílias do município com rendimento entre 01 a 
10 salários mínimos. 
Índice Geral de 
Preços (IGP)
Mensura o ritmo da evolução de preços conforme a inflação 
nacional. Possui três versões: IGP-10, IGP de Mercado (IGP-M) 
e o de Disponibilidade Interna (IGP-DI), a diferença desses está 
no período de desenvolvimento das informações para o cálculo 
do índice. 
Fonte: Elaborado pelos autores. Ipeadata (2021).
Vamos aprender a interpretar a inflação através de um índice de preços? Abaixo 
podemos ver uma hipótese do ano X do mês de janeiro a junho, dos valores do IGP-DI.
QUADRO 2 – ÍNDICE DE PREÇOS ENTRE JANEIRO E JUNHO DO ANO X, EM VALORES DO IGP-DI
Janeiro/X Fevereiro/X Março/X Abril/X Maio/X Junho/X
R$625,00 R$647,55 R$710,20 R$782,44 R$762,28 R$794,02
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
Para calcularmos a inflação do período de janeiro a junho, temos que aplicá-la a 
seguinte expressão:
 I= Pn 
 Pn-t 
-1
Em que: 
I = Taxa de inflação obtida através do índice de preços;
P= Índice de Preços utilizado para o cálculo da inflação;
n e n-t = período determinado da inflação e período base considerado;
Ao adicionarmos os valores dados no Quadro 2 na expressão acima, temos o se-
guinte resultado:
 I (jan;junho) = 794,02 -1 = 1,2704-1=27,04%
 625,00
Podemos interpretar o resultado em que o preço neste período se desenvolveu 
1,2704 vezes, mostrando um crescimento de 27,04%.
46UNIDADE III Matemática Financeira e Economia
Ao analisarmos a deflação ou inflação de um período determinado da moeda estu-
dada pode ser interpretado como uma comparação da evolução dos valores monetários e o 
desempenho do preço da cesta de produtos no índice escolhido (SAMANEZ, 2006).
1.2		 A	moeda	na	inflação
Quando estudamos a moeda em conjuntura de inflação em dois ou mais períodos 
podemos encontrar o problema da diferença do nível do poder aquisitivo da moeda. Vamos 
a um exemplo?
Flávio comprou um carro no valor de R$35.000,00 no ano de 2014, mas decidiu 
vender o mesmo no ano de 2018 por R$38.000,00. Neste período em que a inflação foi 
de 15%. A princípio você pode pensar que Flávio pode obter um lucro de R$3.000,00 
(R$38.000,00 – R$35.000,00), mas não, o valor obtido pela venda será apenas o valor 
nominal, dado a evolução de preços.
Para que Flávio não tenha prejuízo na venda do seu carro, o mesmo deve vender 
por um preço 15% maior que seu valor de compra em 2014. Ou seja, o valor deve ser de 
R$35.000,00 * (1 + 0,15) = R$ 40.250,00. A partir do valor de R$40.250,00 que Flávio terá 
o devido lucro na venda do automóvel. 
Mas como podemos conhecer a evolução real dos preços diante de uma infla-
ção? A evolução real dos preços se dá através das indexações (inflacionamento) ou das 
desindexações (deflacionamento) dos valores nominais. Em resumo, o inflacionamento 
é a correção dos valores nominais em uma determinada data com a moeda escolhida 
representando o seu valor de poder de compra em um período posterior. Diferentemente, 
a desindexação transforma os valores nominais da moeda escolhida do mesmo poder de 
compra em um período anterior.
Dessa forma, vamos aprender a calcular o ganho nominal da compra e venda do 
carro do Flávio.
 Ganho Nominal = 38.000,00
 35.000,00 
-1 = 8,57%
Podemos dizer então que o carro vendido por Flávio, foi vendido por 1,857 vezes 
o seu valor de compra. Além disso, precisamos conhecer também o resultado real da ope-
ração, em que são expressos os valores monetários da moeda no poder de compra de 
47UNIDADE III Matemática Financeira e Economia
determinado período. Para indexar os valores da venda em um dado momento, temos a 
seguinte equação:
Preço de venda na data da venda
 Preço de compra corrigido para a data da venda 
- 1 =
Ao adicionarmos os valores da venda do carro de Flávio, temos:
R$ 38.000,00
 R$ 35.000,00 x 1,15 -1= - 5,59%
Esse valor representa uma evolução real negativa de 5,59%, esse valor é obtido 
precisamente da condução dos juros compostos. Dessa forma, podemos afirmar que é 
equivocada a ideia de subtrair a taxa nominal encontrada de 8,57% ao percentual especí-
fico da inflação de 15%. 
