Lista de Exercícios 3 Prof. Marivaldo

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COMPLEMENTOS 3 - SOMA DIRETA & MUDANÇA DE BASE
SOMA DIRETA
1. Construa dois subespaços W1 e W2 do espaço R3, com dimW1 = 1; dimW2 = 2 e R3 = W1 �W2:
2. Encontre uma decomposição M2�2 = W1 �W2, com dimW1 = 1 e dimW2 = 3:
3. Considere os seguintes subespaços do R3 :
W1 =
�
(x; y; z; t) 2 R4 : x+ y = z � t = 0	 e W2 = �(x; y; z; t) 2 R4 : x� y � z + t = 0	 :
Determine bases dos subespaços W1; W2; W1\W2 e W1+W2. É correto a…rmar que W1�W2 = R4?
4. No espaço vetorial F ([�a; a]) ; de todas as funções reais f : [�a; a]! R, represente por FP e FI os
subespaços das funções pares e ímpares, respectivamente.
(a) Identi…que o subespaço FP \ FI :
(b) Mostre que toda função f do espaço F ([�a; a]) se escreve como soma de uma função par com
uma função ímpar.
(c) É verdade que F ([�a; a]) = FP �FI?
5. Se V = W1 �W2 e �1 = fv1; v2; : : : ; vmg e �2 = fw1; w2; : : : ; wng são bases de W1 e W2, respectiva-
mente, mostre que � = fv1; v2; : : : ; vm; w1; w2; : : : ; wng é uma base de V: Se a soma não fosse direta,
o resultado ainda seria válido?
6. Mostre que R3 = [(1; 0; 0)]� [(1; 1; 0) ; (0; 1; 1) ; (1; 0;�1)].
7. No espaço R3, considere o subespaço W1 =
�
(x; y; z) 2 R3 : x+ 2y + z = 0	 : Encontre um subespaço
W2, de dimensão 1, tal que R3 = W1 �W2. Por que dimW2 deve ser igual 1?
MUDANÇA DE BASE
1. Em R3 considere as bases
� = f(1; 1; 1) ; (�1; 1; 0) ; (1; 0;�1)g e �0 = f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g :
(a) Encontre as matrizes de mudança de base [I]�
0
� e [I]
�
�0 e veri…que que [I]
�
�0 � [I]
�0
� = I3:
(b) Determine as coordenadas do vetor v = (1; 2;�1) nas bases � e �0:
2. No espaço dos polinômios P2 considere as bases
� =
�
1; 1 + t; t2
	
e �0 =
�
2;�t; 1 + t2	 :
(a) Encontre as matrizes de mudança de base [I]�
0
� e [I]
�
�0 e veri…que que [I]
�
�0 � [I]
�0
� = I3:
(b) Determine as coordenadas do vetor v = t2 + t� 2 nas bases � e �0:
3. Determine [v]�0 , sabendo que as coordenadas do vetor v do R3 na base � e a matriz de mudança
[I]�
0
� são dadas por
[v]� =
26664
�1
2
3
37775 e [I]�0� =
26664
1 1 0
0 �1 1
1 0 �1
37775 :
4. No espaço P3, dos polinômios de grau � 3; considere a base � = f1; t; t2; t3g.
(a) Se f (t) =
�
1� t2�2, mostre que �0 = ff 0(t); f 00(t); f 000(t); f (4)(t)g é uma base para P3:
(b) Determine a matriz [I]�
0
� de mudança de base de �
0 para �:
5. No espaço vetorial V das matrizes
0@ x y
0 z
1A ; x; y; z 2 R, considere as bases
� =
8<:
0@ 1 0
0 0
1A ;
0@ 0 1
0 0
1A ;
0@ 0 0
0 1
1A9=; e �0 =
8<:
0@ 1 0
0 0
1A ;
0@ 1 1
0 0
1A ;
0@ 1 1
0 1
1A9=; :
Encontre as matrizes de mudança [I]�
0
� e [I]
�
�0 :
2