Agora que aprendemos a indexar os valores, vamos aprender a desindexar os 
valores, através da seguinte equação:
 Preço de venda deflacionado para a data da compra 
 Preço de compra na data da compra 
-1=
Seguindo o exemplo de Flávio, temos:
 R$ 38.000,00 / 1,15
 R$ 35.000,00 
 -1 = -5,59%
O resultado do efeito da inflação será o mesmo, ou seja, um prejuízo real de 5,59%.
1.3		 Taxa	de	inflação	e	o	seu	comportamento	exponencial
Segundo Assaf Neto (2003), a inflação tem um comportamento que ocorre de manei-
ra exponencial, em que há um aumento de preço sobre o valor já incorporado nos acréscimos 
apurados em períodos anteriores. Afirmando então, que a formação da taxa de inflação se 
aproxima de uma progressão geométrica, em que são verificados juros sobre juros.
Vamos a um exemplo? Podemos observar a taxa de inflação de quatro períodos 
mensais: 2,1%, 1,8%, 2,6% e 2,2% e também temos um ativo de R$5.000,00. Ao corrigirmos 
os valores pelas inflações dadas na economia, teremos os seguintes valores:
48UNIDADE III Matemática Financeira e Economia
1º mês: R$5.000,00 x 1,021 = R$5.105,00
2º mês: R$5.105,00 x 1,018 = R$5.196,89
3º mês: R$5.196,89 x 1,026 = R$5.332,00
4º mês: R$5.332,00 x 1,022 = R$5.449,31
Podemos dizer que o incremento do valor do ativo no quadrimestre foi de 8,98% 
(R$5.449,31/ R$5.000,00 – 1), isto corresponde a capitalização composta das taxas men-
sais expostas. 
Inflação do quadrimestre: [(1,021)*(1,018)*(1,026)*(1,022)] – 1 = 8,98%
Assim, podemos encontrar a taxa equivalente mensal de inflação do período, em:
Observamos que, a inflação possui os mesmos conceitos e expressão de cálculos 
como os apresentados na Unidade 1, em Regimes de capitalização: compostas.
49UNIDADE III Matemática Financeira e Economia
2. VIDA ECONÔMICA
2.1 Descontos de duplicatas
Como aprendemos na nossa Unidade 2, as operações de descontos racionais 
e descontos bancários são importantes para o conhecimento da matemática financeira. 
Quando um banco comercial realiza uma operação de desconto, os encargos financeiros 
normalmente são cobrados o valor do resgate (valor nominal do título) e descontos no 
momento da liberação dos recursos (pagos à vista), entre esses estão:
● Taxa de desconto – nominal
● Retrata a relação entre os juros e o valor do título (nominal). Essa taxa é defi-
nida, usualmente, em bases mensais e utilizada de forma linear nas operações 
de desconto.
● Imposto sobre Operações Financeiras (IOF)
● Um imposto Federal, cobrado no ato da liberação dos recursos e calculado de 
forma linear sobre o valor nominal do título.
● Taxa Administrativa
● Muitas vezes são cobradas com o intuito de cobrir despesas de abertura, con-
cessão e controle de crédito por parte de instituições financeiras. O seu cálculo 
acontece, normalmente, de uma única vez sobre o valor do título e é descontada 
na liberação dos recursos. 
50UNIDADE III Matemática Financeira e Economia
Segundo Assaf Neto (2003, p. 77), “os encargos financeiros do desconto bancário 
são referenciados, para o cálculo de seus valores monetários, pelo critério de juros simples. 
Evidentemente, para uma apuração rigorosa da taxa de juros efetiva destas operações é 
adotado o regime composto”
Conforme aprendemos na Unidade 2 a calcular a taxa implícita (por “dentro”) de 
juros no desconto bancário,